ĐỀ 20
Câu I :(3đ)
a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
A = x
3
+8x
2
+ 19x +12 . B = x
3
+6x
2
+11x +6 .
b) Rút gọn phân thức :
6
11
6
12198
23
23
x
x
x
xxx
B
A
.
Câu II : (3đ) .
1 ) Cho phương trình ẩn x.
.2
2
2
a
x
x
x
ax
a) Giải phương trình với a = 4.
b) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = -1 làm nghiệm.
2 ) Giải bất phương trình sau : 2x
2
+ 10x +19 > 0.
Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên
AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và
AD , K là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD.
a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên
IB.
b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I.
Câu IV : (1đ) .Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :
yx
2
+yx +y =1.
ĐÁP ÁN
Bài I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1đ)
B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1đ)
2)
2
4
)3)(2)(1(
)4)(3)(1(
x
x
xxx
xxx
B
A
(1đ)
Bài II :1) . Phương trình
2
)(
)2(
)2(
)(
ax
x
x
ax
(1)
Điều kiện: x
-2 và x
a.
(1)
x
2
– a
2
+ x
2
– 4 = 2x
2
+ 2(2- a)x – 4a
– a
2
- 4 + 4a = 2(2- a)x
- (a - 2)
2
= 2(a - 2)x (*)
a) với a =4 thay vào (*) ta có :
4 =4x
x=1 (1đ)
b) . Thay x= -1 vào (*) ta được.
(a – 2 )
2
+ (a - 2)= 0
(a - 2) (a – 2 + 2) = 0
a = 2
a = 0 (1đ)
2) . Giải bất phương trình :
2x
2
+ 10x + 19 > 0 (1)
Biến dổi vế trái ta được.
2x
2
+ 10x + 19 = 2x
2
+ 8x +8 + 2x +4 +7
=2(x
2
+ 4x +4) + 2(x +2) + 7
= 2(x + 2)
2
+2(x + 2) + 7
= (x + 3)
2
+ (x + 2)
2
+ 6 luôn lớn hơn 0 v
ới mọi x
Nên bất phương trình (1) Nghiệm đúng với
x . (1đ)
Bài III .
AP // DQ
Xét tam giác IDQ có . AP =
2
1
DQ
Theo định lý Ta Lét trong tam giác ta có : (0,75đ )
AIADIDIA
AQ
AP
ID
IA
2
2
1
Tam giác BID là tam giác vuông tại B vì AO
DB và AO là đường trung
bình của
BID
Điểm K là trung điểm của IB. (Do DK là đường trung tuyến của
BID ) .
(0,75đ)
b). Với B và D cố định nên đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định.
Mặt khác AC BD , BI DB và vai trò của A và C là như nhau . Nên quỹ tích của A
là đường thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là
đường thẳng đi qua B và vuông góc với BD trừ điểm B.
(1đ)
Đảo: Với A và I chạy trên các đường đó và AD = AI .Thì AP =
2
1
AB và CQ =
3
1
CD.
Thật vậy : Do AP // DQ suy ra
DQAP
AQ
AP
ID
IA
2
2
1
mà AB = CD
ĐPCM.
(0,5đ)
Bài IV: y x
2
+ y x + y = 1 . (1)
Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0.
(1) y(x
2
+ x +1) = 1
y= 1
y = 1 ,x= 0
x
2
+ x +1 =1
Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1). (1đ)
===================================
. được.
2x
2
+ 10x + 19 = 2x
2
+ 8x +8 + 2x +4 +7
=2( x
2
+ 4x +4) + 2( x +2) + 7
= 2( x + 2)
2
+2( x + 2) + 7
= (x + 3)
2
+ (x + 2)
2
+ 6 luôn. trình
2
)(
)2(
)2(
)(
ax
x
x
ax
(1)
Điều kiện: x
-2 và x
a.
(1)
x
2
– a
2
+ x
2
– 4 = 2x
2
+ 2( 2- a)x – 4a
– a
2
- 4