Hãy chứng minh những tính chất sau đây của kỳ vọng và phương sai, trong đó X là một biến ngẫu nhiên và a, b là những hằng số... Để kiểm chứng giả thuyết này, một sinh viên Kinh tế Khóa 3
Trang 1ĐẠI HỌC HOA SEN
KINH TẾ LƯỢNG
ĐÁP ÁN Bài tập SỐ 1
ÔN TẬP THỐNG KÊ và HỒI QUY ĐƠN
Người soạn: GV Phạm Văn Minh Câu 1 (20 điểm):
Hãy nêu định nghĩa của kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên Hãy chứng minh những tính chất sau đây của kỳ vọng và phương sai, trong đó X là một biến ngẫu nhiên và a, b là những hằng số
(c) E[a + bX] = a + bE[X] (d) VAR[a] = 0
(e) VAR[bX] = b2VAR[X] (f) VAR[a + bX] = b2VAR[X]
(g) VAR[X] = E[X2] - (E[X])2
Giải:
(a) E[a] = a
(b) E[bX] = bE[X]
(c) E[a + bX] = a + bE[X]
(d) VAR[a] = 0
Dựa vào tính chất của toán tử kỳ vọng E[X]: E[a] = a (ở câu a)
(e) VAR[bX] = b2VAR[X]
(f) VAR[a + bX] = b2VAR[X]
Trang 2(g) VAR[X] = E[X2] - (E[X])2
Để đơn giản hóa ký hiệu, ta đặt = E[X]
Câu 2 (20 điểm):
Có một giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được giải thích bởi thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ Để kiểm chứng giả thuyết này, một sinh viên Kinh tế Khóa 34 đã tiến hành thu thập dữ liệu từ một mẫu gồm 8 sinh viên của Trường Đại Học Hoa Sen và được kết quả như sau:
STT Điểm trung bình (ĐTB) hàng năm (TN – tr.đồng) Thu nhập trung bình
Giải:
(a) Hãy tính các trị thống kê tổng hợp cho biến thu nhập trung bình hàng năm và biến
điểm trung bình Điền các kết quả vào bảng sau:
Hệ số biến thiên = STDEV( )/ AVERAGE( ) 0.218 0.393
Trang 3Hệ số biến thiên: được định nghĩa là tỷ số σ/μ, trong đó tử số là độ lệch chuẩn và
mẫu số là trị trung bình Đó là một đại lượng của sự phân tán của phân phối tương đối so với trị trung bình của phân phối.
Đồng Phương sai: Trong lý thuyết xác suất và thống kê, đồng phương sai (hay hiệp phương sai) là độ đo sự biến thiên cùng nhau của hai biến ngẫu nhiên (phân biệt với
phương sai - đo mức độ biến thiên của một biến).
Nếu 2 biến có xu hướng thay đổi cùng nhau (nghĩa là, khi một biến có giá trị cao hơn giá trị kỳ vọng thì biến kia có xu hướng cũng cao hơn giá trị kỳ vọng), thì hiệp phương sai giữa hai biến này có giá trị dương Mặt khác, nếu một biến nằm trên giá trị kì vọng còn biến kia có xu hướng nằm dưới giá trị kì vọng, thì hiệp phương sai của hai biến này có giá trị âm.
Lưu ý: trong Excel có đến 4 hàm để tính Phương sai Đó là VAR, VARA, VARP,
như vậy công thức (n/(n-1))*COVAR sẽ tính đồng phương sai của hai biến trên mẫu.
Hoặc sử dụng Data Analysis/ Descriptive Statistics:
Ta có bảng sau:
ĐIỂM TRUNG BÌNH THU NHẬP
Standard Error 0.578638 Standard Error 8.851452665
Standard Deviation 1.636634 Standard Deviation 25.03568881
Sample Variance 2.678571 Sample Variance 626.7857143
Skewness -6.3E-17 Skewness 0.46088053
Trang 4(b) Vẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên Dùng trục hoành cho biến thu nhập
trung bình hàng năm và trục tung cho biến điểm trung bình Nhận xét một cách ngắn gọn về đồ thị của dữ liệu
Tính toán các hệ số hồi quy 1 và 2 trong mô hình hồi quy sau: ĐTB = 1 + 2*TN bằng Excel
Đồ thị phân tán:
Nhận xét: Dựa vào đồ thị trên, ta thấy dường như giữa điểm trung bình của một sinh
viên có mối tương quan tuyến tính đồng biến với thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ.
Số quan sát (n)
Thu nhập trung bình hàng năm (TN - tr.đ) - (X)
Điểm trung bình (ĐTB) -
(Y)
TRUNG BÌNH 63.75 7.5
Tính hệ số hồi quy như sau: 2 0.047
1 4.503
Các bạn có thể “click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán mà không cần phải mở Excel. Cụ thể hơn, 1 và 2 được tính bằng các công thức như sau:
Trang 5(c) Theo Anh/Chị, giả thuyết cho rằng điểm trung bình của một sinh viên có thể được
giải thích bởi thu nhập trung bình hàng năm của Cha Mẹ là đúng hay không đúng Giải thích ngắn gọn câu trả lời của Anh/Chị
Câu này chưa cần làm.
