LUẬN VĂN TÓT NGHIỆP QUY HOẠCH HÌNH HỌC MỞ RỘNG

Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương TỔNG LIÊN ĐOÀN LAO ĐỘNG VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN & TOÁN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP QUY HOẠCH HÌNH HỌC MỞ RỘNG Giảng viên hướng dẫn : ThS TRẦN THỊ THÙY NƢƠNG Sinhviên thực : NGUYỄN VŨ THUỲ NHƢ Lớp : 07TN1D Khóa : 11 Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Khoa Công Nghệ Thông Tin Tốn Ứng Dụng, trường Đại Học Tơn Đức Thắng tạo điều kiện tốt cho em thực đề tài luận văn tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn Cô, Th.S Trần Thị Thùy Nương tận tình hướng dẫn, bảo chúng em suốt thời gian thực đề tài Em xin thể kính trọng lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ Khoa Tốn-Tin, người trang bị cho chúng em nhiều kiến thức chuyên ngành, bảo, giúp đỡ tận tình quý Thầy Cơ chúng em suốt q trình học tập Tất kiến thức mà chúng em lĩnh hội từ giảng Thầy Cô vô quý giá Con xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Bố, Mẹ người thân gia đình, cảm ơn tình cảm lời động viên suốt q trình hồn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn anh chị bạn bè ủng hộ , giúp đỡ động viên em thời gian học tập nghiên cứu Mặc dù em cố gắng hoàn thành luận văn phạm vi khả cho phép cịn nhiều thiếu sót Em kính mong nhận cảm thơng tận tình bảo q Thầy Cô Sinh viên thực Nguyễn Vũ Thuỳ Như Tháng 08/2011 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN HƢỚNG DẪN SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng MỤC LỤC Quy hoạch hình học (QHHH) 1.1 Giới thiệu QHHH 1.2 Phương pháp giải toán QHHH 1.3 Ví dụ minh hoạ Phương pháp tổng quát toán QHHH 21 2.1 Định lý mối quan hệ toán gốc toán đối ngẫu 21 2.2 Dạng tổng quát toán QHHH 22 QHHH mở rộng qua lý thuyết Kuhn-Tucker 25 3.1 Nhắc lại định lý Kuhn-Tucker hàm Lagrange toán quy hoạch 25 3.2 Bài toán với ràng buộc có dấu bất đẳng thức ngược 26 3.3 Ví dụ minh hoạ 31 QHHH mở rộng với số hạng âm 34 4.1 Ràng buộc với số hạng âm 34 4.2 Hàm mục tiêu với số hạng âm 37 Tóm tắt phương pháp giải toán QHHH mở rộng 39 5.1 Tóm tắt 39 5.2 Ví dụ minh hoạ 40 Bài tập 42 6.1 Bài tập 42 6.2 Bài tập 44 6.3 Bài tập 46 6.4 Bài tập 47 6.5 Bài tập 49 Ứng dụng QHHH kinh tế 50 7.1 Nguyên tắc QHHH để giải vấn đề kinh tế 51 7.2 Các học thuyết nguyên tắc QHHH 52 7.3 Mơ hình QHHH kinh tế 57 7.3.1 Các vấn đề kinh tế 58 7.3.2 Hạn chế chi phí sản xuất 59 7.4 Biến đổi số toán tối ưu thành toán chuẩn QHHH 60 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương LỜI MỞ ĐẦU Quy hoạch hình học (QHHH) kỹ thuật tối ưu hóa để giải vấn đề mơ hình tốn học đặc biệt gọi “posynomials”.Cho đến ta dựa vào bất đẳng thức đại số để suy phương pháp QHHH Sự suy luận tất hàm posynomial ràng buộc loại “ nhỏ 1”.