PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Câu 1) Tính giá trị biểu thức sau: a)2 ( 62 − 24 ) : + 2014 1 1 b) 1 + − ÷: 1 + − ÷ 4 12 2 2) Tìm Câu 1) Tìm x, biết: x ∈¢ , 5 x − − x ÷= x − 6 biết: { } x − x − x − ( − x + 1) = x, y 2) Tìm chữ số 3) Tìm số nguyên Câu 2014 xyM42 cho a, b biết: a 1 − = b +1 ( n + 3) ( n + 1) 1) Tìm số tự nhiên n để số nguyên tố n = 7a5 + 8b4 a −b =6 2) Cho Biết n chia hết cho Tìm a, b a ( a , b ∈ ¥ *) b 3) Tìm phân số tối giản lớn cho chia phân số a ; 75 165 b cho ta kết số tự nhiên Câu OM = 3cm, ON = 7cm 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N cho a) Tính độ dài đoạn thẳng MN Ox MP = 2cm b) Lấy điểm P tia cho Tính OP c) Trong trường hợp M nằm O P Chứng tỏ P trung điểm đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, khơng có ba điểm thẳng hàng Có tam giác mà đỉnh 2014 đỉnh Câu 2014 S = + + + + + 2014 4 4 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: Chứng S< minh n + S (n) = 2014, n, 2) Tìm tất số tự nhiên biết S(n) tổng chữ số n ĐÁP ÁN Bài 1)a )2 ( 62 − 24 ) : + 2014 = ( 36 − 24 ) : + 2014 = 2020 1 1 1 1 1 1 b) 1 + − ÷: + − ÷ = − ÷: − ÷ = : = 4 12 12 12 12 −2 5 2) x − − x ÷ = x − ⇒ x − + x − x = ⇒x= 6 6 Bài 1) x − x − x − ( − x + 1) = ⇔ x − { x − x + 1} = ⇒ x = ⇒ x = { } 2)2014 xy = 201400 + xy = 42.4795 + 10 + xyM42 ⇔ 10 + xyM 42 Do ≤ xy < 100 ⇒ xy ∈ { 32;74} ⇒ ( x; y ) ∈ { ( 3;2 ) ; ( 7;4 ) } a 1 2a − 3) − = ⇒ = ⇒ ( 2a − ) ( b + 1) = 14 b +1 14 b +1 Do a, b ∈ ¢ ⇒ 2a − ∈U (14) = { ±1; ±2; ±7; ±14} Vì 2a − 2a − ∈ { −7; −1;1;7} ⇒ a ∈ { 0;3;4;7} lẻ nên ( a, b ) = { ( 0; −3) ; ( 3; −15) ; ( 4;13) ; ( 7;1) } Vậy Bài 1) Để ( n + 3) ( n + 1) n + 3; n + số nguyên tố hai thừa số phải n + > n + > ⇒ n + = ⇔ n = n+3=3 Mà Khi số nguyên tố n=0 Vậy thỏa đề n = 7a5 + 8b 4M ⇔ + a + + + b + 4M ⇒ a + b ∈ { 3;12} 2) Ta có: a + b > ⇒ a + b = 12 ⇒ a = 9, b = a −b = Mà nên 14Ma 14 a 14b : = ∈¥ ⇒ 75 75 b 75a bM 3) Ta có: 16 a 16b : = ∈ ¥ ⇒ 16Ma, 165 b 165a bM 175 Tương tự: a a = UCLN (14,16) = b Để số lớn b = BCNN (75;165) = 825 Và a = b 825 Vậy Bài 1) a) Do M, N thuộc tia Ox mà OM ⇒ OM + MN = ON < ON nên M nằm hai điểm O, N ⇒ + MN = ⇒ MN = 4cm b) Th1: P nằm M N M nằm O P ⇒ OP = OM + MP ⇒ OP = + = 5cm Th2: Nếu P nằm O N OM = OP + PM ⇒ = OP + ⇒ OP = 1cm OP < ON (5cm < 7cm) c) M nằm O P nên ⇒ OP + PN = ON ⇒ + PN = ⇒ PN = 2(cm) Do MP = PN nên P nằm O N , mà P nằm M N nên P trung điểm MN ( n − 1) 2) Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có cách chọn, đỉnh C có (n – ) cách chọn Như có: n ( n − 1) ( n − ) tam giác tam giác tính lần nên số tam giác là: Bài n ( n − 1) ( n − ) 2014 + + + 2013 4 1 2014 ⇒ 3S = 4S − S = + + + + 2013 − 2014 4 4 1 1 1 ⇒ 3S < + + + + 2013 Dat M = + + + + 2013 4 4 4 1 ⇒ M = + + + + + 2012 4 4 ⇒ 3M = 4M − M = − 2013 < ⇒ M < 4 4 ⇒ 3S < ⇒ S < < = 1)4S = + 2) Nếu Suy n ≤ 999 n số có chữ số n + S (n) ≤ 999 + 27 = 1026 < 2014( ktm) Mặt khác n ≤ n + S (n) = 2014 có chữ số, suy Vì S (n) ≤ 27 nên n số có chữ số Vậy n số tự nhiên S ( n ) ≤ 9.4 = 36 Do vậy, n ≥ 2014 − 36 = 1978 n = 19ab 1978 ≤ n ≤ 2014 ⇒ n = 20cd n = 19ab 19ab + ( + + a + b ) = 2014 *Nếu Ta có: ⇔ 1910 + 11a + 2b = 2014 ⇔ 11a + 2b = 104 ⇒ aM2 11a = 104 − 2b ≥ 104 − 2.9 = 86 ⇒ ≤ 10 < a, a M2 ⇒ a = ⇒ b = Và ⇒ n = 1988(tm) n = 20cd 20cd + ( + + c + d ) = 2014 *Nếu Ta có: ⇒ 2002 + 11c + 2d = 2014 ⇒ 11c + d = 12 ⇒ cM Và c = ⇒ d = ⇒ n = 2006(tm) 11c ≤ 12 ⇒ c = ⇒ 2d = 1(ktm) Vậy n ∈ { 1988;2006} ... thỏa đề n = 7a5 + 8b 4M ⇔ + a + + + b + 4M ⇒ a + b ∈ { 3;12} 2) Ta có: a + b > ⇒ a + b = 12 ⇒ a = 9, b = a −b = Mà nên 14Ma 14 a 14b : = ∈¥ ⇒ 75 75 b 75a bM 3) Ta có: 16 a 16b : = ∈ ¥ ⇒ 16Ma,... ∈¥ ⇒ 75 75 b 75a bM 3) Ta có: 16 a 16b : = ∈ ¥ ⇒ 16Ma, 165 b 165 a bM 175 Tương tự: a a = UCLN (14, 16) = b Để số lớn b = BCNN (75; 165 ) = 825 Và a = b 825 Vậy Bài 1) a) Do M, N thuộc tia Ox mà... (n) ≤ 999 + 27 = 10 26 < 2014( ktm) Mặt khác n ≤ n + S (n) = 2014 có chữ số, suy Vì S (n) ≤ 27 nên n số có chữ số Vậy n số tự nhiên S ( n ) ≤ 9.4 = 36 Do vậy, n ≥ 2014 − 36 = 1978 n = 19ab