Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 8 Toán 2013 - Phần 2 - Đề 26 docx

ĐỀ 20 Câu I :(3đ) a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x 3 +8x 2 + 19x +12 . B = x 3 +6x 2 +11x +6 . b) Rút gọn phân thức : 6 11 6 12198 23 23      x x x xxx B A . Câu II : (3đ) . 1 ) Cho phương trình ẩn x. .2 2 2       a x x x ax a) Giải phương trình với a = 4. b) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x = -1 làm nghiệm. 2 ) Giải bất phương trình sau : 2x 2 + 10x +19 > 0. Câu III (3đ): Trong hình thoi ABCD người ta lấy các điểm P và Q theo thứ tự trên AB và CD sao cho AP = 1/ 3 AB và CQ = 1/ 3 CD. Gọi I là giao điểm của PQ và AD , K là giao điểm của DP và BI , O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh AD = AI , cho biết nhận xét về tam giác BID và vị trí của K trên IB. b) Cho Bvà D cố định tìm quỹ tích của A và I. Câu IV : (1đ) .Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau : yx 2 +yx +y =1. ĐÁP ÁN Bài I : 1) A = (x+1) ( x+3) (x +4) (1đ) B = (x +1 ) ( x+ 2) ( x + 3) (1đ) 2) 2 4 )3)(2)(1( )4)(3)(1(         x x xxx xxx B A (1đ) Bài II :1) . Phương trình 2 )( )2( )2( )(       ax x x ax (1) Điều kiện: x  -2 và x  a. (1)  x 2 – a 2 + x 2 – 4 = 2x 2 + 2(2- a)x – 4a  – a 2 - 4 + 4a = 2(2- a)x  - (a - 2) 2 = 2(a - 2)x (*) a) với a =4 thay vào (*) ta có : 4 =4x  x=1 (1đ) b) . Thay x= -1 vào (*) ta được. (a – 2 ) 2 + (a - 2)= 0  (a - 2) (a – 2 + 2) = 0 a = 2  a = 0 (1đ) 2) . Giải bất phương trình : 2x 2 + 10x + 19 > 0 (1) Biến dổi vế trái ta được. 2x 2 + 10x + 19 = 2x 2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2(x 2 + 4x +4) + 2(x +2) + 7 = 2(x + 2) 2 +2(x + 2) + 7 = (x + 3) 2 + (x + 2) 2 + 6 luôn lớn hơn 0 v ới mọi x Nên bất phương trình (1) Nghiệm đúng với  x . (1đ) Bài III . AP // DQ Xét tam giác IDQ có . AP = 2 1 DQ Theo định lý Ta Lét trong tam giác ta có : (0,75đ ) AIADIDIA AQ AP ID IA  2 2 1 Tam giác BID là tam giác vuông tại B vì AO  DB và AO là đường trung bình của  BID Điểm K là trung điểm của IB. (Do DK là đường trung tuyến của  BID ) . (0,75đ) b). Với B và D cố định nên đoạn DB cố định.Suy ra trung điểm O cố định. Mặt khác AC BD , BI DB và vai trò của A và C là như nhau . Nên quỹ tích của A là đường thẳng đi qua O và vuông góc với BD trừ điểm O.Quỹ tích của điểm I là đường thẳng đi qua B và vuông góc với BD trừ điểm B. (1đ) Đảo: Với A và I chạy trên các đường đó và AD = AI .Thì AP = 2 1 AB và CQ = 3 1 CD. Thật vậy : Do AP // DQ suy ra DQAP AQ AP ID IA  2 2 1 mà AB = CD  ĐPCM. (0,5đ) Bài IV: y x 2 + y x + y = 1 . (1) Nếu phương trình có nghiệm thì x ,y > 0. (1) y(x 2 + x +1) = 1  y= 1  y = 1 ,x= 0 x 2 + x +1 =1 Vậy nghiệm của phương trình trên là (x,y) = (0 ,1). (1đ) =================================== . được. 2x 2 + 10x + 19 = 2x 2 + 8x +8 + 2x +4 +7 =2( x 2 + 4x +4) + 2( x +2) + 7 = 2( x + 2) 2 +2( x + 2) + 7 = (x + 3) 2 + (x + 2) 2 + 6 luôn. trình 2 )( )2( )2( )(       ax x x ax (1) Điều kiện: x  -2 và x  a. (1)  x 2 – a 2 + x 2 – 4 = 2x 2 + 2( 2- a)x – 4a  – a 2 - 4