Ở ta mở rộng phương pháp đến trường hợp số tất ràng buộc có dấu bất đẳng thức ngược, trường hợp hệ số 𝑐𝑖𝑘 đại lượng dương Điều cách giải tốn phương pháp QHHH khơng dựa bất đẳng thức đại số mà dựa ý tưởng tổng quát lý thuyết Kuhn-Tucker đưa ra.Và nhờ tính tối ưu phương pháp này, QHHH áp dụng nhiều lĩnh vực kinh tế: Kinh tế khu vực, kinh tế môi trường, toán QHHH phi tuyến marketing hỗn hợp, tốn vốn ngân sách Quy hoạch hình học sử dụng cơng cụ phân tích kinh tế tối ưu Bởi kinh tế khoa học quản lý thường xuyên có vấn đề phát sinh mà vấn đề đề giải cách sử dụng kỹ thuật Và qua đề tài luận văn này, ta trình bày phương pháp giải tốn QHHH số dạng mở rộng nó, lý thuyết QHHH với số ứng dụng QHHH việc giải toán kinh tế SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng Quy hoạch hình học 1.1 Giới thiệu Quy hoạch hình học (QHHH) kỹ thuật tối ưu hóa để giải vấn đề mơ hình tốn học đặc biệt gọi “posynomials” Mơ hình là: 𝑚 𝑓 𝑋 = 𝑢𝑖 (𝑋) 𝑖=1 𝑎 𝑎 𝑎 𝑢𝑖 𝑋 = 𝑐𝑖 𝑥1 𝑖1 𝑥2 𝑖2 … 𝑥𝑛 𝑖𝑛 𝑐𝑖 > 0, 𝑥𝑗 > 0, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 Ví dụ: 1/5 −1/3 −1/6 1/2 𝑥1 𝑥2 𝑥3 + 4𝑥23 𝑥4 + 3𝑥1−5 𝑥2 1.2 Phƣơng pháp giải toán QHHH Để trình bày phương pháp giải tốn QHHH cách dễ hiểu, trước hết nhắc lại số bất đẳng thức: - Bất đẳng thức Cô-si: 𝑈1 + 𝑈2 + ⋯ + 𝑈𝑚 ≥ (𝑈1 𝑈2 … 𝑈𝑚 )1/𝑚 𝑚 với 𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑚 > - Bất đẳng thức Cơ-si có trọng số: 𝛼1 𝑈1 + 𝛼2 𝑈2 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑈𝑚 𝛼 𝛼 𝛼 ≥ 𝑈1 𝑈2 … 𝑈𝑚𝑚 𝛼 +𝛼 +⋯+𝛼 𝑚 𝛼1 + 𝛼2 + ⋯ + 𝛼𝑚 với 𝑈1 , 𝑈2 , … , 𝑈𝑚 > Đặt 𝑚 𝜆= 𝛼𝑖 𝑖=1 ta SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝜆 𝑚 1/𝜆 𝑚 (𝑈𝑖 )𝛼 𝑖 𝛼𝑖 𝑈𝑖 ≥ 𝑖=1 (1) 𝑖=1 𝛼𝑖 gọi trọng số Đặt 𝛼𝑖 /𝜆 = 𝛿𝑖 , ta có bất phương trình: 𝑚 𝑚 𝛿𝑖 𝛿𝑖 𝑈𝑖 ≥ 𝑖=1 𝑈𝑖 𝑖=1 𝛿𝑖 gọi trọng số chuẩn hóa Hơn nữa, đặt 𝛿𝑖 𝑈𝑖 = 𝑢𝑖 ta được: 𝑚 𝑚 (𝑢𝑖 /𝛿𝑖 )𝛿 𝑖 𝑢𝑖 ≥ 𝑖=1 (2) 𝑖=1 với 𝑚 𝛿𝑖 = 𝑖=1 Dấu xảy 𝑢𝑖 /𝛿𝑖 Nếu sử dụng bất đẳng thức với trọng số chưa chuẩn hóa 𝛼𝑖 ta được: 𝑚 𝑚 (𝜆𝑢𝑖 /𝛼𝑖 )𝛼 𝑖 /𝜆 𝑢𝑖 ≥ 𝑖=1 𝑖=1 𝜆 𝑚 𝑢𝑖 𝑚 (𝑢𝑖 /𝛼𝑖 )𝛼 𝑖 𝜆𝜆 ≥ 𝑖=1 (3) 𝑖=1 với 𝑚 𝛼𝑖 = 𝜆 𝑖=1 Dấu xảy 𝑢𝑖 /𝛼𝑖 1.3 Ví dụ minh hoạ SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng Trước hết làm rõ phương pháp quy hoạch hình học qua vài ví dụ cụ thể Ví dụ 1: (Xét tốn QHHH khơng có ràng buộc) 𝑓 𝑋 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑥2 𝑥3 + 𝑐3 𝑥1 𝑥3 + 𝑐4 𝑥1 𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛 𝑥1 𝑥2 𝑥3 Trong 𝑐𝑖 > 0, 𝑖 = 1, 2, 3, 𝑥𝑗 > 0, 𝑗 = 1, 2, Đặt 𝑢1 = 𝑐1 , 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑢2 = 𝑐2 𝑥2 𝑥3 , 𝑢3 = 𝑐3 𝑥1 𝑥3 , 𝑢4 = 𝑐4 𝑥1 𝑥2 Ta có: 4 𝑓 𝑋 = (𝑢𝑖 /𝛿𝑖 )𝛿 𝑖 𝑢𝑖 ≥ 𝑖=1 𝑖=1 Thay 𝑢𝑖 đặt, ta được: 𝑐1 𝑓 𝑋 ≥ 𝛿1 𝛿1 𝑐2 𝛿2 𝛿2 𝑐3 𝛿3 𝛿3 𝑐4 𝛿4 𝛿4 −𝛿 +𝛿 +𝛿 −𝛿 +𝛿 +𝛿 −𝛿 +𝛿 +𝛿 𝑥2 𝑥3 𝑥1 Các 𝛿𝑖 giá trị tùy ý lựa chọn phù hợp cho: 𝛿𝑖 ≥ 0, 𝛿𝑖 = 𝑖=1 Nếu ta chọn 𝛿𝑖 cho số mũ 𝑥𝑗 = vế phải bất phương trình không phụ thuộc 𝑋 Như ta viết −𝛿1 + 𝛿3 + 𝛿4 = −𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿4 = −𝛿1 + 𝛿2 + 𝛿3 = thêm điều kiện SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝛿𝑖 = 𝑖=1 Giải phương trình ta có: 𝛿1 = 2/5, 𝛿2 = 1/5, 𝛿3 = 1/5, 𝛿4 = 1/5 Với giá trị 𝛿𝑖 giải được, ta có: 𝑓 𝑋 ≥ 𝜙(𝛿) đó: 𝛿 vector 𝛿 = (𝛿1 , 𝛿2 , 𝛿3 , 𝛿4 ) 𝜙 𝛿 = (𝑐1 /𝛿1 )𝛿 (𝑐2 /𝛿2 )𝛿 (𝑐3 /𝛿3 )𝛿 (𝑐4 /𝛿4 )𝛿 Điều