Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2001 M«n Gi¶i tÝch Ngµnh To¸n §Ò sè 1 Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u[.]
Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho chi hµm: ∞ ∑ ( −1) n ( x − 1) n (1) 3n a) T×m miỊn hội tụ chuỗi (1) b) Tính tổng chuổi (1) kho¶ng héi tơ cđa nã nÕu x y cos Câu Cho hàm sè f ( x, y ) = x 0 x = a) Tìm tất điểm gián đoạn f b) Tập điểm gián đoạn f không đóng R2 mở tập {(0, y ) : y ∈ ¡} n =1 Câu Cho dÃy hàm [nx ] x ∈ [0,1] f n (x ) = n , n = 1,2, K 0 nÕu x ∉ [0,1] Chøng minh r»ng a) lim f n ( x ) = x víi ∀x ∈ [0,1] x →∞ If n tích phân Lơbe f n R, [nx ] phần nguyên nx x Câu Giả sử l tập tất cá dÃy số thực bị chặn ; c0 tập tất dÃy số thực hội tơ tíi a) Chøng minh r»ng c«ng thøc x = sup xn víi x = {x n } ∈ l xác định chuẩn l b) lim If n = n∈N b) Chøng minh r»ng c0 không gian đóng l với chn nãi trªn ∞ xn , víi mäi x = {x n } ∈ n n =1 l∞ , H·y chøng minh r»ng f lµ mét phiÕm hµm tuyÕn tính, liên tục l tính f c) Cho ánh xạ f : l R xác định công thức f ( x ) = Câu Giả sử E không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B hình cầu đơn vị đóng E Chøng minh r»ng víi mäi x ∈ E, tồn y B cho xy = d(x, B)