Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 9 Toán 2013 - Phần 2- Đề 18 potx

ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (5 điểm): a) Cho a và b là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện: 2 2 7 a b M . Chứng minh rằng a và b đều chia hết cho 7. b) Cho A = n 2012 + n 2011 + 1 Tìm tất cả các số tự nhiên n để A nhận giá trị là một số nguyên tố. Câu 2 (4.5 điểm) a) Giải phương trình: 4 1 5 2x x x x x x      b) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn: xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 yz zx xy M x y z    Câu 3 (4.5 điểm) a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6. Chứng minh rằng: 2 2 2 3 x y z    b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 2 2 2 2 2 2 a b c P a b b c c a       Câu 4 (6.0 điểm) Cho đường tròn (O;R) và một dây BC cố định không đi qua O. Từ một điểm A bất kỳ trên tia đối của tia BC vẽ các tiếp tuyến AM. AN với đường tròn ( M và N là các tiếp điểm, M nằm trên cung nhỏ BC). Gọi I là trung điểm của dây BC, đường thẳng MI cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P. a) Chứng minh rằng: NP song song với BC. b) Gọi giao điểm của đường thẳng MN và đường thẳng OI là K. Xác định vị trí của điểm A trên tia đối của tia BC để tam giác ONK có diện tích lớn nhất. Hết ĐỀ CHÍNH THỨC ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN 2012 Câu 1:a) Nhận xét: nếu a không chia hết cho 7 thì a 2 chia cho 7 dư 1,2,4 thực vậy khi a không chi hết cho 7 thì a có dạng a=7k  1,a=7k  2,a=7k  3 từ nhận xét trên *) nếu a không chia hết cho 7 và b không chia hết cho 7 thì a 2 +b 2 chia cho 7 dư là 2,3,4,6 ( 1) *)Nếu a M 7 và b không chia hết cho 7 thì a 2 +b 2 không chia hết cho 7 (2) *)Nếu a không chia hết cho 7 và b M 7 thì a 2 +b 2 không chia hết cho 7(3) Từ (1), (2) và (3) suy ra a và b phải chia hết cho 7 b) A = n 2012 + n 2011 + 1 Nếu n=0 => A = 1(loại) Nếu n = 1 => A =3( thoả mãn) Nếu n > 1 thì A> 3 Xét A = n 2012 + n 2011 + 1 => A=[(n 670 ) 3 -1]n 2 + [(n 670 ) 3 -1]n +n 2 + n + 1 => A M ( n 2 + n + 1) mà A> n 2 + n + 1 nên A là hợp sô Vậy n= 1 thì A nhận giá trị là một số nguyên tố. Bài 2:a) 4 1 5 2 4 1 5 2 0 x x x x x x x x x x x x            Đặt 1 0 5 2 0 u x x v x x       => u 2 -v 2 = 4 x x  Thay vào phương trình ban đầu ta có : u 2 -v 2 +u-v=0 <=> (u-v)(u+v+1)=0 <=> u-v=0 ( vì u+v+1>0) =>x=2 hoặc x=-2 bằng cách thử trưc tiếp ta thấy x= 2 thoả mãn bài toán b)nhận xét nếu a+b+c=0 thì a 3 +b 3 +c 3 =3abc áp dụng nhận xét trên vào biểu thức M ta có 3 3 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3( ) 3 ( ) ( ) yz zx xy yz yx xz xyz M x y z xyz xyz         Bài 3:a) Từ x 2 +1  2x y 2 +1  2y z 2 +1  2z 2(x 2 +y 2 +z 2 )  2(xy+yz+xz) ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 3 cộng các BĐT trên ta có 3(x 2 +y 2 +z 2 )+3  2(x+y+z+xy+yz+xz) => 2 2 2 3 x y z    (ĐPCM) b)Xét 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a ab ab b a a a a b a b ab         Tương tự: 3 2 2 2 b c b b c    , 3 2 2 2 c a c c a    cộng BĐT trên ta có 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 a b c a b c P a b b c c a           vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3/2 khi a=b=c=1 Câu 4: K I C O P N B M A Câu a) Ta có 5 điểm A,M,I,O,N thuộc cùng một đường tròn bán kính OA => · · ¼ 1 ( ) 2 AIM AMO sd AM   (1) Mặt khác · · 2 NOM AOM  mà · · 2 AOM NPM  (2) từ (1) và (2) => · · AIM NPM  => BC//NP Câu b: S OKN =1/2OK.KN 2 2 2 1 2 2 4 OK ON R    Vậy điện tích lơn nhất của tam giác ONK là R 2 /4 khi MO = MA . Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn thi: TOÁN - BẢNG A. có diện tích lớn nhất. Hết ĐỀ CHÍNH THỨC ST: Phạm Văn Vượng- NBS-HH-Thanh Hoá 2 ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN 2012 Câu 1:a)