có nghĩa là: 𝑓 𝑋 = max 𝜙(𝛿) 𝑥 𝛿 Như vậy, toán 𝑓 𝑋 → 𝑚𝑖𝑛 trở thành tốn 𝜙 𝛿 > 𝑚𝑎𝑥 Trong ví dụ này, 𝜙(𝛿) hằng, đó: 𝑓 𝑋 = 𝜙 𝛿 𝑥 Từ dễ dàng ước lượng giá trị 𝑐𝑖 Chú ý với cách làm này, giá trị hàm mục tiêu xác định mà không phụ thuộc vào giá trị 𝑥𝑗 Đây đặc trưng ưu điểm phương pháp QHHH Trên thực tế, cần biết giá dự án mà không cần biết giá trị tối ưu biến số Để tìm giá trị tối ưu biến số, ta tiếp tục giải sau Theo điều kiện xảy dấu “ =” nói phần 1.2 𝑢𝑖 /𝛿𝑖 phải Ta đặt: 𝑢𝑖 /𝛿𝑖 = 𝑀 ∀𝑖 Vậy 4 ui = M 𝑖=1 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M δi = M i=1 10 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝛼10 = 1 𝛼21 = 𝛼31 = ⇒ 𝛼41 = 𝛼51 = 𝛼10 = 𝛼10 − 2𝛼21 = 𝛼10 − 2𝛼31 = 𝛼10 − 2𝛼41 = 𝛼10 − 2𝛼51 = Từ (20), ta được: 𝜆1 = Thế giá trị vào: 𝑝 𝑛𝑘 𝑓0 𝑋 ≥ 𝑘=0 𝑖=𝑚 𝑘 𝜙 𝛼 =7 1/2 1/2 𝑐𝑖𝑘 𝛼𝑖𝑘 𝛼 𝑖𝑘 1/2 1/2 𝜆𝑘 𝜆 𝑘 = 𝜙 𝛼 1/2 1/2 27 1/2 (9b) 1/2 = 576 Để có giá trị tối ưu biến nguyên, từ (5)&(6), ta được: 𝛼10 = 7𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 =1 7𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝛼21 = 𝜆1 𝑢21 = 2.3𝑥12 = 𝛼31 = 𝜆1 𝑢31 = 2.8𝑥22 = 𝛼41 = 𝜆1 𝑢41 = 2.2𝑥32 = 𝛼51 = 𝜆1 𝑢51 = 2.27𝑥42 = Giải phương trình trên, ta được: 𝑥1 = 1/2 3, 𝑥2 = 1/4 2, 𝑥3 = 1/2 2, 𝑥4 = 1/6 Ta dùng điều kiện Kuhn-Tucker để kiểm tra nghiệm cực tiểu, hàm Lagrange là: SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 48 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝐹 = 𝑓0 − 𝑦1 (𝑓1 − 1) Nếu 𝑦1 dương, ta kết luận nghiệm cực tiểu 𝜕𝐹 𝜕 𝑓1 − = − 𝑦1 = 0, 𝜕𝑥1 𝜕𝑥1 Thế giá trị tối ưu biến vừa tìm vào, ta được: 𝑦1 = 96 >0 Vậy nghiệm tối ưu 6.5 Bài tập 5: 𝑓 𝑋 = 𝑥22 𝑥3 − 5𝑥12 → 𝑚𝑖𝑛 với điều kiện 5𝑥1 𝑥2−1 − 3𝑥2−1 𝑥32 ≤ ta có: ⇒ 𝑥1 𝑥2−1 − 𝑥2−1 𝑥32 ≤ 2 𝜎1 = 1, 𝜎10 = 1, 𝜎20 = −1, 𝜎31 = 1, 𝜎41 = −1 𝑐10 = 1, 𝑐20 = 5, 𝑐31 = 5/2, 𝑎110 = 0, 𝑎120 = 2, 𝑎131 = 1, 𝑎210 = 2, 𝑎220 = 0, 𝑎231 = −1, 𝑎310 = 1, 𝑎320 = 0, 𝑎331 = 0, 𝑐41 = 3/2 𝑎141 = 𝑎241 = −1 𝑎341 = Từ 𝑛0 𝜎𝑖0 𝛼𝑖0 = 𝜎0 𝑖=1 𝑝 𝑛𝑘 𝜎𝑖𝑘 𝛼𝑖𝑘 𝑎𝑗𝑖𝑘 = 𝑘=0 𝑖=𝑚 𝑘 Ta có phương trình 𝛼𝑖𝑘 là: SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 49 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝛼10 − 𝛼20 = 𝜎0 −2𝛼20 + 𝛼31 = 2𝛼10 − 𝛼31 + 𝛼41 = 𝛼10 − 2𝛼41 = Giả sử 𝜎0 = 1, ta được: 𝛼10 = −4, 𝛼20 = −5, 𝛼31 = −10, 𝛼41 = −2 Các giá trị chứng tỏ ta chọn 𝜎0 sai Do để 𝛼𝑖𝑘 giá trị dương 𝜎0 phải -1, đó: 𝛼10 = 4, 𝛼20 = 5, 𝛼31 = 10, 𝛼41 = Từ 𝑛𝑘 𝛽𝑘 = 𝜎𝑘 𝜎𝑖𝑘 𝛼𝑖𝑘 𝑖=𝑚 𝑘 Ta có: 𝛽1 = 𝛼31 − 𝛼41 = Và từ 𝑝 𝑛𝑘 𝑘 =0 𝑖=𝑚 𝑘 𝑐𝑖𝑘 𝛼𝑖𝑘 𝜎𝑖𝑘 𝛼 𝑖𝑘 (𝛽𝑘 )𝜎𝑘 𝛽𝑘 Ta có hàm đối ngẫu: 4 5 −5 5/2 10 10 3/2 −2 8 = Vậy với 𝜎0 = −1 giá trị cực tiểu hàm mục tiêu là: − 1/𝑚𝑖𝑛𝑓0 = ⇒ 𝑚𝑖𝑛𝑓0 = −9 Ứng dụng QHHH kinh tế Trong thời gian ngắn, QHHH áp dụng nhiều lĩnh vực Bởi kinh tế khoa học quản lý thường xuyên có vấn đề phát sinh mà vấn đề đề giải cách sử dụng kỹ thuật Và SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 50 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng phần ta trình bày học thuyết QHHH với số ứng dụng kinh tế 7.1 Nguyên tắc QHHH để giải vấn đề kinh tế Ta xem xét nhiều dạng vấn đề kinh tế