Giao an boi duong HSG toan 7

CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ Chuyền đề 1: Các tốn thực phép tính: Các kiến thức vận dụng: - Tính chất phép cộng , phép nhân - Các phép toán lũy thừa: 3a ; an = a1.a2 n am.an = am+n ; (am)n = am.n ; ( a.b)n = an bn ; ( )n = am : an = am –n ( a ≠ 0, m ≥ n) a b an (b ≠ 0) bn Một số tốn : Bài 1: a) Tính tổng : 1+ + +… + n , 1+ + +… + (2n -1) b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1) 1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) Với n số tự nhiên khác không HD : a) 1+2 + + + n = n(n+1) 1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2 b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1) = [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : = [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : = n(n+ 1)(n+2) :3 1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2) = [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: = n(n+1)(n+2)(n+3) : Tổng quát: Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +… + an c c c b) Tính tổng : A = a a + a a + + a a với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k 2 n −1 n HD: a) S = 1+ a + a2 +… + an ⇒ aS = a + a2 +… + an + an+1 Ta có : aS – S = an+1 – ⇒ ( a – 1) S = an+1 – Nếu a = ⇒ S = n a n +1 − Nếu a khác , suy S = a −1 c c 1 = ( − ) với b – a = k b) Áp dụng a.b k a b c 1 c 1 c 1 Ta có : A = k ( a − a ) + k ( a − a ) + + k ( a − a ) 2 n −1 n c 1 c 1 1 1 = k ( a − a + a − a + + a − a ) 2 n −1 n = k (a − a ) n Bài : a) Tính tổng : + 22 + 32 + … + n2 b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + … + n3 HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): b) 13 + 23 + 33 + … + n3 = ( n(n+1):2)2 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn Bài 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: a) A = ( b) B = HD : A = Bài 4: 1 1 − − − − − 49 + + + + ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 212.35 − 46.92 ( 3) + − 510.73 − 255.49 ( 125.7 ) + 59.143 −9 ;B= 28 1, Tính: 1 + − 2003 2004 2005 P= 5 + − 2003 2004 2005 − 2 + − 2002 2003 2004 3 + − 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 3   0,375 − 0,3 + +  1,5 + − 0,75  11 12  : 1890 + 115  A = + Bài 5: a) TÝnh  2,5 + − 1,25 − 0,625 + 0,5 − −  2005   11 12   1 1 1 b) Cho B = + + + + + 2004 + 2005 3 3 3 Chøng minh r»ng B < 5  13 − − 10  230 + 46 27 6 25  Bài 6: a) Tính : 2  10   1 +  : 12 − 14  7  10   1 1 + + + + 2012 b) TÝnh P = 2011 2010 2009 + + + + 2011 HD: Nhận thấy 2011 + = 2010+2 = … 2012 2010 +1+ + + + − 2011 2011 2012 2012 1 1 = 2012 + + + − 2011 = 2012( + + + + ) 2011 2012 1 1 1 (1 + + + + 99 + 100) − − − (63.1,2 − 21.3,6) c) 2 9 A= − + − + + 99 − 100 ⇒ MS = + Bài 7: a) TÝnh giá trị biểu thức: Giỏo ỏn Bi dng HSG toán  11   2 1 31 − 15 − 19   14  31   −1 A=   1 1 93  50    + 12 −     1 1 > b) Chøng tá r»ng: B = − − − − − 2 3 2004 2004 Bi 8: a) Tính giá trị biÓu thøc:    81,624 : − 4,505  + 125   A= 2  11      13 : , 88 + , 53 − ( , 75 )      : 25       25  b) Chøng minh r»ng tæng: S= 1 1 1 − + − + n − − n + + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Chun đề 2: Bài tốn tính chất dãy tỉ số nhau: Kiến thức vận dụng : a c = ⇔ a.d = b.c b d a c e a c e a±b±e -Nếu b = d = f b = d = f = b ± d ± f với gt tỉ số dều có nghĩa a c e - Có b = d = f = k Thì a = bk, c = d k, e = fk - Bài tập vận dụng Dạng Vận dụng tính chất dãy tỉ số để chứng minh đẳng thức a c a2 + c2 a = Chứng minh rằng: 2 = c b b +c b a c HD: Từ = suy c = a.b c b a + c a + a.b 2 = b +c b + a.b a ( a + b) a = b( a + b ) = b Bài 2: Cho a,b,c ∈ R a,b,c ≠ thoả mãn b2 = ac Chứng minh rằng: a (a + 2012b) = c (b + 2012c ) Bài 1: Cho HD: Ta có (a + 2012b)2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.b2 = a2 + 2.2012.ab + 20122.ac = a( a + 2.2012.b + 20122.c) (b + 2012c)2 = b2 + 2.2012.bc + 20122.c2 = ac+ 2.2012.bc + 20122.c2 = c( a + 2.2012.b + 20122.c) Giáo án Bồi dưỡng HSG toán a (a + 2012b) Suy : = c (b + 2012c ) Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu a c 5a + 3b 5c + 3d = = th× b d 5a − 3b 5c − 3d a c = = k ⇒ a = kb, c = kd b d 5a + 3b b(5k + 3) 5k + 5c + 3d d (5k + 3) 5k + = = = = Suy : 5a − 3b b(5k − 3) 5k − 5c − 3d d (5k − 3) 5k − 5a + 3b 5c + 3d = Vậy 5a − 3b 5c − 3d HD : Đặt a + b ab = với a,b,c, d ≠ Chứng minh : c + d cd a c a d = = b d b c 2 a +b a +b ab 2ab a + 2ab + b ( a + b) =( ) (1) = = HD : Ta có 2 = = 2 (c + d ) c+d c +d cd 2cd c + 2cd + d Bài 4: BiÕt a −b a + b ab 2ab a − 2ab + b ( a − b) =( ) (2) = = = = 2 2 (c − d ) c−d c +d cd 2cd c − 2cd + d a +b a −b c + d = c − d a+b a −b ) =( ) ⇒ Từ (1) (2) suy : ( c+d c−d a +b = b−a  c + d d − c Xét TH đến đpcm Bài : Cho tØ lÖ thøc a c = Chøng minh r»ng: b d a + b2 a+b vµ   = c + d2 c+d  ab a − b = cd c − d a c HD : Xuất phát từ = biến đổi theo b d ab a − b a c a + b a +b = = = = =( ) hướng làm xuất 2 cd c − d b d c +d c+d Bài : Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + TÝnh M = c+d d +a a+b b+c 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d = = = HD : Từ a b c d 2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d −1 = −1 = −1 = −1 Suy : a b c d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d a+b+c+d ⇒ = = = a b c d ⇒ Nếu a + b + c + d = a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d) Giáo án Bồi dưỡng HSG toán ⇒ M = a+b b+c c+d d +a + + + = -4 c+d d +a a+b b+c Nếu a + b + c + d ≠ ⇒ a = b = c = d ⇒ M = a+b b+c c+d d +a + + + =4 c+d d +a a+b b+c Bài : a) Chøng minh r»ng: x y z = = a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a b c Th× x + y + z = x + y − z = x − y + z NÕu b) Cho: a b c = = b c d a  a+b+c Chøng minh:   = d b+c+d  a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c x y z = = ⇒ = = HD : a) Từ x y z a + 2b + c 2a + b − c 4a − 4b + c a + 2b + c 2(2a + b − c) 4a − 4b + c a = = = ⇒ (1) x 2y z x + 2y + z 2( a + 2b + c) (2a + b − c) 4a − 4b + c b = = = (2) 2x y z 2x + y + z 4(a + 2b + c ) 4(2a + b − c ) 4a − 4b + c c = = = (3) 4x 4y z 4x − y + z a b c Từ (1) ;(2) (3) suy : x + y + z = x + y − z = x − y + z x y z t Bài 8: Cho y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z chøng minh r»ng biÓu thøc sau có giá trị nguyên x+ y y+ z z+t t + x + + + z+t t + x x+ y y+ z x y z t y + z +t z +t + x t + x+ y x+ y + z HD Từ y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z ⇒ x = y = z = t y + z +t z+t + x t+x+ y x+ y+z +1 = +1 = +1 = +1 ⇒ x y z t x+ y+ z +t z +t + x+ y t + x+ y + z x+ y + z +t = = = ⇒ x y z t P= Nếu x + y + z + t = P = - Nếu x + y + z + t ≠ x = y = z = t ⇒ P = y+z−x z+x− y x+ y−z = = x y z  x  y  z  Hãy tính giá trị biểu thức : B = 1 + ÷1 + ÷1 + ÷ y  z  x   Bài : Cho số x , y , z khác thỏa mãn điều kiện : Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài 10 : a) Cho số a,b,c,d khác Tính T =x2011 + y2011 + z2011 + t2011 Biết x,y,z,t thỏa mãn: x 2010 + y 2010 + z 2010 + t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010 = + + + a + b2 + c2 + d a b c d b) Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: M = a + b = c +d = e + f a 14 c 11 e 13 = ; = ; = b 22 d 13 f 17 a b c = = c) Cho số a, b, c thỏa mãn : 2009 2010 2011 Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* Tính giá trị biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2 Một số tương tự Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d = = = a b c d a+b b+c c+d d +a + + + TÝnh M = c+d d +a a+b b+c Bài 12: Cho số x , y , z, t khác thỏa mãn điều kiện : y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt = = = ( n số tự nhiên) x y z t x + y + z + t = 2012 Tính giá trị biểu thức P = x + 2y – 3z + t Dạng : Vận dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x,y,z,… 1+3y 1+5y 1+7y = = Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết : 12 5x 4x HD : Áp dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng ta cã: 1+3y 1+5y 1+7y 1+ 7y − 1− 5y 2y 1+ 5y − 1− 3y 2y = = = = = = 12 5x 4x 4x − 5x −x 5x − 12 5x − 12 => 2y 2y = với y = thay vào không thỏa mãn − x x − 12 Nếu y khác => -x = 5x -12 => x = Thay x = vào ta đợc: 1+ 3y y = = − y =>1+ 3y = -12y => = -15y => y = 12 −2 15 −1 VËy x = 2, y = thoả mÃn đề 15 Bài : Cho a b c = = a + b + c ≠ 0; a = 2012 b c a Tính b, c Giáo án Bồi dưỡng HSG toán HD : từ a b c a+b+c = = = = ⇒ a = b = c = 2012 b c a a+b+c Bài : Tìm số x,y,z biết : y + x +1 x + z + x + y − = = = x y z x+ y+z HD: Áp dụng t/c dãy tỉ số nhau: y + x + x + z + x + y − 2( x + y + z ) = = = =2= (vì x+y+z ≠ 0) x y z (x + y + z) x+ y+z Suy : x + y + z = 0,5 từ tìm x, y, z 1+ y 1+ y 1+ y = = 18 24 6x + y + y + y 2(1 + y ) − (1 + y ) + y + + y − (1 + y) = = = = HD : Từ 18 24 6x 2.18 − 24 18 + 24 − x 1 Suy : = ⇒ x = 6x x y z Bài 6: T×m x, y, z biÕt: z + y + = x + z + = x + y − = x + y + z (x, y, z ≠ ) x y z x+ y+z HD : Từ z + y + = x + z + = x + y − = x + y + z = 2( x + y + z ) = 1 1 Từ x + y + z = ⇒ x + y = - z , y +z = - x , z + x = - y thay vào đẳng thức 2 2 Bài : Tìm x, biết rằng: ban đầu để tìm x 3x y 3z = = vµ x + y − z = 64 216 2x + y − 2x + y − = = Bài : Tìm x , y biết : 7x Bài : T×m x, y, z biÕt Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y Kiến thức vận dụng : - Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế  A, A ≥ - Tính chất giá trị tuyệt đối : A ≥ với A ; A =   − A, A < - Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : A + B ≥ A + B dấu ‘=’ xẩy AB ≥ 0; A − B ≥ A − B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A ≥ m A ≤ m A ≥m⇔ (m > 0) ; A ≤ m ⇔  (hay − m ≤ A ≤ m) với m >  A ≤ −m  A ≥ −m - Tính chất lũy thừa số thực : A2n ≥ với A ; - A2n ≤ với A Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Am = An ⇔ m = n; An = Bn ⇒ A = B (nếu n lẻ ) A = ± B ( n chẵn) 0< A < B ⇔ An < Bn ; Bài tập vận dụng Dạng 1: Các toán Bài 1: Tìm x biết a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 b) HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 ⇒ x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 ⇒ x 2011.2012 2.2013 = 2012.2013 ⇒ x = 2011 b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ ⇒ x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 ( x − 2012) + 2011 ( x − 2012) + 2010 ( x − 2012) + 2009 ( x − 2012) + 2008 + + = 2011 2010 2009 2008 x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 + + − = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ ( x − 2012)( + + − ) = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ x = −2 : ( + + − ) + 2012 2011 2010 2009 2008 ⇒ Bài Tìm x nguyên biết 1 1 49 a) 1.3 + 3.5 + 5.7 + + (2 x − 1)(2 x + 1) = 99 91006 − b) 1- + – + ….+ (-3) = x Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối • Dạng : x + a = x + b x + a ± x + b = x + c Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ không, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b) Bài : Tìm x biết : a) x − 2011 = x − 2012 Giáo án b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 Bồi dưỡng HSG toán HD : a) x − 2011 = x − 2012 (1) VT = x − 2011 ≥ 0, ∀x nên VP = x – 2012 ≥ ⇒ x ≥ 2012 (*)  x − 2011 = x − 2012  2011 = 2012(vôly ) ⇒ Từ (1) ⇒   x − 2011 = 2012 − x  x = (2011 + 2012) : Kết hợp (*) ⇒ x = 4023:2 b) x − 2010 + x − 2011 = 2012 (1) Nếu x ≤ 2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 ⇒ x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại) Nếu x ≥ 2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012 ⇒ x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2 Một số tương tự: Bài : a) T×m x biÕt x − + x + = 2 b) T×m x biÕt: x + x − = x + c) T×m x biÕt: x + − − x = Bài : a)Tìm giá trị x để: x + + x + = 3x b) Tìm x biết: x − − x = − x Bài : tìm x biết : a) x − ≤ b) x − 2011 ≥ 2012 Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối Bài : a) Tìm x ngyên biết : x − + x − + x − + x − = b) Tìm x biết : x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = HD : a) ta có x − + x − + x − + x − ≥ x − + − x + x − + − x = (1) Mà x − + x − + x − + x − = suy ( 1) xẩy dấu “=” 1 ≤ x ≤ ⇒ ≤ x ≤ x nguyên nên x ∈ {3;4;5} 3 ≤ x ≤ Hay  b) ta có x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 ≥ x − 2010 + 2014 − x + x − 2012 ≥ (*) Mà x − 2010 + x − 2012 + x − 2014 = nên (*) xẩy dấu “=”  x − 2012 = ⇒ x = 2012  2010 ≤ x ≤ 2014 Suy ra:  Các tương tự Bài : Tìm x nguyên biết : x − + x − + + x − 100 = 2500 Bài : Tìm x biết x + + x + + + x + 100 = 605 x Bài : Tìm x, y thoả mÃn: x + x − + y − + x − = Bài : Tìm x, y biết : x − 2006 y + x − 2012 ≤ HD : ta có x − 2006 y ≥ với x,y x − 2012 ≥ với x Suy : x − 2006 y + x − 2012 ≥ với x,y