BAØI TAÄP LÖÔÏNG GIAÙC SOÁ 1 16 15 LTĐH TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỰC TRỊ GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Nếu thì f(x) đồng biến trên (a;[.]
1 LTĐH TÍNH ĐƠN ĐIỆU- CỰC TRỊ- GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ VẤN ĐỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Định lí Hàm số f(x) có đạo hàm khoảng (a; b) • Nếu f '(x) >0 ∀x ∈ (a; b) f(x) đồng biến (a; b) • Nếu f '(x) < ∀x ∈ (a; b) f(x) nghịch biến trên(a; b) • Nếu f '(x) = ∀x ∈ (a; b) f(x) khơng đổi (a; b) Các bước xét tính đơn điệu hs f(x) • Tìm tập xác định • Tính f’(x) • Tìm giá trị xi mà f '( x ) = khơng xác định • Xét dấu f’(x), lập bảng biến thiên • Kết luận VÍ DỤ Xét tính đơn điệu hàm số x3 a) y = − x + x − b) y = x − x x2 − 8x + c) y = x−5 d) y = − 2x x +1 e) y = x − x − VÍ DỤ Tìm a để hàm số y = x3 + ax + x + đồng biến R VẤN ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị điểm x0 Khi f(x) có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) = Chú ý: • Hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm hàm số hàm số khơng có đạo hàm • Đạo hàm f '( x) x0 x0 điểm cực trị Điều kiện đủ để hàm số có cực trị Định lí Giả sử hàm số f(x) liên tục (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) ( x0 ; b) Khi đó: • Nếu f '( x) đổi dấu từ dương sang âm qua x0 x0 điểm cực đại • Nếu f '( x) đổi dấu từ âm sang dương qua x0 x0 điểm cực tiểu Θ Qui tắc • Tìm tập xác định Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH • Tính f’(x) • Tìm giá trị xi mà f '( x ) = hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Xét dấu f’(x), lập bảng biến thiên • Kết luận VÍ DỤ Tìm cực trị ham số a) y = x3 − x d) y = x+4 x b) y = − x e) y = c) y = −2 x3 + x − 3x + x −1 Định lí Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm (a; b) chứa điểm x0 f '( x0 ) = f(x) có đạo hàm cấp khác điểm x0 • Nếu f ''( x0 ) > x0 điểm cực tiểu • Nếu f ''( x0 ) < x0 điểm cực đại Θ Qui tắc • Tìm tập xác định • Tính f’(x) • Tìm giá trị xi mà f '( x ) = • Với xi tính f "( xi ) • Kết luận VÍ DỤ Tìm cực trị hàm số a) y=4-sinx b) y=x-cos2x c) y= 5-2cosx-cos2x d) y=x-sin2x+2 e) y=sinx+cosx g) = sin x − 3cosx , x ∈ [0;π ] VÍ DỤ Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số a) y = f ( x) = x3 − x 2 x2 − x + b) y = f ( x) = x −1 c) y = f ( x) = x − x d) y = f ( x) = x3 + x − x − e) y = f ( x) = 2x −1 x +1 VÍ DỤ Với giá trị tham số m hàm số sau khơng có cực trị y = ( m − 3) x − 2mx + Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH VÍ DỤ Cho hàm số y = x − 3mx + (m + 2m − 3) x + định m để hàm số đạt cực tiểu x=2 VÍ DỤ Cho hàm số y = cực trị x=2 VÍ DỤ Cho hàm số y = x + mx + định m để hàm số có x+m ax + bx + ab Tìm giá trị ax + b a, b cho hàm số đạt cực trị x=0 x=4 VÍ DỤ 10 Cho hàm số y = số có cực trị x + 2m x + m Tìm m để hàm x +1 * BÀI TẬP Bài Xét tính đơn điệu hs x x + 3x − c) y= 3x − a) y=x + 2x − x −1 x − 2x d) y= 1− x b) y= Bài Xét tính đơn điệu hàm số a) y= − x b) y= 3x − x c) y= x − x − 20 16 − x d) y= x − x + 12 x − 2x − Bài Xét tính đơn điệu hàm số a)y=x+sinx b)y=(1-x2)3 Bài Tìm a để hàm số sau đồng biến TXĐ y=(a2-1) x3 +(a+1)x2+3x+5 Bài Cho hàm số y = x − 3(2m + 1) x + (12m + 5) x + Tìm m để hs a) Đồng biến (2; +∞) b) Đồng biến khoảng (−∞; − 1) U (3; + ∞) c)Luôn đồng biến R Bài Tìm cực trị hàm số a)y=-x4+2x2+3 x − 8x + 5− x e) y = x + + x −1 c) y = b) y = x5 x3 − x + + x − 2x d) y = − x f) y = x − x Bài Xác định tham số m để hàm số sau đạt cực đại cực tiểu a) y = x + mx + 3mx + Đáp số: m < 0∨ m > b) y= x + 2mx − m x+m Đáp số: mx + ( m + 1) x + mx + 2 c) y= −1 < m < Đáp số: m < 2, m ≠ Bài Tìm m để hàm số y = x − ( m + 3) x + mx + m + đạt cực tiểu x = Bài Với giá trị tham số m hàm số sau có cực đại cực tiểu Xem thêm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH a) y = ( m + ) x + 3x + mx + m b) y = x + 2m x + m x +1 c) y = x − 3mx + 3(2m − 1) x + m Bài 10 Cho hàm số y = x − mx − 3x + m chứng minh với m hàm số ln ln có cực đại , cực tiểu đồng thời chứng minh hoành độ cực đại hồnh độ cực tiểu ln trái dấu Đáp số : xC Ñ xCT = − < TRÍCH ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1) (KA/2002) Cho hàm số y = − x3 + 3mx + 3(1 − m ) x + m3 − m Viết pt đường thẳng qua điểm cực trị hs cho theo m 2) (B/2002) Cho hàm số y = mx + (m − 9) x + 10 Tìm m để hs có cực trị 3) Cho hàm số y = x3 − 3mx + x + Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số thuộc đường thẳng y=x+1 4) Cho hàm số y = x3 − mx + m3 2 a) khảo sát vẽ đồ thị hs với m=1 b) Tìm m để hs có cđ-ct đối xứng qua đt y=x x3 5) Xác định m để hàm số y = + mx + (m + 6) x − m có cực đại cực tiểu 6) Tìm m để hs y = x + mx + x + có cực đại cực tiểu Lập pt đường thẳng qua điểm cực trị 8 7) Cho hs y = x − x + 3(m + 2) x − m − Tìm m để hs có cực đại cực tiểu dấu 8) Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x + 2(m 7m + 2) x − 2m( m + 2) Tìm m để hs có cực đại cực tiểu Lập pt đường thẳng qua điểm cực trị 9) Cho hs y = x − x3 + (m + 2) x − (m + 6) x + Tìm m để hs có cực trị x + (m + 1) x + m + 10) y= x +1 Chứng minh đồ thị hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách điểm 20 11) Cho hàm số 1 y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + 3 Với giá trị m hàm số có cực đại, cực tiểu đồng thời hồnh độ điểm cực đại, cực tiểu thoả: x1 + x2 = 4 12) Cho hàm số y = x − mx − x Chứng minh hs ln có cực trị Gọi x1 , x2 hồnh độ cực tiểu Tìm m để x13 + x23 < Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com LTĐH HƯỚNG DẪN TRÍCH ĐỀ THI ĐẠI HỌC 4) Cho hàm số y = x3 − mx + m3 2 a) Khảo sát vẽ đồ thị hs với m=1 b) Tìm m để hs có cđ-ct