bật Đối với sản phẩm định, nhà sản xuất cần phải định xem có linh kiện sản phẩm mà họ đưa vào kho theo định kỳ Biến tổng chi phí bao gồm chi phí sản xuất lưu trữ cho 𝑙𝑇 𝑦 = 𝑥 + 𝑟𝑐𝑥 −1 x có nghĩa sản phẩm, 𝑙 chi phí thực phần / tháng, 𝑟 yêu cầu hàng năm, 𝑐 chi phí thiết lập (mỗi run), 𝑇 khoảng thời gian (1 năm 12 tháng) Phần hàm mục tiêu đại diện cho tổng chi phí thực, phần khác cho tổng chi phí thiết lập 𝑙𝑇 𝑎1 = , 𝑎2 = 𝑟𝑐 hàm y 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 −1 (7.1.1) Các giải pháp cho vấn đề dễ dàng tìm thấy qua tính tốn lấy vi phân 𝑑𝑦 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 −2 = 𝑑𝑥 Từ có 𝑥0 = 𝑎2 = 𝑎1 2𝑟𝑐 𝑙𝑇 Tổng chi phí tối ưu (min) cho 2𝑟𝑐 1/2 2𝑟𝑐 −1/2 𝑦 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑙𝑇 𝑙𝑇 Hoặc 𝑦 = 𝑎1 𝑎2 1/2 + 𝑎1 𝑎2 1/2 = 𝐴 + 𝐵 (7.1.2) Chúng thấy chi phí tối ưu bao gồm hai thành phần chi phí Nếu nhìn vào hình thức (7.1.2), rõ ràng tỷ lệ chi phí thành phần độc lập với hệ số 𝑎1 𝑎2 thời hạn 𝑎1 1/2 𝑎2 1/2 chung cho hai thành phần chi phí Do đó, việc phân phối chi phí tối ưu ko đổi theo thay đổi 𝑎1 𝑎2 đại số giải tích thành phần chi phí A B cho thấy A ln ln với độ lớn B Theo giải pháp tối ưu, phân phối chi phí khác mang lại tổng chi phí cao Trước kiến thức thực tế ta có: 𝑎1 𝑥 = 𝑎2 𝑥 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 51 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng Do 𝑎2 = 𝑎1 𝑥0 = 2𝑟𝑐 𝑙𝑇 dạng tiếng Harris-Anders từ lý thuyết kiểm kê Kết trùng với giải pháp tối ưu thu trước thơng qua tính tốn dẫn đến cách hoàn toàn giải vấn đề quy hoạch tốn học Thay nghiên cứu sản phẩm tối ưu trước sau xác định chi phí tối ưu, nghiên cứu việc phân phối chi phí tối ưu trước sau xác định biến số giải pháp kết Đây kiến thức logic thơng qua quy hoạch hình học ban đầu phát Duffin Zener 7.2 Các học thuyết nguyên tắc QHHH 𝑔0 𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 (7.2a) Với ràng buộc 𝑔𝑘 𝑥 ≤ 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 (7.2b) 𝑥𝑗 > 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (7.2c) có 𝑇𝑘 𝑔𝑘 𝑥 = 𝑛 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑐𝑘𝑡 𝑡=1 𝑥𝑗 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚 (7.2𝑑) 𝑗 =1 Bài toán biến đổi thành: 𝑓0 𝑧 → 𝑚𝑖𝑛 (7.2.1) chịu ràng buộc 𝑓𝑘 𝑧 ≤ 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 (7.2.2) 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚 (7.2.3) có 𝑇𝑘 𝑓𝑘 𝑧 = 𝑐𝑘𝑡 𝑒 𝑛 𝑗 =1 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑧𝑗 𝑡=1 Định lý Bài toán quy hoạch gốc biến đổi (7.2.1) - (7.2.3) toán quy hoạch lồi Mỗi hàm số mũ dương (7.2.3) hàm lồi SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 52 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng Khi hàm logarit hàm đơn điệu tăng, nghiệm tốn (7.2.1)-(7.2.3) tìm thấy cách giải toán sau: 𝑙𝑛𝑓0 𝑧 → 𝑚𝑖𝑛 𝑙𝑛𝑓𝑘 𝑧 ≤ 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 toán đối ngẫu tương ứng 𝜙 𝑧, 𝜆 → 𝑚𝑎𝑥 𝜕𝜙 =0 𝜕𝑧 𝜆≥0 𝑚 𝜙 𝑧, 𝜆 = 𝜆𝑘 𝑙𝑛𝑓𝑘 𝑧 𝑣ớ𝑖 𝜆0 = 𝑘=0 Đạo hàm theo 𝑧𝑗 ta 𝜕𝜙 = 𝜕𝑧𝑗 