Website:tailieumontoan.com ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017 I PHẦN GHI KẾT QUẢ Câu 1: Có hình chữ nhật hình vẽ sau: Câu 2: Tìm số hạng thứ dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29; Câu 3: Có đơi giày màu xanh 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung hộp Hỏi phải lấy giày (mà khơng nhìn vào hộp) để chắn có đơi màu Câu 4: Có nhóm bạn rủ câu cá, bạn câu câu tổng số cá câu được, bạn câu nhiều cá câu tổng số cá câu Biết số cá câu bạn khác Hỏi nhóm bạn có người? Câu 5: Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: Câu 6: Giải phương trình x y 2 x 2 x 2(x 2x y ) 3 y 2 x xy y Câu 7: Giải hệ phương trình Câu 8: Cho số x, y thỏa mãn P x 1 y Tìm giá trị lớn x y y 2x x2 y2 Câu 9: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh AC đường thẳng AD, BM , CE đồng quy K nằm tam giác ( D BC ; E AB ) Biết 2 AKE BKE có diện tích 10 cm 20 cm Tính diện tích tam giác ABC Câu 10:Cho tam giác ABC vuông A Biết đường cao AH , trung tuyến BM AB phân giác CD đồng quy Tính AC Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com II PHẦN II TỰ LUẬN Câu 11: Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn ab ab ab Câu 12:Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh đối khơng song song Gọi F giao điểm AB CD , E giao điểm AD BC ; H , G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC BD Đường phân giác góc BED cắt GH điểm I a) Chứng minh IH BD IG AC S IAB b) Cho độ dài CD 2.AB Tìm tỉ số diện tích S ICD C có bán kính Tìm giá trị nhỏ số nguyên dương k cho với cách vẽ k điểm phân biệt Câu 13:Cho hình trịn C ln tồn hai điểm k điểm thỏa mãn thuộc hình trịn khoảng cách chúng nhỏ ……………….HẾT…………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………………………………….….Số báo danh: ………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2017 Câu 14: Có hình chữ nhật hình vẽ sau: Lời giải 5 150 Số hình chữ nhật Cách tính: Xét hình chữ nhật kích thước m.n Câu 1: Tìm số hạng thứ dãy số sau đây: 1; 1; 2; 5; 29; Lời giải 2 Quy luật an an 1 an ( n 1; n ¥ ) a7 a62 a52 a52 a42 a52 292 52 29 750797 Suy Câu 2: Có đơi giày màu xanh 10 đôi giày màu đỏ bỏ chung hộp Hỏi phải lấy giày (mà khơng nhìn vào hộp) để chắn có đơi màu Lời giải Theo đề hộp có 15 giày trái 15 giày phải Phải lấy 15 16 giày để chắn có đôi màu Câu 3: Có nhóm bạn rủ câu cá, bạn câu câu tổng số cá câu được, bạn câu nhiều cá câu tổng số cá câu Biết số cá câu bạn khác Hỏi nhóm bạn có người? Lời giải Giả sử có n bạn số cá bạn a1 a2 a3 an Ta có 9an a1 a2 an 7a1 9an nan ;7 a1 na1 n Câu 4: Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn đẳng thức: Lời giải Ta 2 2 có x y 2 3 6 62 Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word môn tốn: 3 TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Vì x, y ¡ nên x 6; y x 2 x Lời giải Câu 5: Giải phương trình x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 4 33 x 2.3 x x 2 x 2 33 2 x 2 x 4 x 2 x 4 x x x x 2(x 2x y ) 3 y 2 x xy y Câu 6: Giải hệ phương trình Lời giải x y Điều kiện : 2(x 2x y ) 3 y x y 2 x y x y t , t ta có phương trình t 2t n t nhaä t 1 t 3 t 3 loaïi Đặt 2 x y 2 x y x xy y x y 2x y t Với ta có hệ phương trình x 2 x y 2 x y 2 x y y 1 x x 3 x y x 2x x 3 y x, y 1; 1 ; 3;7 Vậy hệ phương trình có nghiệm Câu 7: Cho số x, y thỏa mãn P x 1 y Tìm giá trị lớn x y y 2x x2 y Lời giải 1 x Liên hệ tài 039.373.2038 x x 4 y y y 16 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x y y 2x P x2 y x y 5xy x y y x x2 y2 x y x y 255 y 255 257 16 16 16 Mà y x y 256 x 256 x 5.16 594 P 2 257 257 Suy 594 P x ;y 8 257 Vậy giá trị lớn Câu 8: Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh AC đường thẳng AD, BM , CE đồng quy K nằm tam giác ( D BC ; E AB ) Biết AKE BKE có diện tích 10 cm2 20 cm2 Tính diện tích tam giác ABC Lời giải Ta có AKE BKE hai tam giác có chung đường cao nên S AKE AE 10 S BKE BE 20 BE AE SCBE SCEA M trung điểm AC nên S ABM SCBM , S AKM SCKM S BCK 30 S AKE 2S AKM 50 10 S AKM S AKM 15 Mà SCBE 2SCEA S BCK S BKE S ACE 25 Do S ABC S BCE S ACE 50 25 75 cm Câu 9: Cho tam giác ABC vuông A Biết đường cao AH , trung tuyến BM AB phân giác CD đồng quy Tính AC Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Gọi I giao điềm đường cao AH , trung tuyến BM phân giác CD Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BM E , cắt CD F AE IA IBH có AE // BH , nên BH IH (hệ định lý Talet) FA IA AF // CH IHC có , nên HC IH (hệ định lý Talet) AE FA BH AE HC FA Suy BH HC AD FA BDC có BC // FA , nên BD BC (hệ định lý Talet) CM BC BC // EA BMC có , nên MA AE (hệ định lý Talet) BH AD CM AE FA BC 1 Do HC BD MA FA BC AE hay BH AD.CM HC.BD.MA BH BD Mà MA MC nên suy BH AD HC.BD hay HC AD BD BC mặt khác, CD phân giác ABC nên AD AC (2) AB BH BC BH ABC vuông A , AH đường cao có AC HC.BC HC (1) (3) AB BC AC suy AB BC AC Từ (1), (2), (3) ta có AC BC AC BC AC (vì AB AC BC ) t AC AC t.AC.AC Đặt BC t AC (với t ) ta có 1 nhận t 2 t t 1 1 loaïi t 2 Suy Liên hệ tài 039.373.2038 BC liệu 1 AC word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Khi AB BC AC 1 1 AC AC AC 2 AB AB 1 AC AC ab ab ab Tìm số tự nhiên có hai chữ số ab thỏa mãn Lời giải ab 3 ab a b ab a b ab * ab Ta có với a, b ¥ nên a b số phương a b 1; 4;9;16 Vì a b 18 nên Câu 10: Với a b ta có ab (loại) Với a b ta có ab (loại) Với a b ta có ab 27 Với a b 16 ta có ab 64 (loại) Vậy số tự nhiên cần tìm 27 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn có cạnh đối không song song Gọi F giao điểm AB CD , E giao điểm AD BC ; H , G theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AC Câu 11: BD Đường phân giác góc BED cắt GH điểm I a) Chứng minh IH BD IG AC S IAB b) Cho độ dài CD 2.AB Tìm tỉ số diện tích S ICD Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) Ta có EBD ∽ EAC (g.g) nên tỉ số đường trung tuyến tương ứng tỉ số đồng dạng EG BD DG DE EH AC CH EC · · Ta có EDG ECH (cùng nhìn cung AB) EDG ∽ ECH (c.g.c) · · DEG CEH · EI phân giác GEH BD EG GI IH BD IG AC Do AC EH HI b) Ta có FBD ∽ FCA (g.g) FGD ∽ FHA (c.g.c) · · GFD HFA FG GD BD IG FH HA AC IH · FI phân giác GFH FI phân giác ·AFD Gọi M , N chân đường vng góc hạ từ I lên đường thẳng AB, CD Khi IM IN 1 S IAB IM AB IM AB S ICD IN CD IN AB 2 Ta có C có bán kính Tìm giá trị nhỏ số Cho hình trịn ngun dương k cho với cách vẽ k điểm phân biệt Câu 12: C ln tồn hai điểm k điểm thỏa mãn thuộc hình trịn khoảng cách chúng nhỏ Lời giải Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Xét k , vẽ điểm gồm điểm tâm điểm đường trịn tạo thành lục giác Lúc khoảng cách hai điểm Suy k Với k , ln tồn điểm khơng trùng tâm đường trịn Ta kẻ bán kính qua điểm Khả : Nếu có điểm thuộc bán kính khoảng cách hai điểm nhỏ (vì khơng có điểm trùng tâm) Khả : Khơng có điểm thuộc bán kính, lúc có bán kính, suy hai bán kính tạo với góc nhỏ 60 · Giả sử hai bán kính chứa A B Vì góc AOB khơng góc lớn AB max OA; OB OAB nên Vậy trường hợp k thỏa mãn Suy giá trị nhỏ k Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com LỜI GIẢI ĐỀ THI CHỌN HSG HÀ TĨNH NĂM HỌC 2016-2 017 Câu 14: Có hình chữ nhật hình vẽ sau: Lời giải 5 150 Số... định lý Talet) BH AD CM AE FA BC 1 Do HC BD MA FA BC AE hay BH AD.CM HC.BD.MA BH BD Mà MA MC nên suy BH AD HC.BD hay HC AD BD BC mặt khác, CD phân giác ABC nên AD AC (2) AB... IH BD IG AC Do AC EH HI b) Ta có FBD ∽ FCA (g.g) FGD ∽ FHA (c.g.c) · · GFD HFA FG GD BD IG FH HA AC IH · FI phân giác GFH FI phân giác ·AFD Gọi M , N chân đường