mà x − 2006 y + x − 2012 ≤ Giáo án Bồi dưỡng HSG toán x − y = ⇒ x − 2006 y + x − 2012 = ⇒  ⇒ x = 2012, y =  x − 2012 = Bài : Tìm số nguyên x thoả mÃn 2004 = x − + x − 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000 Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết : a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 HD : a) 5x + 5x+2 = 650 ⇒ 5x ( 1+ 52) = 650 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 ⇒ 3x -1(1 + 5) = 162 ⇒ 3x – = 27 ⇒ x = Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết: a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y 22 x y = x ⇒ x −1 = y − x HD : a) = 12 x +1 ⇒ Nhận thấy : ( 2, 3) = x – = y-x = ⇒ x = y = b) 10x : 5y = 20y ⇒ 10x = 102y ⇒ x = 2y x+1 y x ⇒ Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn : a) 2m + 2n = 2m +n b) 2m – 2n = 256 HD: a) 2m + 2n = 2m +n ⇒ 2m + n – 2m – 2n = ⇒ 2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) =  2n − = ⇒ (2 -1)(2 – 1) = ⇒  m ⇒ m = n =1  − = b) 2m – 2n = 256 ⇒ 2n ( 2m – n - 1) = 28 Dễ thấy m ≠ n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n = ⇒ n = , m = + Nếu m – n ≥ 2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà m n VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m = Bài : Tìm x , biết : ( x − ) HD : ( x − 7) x +1 ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 ( x +1) x +11 x +1 − ( x − 7) x +11 =0 =0 1 − ( x − ) 10  =   1 − ( x − ) 10  =     x−7  x+1=0  ÷  ⇔   1−( x−7)10 =0   ⇔  x−7=010⇒ x =7 x =8  ( x−7) =1⇒  x =6 2012 Bài : Tìm x, y biết : x − 2011y + ( y − 1) = HD : ta có x − 2011y ≥ với x,y (y – 1)2012 ≥ với y Giáo án Bồi dưỡng HSG toán f(1) M3 ⇒ a + b + c M3 b c chia hết cho ⇒ a M3 Vậy a, b, c chia hết cho 102006 + 53 Bài : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên b) Cho 2n + số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n hợp số HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho v 2n + số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chøng tá r»ng: M = nguyªn HD : Ta có M = a b c + + không số a+b b+c c+a a b c a b c a +b+c + + > + + = =1 a +b b+c c+a a +b+c c+a +b a+b+c a +b+c ⇒ M >1 Mặt khác M = a b c (a + b) − b (b + c) − c (c + a ) − a + + = + + a+b b+c c+a a+b b+c c+a 3−( b c a + + ) = – N Do N >1 nên M < a+b b+c c+a Vậy < M < nên M không số nguyên Bài Chứng minh : a + b ≥ ab (1) , a + b + c ≥ 3 abc (2) với a, b, c ≥ HD : a + b ≥ ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài : Với a, b, c số dương Chứng minh a b a) (a + b)( + ) ≥ (1) Giáo án a b c b) (a + b + c)( + + ) ≥ (2) Bồi dưỡng HSG toán a b HD : a) Cách : Từ (a + b)( + ) ≥ ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) suy (1) 1 1 ⇒ (a + b)( + ) ≥ ab =4 Cách 2: Ta có a + b ≥ ab a + b ≥ a b ab ab Dấu “ =” xẩy a = b a b c b) Ta có : (a + b + c)( + + ) = + Lại có b+c a+c a+b a b b c a c + + = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c b a c b c a a b b c a c + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ b a c b c a a b c Suy (a + b + c)( + + ) ≥ + + + = Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bài : a) Cho z, y, z lµ số dơng x y z Chứng minh rằng: x + y + z + y + z + x + z + x + y ≤ b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: ab + bc + ca ≤ HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab + bc + ca ≤ Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 ⇒ a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 ⇒ - a + b – c + d = 50 P( 0) = ⇒ d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài : Cho f ( x) = ax + bx + c víi a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (2) f (3) ≤ BiÕt r»ng 13a + b + 2c = HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c ⇒ f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 ≤ Bài Cho ®a thøc f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên Giỏo ỏn Bồi dưỡng HSG toán HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên ⇒ c , a + b + c 4a + 2b + c nguên ⇒ a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên ⇒ 2a , 2b nguyên Bài Chøng minh r»ng: f(x) = ax + bx + cx + d cã giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c vµ d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x ⇒ d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên ⇒ a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên ⇒ 2b nguyên ⇒ 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài : Tìm tổng hệ số đa thức nhận đợc sau bá dÊu ngc biĨu thøc: A(x) = (3 − x + x ) 2004 (3 + x + x ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bi : Cho x = 2011 Tính giá trị cđa biĨu thøc: x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − HD : Đặt A = x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − x 2010 ( x − 2011) − x 2009 ( x − 2011) − x 2008 ( x − 2011) + − x( x − 2011) + x − ⇒ x = 2012 A = 2011 Chuyên đề Các tốn thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y y y y n y = k.x ⇔ x = x = x = = x = k ( k hệ số tỉ lệ ) n - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a ⇔ x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = = xn yn = a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vng biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba líp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đợc cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng đợc cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng đợc nh Bi : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau đợc nửa quÃng đờng ô tô tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bi : Trên quÃng đờng AB dài 31,5 km An từ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A VËn tèc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quÃng đờng ngời tới lúc gỈp ? Bài : Ba đội cơng nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc ô tô thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc ô tô ? PHẦN HÌNH HỌC I Một số phương pháp chứng minh hình hoc 1.Chứng minh hai đoạn thẳng nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai đoạn thẳng - Chứng minh hai đoạn thẳng hai cạnh bên tam giác cân - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực đoạn thẳng - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng 2.Chứng minh hai góc nhau: P2 : - Chứng minh hai tam giác chứa hai góc - Chứng minh hai góc hai góc đáy tam giác cân - Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc cặp góc so le ,đồng vị - Dựa vào tính chất đường phân giác tam giác Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Chứng minh ba điểm thẳng hàng: P2 : - Dựa vào số đo góc bẹt ( Hai tia đối nhau) - Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điểm - Hai đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng thứ - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao Chứng minh hai đường thẳng vng góc P2 : - Tính chất tam giác vng, định lí Py – ta – go đảo - Qua hệ đường thẳng song song đường thẳng vng góc - Tính chất đường trung trực, ba đường cao Chứng minh đường thẳng đồng quy( qua điểm ) P2 : - Dựa vào tính chất đường tam giác So sánh hai đoạn thẳng, hai góc : P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào tam giác từ vận định lí quan hệ cạnh góc đối diện tam giác , BĐT tam giác - Dựa vào định lí quan hệ đường xiên hình chiếu, đường xiên đường vng góc II Bài tập vận dụng Bi : Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc vµ b»ng AC Chøng minh: DC = BE vµ DC ⊥ BE HD: Phân tích tìm hướng giải *Để CM DC = BE cần CM ∆ABE = ∆ ADC ( c.g.c) Có : AB = AD, AC = AE (gt) · · ⇒ Cần CM : DAC = BAE · · · Có : BAE = 900 + BAC = DAC * Gọi I giao điểm AB CD µ = 900 Để CM : DC ⊥ BE cn CM Ià2 + B ả = 900 Cú Iµ1 = Iµ2 ( Hai góc đối đỉnh) Iµ1 + D ả Cn CM B1 = D1 ( ∆ABE = ∆ ADC) Lời giải · · · · · ⇒ DAC a) Ta có BAE , mặt khác AB = AD, AC = AE (gt) = 90 + BAC = DAC = BAE Suy ∆ABE = ∆ ADC(c.g.c) ⇒ DC = BE b) Gọi I giao điểm AB CD ¶ = 900 ( ∆ ADI vng A) B µ =D ả ( vỡ Ta cú Ià1 = Ià2 ( Hai góc đối đỉnh) , Iµ1 + D 1 µ µ ∆ABE = ∆ ADC) ⇒ I + B1 = 90 ⇒ DC ⊥ BC *Khai thác 1: Từ ta thấy : DC = BE vµ DC ⊥ BE ∆ABD ∆ ACE vng cân, có ∆ABD ∆ ACE vuông cân , Từ B kẻ BK ⊥ CD D ba điểm E, K, B thẳng hàng Ta có tốn 1.2 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn Bài 1: Cho tam gi¸c ABC cã  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC T B k BK ⊥ CD K Chứng minh ba