𝑚 𝜆𝑘 𝑘=0 𝑛 𝑇𝑘 𝑗 =1 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑧 𝑗 𝑎 𝑐 𝑒 𝑘𝑡 𝑘𝑡𝑗 𝑡=1 𝑛 𝑎 𝑇𝑘 𝑗 =1 𝑘𝑡𝑗 𝑧 𝑗 𝑡=1 𝑐𝑘𝑡 𝑒 Cho 𝛿𝑘𝑡 = 𝜆𝑘 𝑐𝑘𝑡 𝑒 𝑛 𝑗 =1 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑧𝑗 𝑛 𝑎 𝑇𝑘 𝑗 =1 𝑘𝑡𝑗 𝑧 𝑗 𝑐 𝑒 𝑘𝑡 𝑡=1 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚 (7.2.4) 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛 (7.2.5) Ta có 𝑚 𝑇𝑘 𝛿𝑘𝑡 𝑎𝑘𝑡𝑗 = 𝑘=0 𝑡=1 𝑣ớ𝑖 𝜆0 = , 𝑐𝑕𝑜 𝑘 = ta được: 𝑇0 𝛿0𝑡 = (7.2.6) 𝑡=1 𝑇0 thể số hạng hàm mục tiêu nguyên 𝑔0 𝑥 và: SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 53 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝑇𝑘 𝛿𝑘𝑡 = 𝜆𝑘 (7.2.7) 𝑡=1 Với ràng buộc 𝜆 ≥ (7.2.4) Ta có: 𝛿𝑘𝑡 ≥ ( 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 ; 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚) (7.2.7a) (7.2.4) viết 𝛿𝑘𝑡 𝑐𝑘𝑡 𝑇𝑘 𝑐𝑘𝑡 𝑒 𝑛 𝑗 =1 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑧𝑗 = 𝜆𝑘 𝑒 𝑛 𝑗 =1 𝑎 𝑘𝑡𝑗 𝑧𝑗 𝑡=1 Lấy logarit ta 𝛿𝑘𝑡 𝛿𝑘𝑡 ln + 𝛿𝑘𝑡 ln 𝑓𝑘 𝑧 = 𝛿𝑘𝑡 ln 𝜆𝑘 + 𝛿𝑘𝑡 𝑐𝑘𝑡 ( 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 ; 𝑛 𝑎𝑘𝑡𝑗 𝑧𝑗 𝑗 =1 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚) (7.2.5)-(7.2.7) ta 𝑚 𝑇𝑘 𝑘=0 𝑡=1 𝛿𝑘𝑡 𝛿𝑘𝑡 ln + 𝑐𝑘𝑡 𝑚 𝑚 𝜆𝑘 ln 𝑓𝑘 𝑧 = 𝑘=0 𝜆𝑘 ln 𝜆𝑘 𝑘=1 Và 𝑚 𝑇𝑘 𝜙 𝑧, 𝜆 = 𝑘=0 𝑡=1 𝛿𝑘𝑡 𝛿𝑘𝑡 ln + 𝑐𝑘𝑡 𝑚 𝜆𝑘 ln 𝜆𝑘 = ln 𝑣(𝛿) 𝑘=1 Bây hàm mục tiêu đối ngẫu 𝜙 𝑧, 𝜆 thể hàm biến 𝛿𝑘𝑡 Hơn ln 𝑣(𝛿) lõm miền định nghĩa 𝛿𝑘𝑡 > ( 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 ; 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚) tốn đối ngẫu trở thành tốn quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính ln 𝑣(𝛿) → 𝑚𝑎𝑥 Chịu ràng buộc 7.2.5 − 7.2.6 𝛿𝑘𝑡 ≥ Do 𝑣(𝛿) ln 𝑣(𝛿) có điểm max, toán đối ngẫu tương ứng toán gốc 𝑔0 𝑥 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 54 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝑚 𝑇𝑘 𝑣 𝛿 = 𝑘=0 𝑡=1 𝑐𝑘𝑡 𝛿𝑘𝑡 𝑚 𝛿 𝑘𝑡 𝜆𝑘 𝛿 𝜆 𝑘 (𝛿) → 𝑚𝑎𝑥 (7.2.8) 𝑘=1 Với 𝑇𝑘 𝜆𝑘 𝛿 = 𝛿𝑘𝑡 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚) 𝑡=1 Chịu ràng buộc 𝑚 𝑇𝑘 𝛿𝑘𝑡 𝑎𝑘𝑡𝑗 = 𝑘=0 𝑡=1 𝑇0 𝛿0𝑡 = 𝑡=1 𝛿𝑘𝑡 ≥ ( 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 ; 𝑘 = 0, 1, … , 𝑚) Hàm 𝑣(𝛿) hàm đối ngẫu 𝛿𝑘𝑡 biến đối ngẫu 𝑐𝑘𝑡 hệ số 𝑔𝑘 𝑥 𝑎𝑘𝑡𝑗 hệ số mũ toán gốc Bài tốn QHHH với độ khó dễ dàng giải cách giải toán đối ngẫu Vector 𝛿 dễ dàng xác định ràng buộc đối ngẫu tuyến tính Cịn độ khó lớn 0, ta có toán quy hoạch phi tuyến với hàm mục tiêu phi tuyến ràng buộc tuyến tính Câu hỏi phát sinh làm để có giải pháp tối ưu cho toán gốc 𝑥 từ kiến thức giải pháp tối ưu δ0 toán đối ngẫu (7.2.8), (7.2.5) - (7.2.6), (7.2.7a) Áp dụng định lý đối ngẫu yếu: Nếu 𝑥 giải pháp khả thi toán gốc 𝑢0 giải pháp khả thi toán đối ngẫu , giá trị hàm mục tiêu tốn gốc điểm 𝑥 khơng thấp giá trị hàm mục tiêu toán đối ngẫu điểm 𝑢0 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 55 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng ta có bổ đề: Bổ đề : Nếu x thỏa mãn ràng buộc (7.2b) - (7.2c) δ đáp ứng ràng buộc (7.2.5) - (7.2.6) (7.2.7a), 𝑔0 𝑥 ≥ 𝑣(𝛿) Duffin, Peterson, Zener chứng minh Bổ đề cách sử dụng bất đẳng thức hình học (một trọng số hình học có nghĩa số dương ln nhỏ với trọng số số học tương ứng có nghĩa) Vì lý này, coi dạng toán QHHH phi tuyến Định lý Giả sử hạn chế Slater ràng buộc cho toán gốc (7.2a) (7.2d) thoả hàm gốc 𝑔0 (x) đạt giá trị ràng buộc điểm khả thi 𝑥 Theo i) Các tốn đối ngẫu tương ứng (7.2.8) chịu ràng buộc (7.2.5), (7.2.6) (7.2.7a) có giải pháp tối ưu ii) 𝑔0 (𝑥 ) = 𝑣 (𝛿 ), nơi δ0 điểm khả thi mà hàm đối ngẫu v(δ) đạt giá trị ràng buộc tối đa iii) Nếu 𝑥 giải pháp tối ưu tốn gốc (7.2a) - (7.2d), có hệ số Lagrange không âm μ0𝑘 (k = 1, 2,, m ) mà hàm Lagrange 𝑚 𝐿 𝑥, μ = 𝑔0 𝑥 + μ𝑘 (𝑔𝑘 𝑥 − 1) 𝑘=1 Có 𝐿 𝑥 , μ ≤ 𝑔0 𝑥 = 𝐿 𝑥 , μ0 ≤ 𝐿 𝑥, μ0 Cho xj μ𝑘 cho xj > μ𝑘 ≥ ngồi có vector 𝛿 max cho toán đối ngẫu (7.2.8) chịu ràng buộc (7.2.5), (7.2.6) (7.2.7a) 𝑎 𝑎 𝑐𝑘𝑡 𝑥1 𝑘𝑡 … 𝑥𝑛 𝑘𝑡𝑛 𝑘 = 0, 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇0 𝑔0 𝑥 𝛿𝑘 = 𝑎 𝑎 μ𝑘 𝑐𝑘𝑡 𝑥1 𝑘𝑡 … 𝑥𝑛 𝑘𝑡𝑛 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 𝑔0 𝑥 𝑥 = 𝑥 μ = μ0 𝜆𝑘 𝛿 = iv) μ𝑘 𝑔0 (𝑥 ) 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 Nếu 𝛿 giải pháp tối ưu cho toán đối ngẫu (7.2.8) chịu ràng buộc (7.2.5), (7.2.6) (7.2.7a) giải pháp tối ưu 𝑥 cho toán gốc (7.2a)-(7.2d) thoả hệ phương trình SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 56 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝑎 𝑐𝑘𝑡 𝑥1 𝑘𝑡 mà 𝑎 … 𝑥𝑛 𝑘𝑡𝑛 = 𝛿𝑘𝑡 𝑣 𝛿0 𝛿𝑘𝑡 𝜆𝑡 (𝛿 ) 𝑘 = 0, 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇0 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚, 𝑡 = 1, 2, … , 𝑇𝑘 (7.2.9) 𝜆𝑡 𝛿 > Mặt khác, (7.2.8) cung cấp công thức để tính tốn giải pháp tối ưu 𝑥 toán gốc (7.2a) - (7.2d) từ phương án tối ưu 𝛿 toán đối ngẫu (7.2.8) chịu ràng buộc (7.2.5), (7.2.6), (7.2.7a) Hệ (7.2.9) giải dễ dàng cách lấy logarit hai bên phương trình, nhận hệ phương trình tuyến tính với biến 𝑙𝑛 x𝑗 (j = 1, 2, , n) Định lý đối ngẫu quy hoạch hình học giả thiết giải pháp tối ưu cho toán gốc tồn Định lý sau cung cấp điều kiện đủ cho giả thuyết thỏa mãn Định lý Nếu toán gốc (7.2a) - (7.2d) có giải pháp khả thi, giải pháp khả thi 𝛿 ∗ toán đối ngẫu với thành phần dương, tồn phương án tối ưu toán gốc (7.2a) - (7.2d) Hệ Nếu toán gốc (7.2a) - (7.2d) có giải pháp khả thi tốn đối ngẫu (7.2.8) chịu ràng buộc (7.2.5), (7.2.6), (7.2.7a) có phương án tối ưu 𝛿 với phần tử dương hồn tồn, tất ràng buộc toán gốc tác động lên giải pháp tối ưu 𝑥 , là: 𝑔𝑘 𝑥 = 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 7.3 Mơ hình QHHH kinh tế Hầu hết ứng dụng quy hoạch hình học phương pháp để giải toán tối ưu hoá phi tuyến Bắt đầu với báo Sengupta Portillo-Campbell sách Nijkamp, quy hoạch hình học sử dụng cơng cụ phân tích kinh tế Các hàm sản xuất Cobb-Douglas tiếng thường dùng posynomial Vì vậy, mơ hình sản xuất với loại hàm sản xuất, cho phép thay liên tục yếu tố đầu vào, lĩnh vực điển hình cho ứng dụng kinh tế quy hoạch hình học Kinh tế khu vực, kinh tế mơi trường, tốn QHHH phi tuyến marketing hỗn hợp, toán vốn ngân sách, quy hoạch nhân lực lĩnh vực khác quy