Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Trêng §¹i häc Vinh Céng hßa x héi chñ nghÜa ViÖt Nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc §Ò thi tuyÓn sinh cao häc n¨m 2004 M«n Gi¶i tÝch Ngµnh To¸n Thêi gian lµm bµi 180 phót C©u 1 Cho hµ[.]
Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho hàm số x2 y ln 1 + nÕu y ≠ f ( x, y ) = y 0 nÕu y = Chøng minh r»ng a) f xy'' ( x, y ) f ỹ'' ( x, y ) khôgnliên tục điểm (0,0) b) f xy'' (0,0) = f yx'' (0,0) Câu a) Tìm miền hội tụ chuỗi hàm b)Tính tổng chuỗi hàm n 2n x sin ( x + nπ ) ∑ n =1 n ∞ ∑ n(n + 1)x n− miỊn héi tơ cđa nã n= C©u Giả sử (X, d) không gian mêtric , f : X X ánh xạ liên tục Chøng minh r»ng a) TËp hỵp A = {x ∈ X : f ( x ) = x} đóng b) NÕu X lµ tËp compact vµ A ≠ φ tồn số c>0 cho d ( f ( x ), x ) ≥ x víi mäi x X Câu Giả sử { f n } dÃy hàm đo A A cho hàm f n =1 n khả tíc A f n =1 A n ∞ ∑∫ n =1 A f n dµ < +∞ Chøng minh ∞ dµ ∫ ∑ f n dµ A n =1 Câu Kí hiệu C [20 ,1] không gian tuyến tính hàm khả vi liên tục đến cấp hai đoạn [0,1] Với x C [20 ,1] ta đặt x = x(0 ) + x' (1) + max t∈[0,1] x' ' (t ) a) Chøng minh công thức xác định chuẩn C [20,1] ; b) Chøng minh r»ng to¸n tư A: C [20 ,1] → C [20 ,1] cho bëi c«ng thøc Ax(t ) = x' (t ) + x ' ' (t ) víi mäi x ∈ C [20,1] , t [0,1] tuyến tính không liên tục