đối xứng qua đt y=x y ' = 3x − 3mx y' = ⇔ x = ∧ x = m Hàm số có cđ-ct m ≠ 10 3 Gọi A 0; m ÷; B ( m;0 ) điểm cực trị 1 Pt AB : y = m2 x + m3 2 AB ⊥ d (1) ycbt ⇔ (2) I ∈ d ( 1) ⇔ − ( 2) ⇔ với I trung điểm AB m = ⇔ m = ± 2 m = m m = ⇔ m = ± m=± 1 11) Cho hàm số y = mx − ( m − 1) x + ( m − ) x + 3 Trích sách KSHS- TRẦN VĂN HẠO/57 Từ (1) (2) VẤN ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN *Trên khoảng (a; b) Tính y’, giải pt y’=0 tìm nghiệm xi ∈ (a; b) Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 11 LTĐH Lập bảng biến thiên (a; b), kết luận *Trên đoạn[a; b] Tính y’, tìm giá trị xi ∈ (a; b) nghiệm pt : y’=0 y’ không xác định Tính y( xi ) , y( a ) , y(b ) Chọn y = min{y (xi ) , y( a ) , y(b ) } [a; b] m axy = m ax{y (xi ) , y( a ) , y(b ) } [a; b] VÍ DỤ 11 Tìm GTLN,NN h.số đoạn ra: a) y = x3 + 3x − [-2;-1/2] b) y = − x − x + 20 x + đoạn [-2;2] 5 c) y = 2x3 – 3x2 – 12x + −2; 2 d) y = x3 – 3x + [-2; 2] e) y = x − x + đoạn [ −3; 2] f) y = x6 + ( − x2 ) [ −1;1] BÀI TẬP Bài 1.Tìm GTLN,NN h.số đoạn x −2 a) y = đoạn [2;4] [-3;-2] x −1 x −1 b) y = [0; 3] x +1 c) y = 3x −1 đoạn 0;2 x −3 12 x +1 d) y = −1;2 x +1 Bài Tìm GTLN,NN h.số đoạn a) y = −3x đoạn [-1;1] b) y = − x [ - ; 1] c) y = 3x −5 đoạn [2;3] d) y = x + đoạn [0; 2] Bài Tìm GTLN, GTNN hsố đoạn ra: a) y = x − 3x + đoạn [-10,10] b) y =| x2 + 4x – | đoạn [ -6; 6] c) y = | x2 – 4x| đoạn [ -5; 5] d) y = |x2 - 9| đoạn [- ; 4] Bài Tìm GTLN, GTNN hsố đoạn ra: a) y = x + x − đoạn [0;1] x +1 b) y = x + + đoạn [2; 9] x −3 c) y =−x +1− đoạn [-1;2] x +2 đoạn [0;2] 1+ x Bài Tìm GTLN, GTNN hsố a) y = x − + − x + d) y = x + b) y = − x + + x c) y = x + − x Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 13 LTĐH d) y = − x − x Bài Tìm GTLN, GTNN hsố đoạn ra: π 5π a) y = ; sin x 3 π b) y = x − sin 2x − ; π π c) y = x + 2cosx 0; 2 π d) y = cos x + 4sin x 0; 2 3π e) y = 2sinx + sin 2x 0; π π f) y = 5cosx – cos5x − ; 4 sin3 x đoạn [0;π] h)y = sin4x + cos2x + [0;2π] g) y = 2sinx − BẢNG ĐẠO HÀM Qui tắc tính đạo hàm cơng thức tính đạo hàm a) Các quy tắc : Cho u = u ( x ) ; v = v ( x ) ; C : số • ( u ± v ) ' = u '± v ' • ( u.v ) ' = u '.v + v '.u ⇒ ( C.u ) ′ = C.u ′ 14 ã u ữ = u '.v v '.u , ( v ≠ ) ⇒ C ữ = C.u v2 u2 v u ã Nếu y = f ( u ) , u = u ( x ) ⇒ y′x = yu′ u′x b) Các cơng thức : • ( C )′ = ; ( x)′ = • ′ ′ x n = n.x n −1 ⇒ u n = n.u n −1.u′ , ( n ∈ ¥ , n ≥ ) ( ) ′ • ( x) = x • • ( ) u′ ′ , ( x > 0) ⇒ ( u ) = u ( sin x ) ′ = cos x ( cos x ) ′ = − sin x cos x • ( cot x ) ′ = − sin x • ( tan x ) ′ = , ( u > 0) ⇒ ( sin u ) ′ = u.′ cos u ⇒ ( cos u ) ′ = −u′.sin u u′ ⇒ ( tan u ) ′ = cos u u′ ⇒ ( cot u ) ′ = − sin u Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com 15 LTĐH 16 n ∈ N, n ≥ ⇔ ⇔ n(n − 1) 1− 2n + = 71 Xem theâm : wWw.ThanhBinh1.Com n ∈ N, n ≥ ⇔ n = n + 2n − 35 =