Ðề thi tuyển sinh cao học năm 2011 ngành: Toán học môn thi: Giải Tích41080

B TR GIÁO D C VÀ ðÀO T O NG ð I H C QUY NH N ð THI TUY N SINH CAO H C N M 2011 NGÀNH: TOÁN H C Mơn thi: GI I TÍCH Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát ñ ð CHÍNH TH C Câu  f : Ch ng minh r ng hàm s xác ñ nh b i  2  x  y  sin x  y  x, y    0,  f  x, y    0  x, y    0,    liên t c, có đ o hàm riêng f x' , f y' gián ño n nh ng f kh vi t i  0,  Câu a) Cho dãy s  an  hàm s f :  0,1  xác ñ nh b i f    f  x   a n n u  1  ,  v i m i n  Ch ng minh r ng n u a n  b ch n f kh tích  0,1 ; x   n  n  n u an  n v i m i n f khơng kh tích  0,1 ; b) Xét tính kh tích Lebesgue c a f tính  L   fd  (n u có) v i 8x   f  x    x2 Câu   0;1 , x 2011 , x \    0;1 / 2   1 / 2;1 , x  \ x ln x a) Xét khơng gian đ nh chu n c dãy s h i t v i chu n cho b i x  sup n xn v i m i x  xn   c Ch ng minh r ng t p h p c0 dãy s h i t v không gian đóng khơng đâu trù m t c b) Cho X khơng gian mê-tric đ y ñ  f n : X  n dãy hàm liên t c cho v i m i x  X t n t i lim f n  x  Ch ng minh r ng t n t i t p V  X m , khác r ng t n t i n M  cho f n  x   M v i m i x V m i n  Câu Cho X không gian Banach tr Xét dãy xn* n 0  X * không gian vect ng s   l1  X   x   xn   X :  n0 xn    1) Ch ng minh r ng l1  X  không gian Banach v i chu n x  n0 xn 2) a) Gi s dãy  x*n b ch n V i m i n  ñ t A, An : l1  X     Ax  x  x ; A x   x  x  x   x  k 0 k * k n 0k  n * k k k k 0 cho b i   l1  X  Ch ng minh r ng A, An xác ñ nh ánh x n tính liên t c Tính chu n A , Ch ng minh r ng  An  b ch n h i t theo ñi m v A An b) Gi s ánh x A cho câu a) hồn tồn xác đ nh Ch ng minh r ng dãy x *n b ch n 3) Cho dãy an   a) b) Thí sinh khơng đ  n k 1 a k xk a n   l   n0 S d ng câu 2) ch ng minh r ng ñi u ki n sau t l v i m i x l ;  n H T -c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng gi i thích thêm DeThiMau.vn ng đ ng: