QUY HOẠCH PHI TUYẾN TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÔN ĐỨC THẮNG

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ĐẠI HỌC BÁN CÔNG TÔN ĐỨC THẮNG NGUYỄN VĂN CẨN 07TN1N QUY HOẠCH PHI TUYẾN Chuyên nghành: Toán Ứng Dụng Mã số: Luận văn Cử Nhân Khoa Học Toán Học Người hướng dẫn khoa học: Trần Thị Thuỳ Nương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH 2007 Lời Cảm Ơn Luận văn tốt nghiệp hội để áp dụng kiến thức học vào thực tiển Đồng thời luận văn thành suốt trình phấn đấu học tập tơi Để hồn thành luận văn tơi cần giúp đở từ nhiều phía: Gia Đình, Quý Thầy Cô, bạn bè, … Như lời tri ân xin chân thành cảm ơn đến : Đầu tiên xin gởi lời cảm ơn đến Gia Đình tơi tạo điều kiện vật chất tinh thần để tơi theo học ngày hôm Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu nhà trường tồn thể Q Thầy Cơ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt q trình học tập trừơng Tơi xin đặc biệt cảm ơn đến Cô hướng dẫn Cô TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG Mặt dù nhiều lo toan riêng Cô dành cho quan tâm chu đáo tận tình hướng dẫn Những lời động viên cổ vũ Cô cho tự tin cần thiết để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gởi lời cảm ơn đến Giảng Viên phản biện, người có đóng góp ý kiến nhận xét cho luận văn tơi hồn chỉnh Bên cạnh tơi gởi lời cảm ơn đến tất bạn bè Các bạn nhiệt tình giúp đở tơi q trình làm luận văn Mặt dù cố gắng hoàn thành luận văn với tất nổ lực thân với giúp đở nhiệt tình Gia Đình, Thầy Cô, bạn bè, … Nhưng luận văn không tránh khỏi thiếu sót định Kính mong q Thầy Cơ thơng cảm, phê bình góp ý Q Thầy Cô học kinh nghiệm quý báu cho công việc thực tế sau Một lần xin chân thành cảm ơn Trân trọng chân thành ghi ơn Mục lục Trang PHẦN 1: PHẦN MỞ ĐẦU 1 Mục đích nghiên cứu luận văn 2 Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn Bố cục luận văn PHẦN 2:TÌM HIỂU VỀ QUY HOẠCH PHI TUYẾN A Các kiến thưc 5 Gradient, ma trận Hessian Jacobian hàm số Hàm liên tục ,đóng tập hợp biên Hàm lồi ,tập lồi Định lý giá trị trung bình cơng thức Taylor Định lý hàm ẩn (Implicit Funtion Thorem) Ma trận suy biến ,không suy biến số điều kiện ma trận B Tìm hiểu Quy Hoạch Phi Tuyến 10 CHƯƠNG 1:GIỚI THIỆU VỀ QUY HOẠCH PHI TUYẾN 10 1.Bài toán tối ưu hoá tổng quát 10 2.Bài toán quy hoạch phi tuyến 11 CHƯƠNG 2: QHPT KHÔNG RÀNG BUỘC: 12 A Điều kiện tối ưu 12 B Các Phương Pháp Giải 13 I Các phương pháp không dùng đạo hàm 13 Các phương pháp tìm cực trị hàm biến 13  Phương pháp điểm : 14  Phương pháp lát cắt vàng 14 Các phương pháp tìm kiếm 17 a) Phương pháp tìm kiếm trực tiếp 17 b) Phương pháp tìm kiếm theo khối đa diện 25 II Các phương pháp dùng đạo hàm 30 Phương pháp Gradient(phương pháp hạ nhanh nhất) 30 Phương pháp Newton 33 CHƯƠNG 3: QUY HOẠCH PHI TUYẾN CÓ RÀNG BUỘC 36 A Điều kiện tối ưu 36 Điều kiện tối ưu cho toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc đẳng thức 36 a Điều kiện cần cấp 38 b Điều kiện đủ cấp 41 c Điều kiện cần cấp 43 d Điều kiện đủ cấp 44 Điều kiện tối ưu toán quy hoạch phi tuyến với ràng buộc bất đẳng thức 47 a Điều kiện cần cấp 48 b Điều kiện đủ cấp 51 c Điều kiện cần cấp 52 d Điều kiện đủ cấp 53 B Các phương pháp giải tốn tốn quy hoạch phi tuyến có ràng buộc 56 Phương pháp Gradien: 56 Phương pháp nhân tử Lagrange: 59 Phương pháp hàm phạt: 65 a Phương pháp phạt ngòai (Penaly methods): 66 b Phương pháp phạt trong(Barrier methods): 69 c Ước lượng nhân tử Lagrange cho phương phàp hàm phạt 73 d Điều kiện xấu ma trận Hessian phương pháp hàm phạt 76 e Phương pháp hàm phạt xác(Exact Penalty Method) 79 f Phương pháp nhân tử (Multiplier Based Methods) 82 CHƯƠNG 4: QUY HOẠCH LỒI 86 I Quy hoạch lồi với ràng buộc tuyến tính 88 II Quy hoạch lồi với ràng buộc phi tuyến 91 III Phương pháp điểm cho tốn quy hoạch tuyến tính quy hoạch lồi: 94 Phương pháp điểm cho toán quy hoạch tuyến tính 94 a Phương pháp tỉ lệ affine 96 b Phương pháp giảm 103 Phương pháp điểm cho toàn quy hoạch lồi: 104 CHƯƠNG 5: ỨNG DỤNG CỦA QUY HOẠCH PHI TUYẾN TRONG LĨNH VỰC KINHTẾ 107 Bài toán 1:Bài toán người tiêu dùng 107 Bài toán 2:Bài tốn tìm tổ hợp yếu tố đầu vào để có chi phí thấp 110 PHẦN 3: KẾT LUẬN , HẠN CHẾ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN 113 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN PHẦN I MỞ ĐẦU Mục đích nghiên cứu luận văn: Một định tối ưu ,một lựa chọn hợp lí đưa đến thành cơng ý muốn Do giải vấn đề sống ta quan tâm làm để đưa định tốt GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Phương pháp tối ưu (hay quy hoạch tốn học) giúp ta có định tốt nhất, hợp lí Phương pháp áp dụng rộng rãi lĩnh vực kinh tế , kỷ thuật ,công nghệ thông tin ngành khoa học khác Phương pháp tối ưu đưa mơ hình thực tế mơ hình tốn học sử dụng cơng cụ tốn học để khảo sát giải mơ hình Các yếu tố tác động mơ hình thực tế tuân theo quy luật tuyến tính ,phi tuyến ,rời rạc…….Vì phương pháp tối ưu đưa số toán tối ưu dựa quy luật đó.Ta có tốn tối ưu hố sau:  Quy hoạch tuyến tính ( thường viết tắc QHTT)  Quy hoạch phi tuyến ( thường viết tắc QHPT)  Quy hoạch tham số ( thường viết tắc QHTS)  Quy hoạch động( thường viết tắc QHĐ)  Quy hoạch rời rạc( thường viết tắc QHRR)  Quy hoạch đa mục tiêu ( thường viết tắc QHĐMT) Mỗi loại toán đại diện cho quy luật mà yếu tố tác động mơ hình thực tế tuân theo Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn: Trong thực tế yếu tố tác động thường tuân theo quy lụât phi tuyến Do tốn QHPT tốn thường gặp thực tế Và toán quan trọng quy hoạch tốn học Tìm hiểu QHPT tìm hiểu dạng tốn QHPT tổng qt với dạng cụ thể Tìm hiểu điều kiện tối ưu, phương pháp giải với dụng QHPT thực tế Bố cục luận văn: Luận văn gồm có phần:  Phần 1: phần mở đầu luận văn gồm có mục đích , đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài  Phần 2: phần nội dung luận văn , phần gồm có nội dung :  Thứ kiến thức GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN  Thứ hai tìm hiểu QHPT  Thứ ba ứng dụng QHPT  Phần 3:Kết luận , hạn chế với hướng phát triển luận văn  Phần 4: Phần phụ lục GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN PHẦN II QUY HOẠCH PHI TUYẾN A Các kiến thức bản: Gradient, ma trận Hessian, Jacobian hàm số GVHD:TRAÀN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Lấy f  R n f có n biến : f  x1 , ., x n  Vectơ đạo hàm cấp f gọi  f  x  f  x    gradient f ta kí hiệu f  x    , ., x n   x1 T Và ma trận đạo hàm f gọi ma trận Hessian đơn giản ta gọi Hessian ta kí hiệu  f ( x) Và ta có cơng thức cụ thể  f ( x)ij 2  f x   xi x j Khi mà hàm f có đạo hàm cấp liên tục ma trận Hessian thường ma trận đối xứng:  f x   f x   x j xi xi x j Ví dụ 1:ta xét hàm số sau: f  x1 , x   x14  x12 x  x1 x 23  x 22 Gradient hàm f  x1 , x   x13  x1 x  x 23   ma trận Hessian hàm f  x    2  x x x x   2   24 x12  x x1  x 22    f ( x)     x1  x 12 x1 x     46  114 42  ,  f  x       72   42  64  Tại điểm x0   2,3 ta có f  x    Bây ta định nghĩa ma trận Jacobi hàmsố Ta đặt  f  x1 , x , , x n     f  x   f x1 , ., x n      f  x , x , , x  n   n n với hàm f i  R , i  1, , n Khi f ma trận có dạng f x ij  Ma trận Jacobi hàm f x f x T f j  x  xi Chú ý cột thứ j ma trận Jacobi gradient f j Ví dụ 2: ta xét hàm số sau :  sin x1  cos x    f  x   f  x1 , x    e x1  x2   4x  x x    GVHD:TRAÀN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Khi :  cos x1  sin x   2  f   3e x1  x2 x e x1  x2  ma trận Jacobi hàm số 12 x  x 14 x x  2   cos x1 3e x1  x2 12 x12  x 22  T  f  x      sin x x e x1  x22 14 x x  2   Tại điểm x  1,2T ,thì ta có :  cos1  sin     cos1 3e T f  x    3e 4e , f  x      sin 4e  40 28    40   80  Nếu toán tối ưu hố gồm có tập hợp ràng buộc tuyến tính Ax  b f  x   Ax  b  ma trận Jacobi số trường hợp f  x   AT ( ma trận Jacobi A) Hàm liên tục ,đóng tập hợp biên Một tập S gọi biên mổi điểm x  S thoả x  M Với S đóng dãy điểm x1 , x , , xi , , xi  S , i lim i  xi  x x  S Một điểm x  S điểm tập S y : y  x     S với   Một tập S mở mổi điểm x  S điểm S Ví dụ : S1  x :  x mở không biên S  x :  x  2 đóng khơng biên S  x :  x biên không mở khơng đóng S1  x :  x  2 đóng biên Nếu f hàm liên tục định nghĩa tập S đóng biên f đạt giá trị cực đại cực tiểu số điểm S có nghĩa có điểm x  S x max  S cho f  x   xS f  x , f  x max   max xS f  x  GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Hệ quả: Đạo hàm cấp hàm tự phù hợp thỏa:  F ( x)h1 , h2 , h2  h1 x h2 x h3 x Chứng minh   F ( x)h1 , h2 , h2  h T  F ( x)h  3/   2 h 3/ x 2h x  h1 x h2 x h3 x (đpcm) b Độ giảm Newton(Newton Decent): Lấy x  S PN hướng Newton F x.Ta định nghĩa độ giảm Newton F x    ( F , x)  PN x Mổi toán chắn giải cách dùng phương pháp hướng giảm Newton Nếu ta định nghĩa hướng Newton PN ta có : x'  x  PN   F , x )  c Sự hội tụ phương pháp giảm Newton (the Damped Nwton Method) Để S biên ,đóng đồng thời tập lồi R n phần khác rỗng Lấy F(x) hàm lồi tự phù hợp S.Với điểm xuất phát x0  S phương pháp giảm Newton định nghĩa qua bước lặp sau:  F ( xi ) 1 F ( xi ) xi  S , i   ( f , xi ) F ( xi 1 )  F ( xi )   ( F , xi )  log1   F , xi  xi 1  xi    98 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG CHƯƠNG 5: ỨNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN DỤNG CỦA QHPT TRONG LĨNH VỰC KINH TẾ Tiêu chuẩn toán kế hoạch hoá tối ưu thừơng làm cực đại lợi nhuận , cực tiểu giá thành, cực tiểu chi phí biến biểu thị khối lượng sản xuất loại sản phẩm khác Trong số ràng buộc có hàm sản xuất đặc trưng cho mối quan hệ sản phẩm chi phí nhân lực Để giải tốn phương pháp QHPT thơng thường giả thiết lợi nhuận , giá thành,chi phí cho đơn vị sản phẩm chi phí riêng cho loại tài nguyên số không phụ thuộc vào khối lượng sản xuất Giả thiết khơng hồn tồn yếu tố thực tế có mối quan hệ với sản lượng sản xuất phụ thuộc vào chi phí mua nguyên vật liệu,chí phí nhân lực… Nếu ta đưa phục thuộc vào hàm mục tiêu làm cho hàm mục tiêu trở nên phi tuyến Sau ta tìm hiểu ứng dụng QHPT tốn tiêu biểu kinh tế ,đó tốn người tiêu dùng va tốn tìm tổ hợp yếu tố đầu vào để có chi phí thấp Bài toán 1: Bài toán người tiêu dùng Hàm hữu dụng : Bất kì loại hàng hố có giá trị giá trị sử dụng đó.Giả sử ta mua loại hàng hoá khác A, B với số lượng tương ứng x1 , x ta có giá trị sử dụng hai loại hàng hoá u  u x1 , x  Hàm u  x1 , x  gọi hàm hửu dụng hai loại mặt hàng A, B Giả sử hàm có đạo hàm riêng liên tục có nghĩa u u  0,  x1 x Bài toán đặt ta mua nhiều loại hàng hố ta nhiều giá trị sử dụng,đồng thời chi phải trả để mua loại hàng hố tăng lên.Nhưng ngân sách ta có hạn nên ta tiêu cho hợp lí Nghĩa phải cân nhắc mua loại mặt hàng với số lượng để có giá trị sử dụng cao điều kiện ngân sách cho trước Với lí ta đưa tốn tìm giá trị sử dụng lớn điều kiện ngân sách cho phép Và ta gọi tốn tốn người tiêu dùng 99 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Giả sử người tiêu dùng muốn sử dụng hết T đơn vị tiền tệ để mua sắm loại mặt hàng A, B với giá tương ứng p1 , p (không đối).Ta có hàm hửu dụng loại mặt hàng u  x1 , x  Trong x1 , x số lượng tương ứng loại mặt hàng trên.Người tiêu dùng phải mua sắm loại mặt hàng với số lượng để có giá trị sử dụng lớn với số tiền phải trả với số tiền có: T  x1 p1  x p Vậy toán người tiêu dùng phát biểu sau: st max u  x1 , x  x1 p1  x p  T x1 , x  Đây dạng tốn tối ưu có điều kiện Ví dụ 1:Một người tiêu dùng muốn mua loại mặt hàng A, B có hàm hữu dụng u  x1 , x    x1  1 x   với x1 , x số lượng tương ứng loại mặt hàng Giá tương ưng p1  ngàn , p  ngàn Số tiền người có T  70 ngàn Hãy tìm số lượng loại hàng hố mà người phải mua để có giá trị sử dụng lớn Giải Ví dụ phát biểu thàng toán người tiêu dùng : max u  x1 , x2    x1  1x2  2 x1  x2  70 st x1 , x2  Hàm Lagrange toán : Lx1 , x ,     x1  1 x     2 x1  x  70  Ta tìm điểm dừng hàm Lagrange từ hệ phương trình:     L  x   2   x  2    x1  L  x1   4   x1  4    x  L  x  x  70   x   24  1  42    70       100 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Với   ta x1  4.5   19, x  2.5   , ta có điểm dừng hệ phương trình x  19,5 2L 2L 2L 2L   ,   nên toán có ma trận Hessian x1x x x1  x1  x 0 1  , det H  1  nên điểm x  19,5 cực đại bái toán H   1 0 Do ta có Vậy người tiêu dùng phải mua 19 hàng hoá A hàng B giá trị sử dụng lớn Ví dụ 2:Một người tiêu dùng muốn mua loại mặt hàng A, B có hàm hữu dụng u  x1 , x   x11 / x12 / với x1 , x số lượng tương ứng loại mặt hàng Giá tương ưng p1  ngàn , p  ngàn Số tiền người có T  40 ngàn Hãy tìm số lượng loại hàng hố mà người phải mua để có giá trị sử dụng lớn Giải Ví dụ phát biểu thàng toán người tiêu dùng : max u x1 , x   x11 / x 12 / 2 x1  x  40 st x1 , x  Hàm Lagrange toán : Lx1 , x ,    x11 / x12 /   2 x1  x  40  Ta tìm điểm dừng hàm Lagrange từ hệ phương trình:    L  x  / x1 /  2   x1  L 1 / /  x x1  5    x 2  L  x  x  40   x   Giải hệ phương trình ta x1  8, x  4.8   0.075 ,vậy ta có điểm dừng hệ phương trình x  8,4.8 2L 2L 2L 2L   ,   nên tốn có ma trận Hessian x1x x x1  x1  x 0 1  , det H  1  nên x  8,4.8 điểm cực đại bái toán H   1 0 Do ta có 101 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN Vậy người tiêu dùng phải mua hàng hố A 4,8 hàng B giá trị sử dụng lớn Bài toán 2:Bài tốn tìm tổ hợp yếu tố đầu vào để có chi phí thấp Xét hàm sản lượng Q  Qx1 , x  phụ thuộc vào hai yếu tố x1 , x (thường vốn lao động) Giả sử chi phí yếu tố thứ v ,1 yếu tố thứ w Thế ta có chi phí cho x1 yếu tố thứ x yếu tố thứ hai x1 v  x w u cầu đặt tìm chi phí nhỏ để sản xuất Q0 sản phẩm ,với yêu cầu d0ó ta lập tốn sao:  x1 v  x w  st Q x1 , x   Q0 Bài toán tốn tìm tổ hợp yếu tố đầu vào để có chi phí thấp Ví dụ 1:Để sản xuất loại sản phẩm người ta sử dụng loại nguyên liệu Mới quan hệ sản lượng Q với loại nguên liệu Q x1 , x   x11 / x12 / Trong x1 , x số lượng loại nguyên liệu Giá nguyên liệu thứ v  ngàn ,còn giá nguyên liệu thứ w  ngàn.Hãy tìm số lượng hai loại ngun liệu để sản xuất sản phẩm cho chi phí thấp Giải Lập mơ hình tốn Ta có chi phí để mua x1 ngun liệu thứ x nguyên liệu thứ x1v  x w  x1  4x Do yêu cầu chi phí thấp nên x1  x  Để sản xuất sản phẩm có nghĩa Q x1 , x   x11 / x12 /   x1 x   Vậy ta có tốn : x1  x  st x1 x   Hàm Lagrange toán : Lx1 , x ,    x1  x    x1 x   Ta tìm điểm dừng hàm Lagrange từ hệ phương trình: 102 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN     L   x2    x2  /    x1  L   x1   x1  /    x  L  x x       x       1   Do x1 , x  nên ta chọn   ,với   ta có x1  1, x  Vậy để sản xuất sản phẩm ta cần nguyên liệu thứ nguyên liệu thứ hai Ví dụ 2:Để sản xuất loại sản phẩm người ta sử dụng loại nguyên liệu Mối quan hệ sản lượng Q với loại nguên liệu Q x1 , x   x11 / x12 / Trong x1 , x số lượng loại nguyên liệu Giá nguyên liệu thứ v  ngàn ,còn giá nguyên liệu thứ w  ngàn Hãy tìm số lượng hai loại nguyên liệu để sản xuất sản phẩm cho chi phí thấp Giải Lập mơ hình tốn Ta có chi phí để mua x1 ngun liệu thứ x nguyên liệu thứ x1v  x w  x1  4x Do yêu cầu chi phí thấp nên x1  x  Để sản xuất sản phẩm có nghĩa Q x1 , x   x11 / x12 /   x1 x   Vậy ta có tốn : x1  x  st x1 x   Giải toán phương pháp nhân tử Lagrange: Hàm Lagrange toán : Lx1 , x ,    x1  x    x1 x   Ta tìm điểm dừng hàm Lagrange từ hệ phương trình: 103 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN     L   x2    x2  /    x1  L   x1   x1  /    x  L  x x       x       1   Do x1 , x  nên ta chọn   ,với   ta có x1  1, x  Vậy để sản xuất sản phẩm ta cần nguyên liệu thứ nguyên liệu thứ hai 104 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN PHẦN III KẾT LUẬN ,HẠN CHẾ VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN CỦA LUẬN VĂN Kết luận Khác với toán QHTT QH lồi , toán QHPT tổng qt miền ràng buộc khơng lồi, có vơ hạn đỉnh Hàm mục tiêu đạt cực trị biên mà miền ràng buộc toán QHPT có số cực tiểu địa phương Chính lí lo mà khơng tồn 105 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN phương pháp chung cho phép giải toán QHPT nào, mà dạng có nhiều phương pháp giải khác Bài toán QHPT toán phổ biến thực tế ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực sống Hạn chế Do thời gian có hạn nên quyễn luận văn tìm hiểu phương pháp giải tiêu biểu đặc trưng toán QHPT với số ứng dụng lĩnh vực kinh tế Do mối quan hệ phi tuyến quan hệ phức tạp nên có tốn QHPT khó giải tay nên phải có chương trình máy tính để giải tốn Hướng phát triển Đi sâu tìm hiểu QHPT mối quan hệ QHPT với toán quy hoạch khác QH tốn học Tìm hiểu tất phương pháp giải toán QHPT , đặc biệt phải tìm hiểu ứng dụng QHPT lĩnh vực khác điều khiển tự động , học xây dựng … 106 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN PHẦN PHỤ LỤC Chương trình MATLAB giải tốn QHPT có ràng buộc: Chương trình phương pháp nhân tử Lagrange với ràng buộc đẳng thức Chương trình áp dụng để tìm cực tiểu hay cực đại hàm hai biến Cụ thể ta có tốn :  min(max) f ( x1 , x )  st hi x   0, i  1,2, Phương pháp gồm bước sau: Lập hàm Lagrange toán : L x1 , x , t   f  x   hi  x , i  1,2 ,với t nhân tử Lagrange tốn Tính đạo hàm cấp biến x1 , x nhân tử Lagrange t Sau giải hệ phương trình sau: 107 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN  L x1 , x , t  0  x1   L x1 , x , t  0  x    L x1 , x , t  0  t Để kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình cực tiểu hay cực đại ta tính ma trận Hessian H Nếu det H   ta nghiệm cực đại Nếu det H   ta nghiệm cực tiểu Các bước làm thể chương trình sau: x1 = sym('x1'); x2 = sym('x2'); t1 = sym('t1'); f = input('nhap ham so: f(x1,x2)='); g = input('nhap ham rang buoc:g(x1,x2)='); disp('lap ham larange:') L = f - t1 * g %tinh dao ham bac disp('dao ham bac cua L theo x1:') dhx1 = diff(L,x1) disp('dao ham bac cua L theo x2:') dhx2 = diff(L,x2) disp('dao ham bac cua L theo t1:') dht1 = diff(L,t1) disp('giai he phuong trinh tren ta co nghiem:') [x1 x2 t1] = solve(dhx1,dhx2,dht1); A = [x1 x2 t1] %tinh dao ham bac disp('dao ham bac cua L theo x1:') dh2x1 = diff(dhx1,1,'x1') disp('dao ham bac cua L theo x2:') dh2x2 = diff(dhx2,1,'x2') disp('dao ham dhx1 theo x2:') dhx1x2 = diff(dhx1,1,'x2') disp('dao ham dhx2 theo x1:') dhx2x1 = diff(dhx2,1,'x1') %disp('dao ham bac cua L theo t1:') %dhx1x2 = diff(dh1x1,1,'x2') disp(' Ma tran Hessian la:') B=[dh2x1 dhx1x2;dhx2x1 dh2x2] disp('Dinh thuc cua ma tran Hessian la:') D=DET(B) if(double(D) > 0) 108 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN x1=A(2) x2=A(3) disp('Ta co diem cuc dai la :') C=[x1 x2] fmax = subs(f) elseif(double(D) < 0) x1=A(2) x2=A(3) disp('Ta co diem cuc tieu:') C=[x1 x2] fmin = subs(f) end Cách chạy chương trình : Sao chép chương trình qua M-file Matlab lưu flie với tên file( đặt tuỳ ý), sau chạy M-file Vd:ta giải tốn sau: max x1  x  x1 x  st x1  x  70 Sau chạy chương trình ta có kết sau: nhap ham so: f(x1,x2)=2*x1+x2+x1*x2+2; nhap ham rang buoc:g(x1,x2)=2*x1+4*x2-70; lap ham larange: L= 2*x1+x2+x1*x2+2-t1*(2*x1+4*x2-70) dao ham bac cua L theo x1: dhx1 = 2+x2-2*t1 dao ham bac cua L theo x2: dhx2 = 1+x1-4*t1 dao ham bac cua L theo t1: dht1 = -2*x1-4*x2+70 109 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN giai he phuong trinh tren ta co nghiem: A = [ 5, 19, 8] dao ham bac cua L theo x1: dh2x1 = dao ham bac cua L theo x2: dh2x2 = dao ham dhx1 theo x2: dhx1x2 = dao ham dhx2 theo x1: dhx2x1 = Ma tran Hessian la: B= [ 0, 1] [ 1, 0] Dinh thuc cua ma tran Hessian la: D= -1 x1 = 19 110 GVHD:TRẦN THỊ THUỲ NƯƠNG SVTH:NGUYỄN VĂN CẨN x2 = Ta co diem cuc tieu: C= [ 19, 8] fmin = 200 >> 111 TÀI LIỆU THAM KHẢO PGS.TS Bùi Minh Trí Quy hoạch tốn học Jean-Jacques Strodiot Nonliear Constrained Optimization –Theoty andAlgorithms Jean-Jacques Strodiot Numerical in Optimization Nguyễn Ngọc Thắng –Nguyễn Đình Hồ.Quy Hoạch Tuyến Tính Stephen G.Nash & Ariela Sofer Linear & Nonliear Programming