Câu 3 (20 điểm):
Thu thập dữ liệu về thu nhập (R), chi tiêu cho ăn uống (C1) và các chi tiêu khác (C2), bình quân 1 tuần của 10 hộ gia đình ở một vùng, nhà nghiên cứu được kết quả sau (đơn vị ngàn VNĐ/ tuần):
Hộ gia
R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
a) Gọi tổng chi tiêu bình quân 1 tuần của hộ gia đình là C (C = C1 + C2) Hãy tính
giá trị kỳ vọng và phương sai của tổng chi tiêu C cho tập dữ liệu trên
R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
C1 i 320 310 340 310 450 420 480 520 600 520
Dùng hàm AVERAGE, VAR trong EXCEL ta được:
C1 i C2i Ci
427 686 1113
10778.89 47848.89 99201.11
Kỳ vọng Phương sai Đồng phương sai 20286.7
Ta thấy E(C) = E(C1) + E(C2); Var(C) = Var(C1) + Var(C2) +2Cov(C1,C2)
(Các bạn chỉ cần tìm ra Kỳ vọng và phương sai của C, chữ đậm màu đỏ ở bảng trên,
“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể)
047 0 )
75 63 (
* 8 36900
5 7
* 75 63
* 8 3 4031 )
.(
ˆ
2 1
2 2
1
n
i
i
n
i
i i
X n X
Y X n Y
X
5032 4 75 63
* 047 0 5 7 ˆ
ˆ
2
Trang 6b) Gọi số tiền tích lũy bình quân 1 tuần của hộ gia đình là P (P = R – C) Hãy tính giá
trị kỳ vọng và phương sai của số tiền tích lũy bình quân 1 tuần cho tập dữ liệu trên
Ta có bảng số liệu sau:
R i 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600
Ci 700 650 900 950 1110 1150 1220 1400 1550 1500
Tương tự, ta dùng hàm AVERAGE, VAR trong EXCEL:
1700 1113 587
366666.7 99201.11 91423.33
Kỳ vọng Phương sai Đồng phương sai 187222.2
Ta thấy E(P) = E(R) + E(C); Var(P) = Var(R) + Var(C) - 2Cov(R,C)
(Các bạn chỉ cần tìm ra Kỳ vọng và phương sai của P, chữ đậm màu đỏ ở bảng trên,
“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể)
Câu 4 (20 điểm):
Có một giả thuyết cho rằng tổng chi tiêu của một hộ gia đình phụ thuộc vào thu nhập của hộ gia đình đó Để kiểm chứng giả thuyết này, nhà nghiên cứu đã dùng dữ liệu về thu nhập (R), tổng chi tiêu (C) bình quân 1 tuần của hộ gia đình trong Câu 3:
a) Vẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên Dùng trục hoành cho biến R và trục
tung cho biến C Nhận xét một cách ngắn gọn về đồ thị của dữ liệu
Theo đồ thị ta thấy hình như giữa C và R có mối quan hệ đồng biến, và giữa C &
R có quan hệ tuyến tính khá chặt
b) Hãy tìm khoảng tin cậy 95% của thu nhập (R) bình quân 1 tuần của hộ gia đình.
Trang 7Câu này chưa cần làm.
Trang 8Câu 5 (20 điểm):
Tìm hiểu về nhu cầu sử dụng điện thoại, ông Bình đã sử dụng bộ dữ liệu của Singapore giai đoạn 1960-1981 với 2 biến sau:
TEL: Số lượng máy điện thoại trên 1000 người.
GDP: Tổng sản phẩm quốc nội theo đầu người, tại mức giá cơ cấu tính theo đô
la Singapore năm 1968
a Vẽ đồ thị phân tán điểm cho tập dữ liệu trên Dùng trục hoành cho biến GDP và
trục tung cho biến TEL Bằng trực quan, Anh/ chị hãy nhận xét ngắn gọn về mối quan hệ giữa 02 chỉ số trên dựa trên đồ thị này
Đồ thị cho thấy: khi GDP tăng thì TEL tăng, và ngược lại Nói cách khác, GDP
và TEL có quan hệ thuận chiều (đồng biến) Đồ thị cũng cho thấy quan hệ GDP và TEL xấp xỉ tuyến tính
Trang 9b Hãy tính các trị thống kê tổng hợp cho biến GDP và TEL (trung bình, phương sai,
độ lệch chuẩn, đồng phương sai)
GDP TEL Ghi chú
2812.0 116.8 AVERAGE()
1750399.9 7829.3 VAR()
1323.0 88.5 STDEV()
(n/(n-1))*COVAR()
113863.8
Trung bình Phương sai mẫu
Độ lệch chuẩn Đồng phương sai
(“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể)
c Sử dụng lệnh CORREL trong EXCEL, hãy xác định hệ số tương quan tuyến tính
giữa TEL và GDP Giải thích ý nghĩa của hệ số tương quan
Hệ số tương quan r = 0.97265
(“click đúp” trực tiếp vào bảng trên để xem cách tính toán cụ thể)
Hệ số tương quan dương cho thấy hai biến TEL và GDP có quan hệ tỷ lệ thuận.
|r| rất gần 1 (≥ 0.8) cho thấy hai biến này có tương quan tuyến tính chặt.
HẾT
Để nắm vững cách làm, các bạn xem cụ thể trong Excel kèm theo đáp án này.
Hoặc nhấn đúp vào biểu tượng sau
GIẢI BẰNG EXCEL
