ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 Bài (4 điểm) 3 1 11 13 A 5 5 5 11 13 a) Tính b) Cho số x, y, z số khác thỏa mãn điều kiện: yz x zx y x y z x y z , tính giá trị biểu thức: x y z B y z x Bài (4 điểm) x y x xz 0 a) Tìm x, y, z biết: n 2 n 2 n n b) CMR: với n nguyên dương Bài (4 điểm) Một thảo sách dày 555 trang giao cho người đánh máy Để đánh máy trang người thứ cần phút, người thứ hai cần phút, người thứ cần phút Hỏi người đánh máy trang thảo, biết người làm từ đầu đến đánh máy xong Bài (6 điểm) Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Trên tia đối tia MA lấy điểm E cho ME MA Chứng minh rằng: a) AC EB, AC / / BE b) Gọi I điểm AC , K điểm EB cho AI EK Chứng minh I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC Bieetss HBE 50 , MEB 25 Tính HEM BME 36 y 8 x 2010 x , y Bài (2 điểm) Tìm biết: ĐÁP ÁN Bài a) A 3 1 3 11 13 5 5 1 5 11 13 7 1 1 11 13 1 5 1 11 13 3.135 3.135 7.11.13 189 1289 4.11.13 5.129 4.11.13 5.129 172 860 7.11.13 yz x zx y x y z yz zx x y 1 1 1 x y z x y z b) Ta có: y z z x x y 2 x y z 2 x y z xyz x y z xy yz zx B y z x y z x x y zx yz 2.2.2 8 z y x Vậy B 8 Bài 2 y x xz 0 a) , áp dụng tính chất A 0 1 x 0 x x 2 2 y 0 y 0 y 3 x xz 0 x x z 0 z x x b) Ta có: 3n2 2n2 3n 2n 3n2 3n 2n2 2n 3n 32 1 2n 22 1 3n.10 2n.5 10. 3n 2n Vì 10. 3n 2n chia hết cho 10 với n nguyên dương nên ta có dfcm Bài Gọi số trang người thứ nhất, thứ 2, thứ đánh máy theo thứ tự x, y , z Trong thời gian, số trang sách người đánh tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong1 trang; tức số trang người đánh tỉ lệ nghịch với 5;4;6 1 x : y : z : : 12 :15 :10 Do ta có: Theo tính chất dãy tỉ số nhau, ta có: x y z xyz 555 15 12 15 10 12 15 10 35 x 180; y 225; z 150 Vậy số trang sách người thứ nhất, thứ hai, thứ ba là: 180,225,150 Bài A I H B M C K E a) Xét AMC EMB có: AM EM ( gt ); AMC EMB (đối đỉnh); BM MC ( gt ) nên AMC EMB(c.g c) AC EB b) Vì AMC EMB MAC MEB , mà góc vị trí so le \ Suy AC / / BE Xét AMI EMK có: AM EM ( gt ); MAI MEK (AMC EMB) Nên AMI EMK mà AMI IME 180 (kề bù) EMK IME 1800 I , M , K thẳng hàng 900 BHE H c) Trong có HBE 50 HBE 900 HEB 900 500 400 HEM HEB MEB 400 250 150 BME góc ngồi đỉnh M HEM 0 Nên BME HEM MHE 15 90 105 (định lý góc tam giác) Bài 2 36 y x 2010 y x 2010 36 Ta có: Vì y 0 x 2010 36 x 2010 36 Vì x 2010 x , x 2010 số phương nên x 2012 y 2 x 2010 y x 2008 y 2(ktm) x 2010 4 x 2010 1 x 2010 1 y 28( ktm) y 6 x 2010 0 x 2010 0 x 2010 y 36 y 6( ktm) Vậy x; y 2012;2 ; 2008;2 ; 2016;6