điểm E, K, B thẳng hàng HD : Từ chứng minh DC ⊥ BE mà BK ⊥ CD K suy ba điểm E, K, B thẳng hàng *Khai thác 1.1 Từ 1.1 gọi M trung điểm DE kẻ tia M A MA ⊥ BC từ ta có tốn 1.2 Bi 1.2: Cho tam giác ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc b»ng AC Gọi M trung điểm DE kẻ tia M A Chứng minh : MA ⊥ BC Phân tích tìm hướng giải HD: Gọi H giao điểm tia MA BC Để CM MA ⊥ BC ⇒ ta cần CM ∆AHC vuông H ⇒ Để CM ∆AHC vuông H ta cần tạo tam giác vuông ∆AHC Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN Kẻ DQ ⊥ AM Q ⇒ Cần CM ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇑ ¶ = ·ACB , BAC · CM: ND = AC , N = ·ADN ⇑ CM : ∆ABC = ∆DNA ( c.g.c) ⇑ Có AD = AB (gt) · Cần CM : ND = AE ( = AC) BAC = ·ADN + Để CM ND = AE ⇑ CM : ∆MDN = ∆MEA (c.g.c) · + Để CM BAC = ·ADN ⇑ · · · EAD + ·ADN = 1800 EAD + BAC = 1800 ⇑ CM AE // DN (∆MDN = ∆MEA) Lời giải Gọi H giao điểm tia MA BC , Trên tia AM lấy điểm N cho AM = MN kẻ DQ ⊥ AM Q Ta có ∆MDN = ∆MEA ( c.g.c) : · · AM = MN ; MD = ME (gt) EMA ( hai góc đối đỉnh) = DMN ¶ = MAE · ⇒ DN = AE ( = AC) AE // DN N ( cặp góc so le ) · · · · ⇒ EAD + ·ADN = 1800 ( cặp góc phía) mà EAD + BAC = 1800 ⇒ BAC = ·ADN Giáo án Bồi dưỡng HSG toán · Xét ∆ABC ∆DNA có : AB = AD (gt) , AC = DN BAC = ·ADN ( chứng minh ¶ = ·ACB ) ⇒ ∆ABC = ∆DNA (c.g.c) ⇒ N ¶ = ·ACB · Xét ∆AHC ∆DQN có : AC = DN , BAC = ·ADN N ⇒ ∆AHC = ∆DQN (g.c.g) ⇒ ∆AHC vuông H hay MA ⊥ BC * Khai thác toán 1.3 + Từ 1.2 ta thấy với M trung điểm DE tia MA ⊥ BC , ngược lại AH ⊥ BC H tia HA qua trung điểm M DE , ta có tốn 1.4 Bài 1.3 : Cho tam gi¸c ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H chân đường vng góc kẻ từ A đến BC Chứng minh tia HA qua trung điểm đoạn thẳng DE HD : Từ 1.2 ta có định hướng giải sau: Kẻ DQ ⊥ AM Q, ER ⊥ AM R · · · Ta có : + DAQ = HBH ( Cùng phụ BAH ) AD = AB (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ DQ = AH (1) · · + ·ACH = EAR ( phụ CAH ) AC = AE (gt) ⇒ ∆AHB = ∆DQA ( Cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ ER = AH ( 1) Từ (1) (2) ⇒ ER = DQ ¶ =M ¶ ( hai góc đối đỉnh ) Lại có M ⇒ ∆QDM = ∆REM ( g.c.g) ⇒ MD = ME hay M trung điểm DE + Từ 1.3 ta thấy với M trung điểm DE tia MA ⊥ DE , ngược lại H trung điểm BC tia KA vng góc với DE, ta có tốn 1.4 Bài 1.4: Cho tam gi¸c ABC có  < 900 Vẽ phía tam giác hai đoạn thẳng AD vuông góc AB; AE vuông góc AC Gi H trung điểm BC Chứng minh tia HA vuông góc với DE HD : Từ 1.3 ta dễ dạng giải toán 1.4 Trên tia AH lấy điểm A’ cho AH = HA’ Dễ CM ∆AHC = ∆A’HB ( g.c.g) · · 'B ⇒ A’B = AC ( = AE) HAC = HA · ⇒ AC // A’B ⇒ BAC + ·ABA ' = 1800 ( cặp góc phía) · · · Mà DAE + BAC = 1800 ⇒ DAE = ·ABA ' Xét ∆DAE ∆ABA’ có : AE = A’B , AD = AB (gt) · DAE = ·ABA ' ⇒ ∆DAE = ∆ABA’(c.g.c) · AA ' = 900 ⇒ ·ADE + MDA · · AA ' mà ·ADE + B ⇒ ·ADE = B = 900 Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn Suy HA vng góc với DE Bi : Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối cđa tia CB lÊy ®iĨm E cho BD = CE Các đờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D E cắt AB, AC lần lợt M, N Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §êng thẳng BC cắt MN trung điểm I MN c) Đờng thẳng vuông góc với MN I ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh D thay ®ỉi cạnh BC * Phõn tớch tỡm li gii a) Để cm DM = EN ⇑ Cm ∆BDM = ∆CEN ( g.c.g) ⇑ µ =E µ = 900 ( MD, NE ⊥ BC) Có BD = CE (gt) , D · · ( ∆ABC cân A) BCA = CBA b) Cm Đờng thẳng BC cắt MN trung ®iĨm I cđa MN ⇒ Cần cm IM = IN ⇑ Cm ∆MDI = ∆NEI ( g.c.g) c) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ A xuống BC , O giao điểm AH với đường thẳng vng góc với MN kẻ từ I ⇒ Cần cm O điểm cố định Để cm O điểm cố định ⇑ Cần cm OC ⊥ AC ⇑ · · Cần cm OAC = OCN = 900 ⇑ · · · · Cần cm : OBA = OCA OBM = OCM ⇑ Cần cm ∆OBM = ∆OCN ( c.c.c) ∆OAB = ∆OAC (c.g.c) *Khai thác Từ ta thấy BM = CN , ta phát biểu lại tốn sau: Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên cạnh AB lấy điểm M, tia AC lấy ®iÓm N cho BM = CN Đường thẳng BC cắt MN I Chøng minh r»ng: Giáo án Bồi dưỡng HSG toán a) I trung điểm ca MN b) Đờng thẳng vuông góc với MN I qua điểm cố định D thay đổi lời giải: Từ lời giải để giải 2.1 ta cần kẻ MD ⊥ BC ( D ∈ BC) NE ⊥ BC ( E ∈ BC) Bài : Cho ∆ABC vuông A, K trung điểm cạnh BC Qua K kẻ đường thẳng vng góc với AK , đường thẳng cắt đường thẳng AB AC D E Gọi I trung điểm DE a) Chứng minh : AI ⊥ BC b) Có thể nói DE nhỏ BC khơng ? sao? *Phân tích tìm lời giải a) Gọi H giao điểm BC AI Để cm AI ⊥ BC ⇐ Cần cm µA1 + ·ACK = 900 Để cm µA1 + ·ACK = 900 ⇒ ⇑ · · Có AEK + EAK = 900 · cần cm µA1 = ·AEK ·ACK = CAK ⇑ Cần cm ∆AIE cân I ∆AKC cân K b) Để so sánh DE với BC ⇒ cần so sánh IE với CK ( 2.IE = DE, 2CK = BC) ⇑ So sánh AI với AK ( AI = IE, AK = CK) Có AI ≥ AK Lời giải : a)Dễ dàng chứng ∆AIE cân I ∆AKC cân K ⇒ cần cm µA1 = ·AEK ·ACK = CAK · · A1 + ·ACK = 900 ⇒ AI ⊥ BC mà ·AEK + EAK = 900 ⇒ µ b) ta có BC = CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE) Mà AI ≥ AK ⇒ DE ≥ BC , DE = BC K trùng với I ∆ABC vng cân A Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M trung điểm BC Đường thẳng qua M vng góc với tia phân giác góc A H cắt hai tia AB, AC E F Chứng minh rằng: Giáo án Bồi dưỡng HSG toán EF + AH = AE a) · µ b) 2BME = ·ACB − B c) BE = CF lơì giải Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có: HF2 + AH2 = AF2 Mà ∆ AHE = ∆ AHF (g-c-g) nên HF = A EF; AF = AE EF + AH = AE Suy ra: µ =F µ Tõ ∆AEH = ∆AFH Suy E XÐt ∆CMF cã ·ACB lµ gãc ngoµi suy µ lµ gãc ngoµi suy ∆BME cã E · · µ ) + (E µ −B µ) + BME = ( ·ACB F CMF à (đpcm) hay 2BME = ·ACB − B µ =F µ Từ ∆AHE = ∆AHF Suy AE = AF E · µ CMF = ·ACB E −F · µ −B µ BME =E M B C H D Từ C vẽ CD // AB ( D ∈ EF ) => ∆BME = ∆CMD( g − c − g ) ⇒ BE =FCD (1) µ = CDF · · µ ⇒ ∆CDF cân ⇒CF = CD ( 2) Lại có: E (cặp góc đồng vị) Do CDF =F Từ (1) (2) suy BE = CF Bài : Cho tam giác ABC có góc B góc C hai góc nhọn Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AB , tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AC a) Chứng minh : BE = CD b) Gọi M trung điểm BE , N trung điểm CB Chứng minh M,A,N thẳng hàng c)Ax tia nằm hai tia AB AC Gọi H,K hình chiếu B C tia Ax Chứng minh BH + CK ≤ BC d) Xác định vị trí tia Ax để tổng BH + CK có giá trị lớn D *Phân tích tìm lời giải a) E Để cm BE = CD ⇑ Cần cm ∆ ABE = ∆ ADC (c.g.c) M k b) K Để cm M, A, N thẳng hàng ⇑ · · Cần cm BAN = BAM = 1800 ⇑ · · · · Có BAN + NAD = 180 ⇒ Cần cm MAB = NAD Giáo án N A I B H Bồi dưỡng HSG toán x C · · MAB = NAD ⇑ Cần cm ∆ ABM = ∆ ADN (c.g.c) Để cm c) ⇒ Gọi giao điểm BC Ax Để cm BH + CK ≤ BC ⇑ Cần cm BH ≤ BI ; CK ≤ CI Vì BI + IC = BC d) BH + CK có giá trị lớn = BC K,H trùng với I , Ax vng góc với BC Bài Cho tam gi¸c ABC có ba góc nhọn, đờng cao AH miền tam giác ABC ta vẽ tam giác vuông cân ABE ACF nhận A làm đỉnh góc vuông Kẻ EM, FN vuông góc với AH (M, N thuéc AH) a) Chøng minh: EM + HC = NH b) Chøng minh: EN // FM a) *Phân tích tìm lời giải Để cm EM + HC = NH ⇑ Cần cm EM = AH HC = AN + Để cm EM = AH ⇒ cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon) + Để cm HC = AN ⇒ cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon) b) Để cm EN // FM ⇑ ·AEF = EF · N ( cặp góc so le trong) Gọi I giao điểm AN EF · N ⇒ để cm ·AEF = EF ⇑ Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g) Bài : Cho tam ABC vng A , ®êng cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho DM = MA Trên tia đối tia CD lÊy ®iĨm I cho CI = CA, qua I vẽ đờng thẳng song song với AC cắt đờng thẳng AH E Chứng minh: AE = BC *Phõn tích tìm lời giải Gọi F giao điểm BA IE ⇒ để Cm Để cm : AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB ∆AFE = ∆ CAB Giáo án Bồi dưỡng HSG toán ⇑ · C = BAC · · AF = AC (2); AF = 900 (1); EAF = ·ACB (3) Cần cm · C = BAC · + Để cm (1) : AF = 900 ⇑ · Cm CI // AE có FI // AC BAC = 900 ⇒ Để Cm CI // AE ⇑ Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c) + Để cm (2) : AF = AC ⇑ Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn) + Cm (3) : · · ) EAF = ·ACB ( phụ HAC *Khai thác toán : Từ ta thấy AH ≤ AM ⇒ HE ≤ AM + BC = 3AM ( AM = MB = MC) Vậy HE lớn = 3AM = BC H trùng M tam giác ABC vng cân Bài Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC, từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, cắt tia N, cắt tia AB E cắt tia AC t¹i F Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF c) AE = AB + AC * Phân tích tìm lời giải a) Để cm AE = AF ⇑ ∆ANE = ∆ ANF ( c g c) Hoặc ∆AEF cân A ( Có AH vừa tia phân giác , vừa đương cao) b) Để cm BE = CF ⇒ cần tạo tam giác chứa BE( có cạnh = BE) mà tam giác MCF + Kẻ BI // AC ⇒ ∆MBI = ∆CMF( c g c) Giáo án Bồi dưỡng HSG tốn ⇒ Để cm µ = BEI · · ⇐ Có BIE BE = CF ⇐ ∆ BEI cân B ⇐ E = ·ABF ( cặp µ = AF · E ∆AEF cân A góc đồng vị ) mà E c) AB + AC = AB + AF + CF =( AB + FC) + AF mà CF = BC AE = AF ⇒ AE = AB + AC hay AE = AB + AC Bài Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 90 0, gãc B C nhọn, đờng cao AH Vẽ điểm D, E cho AB lµ trung trùc cđa HD, AC trung trực HE Gọi I, K lần lợt giao điểm DE với AB AC a) Chứng minh : Tam giác ADE cân A b) Tính số đo góc AIC AKB ? *Phõn tich tìm hướng giải - Xét TH góc A < 900 a) Để cm ∆ ADE cân A ⇐ cần cm : AD = AH = AE ( Áp dụng t/c đường trung trực) b) Dự đoán CI ⊥ IB , BK ⊥ KC Do IB, KC tia phân giác góc ngồi ∆ HIK nên HA tia phân giác Do ·AHC = 900 nên HC tia phân giác đỉnh H Các tia phân giác góc ngồi đỉnh H K ∆ HIK cắt C nên IC tia phân giác góc HIK , IB ⊥ IC , Chứng minh tượng tự ta có BK ⊥ KC - Xét TH góc A>900 *Khai thác tốn : Gọi M điểm thuộc cạnh BC , qua M lấy điểm D’, E’ cho AB trung trực D’M, AC trung trực ME’ Khi ta có ∆ AD’E’ cân A góc DAC có Từ ta có tốn sau: Bài 9.1 Cho tam giác ABC nhọn Tìm điểm M cạnh BC cho vẽ điểm D, E AB đường trung trực MD, AC đường trung trực ME DE có độ dài nhỏ HD Tự nhận xét dễ dàng tìm vị trí điểm M cạnh BC Giáo án Bồi dưỡng HSG toán Bài 10 Cho ∆ ABC với góc A khơng vng góc B khác 135 o Gọi M trung điểm BC Về phía ngồi ∆ ABC vẽ ∆ ABD vuông cân đáy AB Đường thẳng qua A vuông góc với AB đường thẳng qua C song song với MD cắt E Đường thẳng AB cắt CE P DM Q Chứng minh Q trung điểm BP HD Trên tia đối tia MQ lấy điểm H cho MH = MQ - Cm ∆ BMQ = ∆ CMH ( c.g.c) · · ⇒ BQ = CH (1) MBQ = MCH · · ⇒ BQ//CH hay PQ // CH ( MBQ , MCH cặp góc so le trong) - Nối PH , cm ∆ PQH = ∆ HCP ( g.c.g) ⇒ PQ = CH (2) , Do Q nằm B P dù góc B nhỏ 1350 Từ (1) (2) Suy đpcm µ = 200 , vẽ tam giác DBC (D nằm tam giác Bài 11 Cho tam giác ABC cân A có A ABC) Tia phân giác góc ABD cắt AC M Chứng minh: a) Tia AD phân giác góc BAC A b) AM = BC HD a) Chứng minh ∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c) · · suy DAB = DAC · Do DAB = 200 : = 100 b) ∆ ABC cân A, mà µA = 200 (gt) nên ·ABC = (1800 − 200 ) : = 800 · ∆ ABC nên DBC = 600 Tia BD nằm hai tia BA BC suy ·ABD = 800 − 600 = 200 Tia BM phân giác góc ABD nên ·ABM = 100 20 D B Xét tam giác ABM BAD có: · · = ·ABD = 200 ; ·ABM = DAB = 100 AB cạnh chung ; BAM Vậy: ∆ ABM = ∆ BAD (g.c.g) suy AM = BD, mà BD = BC (gt) nên AM = BC Giáo án M Bồi dưỡng HSG toán C Bài 12 Cho tam giác ABC vuông A ( AB > AC) Tia phân giác góc B cắt AC D Kẻ DH vng góc với BC Trên tia AC lấy điểm E cho AE = AB Đường thẳng vng góc với AE E cắt tia DH K Chứng minh : a) BA = BH · b) DBK = 450 c) Cho AB = cm, tính chu vi tam giác DEK HD : a) Cm ∆ABD = ∆HBD ( cạnh huyền – góc nhọn) b) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với EK , cắt EK I Ta có : ·ABI = 900 , Cm ∆HBK = ∆IBK ( cạnh huyền – cnh gúc vuụng) =B ả m B =B ¶ ⇒ DBK · ⇒ B = 450 c) Chu vi tam giác DEK = DE + EK + KD = … = 2.4 = cm · * Từ ta thấy DBK = 450 chu vi ∆DEK = AB có chu vi ∆DEK · = ta cm DBK = 450 Ta có tốn sau : Bi 12.1 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài Trên cạnh AB, AD lấy điểm P, Q cho chu vi APQ Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450 HD : Giáo án Bồi dưỡng HSG toán ... c ®Ịu chia hÕt cho HD a) ta có 17a – 34 b M 17 3a + 2b M 17 ⇒ 17a − 34b + 3a + 2b M 17 ⇔ 2(10a − 16b)M 17 ⇔ 10a − 16bM 17 (2, 7) = ⇔ 10a + 17b − 16bM 17 ⇔ 10a + bM 17 b) Ta có f(0) = c f(0) M3 ⇒ c... b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7. 185 + 1) 19 = 7. k + ( k ∈ N*) 4133 = ( 7. 6 – 1)33 = 7. q – ( q ∈ N*) Suy : A = 3638 + 4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) M7 Bài : a) Chøng minh r»ng: 3n + − 2n... 7) x +1 ⇔ ( x − 7) ⇔ ( x − 7) − ( x − 7) x +1 ( x +1) x +11 x +1 − ( x − 7) x +11 =0 =0 1 − ( x − ) 10  =   1 − ( x − ) 10  =     x? ?7  x+1=0  ÷  ⇔   1−( x? ?7) 10 =0   ⇔  x? ?7= 010⇒