Lý thuyết Ma trận - TS. Lê Xuân Đại (ĐH Bách Khoa)

Ma trận, Định nghĩa, các phép tính toán trên ma trận, các phép biến đổi trên ma trận

MA TRẬN

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận Định nghĩa ma trận

Định nghĩaMột ma trận A cỡ m × n trên trường K (thựchoặc phức) là một bảng hình chữ nhật gồm mhàng và n cột có dạng sau:

Người ta thường ký hiệu A = (aij)16i6m;16j6n.

hàng thứ i , cột thứ j của ma trận A

Tập hợp các ma trận cỡ m × n được ký hiệu là

−2



Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận

Ma trận không

Định nghĩa

Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó

Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận

Ma trận không

Định nghĩa

Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó

Ma trận không

Định nghĩa

Ma trận không là ma trận mà mọi phần tử của nó

Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông Định nghĩa ma trận vuông

Định nghĩa

hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là

Định nghĩa ma trận vuông

Định nghĩa

hợp các ma trận vuông cỡ n × n được ký hiệu là

trận đơn vị cấp n và được ký hiệu là I hay I

Định nghĩa ma trận và ví dụ Định nghĩa ma trận vuông

Ma trận bằng nhau

Định nghĩa

như chúng cùng cỡ và các phần tử ở những vị trítương ứng bằng nhau

Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Ví dụ

5 4 −5

thì3A =



15 12 −15



Các phép toán trên ma trận Nhân ma trận với một số

Hệ quả

Thừa số chung của tất cả những phần tử của ma

trận có thể đưa ra khỏi dấu ma trận

Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận

Các phép toán trên ma trận Cộng ma trận Cộng ma trận

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận Nhân 2 ma trận

Khi đó tích của của 2 ma trận A và B là

ma trận C = A.B = (c ij ) m×p sao cho c ij =

n

P

k=1

a i k b k j , i = 1 m; j = 1 p

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Chú ý Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cột

của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B

Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng sốhàng của ma trận A, còn số cột của ma trận Cbằng số cột của ma trận B

Chú ý Nhân ma trận A cho ma trận B thì số cộtcủa ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B.

Lúc này số hàng của ma trận C = A.B bằng sốhàng của ma trận A, còn số cột của ma trận Cbằng số cột của ma trận B

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Chú ý BA không tồn tại

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

+4 +3

+0

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Tính chất

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Tính chất

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Tính chất

Tính chất

Tính chất

Lúc này AB =  cos α − sin α

sin α cos α

  cos β − sin β sin β cos β

BA =  cos β − sin β

sin β cos β

  cos α − sin α sin α cos α

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

C và D có cỡ khác nhau nên không thể bằng nhau

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trận

Tuy nhiên, ngay cả khi A và B là những ma trậnvuông cùng cỡ thì tích AB và BA cũng có thể

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Chú ý Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhấtmới có tính chất giao hoán với ma trận vuông Abất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A

Chú ý

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Chú ý Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhấtmới có tính chất giao hoán với ma trận vuông Abất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A

Chú ý

Chú ý Chỉ có ma trận đơn vị là ma trận duy nhấtmới có tính chất giao hoán với ma trận vuông Abất kỳ cùng cỡ: AI = IA = A

Chú ý

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Các phép toán trên ma trận Nhân 2 ma trận

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Các phép toán trên ma trận Ma trận chuyển vị

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Các phép toán trên ma trận Ma trận liên hợp

Tính chất

ma trận phản đối xứng:

Tính chất

ma trận phản đối xứng:

Tính chất

ma trận phản đối xứng:

Ma trận tam giác trên

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên

Tính chất

trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trậntam giác trên

trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác trên

Tính chất

trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận

tam giác trên

trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên

Tính chất

trên thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trậntam giác trên

trên thì AB cũng là ma trận tam giác trên

Ma trận tam giác dưới

ma trận tam giác dưới

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới

Tính chất

dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trậntam giác dưới

dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới

Các phép toán trên ma trận Ma trận tam giác dưới

Tính chất

dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trận

tam giác dưới

dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới

Tính chất

dưới thì αA + βB, ∀α, β ∈ K cũng là ma trậntam giác dưới

dưới thì AB cũng là ma trận tam giác dưới

Nâng ma trận lên lũy thừa

Tính chất

1 Am.Ak = Am+k

2 (Am)k = Amk

Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa

Ma trận lũy linh

Định nghĩa

Ma trận lũy linh

Định nghĩa

Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa

Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa

Các phép toán trên ma trận Nâng ma trận lên lũy thừa

Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận Vết của ma trận

Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận

Tính chất

Các phép toán trên ma trận Vết của ma trận

Tính chất

Tính chất

Tính chất

Chuẩn Frobenius

Định nghĩa

trận A

Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius

Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius

Các phép toán trên ma trận Chuẩn Frobenius

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K )

là những phép biến đổi sau:

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K )

là những phép biến đổi sau:

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K )

là những phép biến đổi sau:

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K )

là những phép biến đổi sau:

cột) cho nhau

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận

Định nghĩa

Phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mm×n(K )

là những phép biến đổi sau:

cột) cho nhau

Định nghĩa

Ta ký hiệu A −→ B để chỉ ma trận B nhận được

từ ma trận A sau một số hữu hạn các phép biếnđổi sơ cấp trên A

Định lý

Mọi ma trận đều có thể đưa được về dạng bậcthang nhờ các phép biến đổi sơ cấp

dạng ma trận bậc thang bằng các phép biến đổi sơcấp.

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Ma trận bậc thang

Định nghĩa

sơ cấp

Định lý

một ma trận sơ cấp tương ứng

một ma trận sơ cấp tương ứng

Phép biến đổi hi ↔ hj ⇔ E1.A, trong đó

Phép biến đổi hi ↔ λhi ⇔ E2.A, trong đó

Phép biến đổi hj ↔ hj + λhi ⇔ E3.A, trong đó

9 10 11 12

13 14 15 16

THANK YOU FOR ATTENTION