hoạch hình học ứng dụng kinh tế quản lý khoa học Trong phần này, ta trình bày số mơ hình kinh tế cách quy hoạch hình học hỗ trợ q trình định góp phần giải thích tượng kinh tế SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 57 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 7.3.1 Các vấn đề kinh tế Để chứng minh nguyên tắc khả làm việc quy hoạch hình học cho việc phân tích kinh tế, ta chuyển sang mơ hình đơn giản giới thiệu phần Vấn đề có giảm thiểu biến tổng chi phí mô tả hàm gốc : 𝑙𝑇 𝑦 = 𝑥 + 𝑟𝑐𝑥 −1 Hoặc 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 −1 𝑎1 = 𝑙𝑇 𝑣à 𝑎2 = 𝑟𝑐 Bài toán đối ngẫu tương ứng 𝑎1 𝑣 𝛿 = 𝛿01 chịu ràng buộc 𝛿 01 𝑎2 𝛿02 𝛿 02 → 𝑚𝑎𝑥 𝛿01 + 𝛿02 = 𝛿01 − 𝛿02 = [ Biến đối ngẫu 𝛿01 có liên quan đến số hạng hàm mục tiêu gốc mơ tả tổng chi phí thực, biến 𝛿02 đối ngẫu cho phần thứ hai mơ tả tổng chi phí thiết lập Bài toán gốc bao gồm hai số hạng (liền sau hai biến đối ngẫu) biến gốc ; mức độ khó khăn số khơng Nghiệm tối ưu toán sản lượng đối ngẫu ] 0 ⇒ 𝛿01 = 𝛿02 = Theo (7.2.4), biến đối ngẫu 𝛿01 (𝛿02 ) cho tỷ lệ chi phí vận chuyển (thiết lập chi phí) biến tổng chi phí Các giải pháp tối ưu mơ hình đối ngẫu cung cấp (như đề cập mục 7.1) kiến thức phân phối chi phí tối ưu Mà biến sản phẩm tối ưu - độc lập với hệ số 𝑎1 𝑎2 - giải pháp tối ưu, nửa tổng chi phí quy cho chi phí thực nửa chi phí thiết lập Biết điều này, dễ dàng xác định biến tối ưu cách thiết lập 𝑎1 𝑥 = 𝑎2 𝑥 −1 Từ SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 58 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝑥0 = 𝑎2 = 𝑎1 2𝑟𝑐 𝑙𝑇 giá trị hàm mục tiêu đối ngẫu tối ưu là: 𝑣 𝛿0 = 𝑎1 1/2 1/2 𝑎2 1/2 1/2 = 4𝑎1 𝑎2 = 2𝑙𝑇𝑟𝑐 Trong điều kiện tối ưu, giá trị hàm mục tiêu đối ngẫu phải trùng với giá trị hàm gốc 𝑦 = 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 −1 = 𝑙𝑇 2𝑟𝑐 𝑙𝑇 + 𝑟𝑐 = 2𝑙𝑇𝑟𝑐 𝑙𝑇 2𝑟𝑐 7.3.2 Hạn chế chi phí sx Ta xét tốn sản xuất: 𝑀 𝑥 → 𝑚𝑖𝑛 chịu ràng buộc 𝑓 𝑥 = 𝑞∗ 𝑥≥0 𝑞 ∗ sản lượng cụ thể với giá nguyên liệu đầu vào định (Những yếu tố nguyên liệu đầu vào tạo phí sản xuất rẻ sản phẩm gì, chi phí tối thiểu gi`? Câu hỏi trả lời cho mức sản lượng sản phẩm sản xuất ra, chi phí tối thiểu phụ thuộc vào mức sản lượng sản xuất ra.) Giả sử, công nghệ xác định hàm sản xuất Cobb–Douglas Các giải pháp mơ hình sau mang lại hàm chi phí C(r, q) thể chi phí tối thiểu, với r giá nguyên liệu đầu vào, q sản lượng sản phẩm đầu 𝑟1 𝑥1 + 𝑟2 𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛 chịu ràng buộc 𝑞 = 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 = 𝑎𝑥1 𝛼 𝑥2 𝛽 ≥ 𝑞 ∗ 𝑥1 , 𝑥2 > Một chút biến đổi ràng buộc mơ hình dẫn đến toán QHHH sau: 𝑀 𝑥 = 𝑟1 𝑥1 + 𝑟2 𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛 (7.3.1) chịu ràng buộc 𝑞 ∗ −𝛼 −𝛽 𝑥 𝑥2 ≤ 𝑥1 , 𝑥2 > 𝑎 Bài toán đối ngẫu tương ứng là: 𝑟1 𝛿 01 𝑟2 𝛿 02 𝑞 ∗ 𝛿 11 𝑣 𝛿 = 𝛿11 𝛿 11 → max (7.3.2) 𝛿01 𝛿02 𝛿11 chịu ràng buộc 𝛿01 + 𝛿02 = 𝛿01 − 𝛼𝛿11 = 𝛿02 − 𝛽𝛿11 = ta SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 59 GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng 𝛿01 = Dùng hàm đối ngẫu 𝛿 𝛼 𝛼+𝛽 𝛿02 = 𝑟1 𝑣 𝛿 = 𝛿01 = 𝛼+𝛽 𝛿 01 𝑟1 𝛼 𝛽 𝛼+𝛽 𝑟2 𝛿02 𝛼 𝛼+𝛽 Theo công thức (7.2.9) 𝑟1 𝑥10 = 𝛿01 𝑣 𝛿0 , 𝛿 02 𝛿11 = 𝛽 𝛼+𝛽 𝑟2 𝛽 𝛿 11 𝑞∗ 𝛿11 𝑞∗ 𝑎 𝛼+𝛽 𝛿11 𝛿 11 𝛼+𝛽 𝑟2 𝑥20 = 𝛿02 𝑣 𝛿0 Ta có số lượng nguyên liệu đầu vào tối ưu 𝑥𝑖0 𝛼𝑟1 𝑥10 = 𝛽𝑟2 Và 𝛽𝑟1 𝑥10 = 𝛼𝑟2 Hàm chi phí: 𝐶 𝑟, 𝑞 = 𝑟1 𝑥10 + 𝑟2 𝑥20 = 𝛽 𝛼 𝑟1 𝛼+𝛽 𝑟2 𝛼+𝛽 𝑞∗ 𝑎 𝛼+𝛽 𝛽 𝛼+𝛽 𝛼 𝛼+𝛽 𝛼 𝛽 𝑞∗ 𝑎 𝑞∗ 𝑎 𝛽 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛼+𝛽 𝛽 + 𝛼 𝛼 𝛼+𝛽 (7.3.3) 𝛼 + 𝛽 = , hàm chi phí (7.3.3) trở thành: 𝑞∗ 𝛼 1−𝛼 1−𝛼 𝛼 𝛼 1−𝛼 𝐶 𝑟, 𝑞 = 𝑟1 𝑟2 + 𝑎 1−𝛼 𝛼 ∗ 𝑞 = 𝑟1𝛼 𝑟21−𝛼 𝛼 −𝛼 (1 − 𝛼)𝛼−1 𝑎 7.4 Biến đổi số toán tối ƣu hoá thành toán chuẩn QHHH Một số toán tối ưu hố chuyển thành tốn QHHH, khơng thể dạng posynomial cách rõ ràng Ta xét toán thị trường nhà máy bia mô tả Balachandran Gensch Trong phần tác giả phân tích câu hỏi biến (giá, quảng cáo, số lượng người bán, …) phải kết hợp để có doanh thu tối đa Với mục đích đó, Balachandran Gensch ước tính hàm sales ( doanh thu ), ký hiệu 𝑥0 −0.95 −0.68 −0.84 −0.28 1.31 𝑥0 = 16.212 + 3.937𝐴20.91 − 0.0021𝐴1𝑡−1 𝑃𝑡 𝑇𝑡 𝐶𝑡 𝑡−1 𝐵𝑡 −1.1 −0.00305𝐴−0.18 𝑄𝑡1.76 − 0.0046𝐼𝑡−0.9 𝑆𝑡−1 − 0.0053𝑃𝑡−0.76 𝐷𝑡−1.12 𝑐𝑡 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 60 Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương Các nhà máy bia tối đa hoá tổng doanh thu bia 𝑥0 theo số ràng buộc ngân sách Ta tóm lược ràng buộc theo dạng posynomial: 𝑔𝑘 𝑥 ≤ 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 (7.4.1) Đặt −0.68 −0.84 −0.28 𝑓𝑘 𝑥 = 0.0021𝐴1−0.95 𝑇𝑡 𝐶𝑡 + 0.00305𝐴−0.18 𝑄𝑡1.76 𝑐𝑡 𝑡−1 𝑃𝑡 −1.1 +0.0046𝐼𝑡−0.9 𝑆𝑡−1 + 0.0053𝑃𝑡−0.76 𝐷𝑡−1.12 1.31 𝑢𝑘 𝑥 = 3.937𝐴20.91 𝑡−1 𝐵𝑡 Giả sử giá trị max 𝑥0 dương, ràng buộc là: 𝑢 𝑥 − 𝑓 𝑥 ≥ 𝑥0 Hàm doanh thu 𝑥0 chịu ràng buộc (7.4.1) tương đương với toán QHHH sau: 𝑥0−1 → 𝑚𝑖𝑛 chịu ràng buộc 𝑥0 𝑢 𝑥 −1 + 𝑓 𝑥 𝑢 𝑥 −1 ≤ 𝑔𝑘 𝑥 ≤ 𝑘 = 1, 2, … , 𝑚 𝑥0 > , 𝑥>0 Bằng cách này, toán tối đa hoá lợi nhuận (với 𝑓 𝑥 hàm chi phí, 𝑢 𝑥 hàm thu nhập) viết dạng mơ hình QHHH SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 61 Quy Hoạch Hình Học Mở Rộng GVHD: ThS Trần Thị Thuỳ Nương TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] K.V.Mital , C.Mohan; OPTIMIZATION METHODS in Operations Research and Systems Analysis [2] M Luptáčik, Mathematical Optimization and Economic Analysis, Springer Optimization and Its Applications 36, DOI 10.1007/978-0-387-89552-9_6, © Springer Science+Business Media, LLC 2010 SVTH: Nguyễn Vũ Thùy Như – 070479M 62 ... quan hệ toán gốc toán đối ngẫu 21 2.2 Dạng tổng quát toán QHHH 22 QHHH mở rộng qua lý thuy? ??t Kuhn-Tucker 25 3.1 Nhắc lại định lý Kuhn-Tucker hàm Lagrange toán quy hoạch ... Ứng dụng QHHH kinh tế 50 7.1 Nguyên tắc QHHH để giải vấn đề kinh tế 51 7.2 Các học thuy? ??t nguyên tắc QHHH 52 7.3 Mơ hình QHHH kinh tế 57 7.3.1 Các vấn đề kinh tế ... Điều cách giải tốn phương pháp QHHH không dựa bất đẳng thức đại số mà dựa ý tưởng tổng quát lý thuy? ??t Kuhn-Tucker đưa ra.Và nhờ tính tối ưu phương pháp này, QHHH áp dụng nhiều lĩnh vực kinh tế: