Website:tailieumontoan.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN NƠNG CỐNG 2020 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP NĂM HỌC 2019MÔN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (Khơng kể thời gian giao đề) Bài 1(4 điểm) : Cho biểu thức : x x −1 A = − − − : ÷ ÷ + x 4x −1 − x 4x + x +1 a) Rút gọn biểu thức A> b) Tìm x để 1− x Bài ( 4điểm): 2x x − = x − x +1 x + x +1 a) Giải phương trình b) Giải hệ phương trình : x (2 + y) = x( y − 2) = Bài 3(4 điểm ): a) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số ngun số đo diện tích số đo chu vi b) Cho với n lẻ Chứng minh : Bài 4(6 điểm) Cho đường thẳng điểm cố định nằm ngồi đường thẳng hình chiếu vng góc xuống d Hai điểm thay đổi cho Gọi hình chiếu vng góc H xuống Chứng minh rằng: a) b) tiếp tuyến đường trịn đường kính c) Cho đường trịn tâm qua điểm đường tròn tâm cắt đường thẳng điểm Chứng minh đường tròn tâm qua điểm cố định Bài 5(2 điểm) Cho x,y,z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức ………………………………………… Hết…………………………………………………… Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Bài 1(4 điểm) : x x −1 A = − − − : ÷ ÷ + x 4x −1 − x 4x + x +1 Cho biểu thức : a) Rút gọn biểu thức A> b) Tìm x để 1− x Giải: a) x x −1 A = − − − : ÷ ÷ + x 4x −1 − x 4x + x + Với biểu thức có nghĩa Ta có: = 1− 2(2 x − 1) − x + x + x −1 : (2 x + 1)(2 x − 1) (2 x + 1) x −1 (2 x + 1) = 1− : (2 x + 1)(2 x − 1) x −1 = 1− x +1 x −1 x x −1 −2 − − − ÷ ÷: x + x + = x − 1 + x − x x −1 A> b) Ta có : 1− x −2 1− x ⇔ > 2 x −1 (2 x − 1) −4 (2 x − − 2)(2 x − + 2) x −3 ⇔ >0⇔ >0⇔ >0 x −1 x −1 x −1 TH1: x − > x > ⇔ ⇔ ⇔ x> x − > x > Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com x − < 0 ≤ x < ⇔ ⇔ ⇔0≤ x< 0 ≤ x < x − < TH2: Vậy Bài ( 4điểm): 2x x − = x − x +1 x + x +1 c) Giải phương trình d) Giải hệ phương trình : x (2 + y) = x( y − 2) = Giải: a) Dễ thấy nghiệm phương trình phương trình tương đương với : − = 1 x −1+ x +1+ x x Đặt phương trình trở thành: Nếu Nếu ( vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x=1 x (2 + y ) = 1(1) x( y − 2) = 3(2) b) Từ hệ phương trình Chia phương trình (1) cho phương trình (2) cho x ta z3 = 3y + y = z + (2 + y ) = x3 (1) ( y − 2) = (2) x Đặt Hệ phương trình đượ viết lại : trừ vế hai phương trình ta được: Giải phương trình tìm Với Với Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com Kết luận: Vậy nghiệm hệ pương trình Bài 3(4 điểm ): a) Tìm tất tam giác vng có độ dài cạnh số nguyên số đo diện tích số đo chu vi b) Cho với n lẻ Chứng minh : Giải : a) Gọi độ dài cạnh Với Theo ta có: z = x + y (1) xy = 2( x + y + z )(2) Từ (1) thay vào (2) đưa phương trình ước số: Lại có Vậy độ dài cạnh tam giác b) Ta có : Vì n lẻ Do tích hai số tự nhiên liên tiếp Lại n lẻ Bài 4(6 điểm) Cho đường thẳng điểm cố định nằm đường thẳng hình chiếu vng góc xuống Hai điểm thay đổi cho Gọi hình chiếu vng góc H xuống Chứng minh rằng: a) b) tuyến tuyến đường trịn đường kính c) Cho đường trịn tâm qua điểm đường tròn tâm cắt đường thẳng điểm Chứng minh đường tròn tâm qua hai điểm cố định Giải : Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC Website:tailieumontoan.com a) b) Gọi P,Q trung điểm Ta có Mà ( đồng vị) (1) Mặt khác AEHF hình chữ nhật (2) Cộng (1); (2) vế theo vế Lại có có EP đường trung tuyến EF tiếp tuyến đường tròn tâm P c) Ta có :(1) Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Mà (2) Từ (1) (2) Vậy qua cố định Bài 5(2 điểm) Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Giải: Theo ta có: x + 36 x ≥ 13 ≤ x ≤ ( x − 4)(9 − x) ≥ y + 40 5 ≤ y < ⇒ ( y − 5)(8 − y ) ≥ ⇒ y ≥ 13 6 ≤ z ≤ ( z − 6)(7 − z ) ≥ z + 42 z ≥ 13 Do dấu xảy Vậy GTNN Liên hệ tài 039.373.2038 liệu word mơn tốn: TÀI LIỆU TỐN HỌC ... Đặt phương trình trở thành: Nếu Nếu ( vơ nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x=1 x (2 + y ) = 1(1) x( y − 2) = 3(2) b) Từ h? ?? phương trình Chia phương trình (1) cho phương trình (2) cho... TH2: Vậy Bài ( 4điểm): 2x x − = x − x +1 x + x +1 c) Giải phương trình d) Giải h? ?? phương trình : x (2 + y) = x( y − 2) = Giải: a) Dễ thấy khơng phải nghiệm phương trình phương trình... định nằm ngồi đường thẳng h? ?nh chiếu vng góc xuống Hai điểm thay đổi cho Gọi h? ?nh chiếu vng góc H xuống Chứng minh rằng: a) b) tuyến tuyến đường trịn đường kính c) Cho đường tròn tâm qua điểm