Thông tin tài liệu
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : 99 100 C = − + − + + 99 − 100 3 3 3 C< Chứng minh rằng: Bài (5,0 điểm) x, y , z Câu 1: Tìm biết: Câu 2: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: 3x = y = z − 3x − y a + b ab = c + d cd a c = b d với x + y = z − 38 a, b, c, d ≠ c ≠ −d a d = b c Bài (3,0 điểm) Câu 1: Chứng minh với 4n+3 + 4n+ − 4n+1 − 4n Q= Câu 2: Cho 27 − x 12 − x n nguyên dương ta ln có: chia hết cho 300 Tìm số nguyên x Q để có giá trị nguyên ? Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau: H = ( 3x − y ) − ( y − x ) − xy − 24 2 16 ∆ABC AB Bài (5,0 điểm) Cho nhọn Trên nửa mặt phẳng bờ không chứa điểm C AD = AB AC AD AB dựng đoạn thẳng vng góc với Trên nửa mặt phẳng bờ AC AE = AC B AE không chứa điểm dựng đoạn thẳng vng góc với BE = CD 1) Chứng minh rằng: DE , BC MA ⊥ BC M MA 2) Gọi trung điểm tia cắt H Chứng minh AB = c, AC = b, BC = a a, b, c HC 3) Nếu tính độ dài đoạn theo ĐÁP ÁN Bài Biến đổi : 99 100 99 100 1 3C = 3. − + − + + 99 − 100 ÷ = − + − + + 98 − 99 3 3 3 3 3 Ta có: 99 100 99 100 3C + C = 1 − + − + + 98 − 99 ÷+ − + − + + 99 − 100 ÷ 3 3 3 3 3 −2 100 99 100 4C = + + ÷+ − ÷+ − + ÷+ + − 99 + 99 ÷− 100 3 3 3 1 1 100 4C = − + − + − 99 − 100 3 3 Đặt 1 1 D = − + − + − 99 3 3 Ta có: 1 1 3D = 3.1 − + − + − 99 ÷ = − + − + − 98 3 3 Khi đó: 1 1 1 3D + D = − + − + − 98 ÷+ 1 − + − + − 99 ÷ 3 3 3 1 1 1 D = − + − + − 98 + − + − + − 99 3 3 3 1 1 1 D = + ( −1 + 1) + − ÷+ − + ÷+ + − 98 + 98 ÷− 99 3 3 3 3 D = − 99 ⇒ D = − 4.399 Nên ta có: 100 100 3 4C = − 99 ÷− 100 ⇒ 4C = − 99 − 100 4.3 4.3 3 100 25 ⇒ C = − 99 − 100 ÷ = − 99 − 100 4.3 16 3 25 C = − 99 + 100 ÷ 16 3 Ta có: 25 + 100 > 99 3 nên 25 − 99 + 100 ÷ < 16 3 16 C< Vậy 16 Bài 1) Ta có: x + y = z − 38 ⇒ x + y − z = −38 3x = y = z − 3x − y ⇒ 3x = z − 3x − 3x ⇒ x = z ⇒ Vì 3x = y ⇒ Vì x y x y = ⇒ = 20 15 x z x z = ⇒ = (1) 20 36 (2) x y z = = 20 15 36 Từ (1) (2) suy Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x = −2.20 = −40 ⇒ y = −2.15 = −30 x y z 2x + y − z −38 = = = = = −2 z = −2.36 = −72 20 15 36 40 + 15 − 36 19 Vậy x = −40; y = −30; z = −72 a + b2 ab = c + d cd a + b 2ab = c + d 2cd 2) Ta có: nên Áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: a + b 2ab a + b + 2ab a + b − 2ab = = = c + d 2cd c + d + 2cd c + d − 2cd a + ab ) + ( b + ab ) ( a − ab ) + ( b − ab ) ( a + b ) ( a − b ) ( = = = = 2 c + cd + d + cd c − cd + d − cd c + d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (c−d)2 Suy +Với a +b a −b a +b a −b = ÷ = ÷ ⇒ c + d c − d c + d c−d a +b a −b = c+d c−d hoặc: a+b b−a = c+d c−d ( a + b) ( c − d ) = ( a − b) ( c + d ) ⇒ ac − ad + bc − bd = ac + ad − bc − bd ⇒ ab = bc ⇒ +Với a+b b−a = c+d c−d ( a + b) ( c − d ) = ( b − a ) ( c + d ) ⇒ ac − ad + bc − bd = bc + bd − ac − ad ⇒ ac = bd ⇒ Vậy a c = b d a + b ab a c = ( a, b, c, d ≠ 0; c ≠ −d ) ⇒ = 2 c +d cd b d a d = b c Bài n 1) Với nguyên dương, ta có: 4n+3 + 4n+ − 4n+1 − 4n = 4n.( 43 + 42 − − 1) = 4n.75 = 4n−1.4.75 = 300.4n−1 Mà 300.4n−1 chia hết cho 300 (với n nguyên dương) + 4n+ − 4n+1 − 4n Nên chia hết cho 300 x ∈ ¢ , x ≠ 12 2) Điều kiện: n+3 a d = b c Q= Biến đổi: Ta có: Mà 27 − x 2.( 12 − x ) + 3 = =2+ 12 − x 12 − x 12 − x ∈ ¢; x ∈ ¢; x ≠ 12 Q nên có giá trị nguyên ∈¢ 12 − x ∈ ¢ ⇔ 12 − x ∈U (3) = −3; −1;1;3 ⇒ x ∈ 15;13;11;9 { } { } 12 − x Vậy Q nguyên x ∈ { 15;13;11;9} Bài Ta có: H = ( 3x − y ) − ( y − x ) − xy − 24 2 = ( 3x − y ) − 4.( y − x ) − xy − 24 = ( x − y ) − ( x − y ) − xy − 24 2 = −3.( x − y ) = − 3.( x − y ) + xy − 24 ] 2 3.( x − y ) ≥ 0∀x, y; xy − 24 ≥ 0∀x, y Ta có: 3.( 3x − y ) + xy − 24 ≥ Do đó: Nên Hay Dấu − 3.( 3x − y ) + xy − 24 ≤ ∀x, y H ≤0 "=" xảy : 3x − y = ⇒ 3x = y ⇒ Với ∀x, y 3x − y = x y = xy − 24 = 0(1) Đặt x y = = k ⇒ x = 2k ; y = 3k Thay Với x = k , y = 3k vào (1) ta được: x = 2.2 = k =2⇒ x = 3.2 = Vậy giá trị lớn H k = 2k 3k − 24 = ⇔ k = −2 ; với x = −4 k = −2 ⇒ y = −6 x = 4; y = 0⇔ x = −4; y = −6 Bài · · · DAC = DAB + BAC AB AD, AC ) 1) Ta có: (vì tia nằm hai tia · · · DAC = 900 + BAC (1) BAD = 900 AB ⊥ AD Mà (Vì A) nên ·BAE = CAE · · AB, AE ) + BAC AC Ta có: (vì tia nằm hai tia · · · BAE = 900 + BAC (2) CAE = 900 AE ⊥ AC Mà (Vì A) nên Từ (1) (2) suy Xét ∆ABE Do · · BAE = DAC · · AB = AD( gt ); BAE = DAC (cmt ); AE = AC ( gt ) ∆ADC có: ∆ABE = ∆ADC (c.g.c) ⇒ BE = CD (hai cạnh tương ứng) N MA 2) Trên tia đối tia lấy điểm cho M trung điểm AN DF MA Từ D kẻ vng góc với F MN = MA( ∆MDN ∆MAE Xét có: vẽ thêm); ·AME = DMN · ( cmt ) ; ME = MD( gt ) ⇒ ∆MAE = ∆MND(c.g.c) AE = DN · · NDM = MEA Suy · · · AE / / DN ⇒ ·ADN + DAE = 1800 ( NDM MEA Mà vị trí so le nên phía) (3) · · · · DAE + DAB + BAC + EAC = 3600 Ta lại có : · · · · DAE + BAC = 1800 (do DAB = EAC = 900 ) (4) Hay · ⇒ ·ADN = BAC Từ (3) (4) AE = DN (cmt ); AE = AC ( gt ) AC = DN Ta có: nên · AB = AD ( gt ); ·ADN = BAC (cmt ); AC = DN (cmt ) ∆ABC ∆DAN Xét có: · · ⇒ ∆ABC = ∆DAN (c.g.c) ⇒ DNA = ·ACB DNF = ·ACB hay · · · DAF + BAD + BAH = 1800 ( F , A, H Ta có: thẳng hàng) · · · DAF + BAH = 900 Do BAD = 900 ( Hay Trong ∆ADF vng F có ) (5) ·FDA + DAF · = 900 ( hai góc phụ nhau) (6) · · ⇒ FDA = BAH Từ (5), (6) ·ADN = NDF · · + FDA DF Ta có: (vì tia nằm hia tia DA, DN) · · · AB, AC ) BAC = HAC + BAH AH (vì tia nằm hai tia ·ADN = BAC · · · · · ; FDA = BAH (cmt ) NDF = HAC Mà nên · · · NDF = HAC (cmt ); AC = DN (cmt ); DNF = ·ACB (cmt ) ∆AHC ∆DFN Xét có: · · ⇒ ∆AHC = ∆DFN ( g c.g ) ⇒ DFN = ·AHC DFN = 900 DE ⊥ MA mà (vì F) ·AHC = 90 ⇒ MA ⊥ BC dfcm) Nên H ( ∆AHB, ∆AHC MA ⊥ BC 3) H nên vuông H HC = x ⇒ HB = a − x Đặt (vì H nằm B C) AHB, AHC Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng ta có: 2 2 2 AH = AC − CH AH = AB − BH ⇒ AB − BH = AC − CH ⇒ c − ( a − x ) = b − x HC = x = Từ tìm được: a + b2 − c 2a ... = 4n .75 = 4n−1.4 .75 = 300.4n−1 Mà 300.4n−1 chia hết cho 300 (với n nguyên dương) + 4n+ − 4n+1 − 4n Nên chia hết cho 300 x ∈ ¢ , x ≠ 12 2) Điều kiện: n+3 a d = b c Q= Biến đổi: Ta có: Mà 27 − x... y = −2.15 = −30 x y z 2x + y − z −38 = = = = = −2 z = −2.36 = ? ?72 20 15 36 40 + 15 − 36 19 Vậy x = −40; y = −30; z = ? ?72 a + b2 ab = c + d cd a + b 2ab = c + d 2cd 2) Ta có: nên Áp dụng
Ngày đăng: 28/10/2022, 22:02
Xem thêm:
