Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho hàm số xác định R2 ½ f (x; y) = y4 x 2+ y2 nÕu x + y2 > nÕu x + y2 = Chøng minh r»ng a) f (x; y) có đạo hàm riêng liên tục 00 00 b) f x y (0; 0) = f (0; 0) Câu Cho f : R ! R ánh xạ liên tục Đặt ẵ(x; y) = jf (x) ¡ f (y)j víi mäi x; y R Chøng minh a) ẵ(x; y) mêtric R f đơn ánh b) (R; ẵ) không gian mêtric đầy đủ f (R) đóng R với mêtric thông thường Từ suy với ẵ(x; y) = jar ctgx Ă ar ctgyj (R; ẵ) không gian mêtric không đầy đủ Câu Chứng minh không gian C[a;b] hàm số liên tục [a; b] khả ly với mêtric d(x; y) = max jx(t) ¡ y(t)j , 8x; y C[a;b] t [a;b] Câu Cho X không gian định chuẩn n chiều Chứng minh không gian liên hợp X Ô không gian định chuẩn n chiều đồng phôi tuyến tính với X Câu Giả sử E = C[0;1] không gian Banach với chuẩn kxk = sup jx(t)j , t [0;1] F không gian E gồm hàm số có đạo hàm liên tục [0; 1] Xét ánh xạ A : F ! E cho bëi A(f ) = f Chøng minh r»ng a) K er A = A ¡ (0) không gian đóng F A có đồ thị đóng b) A không liên tục Nếu F xác định chuẩn kxk = max jx(t)j + max jx 0(t)j ; 8x F , h·y t2 [0;1] t [0;1] chøng minh r»ng A toán tử tuyến tính liên tục Tính kAk Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn §éc lËp - Tù - H¹nh §Ị thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.Cho G lµ mét nhãm Xyclic cÊp n sinh bëi phần tử a H nhóm G a) Chøng minh r»ng H lµ nhãm Xyclic vµ H cã mét mét phÇn tư sinh ad víi d ước số dương n b) Cho q ước số dương n Chøng minh r»ng G cã nhÊt mét nhãm cấp q c) Cho m k số nguyên dương Xét nhóm cộng Z m quy tắc tưng ứng ' từ Z m vào G cho bëi ' (t) = at k , víi mäi t Z m Chøng minh r»ng ' lµ mét ®ång cÊu nhãm vµ chØ km chia hÕt cho n d) Xác định tự đồng cấu, tự đẳng cấu nhóm Z 15 Câu a) Cho R vành giao hoán có đơn vị I lµ mét Ideal cđa R Chøng minh r»ng J Ideal nguyên tố R/J miền nguyên b) Chứng minh số nguyên dương n số nguyên tố Z n lµ mét trêng c) Chøng minh r»ng trêng Z n , víi mäi x; y Z n , ta cã x + y = x n + yn = (x + y) n : C©u Ký hiƯu V = M (2; R) vµ cho A V a) Chứng minh ánh xạ ' A : V ! V cho bëi X ! AX ¡ X A víi mäi X V lµ mét tù ®ång cÊu tuyÕn tÝnh cña V b) Chøng minh r»ng ' A không đơn cấu với A V Câu Giả sử V không gian vectơ Euclide hữu hạn chiều W1 ; W2 Ă! không gian vectơ V Giả sử với Ă!v W2 ; Ă!v = ; tồn vectơ Ă!x W1 cho tÝch v« híng h¡!v ; ¡!x i = Chøng minh r»ng dim W2 ¸ dim W1 Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu Cho hàm số hai biến số: ẵ Ă e x + y nÕu x + y2 > f (x; y) = nÕu x + y2 = Tính đạo hàm riªng (x; y) R2 @f @f ; @x @y xét tính khả vi hàm số f điểm Câu Cho hàm số f : [0; 1] ! R xác đinh sau: x Q (x + 1) f (x) = x2 e nÕu x 2Q XÐt tÝnh kh¶ tÝch Riemann khả tích Lebesgue hàm số [0; 1] tính tích phân tương ứng tồn ẵ Câu Giả sử (X ; ẵ) không gian mêtric Xét d : X Ê X ! d(x; y) = ½( x ;y) 1+ ½( x;y) [0; + ) , Chøng minh r»ng (X ; ẵ) không gian mêtric Câu Kí hiệu C[0;1] không gian vectơ gồm tất hàm số liªn tơc trªn [0; 1] Víi x C[0;1] , ®Ỉt kxk = max jx(t)j t [0;1] Chứng minh (C[0;1] ; k:k) không gian Banach R1 Định nghĩa ánh xạ A : C[0;1] ! C[0;1] , (Ax)(t) = sin(t + s):x(s)ds; víi x C[0;1] , t [0; 1] Chøng minh A ánh xạ tuyến tính liên tục tính chuẩn A Câu Giả sử X không gian định chuẩn Y không gian ®ãng cđa X víi ; = Y = X vµ cho < t < Chøng minh với y Y , tồn x X víi kxk = cho kx ¡ yk > t Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2004 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu Với số nguyên dương n 2, ký hiệu Pn không gian vectơ đa thức thuộc R[x] có bậc n, ®ã R lµ trêng sè thùc Chøng minh r»ng với a R, hệ vectơ f 1; (x ¡ a); :::; (x ¡ a) n g lµ mét sở Pn Cho ánh xạ â : Pn ! Pn Ă xác định â(f (x)) = f 0(x) , víi mäi f (x) Pn , f 0(x) đa thức đạo hàm f (x) a) Chứng minh â ánh xạ tuyến tính b) Xác định ma trận A â cặp sở f 1; (x Ă a); :::; (x ¡ a) n g vµ f 1; x; :::; x n ¡ g, víi a R cho trước c) Xác định hạng ma trận A Câu Cho V không gian vectơ hữu hạn chiều trường K, f : V ! V phép biến đổi tuyến tính Chứng minh Imf = Imf vµ chØ V = K er f © Imf C©u Cho G = hai lµ mét nhãm Cyclic cÊp n sinh bëi a a) Chøng minh r»ng víi k lµ mét sè nguyên bất kỳ, cấp phần tử ak ®ã d = (n; k) b) Cho n = p2, với p số nguyên tố HÃy xác định số phần tử sinh nhóm G â ê C©u Ký hiƯu D = m j m, n Z; n số lẻ , Z tập hợp số n nguyên Chứng minh D vành với phép toán cộng nhân số hữu tỷ n , d Câu Cho p số nguyên tố p(x) = x p¡ + x p¡ + ::: + x + Q[x], Q trường số hữu tỷ 1.Chứng minh p(x) đa thức bất khả quy Q Gọi ® C lµ mét nghiƯm cđa p(x) XÐt t¬ng øng: ' : Q[x] ! C f (x) ! f (đ) Chứng minh rằng: a) ' ®ång cÊu vµnh b) B = f a0 + a1® + ::: + ap¡ ®p¡ ja0; a1 ; :::apĂ phép toán cộng nhân số phức 2 Q g trường với Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Ngành: Toán học Môn thi: Giải tích Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.Trên tập hợp số thực R, ta đặt d(x; y) = jar ctgx ¡ ar ctgyj ; 8x; y R Chứng minh a) d mêtric R b) (R; d) không gian mêtric không đầy đủ Chứng minh ánh xạ từ không gian mêtric N tập hợp số tự nhiên với mêtric thông thường) vào không gian mêtric Y liên tục Điều không thay N không gian mêtric rời rạc Câu Cho L không gian véctơ ánh xạ Lipschitz từ [0; 1] đến R đặt E = C 1([0; 1]; R) a) Chøng minh r»ng k:k : L ! xác định 8f L ; kf k = jf (0)j + sup (x;y)2 [0;1]2 ;x =y jf (x) ¡ f (y)j jx ¡ yj lµ chuẩn L, chuẩn không tương đương víi kf k1 = sup jf (t)j t2 [0;1] b) Chøng minh r»ng N : E ! x¸c ®Þnh bëi 8f E ; N (f ) = jf (0)j + sup jf 0(t)j lµ mét chuÈn E chuẩn trùng với k:k t2 [o;1] Câu Cho E = C([0; 1]; R) trang bị chuẩn k:k1 ánh xạ T : E ! xác định sau: Rx 8f E ; 8x [0; 1]; (T (f ))(x) = f (t)dt: E Chứng minh T ánh xạ tuyến tính liên tục tính kTk Câu Giả sư ½ xy nÕu x + y2 = jx j+ jyj f (x; y) = 2 nÕu x + y = Chøng minh r»ng khắp nơi hình vuông A = [Ă 1; 1] Ê [Ă 1; 1] hàm f có đạo hàm riêng, đạo hàm riêng bị chặn A không kh vi 0; 0) Câu Giả sử f hàm đo đoạn [a; b] vµ cã mét sè M > vµ < ® < cho jf (x)j > = jx ¡ Mx j ® víi a < x < b H·y chøng minh f kh¶ tÝch Lebesgue [a; b] Câu Cho M không gian véctơ không gian định chuẩn E trường â T ánh xạ tuyến tính từ M vào E Giả sử có đ â (đI d + T) song ánh từ E vào E (đI d + T ) Ă liên tục E, ánh xạ I d ánh xạ đồng Chứng minh đồ thị T tập đóng E Ê E Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1 Cho k, n số nguyên dương lớn f : Rn ! Rn phép biến đổi tuyến tính thoả mÃn f k = Đặt g : Rn ! Rn cho bëi g(x) = x ¡ f (x); 8x Rn Chøng minh r»ng g lµ tự đẳng cấu Rn Ký hiệu M (n; R) không gian tuyến tính ma trËn thùc vu«ng cÊp n Pn Víi A = (ai j ) M (n; R) , đặt Tr (A) = i vÕt cña ma trËn A) i= a) Chứng minh ánh xạ v : M (n; R) ! R2 xác định bởi: v(A) = (T r (A); a11 ); 8A = (ai j ) M (n; R) ánh xạ tuyến tính b) Tính sốư chiều hạt nhân K er (v) c) Víi n = h·y chØ mét c së không gian K er (v) xác định không gian bï cđa K er (v) kh«ng gian M (n; R) C©u Cho nhãm G víi phép toán nhân A; B nhóm chn t¾c cđa G cho A \ B = f ege đn vị nhóm G) G sinh A [ B Mỗi phần tử x G biểu diễn dạng x = ab; a A; b B vµ biĨu diƠn G đẳng cấu với nhóm tích trùc tiÕp A £ B cđa hai nhãm A vµ B Nếu A B nhóm Cyclic cÊp tng øng lµ m vµ n cho (m; n) = G nhóm Cyclic Câu Cho R vành giao hoán có đn vị khác Ideal P = R R gọi cực đại R không chứa Ideal Q = R cho P ẵ Q; P = Q.Chứng minh khẳng định sau: Ideal P cực đại vành thưng R/P lµ mét trêng Vµnh R chøa Ýt nhÊt Ideal cực đại Nếu P Ideal cực đại vành R với phần tử a R phần tử a - a kh nghịch Typeset by Đặng Xuân Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn ... Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Ngành: Toán học Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1.Cho G nhóm Xyclic cấp n sinh phần... Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm. .. Cương Cao học 12 Giải tích Đại học Vinh DeThiMau.vn Bộ giáo dục đào tạo Cộng hoà xà hội chủ nghĩa Việt Nam Trường Đại học sư phạm Quy Nhơn Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm