giao an boi duong HSG toan 9

 Giúp học sinh hình thành công thức tổng quát để phán đoán việc phânB. tích đa thức bậc cao (n, 2n → n chẵn).[r]

Ngày soạn: 28/09/2011 Ngày giảng: 30/09/2011

Chủ đề 1: Tiết +2 Những đẳng thức đáng nhớ

I/ Mục tiêu

 HS sử dụng thành thạo HĐT đáng nhớ vào giải số tốn khó  Bồi dưỡng cho HS khả phán đoán, suy luận toán học, tư logic  HS thấy phong phú tốn học từ mà thích mơn tốn

II/ Chuẩn bị:

GV: Chọn lọc tập HS: nắm HĐT III/ Tiến trình lớp:

A/ Ổn định tổ chức:

B/ Kiểm tra cũ: Viết công thức HĐT

C/ Bài mới:

Hoạt động thầy Hoạt động trị 1/ Tính nhanh kết biểu thức sau

2 114.43 43

57  

 A

572 2.57.43 432

 

 = (5743)2=

2

100 = 10000

) 15 ( ) 15 (

54 2

 

 

B

= (5.4)4 (154 1) 154 154 1   

  

C =502 492 482 472 22 12

   

 

=

502  492(482 472) (2212)

= (50 - 49)(50 + 49) + (48 – 47)(48 + 47) + … + (2 + 1)(2 – 1)

= 50 + 49 + 48 + 47 + … + + = (50 + 1) + (49 + 2) + … + (25 +26) = 51 25 = 1275

2/ So sánh số sau:

a/ A = 1999 2001 B = 20002

A = (2000 – 1)(2000 + 1) = 20002 

B = 20002

Vậy A < B

b/ C = (2 + 1)(221)(24 1)281 D = 216

Nhân vế C với – ta được: (2 – 1) C = (2 – 1) (2 + 1) (22 1)

 ( )

1 ( )

24

 

? ta thấy biểu thức A có dạng HĐT ? biểu thức B có chứa HĐT nào? Hãy KT ?

? Dùng tính chất kết hợp ta nên kết hợp để xuất HĐT

? dãy số tự nhiên từ đến 50 lớp ta làm ? ta cần biến đổi số A,B ?

= (24 1)(24 1)(28 1)  



= (28 1)(28 1) 

 = 216

Vậy C < D

3/ Chứng minh biểu thức sau dạng với giá trị x:

a/ A = 2   x x

= ( 2 1)    x x

= ( 1)2  

x > với x

b/ B =   x x

= 2 21 41 43

    

 



 x

x

= 12243   

 



x > với x

4/ Chứng minh biểu thức sau âm với giá trị x

a/ M = 2  

 x x

= ( 2 4)  

 x x

= - [ 2 1

 

 x

x ]

= - [( 1)2  

x < với x.

b/ N = 25 10 1,5  

 x x

= (25 10 1,5)  

 x x

= - [(25 10 1) 0,5]    x x

= - [(5 1)2 0,5  

x < với x

? tách để xuất HĐT (A B)2 

D Củng cố:

 Chú ý HĐT bậc

 (A B)2

 0giá trị biến

E Hướng dẫn:

 Xem chữa để nắm phương pháp  Bài tập nhà : 20 → 26 trang 19 SKT

……… Chủ đề 2: Tiết

Phân tích đa thức thành nhân tử

(Bằng phương pháp tổng quát) I Mục tiêu:

 Giúp học sinh hình thành cơng thức tổng qt để phán đốn việc phân

tích đa thức bậc cao (n, 2n → nchẵn)

 Rèn luyện vận dụng thành thạo công thức dễ dùng vào việc phân tích đa

II Chuẩn bị :

GV: Nghiên cứu tài liệu

HS: Ơn tập phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử III Tiến trình lên lớp

A Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xem vào học C Bài mới:

Hoạt động thầy Hoạt động trị Phân tích đa thức biến bậc

c bx ax x

f( ) 2  (a ≠ 0)

1/ Nhận xét

Một đa thức bậc dương (luôn âm) với giá trị biến khơng phân tích Chứng minh: giả sử f(x) phân tích f(x) = (ax + b) (mx + n)

Với x = a b

 → f(x) =

Trái với giả thiết cho f(x) > f(x) < 2/ Công thức

c bx ax x

f( ) 2  (a ≠ 0)

0 ]

4 )

2 [(

) 4

2 (

) (

2 2

2 2

2

2

 

 

  

 

  

a c a b

a b x a

a b a c a b a b x x

a

a c x a b x a

Với x

Thì f(x) > với x a > f(x) < với x a < → Khơng phân tích

 Nếu

  ac

b → Có thể phân tích

Chú ý:

 Nếu b2 4ac

 bình phương số hữu

tỉ phân thức dễ dàng

 Nếu b2 4ackhơng bình phương

số hữu tỉ khơng phân tích lớp 3/ Áp dụng: Phân tích đa thức sau:

1 3x24x5

2

 

 x x

? Có nhận xét đa thức bậc hai f(x) > f(x) <

3  

 x x

4 12 

 x

x

5 15 13  

 x x

6 x2  7x12

7 14

  x x

8

  x x

9

 

 x x

10.5x273x  32

11

2

 

 x x

12 12 11   x x

13 28   x x

14 4b2c2 (b2 c2 a2)2   

15   x x

Giáo viên cho học sinh thảo luận đề làm tập

Học sinh trình bày Học sinh khác nhận xét bạn

Giáo viên chốt lại cách làm Nên dùng cơng thức để phán đốn đa thức phân tích

D Củng cố: Vận dụng cơng thức để phán đốn phân thức đa thức

E Hướng dẫn: Xem lại tập chữa

Quan hệ chia hết I/ Mục tiêu

 Giúp học sinh nắm quan hệ chia hết tập hợp đa thức

 Rèn luyện kỹ tính tốn xác, vận dụng linh hoạt phương

pháp II/ Chuẩn bị:

GV: Nghiên cứu tài liệu

HS: Ôn luyện phép nhân, phép chia đa thức III/ Tiến trình lớp:

A Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học

C Bài mới

Hoạt động thầy Hoạt động trò

1/ Chia đa thức A(x) B(x) tồn đa thức q(x) r(x) cho:

A(x) = B(x)q(x) + r(x) (B(x) ≠

r(x) = →A(x) = B(x) q(x) ta nói A(x) chia hết cho B(x) r(x) ≠ →A(x) có bậc nho B(x) phép chia có dư 2/ Dùng đồng thức (hệ số bất định)

0 1 1 1 ) ( ) ( b b x b x b x g a x a x a x a x f x n n n n n n n n              

f(x) = g(x) →

               b a b a b a b a n n n n 0 1 1

Ví dụ 1: 4  

x > với x → vô nghiệm

  ) 2 ( ) 2 ( 4 4 2 2 2 4 x x x x x x x x x x             

Vậy đa thức bậc dương (âm) với x (khơng có nghiệm) phân tích

Ví dụ 2: 11   

 x x x

x

Dùng hệ số bất định

Ví dụ 3: ( )2 ( 1)       

 x x x x x x

x

Giáo viên giới thiệu cho học sinh phép chia đa thức cho đa thức Gồm phép chia hết phép chia có dư

Sử dụng số phương pháp có liên quan đến phép chia

3/ Một số dạng đặc biệt a/ Dạng a2 b2

 (trong 2ab = k2)

  ) )( ( 2 2 2 2 k b a k b a k b a ab ab b a b a             

b/ Dạng f(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + k

(Tổng hai số số a,b,c,d tổng số lại) Giả sử: a + b = c + d = m

f(x) =[(x+a)(x+b)][(x+c)(x+d)]+k

xx mxa babx xab mxx cdc dkx cd k

              ] ][ [ ] ) ( ][ ) ( [ 2 2

4/ Dạng 3 

 

 n m x

x (m, n số tự nhiên)

Luôn chứa nhân tử  x x

5/ Dạng xa4(xb)4k Đặt yxa2b

6/ Đa thức đối xứng

 Hệ số hạng tử bậc cao hạng tử tự

nhau

 Hệ số hạng tử cách hạng tử đầu cuối

nhau,

 Đa thức đối xứng (bậc lẻ đầy đủ) có tổng hệ số

của hạng tử bậc lẻ tổng hệ số hạng tử bậc cịn lại (Nếu nghiệm = -1 phân tích được)

 Đa thức đối xứng (bậc chẵn đầy đủ) đặt ẩn phụ:

7/ Áp dụng

a/ Tìm a, b để x4ax2b chia hết cho x2 3x2

→ (( 13) 22).. (( ))

2 x g x x x g x x b ax x        

→ x4ax2b chia hết cho (x-1) (x-2)

Theo Bơdu ta có f(1) = f(2) = → + a + b = 16 + 4a + b = →a = -5, b =

b/ Tìm a, b để f(x) = x3axb chia hết cho x12

3 ):( 1)

(x ax b x = (x + 2) + (a +3)x + b – d

Muốn x3ax bchia hết cho x12 r = (a + 3)x + b – d

=

→(a + 3)x = hay a = -3

Giáo viên giới thiệu số dạng đặc biệt

Yêu cầu học sinh làm ví dụ

Giáo viên gợi ý cách làm

Giáo viên giới thiệu tiếp dạng

Thế đa thức đối xứng

Giáo viên giới thiệu đa thức đối xứng bậc lẻ, bậc chẵn

Giáo viên cho học sinh thao luận giải tập lớp

Và b -2 =0 hay b =

c/ Tìm đa thức bậc thỏa mãn f(x) – f(x- 1) = x từ xuy cơng thức tính tổng 1+ + +…+ n - + n

Cho n chia hêt cho m chứng minh

Giáo viên chốt lại làm

D/ Củng cố:

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Quy trình thực phép chia đa thức

E/ Hướng dẫn nhà

Xem lại tập chữa

………

Chủ đề : Tiết

Phân tích đại số

I/ Mục tiêu:

 Giúp học sinh nắm khái niệm phân thức, giá trị xác định

của phân thức, hai phân thức

 Rèn kỹ tính tốn, trình bày khoa học sáng tạo với nhiều cách giải

tốn

 Giáo dục lịng say mê học mơn tốn cho HSG

II/ Chuẩn bị:

GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo HS: Ôn luyện lý thuyết

III/ Tiến trình lớp A Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học C Bài mới:

Hoạt động thầy Hoạt động trò

I/ Định nghĩa:

1/ Phân thức: BA (A, B đa thức, B ≠ 0)

2/ Hai phân thức nhau

BACD Nếu AD = BC

3/ Tính chất phân thức

N B

N A M B

M A B A

: :

 

II/ Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện biến để giá trị đa thức xác định

Giáo viên cho học sinh ôn lại khái niệm phân thức, hai phân thức

A = x x2 3x5x

  

(x ≠ 0, x ≠ 5) B = 41

2    x x x

(mọi x thuộc R) C = 2

4 y x y x  

(x ≠ y, x ≠ - y) D = 2 26 2

2     x x x x x

(x ≠ - 2) E = 2 1

3        x x x x x x x

(với x thuộc R) G = 4 33 3 1

2    x x x x

(x ≠ 1, x ≠ - 12 )

Bài 2:Với giá trị biền để giá trị phân thức a xx211 →

       0 1 0 1 x x

→ x = -1 b 3 21 2

3        x x x x x x x Ta có

+ 3 2

   

x x x

x ) ( ) ( ) ( ) ( ) (             x x x x x x x x

→x ≠ -2

+

    x x x

 12 ( 1)

  

 x x

x

→ x =

Vậy x= (thỏa mãn điều kiện) Bài 3: Tính giá trị biểu thức M = 25 5 32 35

  b a b a b a

(2a + ≠ 2b – ≠ 0) Biết 3a – b =

→ M = 25 5 32 35   b a b a b a

= 2 3 5  2(3 5 )    b b a b a b a a

= 22 55 22  55   b b a a =1-1=

Bài 4/ Cho 2a2 2b2

 = 5ab b > a >

Giáo viên cho hs làm

Hs làm bảng

Tính giá trị phân thức P = aa bb Ta có: 2 2

 

 b ab

a

→ a (2a – b) – 2b (a – b) = → (a – 2b) (2a – b) =

→ a = 2b (không thỏa mãn) hoạc b = 2a (thỏa mãn) P = 22 3 31

 

a a a

a a a

Bài 5/ Với giá trị x

a Giá trị biểu thức A =

   x

b Giá trị phân thức B =

   x

c Giá trị phân thức C =

3   

x x

Giáo viên chốt lại cách làm, giao tập cho học sinh làm

D Củng cố

Các kỹ biến đổi phân thức

E Hướng dẫn nhà

Xem lại chữa

……… Ngày soạn: 05/10/2011

Ngày giảng: 07/10/2011 Chủ đề 5: Tiết 7+8

Rút gọn phân thức

I Mục tiêu :

 Giúp học sinh nắm vững cách rút gọn phân thức giải tập

liên quan

 Phát huy tư cho học sinh qua việc phân tích đa thức thành nhân tử

và sử dụng phép biến đổi nhanh

 Học sinh thấy thuận lợi việc rút gọn

II Chuẩn bị

GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo HS: Ôn tập kiến thức III Tiến trình lớp

B Kiểm tra: Xen vào học

C Nội dung

Hoạt động thầy Hoạt động trò

Tổng quát N B N A B A : :

 (nhân tử chung) (B, M, N ≠ đa thức

Bài 1:    z y x xz yz xy z y x z y x z y x xyz z y x              

 3 2

3 3

= x2y2z2xy yz xz

Bài 2/ Cho y > x >  103 xy

y x

tính giá trị phân thức N = xx yy

Cách 1: xy y x xy y x y x y x

N 2 22

2 2                

Mặt khác:  103 xy

y x

→ x y xy

3 10 2  

Vậy N2 =

4 10 ) 10 ( 10 10             xy xy xy xy xy xy

Nhận xét: Do y > x > → x - y < 0, x + y > → N <0 Vậy N =  41  21

Cách khác: 10 2   xy y

x → 3 10

 

 y xy

x

Hay (x – 3y)(3x – y) = Vì < x < y < 3y nên y = 3x thoa mãn Vậy N = 33 42  21

     x x x x x x y x y x

Bài 3: Cho Q = 2 32 6 22 2 5      x x x x x

Rút gọn tìm giá trị x để phân thức có giá trị lớn

Q = (x12)24 21

Dấu xảy x = -1

Học sinh ôn tập phần quy tắc rút gọn phân thức

Giáo viên cho học sinh thảo luận đề giải tập

Cho học sinh lên bảng chữa Học sinh khác nhận xét bổ sung làm

Với dạng tính giá trị phân thức cần lưu ý thay đổi giá trị biến đổi biểu thức

Yêu cầu học sinh lên làm cách khác

Bài 4: Rút gọn phân thức sau:

P = ( 2) ( 2)

2 2 c ab c a bc a c ac b ac a bc        

M = 24 20 16 11 22 24 26           x x x x x x x x

=  

1 ) ( 16 20 24 2 20 24              x x x x x x x x x x

sinh nghiên cứu đề Học sinh thảo luận để giải tập

? so sánh phân thức ta cần lưu ý điều

Giáo viên chốt vấn đề: lưu ý dùng

phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

D Củng cố

Các phương pháp phân tích, quy tắc rút gọn phân thức tính giá trị biểu thức

E Hướng dẫn nhà

Xem lại tập chữa

……… Chủ đề 6: Tiết

Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn phân thức I Mục tiêu

 Giúp học sinh nắm phương pháp tìm GTNN, GTLN phân thức đại số  Rèn kỹ tìm GTLN, GTNN phân thức có dạng đặc biệt  Giáo dục thái độ nghiêm túc học tập

II Chuẩn bị

GV: Nghiên cứu tài liệu tham khảo

HS: Đọc trước SGK, SBT, tài liệu tham khảo III Tiến trình trình lớp

A Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học

C Nội dung

Hoạt động thâỳ Hoạt động trị

I.Dạng phân thức có tử số, mẫu là một đa thức bậc (ngược lại)

Bài 1: Tìm GTLN 2 1

  x x

A = 2 1   x

x =

8 4 ) ( 2     x Max A = 38 x 21

Bài 2: Tìm GTNN B = 4 32 10

  x x B = 6 ) ( 10 10 2

2 

          

 x x x x

x

Min B = -

2

tại x = -2

II Phân thức có tử thức đa thức bậc 2, cịn mẫu thức bình phương nhị thức Bài 3: Tìm GTNN M =

2 ) (    x x x ĐK: ( 1)2

    x x M = 2 2 ) ( 3 ) ( 3 ) (               x x x x x x x x x

Đặt y

x 1

để đưa M đa thức bậc M = 4 ) ( ) ( 3

3y2  y  y2 y  y  

Min M = 41 y = - 12 hay 11 12 

x → x =

-1

Bài 4: Tìm GTLN, GTNN Q = 11     x x x x

Q = 33(( 11)) 32( 12) 3( 11) 2 2               x x x x x x x x x x x x

→ Min Q = 31 x=1 Q = 3 ) ( 3 2 2 2                x x x x x x x x x

Max Q = x = -1

Chú ý: Các trường hợp cần nắm vững kiến thức

HS lên bảng làm GV học sinh khác bổ sungcho bạn

HS thảo luận làm ví dụ

GV yêu cầu HS làm cách khác

GV cho HS tham khảo tài liệu, sách phát triển toán 8, yêu cầu HS làm tiếp tập

GV chốt lại vấn đề: Lưu ý dùng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

D Củng cố

E Hướng dẫn nhà

Xem lại tập chữa Làm tập

……… Ngày soạn: 06/10/2011

Ngày giảng: 08/10/2011 Chủ đề 7: Tiết 10+11+12

Chứng minh bất đẳng thức

I Mục tiêu

 Giúp HS làm quen với BĐT cần thiết phải sử dụng việc chứng

minh cá BĐT

 Rèn kỹ biến đổi biểu thức phức tạp việc chứng minh BĐT  Phát huy tính sáng tạo cho HS dự sở quy tắc học Nhân

số dấu, khác dấu II Chuẩn bị

GV: Nghiên cứu tài liệu, sưu tầm BĐT HS: Ôn tập quy tắc nhân dấu

III Tiến trình lớp :

A. Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học

C. Bài mới

Hoạt động thầy Hoạt động trò Một số BĐT cần thiết

1/ Tổng số nghịch đảo nhau:

 

x y y x

(x, y số dấu)

2/ BĐT Côsi

Cho a, b, c số khơng âm Khi

ab ab

2

3 abc

c b a

  

Tổng qt: Trung bình cộng n số khơng âm lớn trung bình nhân chúng

Ta có:

n a a

a1  2   n

n

n

a a a1 2 

Với điều kiện a1a2 an số không âm Đẳng thức xảy a1a2  an

3/ BĐT bu nhi cốp ski

Cho số a, b, c x, y, z Khi đó:

a2b2(x2 y2)

 (axby)2

2 2 2

2 )( ) ( )

(a b c x y z axbycz

Tổng qt: Tích tổng bình phương n số tổng bình phương n số số lớn bình phương tổng n tích số tương ứng số

Chứng minh:

 

1 2 2 2 2

1 ) ( )

(a a  an b b  bn a b  anbn

Đặt A = 2

2

1 a an

a   

B = 2

2

1 b bn

b   

C= a1b1  anbn

Ta phải chứng minh AB C2



Nếu A = a1a2  an 0 → BĐT chứng

minh

Nếu B =

Nếu A, B ≠ với x ta có: ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1                      n n n n n

nx b a x a b x b

a b x b a x a b x a b x b a x a b x a

Cộng vế n biểu thức ta có:

0 ) ( ) ( )

( 2

2 1 2 2

1 a  an x  a b  anbn x b b  bn  a

Tức 2 0(1)    Cx B Ax

Vì (1) với x nên thay x = CA vào (1) Ta có 2 2 2 0

AB C AB C

A C B B A C C A C

A           

Xảy đẳng thức AB = C2

n nx b

a b x a b x

a   

 1 1, 2 2, ,

4/ BĐT Trê bư sép

Cho dãy số xếp theo thứ tự abcvàxyz Chứng minh BĐT (a + b +c)(x + y + z) ≥ 3(ax + by + cz)

GV giới thiệu BĐT

GV hướng dẫn HS chứng minh

? xét trường hợp GV cho HS thảo luận để làm

HS trình bày HS khác nhận xét bạn

GV giới thiệu BĐT Trê bư sếp

GV chốt lại cách làm

E Hướng dẫn: Xem lại tập chữa để vận dụng làm tập NC_PT toán

……… Ngày soạn: 12/10/2011

Ngày giảng: 14/10/2011

Chủ đề 8: Tiết 13+14

Các toán tứ giác

I/ Mục tiêu

 Hệ thống hóa kiến thức học chương trình tứ giác (về định nghĩa,

tính chất, dấu hiệu)

 Vận dụng kiến thức để giải tập dạy tính tốn, chứng minh,

tìm điều kiện hình

 Thấy mối quan hệ tứ giác học, góp phần rèn luyện tư

biện chứng cho hs

 Phát huy trí tuệ, óc sáng tạo cho hs

II/ Chuẩn bị:

GV: Dụng cụ vẽ hình, tham khảo tài liệu HS: Ôn tập lý thuyết

III/ Tiến trình lớp

A Ổn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học C Bài mới:

Hoạt động thầy hoạt động trị

Tứ giác - hình thang

Bài 1/ Tứ giác lồi ABCD có ˆ ˆ 1800

 D

B , CB = CD cmr

AC tia phân giác góc A

ˆ ˆ 1800

 D

B

CB = CD Aˆ1Aˆ2

Trên tia đối tia DA lấy E cho DE = AB Có BˆADC = 1800

EDC + ADC = 1800

B = EDC

ABCEDC(cgc) )

1 ( ˆ ˆ

1 E

A  

Mà AC = EC  ACE cân C  A2= E (2)

Từ (1) (2)  A1 A2

GV cho HS ghi đề toán

HS vẽ hình ghi GT_ KL

Yêu cầu HS nghiên cứu tìm cách giải lên bảng chữa

Hay AC tia phân giác góc A

Bài 2/ Cho ABC BC = a, Các trung tuyến BD, CE Lấy điểm M N cạnh BC cho: MB =MN = NC Gọi I giao điểm AM, BD Gọi K giao điểm AN CE Tính độ dài IK

BC = a EA = EB DA = DC

BM = MN =NC → IK = ?

DN // AM (tính chất đường trung bình) Mà BM = MN → IB = ID

Tương tự K trung điểm CE

Hình thang BEDC có IK đường trung bình (trung điểm đường chéo)

→ IK = (BC – ED) : =

4 : )

(a a a

Bài 3/ CMR tứ giác lồi ABCD hình thang cân A= B, BC = AD

Aˆ Bˆ

BC = AD Có ADBBCA(cgc) BDAC

 

 

 ACD BDC(ccc) ADCBCD

→ A +ADC = B + BCD hay a + ADC =1800→ DC // AB

Vậy ABCD hình thang cân (dấu hiệu nhận biết hình thang cân)

GV cho HS nghiên cứu tiếp tập

HS tìm cách giải

GV trao đổi với HS cách giải

GV cho HS tiếp tục nghiên cứu làm tập

Yêu cầu HS tìm cách giải

GV chốt lại cách giải toán tứ giác

D Củng cố: Lưu ý tính chất tam giác, hình thang, hình thang cân

E Hướng dẫn:

Xem lại tập chữa

Bài tập: CMR M giao điểm đường chéo tứ giác lồi ABCD MA + MB +MC + MD nhỏ chu vi lớn nửa chu vi tứ giác

Chủ đề 9: Tiết 15

Các tốn hình bình hành – hình vuông

I/ Mục tiêu:

 Trên sở nắm kiến thức tứ giác, hình thang HS ơn

luyện tốn tổng hợp

 Phát huy trí tuệ cho HS thông qua giải tập tứ giác đặc biệt:

hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vng

 Góp phần nâng cao tư óc sáng tạo cho HS

II/ Chuẩn bị:

GV: Dụng cụ vẽ hình, tham khảo nghiên cứu tài liệu HS: ÔN tập lý thuyết chương I

II/ Tiến trình lớp

A Ôn định tổ chức

B Kiểm tra: Xen vào học

C Bài mới

Hoạt động thầy hoạt động trị Hình bình hành – hình chữ nhật – hình thoi – hình vng

Bài 1:/ Cho hình vng ABCD (A = D = 900) có

AB = CD

2

Gọi H hình chiếu D AC M

trung điểm HC CM BMD = 900

Hình thang ABCD A = D

AC DH

MH = MC

90   BMB

Gọi N trung điểm HD

Ta có MN đường trung bình HDC → MN // DC, MN = DC

2

Mặt khác AB // MN AB // DC, AB = ( )

1

gt CD → AB = MN

Vậy ABMN hình bình hành (dấu hiệu) → AN // BM (1) ADM

 có DH AC,MNAD ANDM(2)

Từ (1), (2) BMD 900(dpcm) 



Bài 2/ Cho ABC cân A từ điểm D đáy BC, vẽ đường thẳng vng góc với BC, cắt đường thẳng AB,

GV cho HS ghi đề tốn

HS vẽ hình ghi GT_ KL

Yêu cầu HS nghiên cứu tìm cách giải lên bảng chữa

GV bổ sung cách làm HS

AC E, F Vẽ hình chữ nhật BDEH CDFK CMR A trung điểm HK

Gọi O, I tâm hình chữ nhật CDFK, BDEH  Bˆ1Dˆ1,

1 ˆ ˆ D

C  ( tính chất hình chữ nhật)

Mà Bˆ1Cˆ1 Bˆ1Dˆ1=Cˆ1=Dˆ2

Do đó: BE // DK, DH // CA

→ AIDO hình bình hành → OA = IO Mặt khác HI = ID → OA = HI

Ta có AO // IO → AH = IO (1)

Tương tự ta có AK // IO → AK = IO (2) Từ (1)và (2) → A, H, K thẳng hàng

Và AH = AK → A trung điểm HK (đpcm)

Bài 3/ Cho  ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, K thứ tự hình chiếu H AB, AC Gọi M trung điểm BC, CMR AM  IK

ABC, Aˆ 900 AH BC

HI AB HK AC MB = MC

IK AM  

Gọi O giao điểm AM, IK Có AIHK hình chữ nhật

ABC vuông A, MA = MB = MC = BC

2

→ MAK = MCK

Mà OAK = OKA (OA = OK = OI = OH) → MKA + OKA = MCK + OAK =900

IK AM hay

ANK 

 900

GV trao đổi với HS cách giải bổ sung thêm phần thiếu

GV cho HS tiếp tục nghiên cứu làm tập

Yêu cầu HS tìm cách giải

GV chốt lại cách giải toán

D Củng cố: Lưu ý tính chất hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật hình

vng

E Hướng dẫn: Xem lại tập chữa

………

Ngày giảng: 15/10/2011 Chủ đề 10: Tiết 16+17+18

Diện tích đa giác, diện tích tam giác – diện tích tứ giác

I/ Mục tiêu

 Giúp HS nắm khái niệm, tính chất, cơng thức tính diện tích đa giác  Rèn kỹ tính tốn xác

 Phát huy tư logic cho HS

 Giáo dục thái độ nghiêm túc học tập cho HS

II/ Chuẩn bị

GV: Dụng cụ vẽ hình, tham khảo nghiên cứu tài liệu HS: Ơn tập lý thuyết

III/ Tiến trình lớp

A/ Ổn định tổ chức

B/ Kiểm tra: Xen vào học

C/ Bài mới

Hoạt động thầy Hoạt động trò Bài 1/ Cho ∆ ABC cân A Gọi M điểm thuộc

đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI đường cao ∆ ABC CMR MH + MK = BI

Đặt AB = AC = a Ta có

) (

2 ) (

2

2 2

2

2

1

đpcm BI

a S a

S S a

S a

S MK MH

a S AC

S MK

a S AB

S MH

ABC AMC

ABM

 

 

  



 

 

Bài 2/ Cho ∆ ABC ( AC > AB) Đường cao BI Gọi D diểm nằm B, C Gọi BH, CK theo tứ tự đường vng góc kẻ từ B, C đến đường thẳng AD CMR a/ AD > AC b/ BH + CK > BI

Nếu 900 900

  thìADC

ADB

→ AD < AC

Nếu 900



ADB 900

 ADC

→ AD < AB < AC b/ Ta có: BI = (1)

AC SABC

GV cho HS ơn lại kiến thức tính diện tích đa giác cho

Yêu cầu HS nghiên cứu tìm cách giải lên bảng chữa

GV bổ sung cách làm HS

GV cho HS nghiên cứu tiếp tập

BH =

AD SABD

2

, CK =

AD SACD

2

BH + CK = 2( ) (2)

AD S AD

S

SABD ACD ABC

 

Mà AD < AC (3)

Từ (1), (2), (3) → BH + CK > BI

Bài 3/ Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN, CM CMR KD tia phân giác góc AKC Kẻ DH AK

DI KC Ta có:

DH AN = 2SADN (1) DI CM = 2SCDM (2) Mặt khác: SADN SABCD

2

 (tam giác va hình bình hành có

chung đáy AD đường cao) SCDM SABCD

2



) ( CDM ADN S

S 



Từ (1), (2) (3) → DH AN = DI CM Do AN = CM → DH = DI

Vậy KD tia phân giác goc AKC

GV trao đổi với HS cách giải bổ sung thêm phần thiếu GV cho HS tiếp tục nghiên cứu làm tập

Yêu cầu HS tìm cách giải

GV hướng dẫ HS làm nhiều cách khác GV chốt lại cách giải toán

D Củng cố: Cách tính diện tích theo cơng thức tính chất (

)

2

1 S Sn

S

S   

E Hướng dẫn: Xem lại tập chữa

Chủ đề 11: Tiết 11

phÐp nhân phép chia đa thức

Dạng tổng quát:

Phép nhân đơn thức với đa thức,đa thức với da thức: A(B+C) = A.B +A.C

( A + B)( C+ D ) = A C + A D + B C + B D Các toán vận dụng:

Bài toán 1:

Cho biÓu thøc: M =

433 432 229

1 ) 433

1 ( 229

3

 



-433 229

4



a) Bằng cách đặt a

229

, b

433

, h·y rót gän biĨu thøc M theo a vµ b

b) Tính giá trị biểu thức M Giải:

a) M = 3a(2b) a(1 b) 4ab5a

b) M =

229 229

1

5a

Bài toán 2:

Tính giá trị biểu thức:

A= 5 5

   

 x x x x

x víi x=

Giải:

Cách Thay x4, ta có A = 45-5.44 +5.43-5.42 +5.4-1

= 45-(4+1).44 +(4+1).43-(4+1)42+ (4+1).4-1

= 4-1 =

C¸ch 2: Thay bëi x1 , ta cã:

A = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)        

 x x x x x x x x

x

= x5 x5x4 x4x3 x3 x 2+x2 x

= x =

Nhận xét: Khi tính giá trị biĨu thøc, ta thêng thay ch÷ b»ng sè.Nhng ë vÝ dụ cách ví dụ 2, ta lại thay số chữ

Bài toán 3:

Chứng minh đẳng thức

2 )

)( ( ) )( ( ) )(

biÕt r»ng 2xabc

Gi¶i:

Biến đổi vế trái ta đợc:

) ( ) (

· 2

2 bx ab x cx bx bc x cx ab x x a b c ab bc ca

x                 

Thay abc 2x đợc vế trái  x2abbcca, vế phải

bµi tËp: Bµi tËp 1: Rót gän bĨu thøc

  

2 (5 )

2y x x y y x y x

Víi x a2 2ab b2,y a2 2ab b2

     

Bµi tËp 2:

a)Chøng minh r»ng 210 211 212



 chia hÕt cho

b) ViÕt 7.32 thµnh tỉng cđa ba l thừa số với số mũ ba số tự nhiên liên tiếp

Bài tập 3:

TÝnh 39 118 117 119 118 117 119 117      

Bµi tËp 4:

Chứng minh đẳng thức:

(( 2 )( ) ( ) ( ) ( )

ab c c ca b b bc a a c b a ca bc ab c b

a             

Bµi tËp 5:

Rót gän biĨu thøc (xa)(xb)(xc) biÓu r»ng abc6,abbcca7,abc60

Chủ đề 12: Tiết 12

các đẳng thức đáng nhớ

Ngoài bảy đẳng thức quen thộc,h/s cần biết đến đẳng thức mở rộng từ đẳng thức (1) ta suy ra:

ca bc ab c b a c b

a ) 2

( 2 2

        Më réng: n n n n

n a a a a aa a a

a a

a 12 22 12 1 2 1

2

1 )

(             Tỉng qu¸t: n b n a

n B b B a b

a )  ( )  ( ) 

(

C¸c vÝ dơ :

VÝ dơ 1:

Cho x+y=9 ; xy=14 Tính giá trị biểu thøc sau: a) x-y ; b) x2 +y2; c)x3+y3.

a) (x-y)2=x2-2xy+y2 =x2 +2xy+y2 -4xy=(x+y)2-4xy=92 -4.14=25=5

suy x-y = 5 b) (x+y)2 =x2 +y2 +2xy

suy x2 +y2 =(x+y)2 -2xy = 92 -2.14 = 53

c) (x+y)3= x3+y3+3x2 y+3xy2 = x3+y3+3xy(x+y)

suy x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y) =93-3.14.9 = 351

NhËn xÐt:

1 Hai số có bình phơng chúng đối nhau.Ngợc lại , hai số đối nhau có bình phơng

( A – B)2= ( B – A )2

2 §Ĩ tiƯn sư dơng ta cßn viÕt:

( A + B)3 = A3+ B3

+ 3AB(A+B) ( A – B)3 = A3- B3 - 3AB(A-B )

VÝ dô 3:

Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = (x + 3y – 5)2- 6xy + 26

Gi¶i :

A = x2+ 9y2 + 25 + 6xy – 10x -30y – 6xy + 26

= ( x2- 10x + 25) + ( 9y2 - 30y + 25 ) + 1

= ( x -5)2 + ( 3y-5)2+ 1

V× (x-5)2  (dÊu “ =” x¶y  x=5 ); (3y-5)2 0 (dÊu “=” x¶y ra

y=

) nên A 1.Do GTNN a =1 (khi x=5 ; y

 )

Ta viÕt A = NhËn xÐt :

1 Các đẳng thức đợc vận dụng theo hai chiều ngợc Chẳng hạn:

(A – B )2 = A2 - 2AB + B2 ngợc lại

2 Bỡnh phng ca mi số không âm : ( A – B )2 0 (dấu “ =” xảy  A = B).

VÝ dơ 4:

Cho ®a thøc 2x2- 5x +3.Viết đa thức dới dạng đa thức

của biến y y =x+ Giải: thay x y-1, ta đợc :

1x2- 5x +3 = 2( y – 1)2- 5( y-1 ) + 3

= 2y2 - 9y + 10

VÝ dô 5:

Số lớn hai số A B ? A = (2+1)(22 +1)(24 +1)(28+1)(216+1)

B = 232.

Gi¶i:

Nhân hai vế A với 2-1, ta đợc : A = (2-1)(2+1)(22 +1)(24 +1)(28+1)(216+1).

áp dụng đẳng thức (a+b)(a-b) = a2 - b2 nhiều lần, ta đợc:

A = 232-1 VËy A < B.

VÝ dơ 6:

Rót gän biĨu thøc :

A = (a + b + c)3 + (a - b – c)3 -6a(b + c)2.

Gi¶i :

A = [a + (b + c)]3 + [a – (b + c)]3- 6a(b + c )2

= a3+ 3a2(b + c) + 3a(b + c)2+ (b + c) + a3-3a2 (b + c) +

+ a3- 3a2(b + c) + 3a(b + c)2- (b + c)3 - 6a(b + c)2 = 2a

3

Bµi tËp vËn dơng:

A – Các đẳng thức (1),(2),(3),(4) Bài 6:

TÝnh nhamh kÕt biểu thức sau: a) 1272 +146.127 + 732 ;

b) 98.28 - (184 - 1)(184 + 1) ;

c) 1002 - 992 + 982- + 22 - 12

d) (202+182+ +42 +22 ) – (192 +172 + +32+12 ) ;

e) 2

2

75 125 150 125

220 780

 



Bài :

Tính giá trị biểu thức cách hợp lí : a) A = 2 2

2

246 254

242 258



 ; b) B = 2632 + 74.263 + 372 ; C = 1362-92.136 + 462 ;

c) D = (502 + 482 + +22) – (492 +472+ +32 + 12 )

Bµi :

Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca Chng minh r»ng a = b = c

Bµi :

D C B A

x2 + 2x + 4n - 2n1+2 = 0.

B – Các đẳng thức (5), (6), (7) : Bài 10 :

Rót gän c¸c biĨu thøc : a) x(x-1)(x+1) – (x+1)(x2-x+1) ;

b) 3x2(x+1)(x-1) – (x2-1)(x4+x2+1)+(x2-1)3; c) (a+b+c)3+((a-b-c)3+(b-c-a)3+(c-a-b)3 ; Bài 11 :

Tìm x biết :

6(x+1)2-2(x+1)3+2(x-1)(x2+x+1) = 0 Bµi 12 :

Chứng minh đẳng thức : (a+b+c)3 = a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(c+a). Bài 13 :

Cho a+b+c+d = Chøng minh r»ng :

a3+b3+c3+d3 = 3(ab – cd)(c +d) Bµi 14 :

Cho a+b = Tính giá trị cña M = 2(a3+b3) – 3(a2 +b2)

………

Chủ đề 13: Tiết 13

Tứ Giác hình Thang Hình thang cân

*) Khái niệm chung tứ giác: +) Định nghĩa :

a) Tứ giác ABCD hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA hai đoạn thẳng không nằm đờng thẳng

A, B, C, D đỉnh ; AB, BC, CD, DA cạnh

Ta xét tứ giác đơn cạnh cắt đỉnh Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề (cùng nằm cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ đỉnh) với hai cạnh đối

(kh«ng kỊ nhau)

Đờng chéo tứ giác đoạn thẳng nối hai đỉnh đối

Trong tập hợp , điểm mặt phẳng chứa tứ giác đơn, ta phân biệt điểm thuộc tứ giác, điẻm tứ giác, điểm tứ giác

b) ABCD tứ giác lồi  ABCD thuộc nửa mặt phẳng với bờ đờng thẳng chứa cạnh

Tứ giác (đơn) khơng lồi tứ giác lõm Trong hình, ABCD t giỏc li

3 Định lí:

M

C A

B

j

M' M

B

C A

Định lí : Trong tứ giác lồi , hai đờng chéo cắt

Đảo lại, tứ giác có hai đờng chéo cắt tứ giác lồi ABCD lồi  ABCD có hai đờng chéo cắt

Để chứng minh định lí, cần nhớ lại định lí sau đây:

(I) Tia Oz nằm gọc xOy tia Oz cắt đoạn thẳng MN, víi MOz, NOy

(II) NÐu tia Oz n»m xOy Oz Oy nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy; Oz O x nằm nửa mặt phẳng bờ chứa Oy

(III)

Cho tam gi¸c ABC

a) C¸c trung tuyÕn xuÊt ph¸t từ điểm A C cắt điểm M Tứ giác ABCM lồi hay không lồi? Vì sao?

b) M điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh tam giác) Với vị trí điểm M ABCM tứ giác lồi?

c) M N hai điểm tuỳ ý thuộc miền tam giác ABC( không thẳng hàng với đỉnh tam giác) Chứng minh năm điểm A, B, M, N, C chọn đợc bốn điểm đỉnh tứ giác lồi

Gi¶i

a) ABCM khơng lồi (lõm), B C nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa AM (h 2a)

b) Kết câu a/ M im bt

kì thuộc miền tam giác ABC Nếu M thuộc miền ABC có hai trêng hỵp :

- M góc đối đỉnh góc

của tam giác h 2b, M góc đối đỉnh góc B Dễ thấy lúc đỉng B lại điểm thuộc miền tam giác MAC, AMCB khơng lồi(lõm)

- M góc tam giác hình 2b, M’ nằm góc A Do AM’ tia góc A, mà A M’ nằm hai phía cạnh BC, đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC ABM’C tứ giác lồi

Tóm lại, h 2b, miền đợc gạch chéo tập hợp điểm M mà MABC tứ giác lõm

M N

C A

B

o

C

D A

B

c) Đờng thẳng qua hai điểm M N không cắt cạnh tam giác ABC Trong h 2c, đờng thẳng MN không cắt AC Tứ giác MNCA tứ giác lồi(điểm N thuộc miền ngồi tam giác MAC nằm góc MAC)

H 2a

c¸c vÝ dơ :

VÝ dô 1:

Chứng minh tứ giác lồi tổng độ dài cạnh(chu vi) lớn tổng độ dài đờng chéo nhỏ hai lần tổng độ dài đờng chéo *) Nhận xét :

Đây toán chứng minh bất đẳng thức độ dài nên kẻ thêm đờng phụ, xét tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong tam giác, toỏng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh thứ ba”

Gi¶i

Cho tứ giác ABCD(h 7) Ta phải chứng minh : AC + BD < AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) 1) Chøng minh AC + BD < AB + BC + CD + DA Ta cã :

AC < AB +BC (bất đẳng thức ABC)

AC < AD + DC (bất đẳng thức ADC)

BD < BC + CD (bất đẳng thức trongBCD)

BD < BA + AD (bất đẳng thức BAD)

Từ :

2( AC + BD) < 2(AB +BC + CD + DA) AC + BD < AB + BC + CD + DA 2) Chøng minh

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) Trong tam giác ABO CDO, ta có :

AB < BO + OA (1)

CD < CO + OD (2)

Céng (1) vµ (2) ta cã :

AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < BD + AC (3) Tơng tự, tam giác BCO ADO, ta cã :

AD + BC < BD + AC (4) Từ (3) (4) ta đợc :

AB + BC + CD + DA < 2( AC + BD) (®pcm) *) NhËn xÐt:

O C

D

A

B

Q F

P

D C

B A

“ Trong tứ giác giác lồi, tổng hai cạnh đối nhỏ tổng hai đờng chéo”

2) Nếu tứ giác ABCD khơng lồi, hai bất đẳng thức có cịn khơng ? sao?

VÝ dơ 2:

Cho tứ giác lồi ABCD, Tronh AB + BD khơng lớn AC + CD Chứng minh : AB < AC

Giải

Gọi giao điểm AC BD O Trong tam giác AOB, ta có :

AB < AO + OB (1) Trong tam gi¸c COD, ta cã :

CD < CO + OD (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã :

AB + CD < BO + OD + CO + OA AB + CD < AC + BD (3) Theo gi¶ thiÕt :

AB + BD  AC + CD (4) Tõ (3) vµ (4) suy AB < AC.(®pcm)

VÝ dơ :

Cho tø giác lồi ABCD Gọi P Q trung điểm hai cạnh AD BC Chứng minh :

PQ 

2

AB DC

Gỵi ý :

ở có bất đẳng thức độ dài đoạn thẳng , nên kẻ đờng phụ để có hình tam giác, lại có trung điểm cạnh, nên nhgĩ đến việc áp dụng định lí đờng trung bình tam giác

Gi¶i GT Tø gi¸c ABCD

PA = PD, QB = QC KL PQ 

2

AB DC

Cm:

Ta kẻ thêm đờng chéo AC lấy trung điểm F

cña AC

Trong tam giác ACD, PF đờng trung bình, :

PF =

DC

Trong tam giác ACD, PF đờng trung bình : QF =

2

AB

PQ < PF + QF =

AB DC

Nếu P, Q, F thẳng hàng F điểm nằm hai đoạn thẳng PQ ta cã : PQ = PF + QF =

2

AB DC

Nh vËy mäi trêng hỵp, ta cã : PQ 

2

AB DC

( ®pcm) NhËn xÐt :

Cã thĨ thÊy r»ng :

P, Q, F thẳng hàng  AB//CD Do ta chứng minh đợc :

PQ 

2

AB DC

Trong dấu = xảy AB//CD

Nh vậy, qua việc giải toán trên, ta chứng minh lúc hai định lí: (1) Nếu ABCD hình thang (AB//CD) PQ =

2

AB CD

(2) NÕu ABCD không hình thang (AB//CD) PQ

AB CD

vµ PQ <

2

AB DC

Các tập :

Bài tËp 1:

Cho A, B, C, D bốn đỉnh tứ giác lồi,E điểm thuộc miền ttam giác OCD, với O giao điểm hai đoạn thẳng AC BD Chỉ tứ giác lồi nhận bốn năm điểm A, B, C, D, E

Bµi tËp 2:

Chứng minh từ năm điểm mặt phẳng(khơng có ba điểm thẳng hàng) Bao chọn đợc bốn điểm đỉnh tứ giác lồi

Bµi tËp 3:

Chøng minh r»ng mét tứ giác lồi có góc không cã Ýt nhÊt mét gãc tï

Bµi tËp 4:

D C B A

D

C B A

D C

B A

O K L

B C

A

*) hình thang hình thang cân:

Hình thang: -) Định nghĩa:

Hình thang tứ giác có hai cạnh song song AB//CD

ABCD hình thang (AB//CD,AD//BC) AD//BC

Trong hình thang, hai

cạnh song song hai cạnh đáy; hai cạnh hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên gọi đờng trung bình

2 Định lí (về đờng trung bình)

AB//CD  PQ//AB PQ =

CD AB

hình thang cân

1 Định nghĩa:

Hỡnh thang cõn l hình thang có hai gọc đáy Tớnh cht:

Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên Hình thang ABCD (AB//CD) :  BC= AD

Định lí : Trong hình thang cân hai đờng chéo

H×nh thang ABCD(AB//CD) :  AC = BD

Định lí :(đảo định lí 2)

Nếu hình thang có hai đờng chéo hình thang cân Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:

Để chứng minh hình thang cân, ta chứng minh hình thang có tính chất sau :

1) Hai gọc đáy nhau(định nghĩa) 2) Hai đờng chéo

VÝ dô :

Cho tam giác ABC cân, đỉnh A Lấy điểm E, K lần lợt tia AB AC cho :

AE + AK = AB + AC Chøng minh r»ng : BC < EK Gi¶i :

O

E D H C

B A

LÊy trªn AC mét ®iĨm D cho AD = AE

Rõ ràng tam giác ALK AED tam giác cân có chung góc đỉnh A nên góc đáy chúng Suy LK// ED, DELK hình thang cân, có đờng chéo

DL = EK (1)

Gọi O giao điểm hai đờng chéo DL EK, ta xét tổng : EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)

= (EO + OD) + (OK + OL)

Từ (1) đẳng thức cuối này, ta có :

2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2) Nhng tam gi¸c OKL, ta cã :

OK + OL > LK (3)

Trong DEO : EO + OD > ED (4) Tõ (2), (3) vµ (4) : 2EK > LK + ED (5)

Tõ gi¶ thiÕt AE + AK = AB + AC Suy BE = CK

Mặt khác dễ thấy BCDE hình thang cân nên BE = CK

VËy DC = CK

Tơng tự, ta chứng minh đợc B trung điểm EL Từ đó, BC ;là đờng trung bình hình thang DELK, suy :

LK + ED = 2BC (6)

Tõ (5) vµ (6), ta cã : EK > BC ( ® p c m) VÝ dơ :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đờng chéo vng góc Biết đờng cao AH = h, Tính tổng hai đáy

Gi¶i :

VÏ AE// BD (ECD) Vì AC BD (gt) nên ACAE (quan hệ tính song song vuông góc)

Ta cã AE = BD ; AB = DE (tÝnh chÊt đoạn chắn)

AC = BD (tớnh cht ng chộo hình thang cân)Suy AC

= AE ; AEC vuông cân A ; đờng cao AH

là trung tuyến, AH =

1

EC (AB CD)

2 2  hay

AB + CD =2h

NhËn xÐt:

Khi giải tốn hình thang, đặc biệt hình thang cân, cần vẽ đờng phụ ta :

- Từ đỉng vẽ đờng thẳng song song với đờng chéo (nh ví dụ trên) - Từ đỉnh vẽ đờng thẳng song song với cạnh bên

2

2

A

D H C

B K

VÝ dơ :

Cho tø gi¸c ABCD cã AD = AB = BC vµ A C 180 

  Chøng minh r»ng a) Tia DB tia phân giác góc D

b) Tứ giác ABCD hình thang cân Giải :

a) VÏ BHCD, BKAD Ta cã  

1

A C(cïng bï víi A 2)

đó BHC = BKA(cạnh huyền, góc nhọn), suy

ra BH = BK

Vậy DB tia phân giác cđa gãc D

b) Góc A1 góc ngồi đỉnh A tam giác cân ADB nên    

1 1

A 2D  A ADC AB// CD(vì có cặp góc đồng vị

bằng nhau)

Vậy tứ giác ABCD hình thang Hình thang có

1

ADC C (vì bằngA 1)

nên hình thang c©n

NhËn xÐt :

Để chứng minh tứ giác hình thang cân, trớc tiên phải chứng minh tứ giác hình thang, sau chứng minh hai góc kề đáy nhau(theo định nghĩa) hai đờng chéo

Trong ví dụ trên, sau chứng minh đợc AB//CD cần tránh sai lầm cho AD = BC (gt) nên ABCD hình thang cân, sai lầm chỗ hình thang có hai cạnh cha hình thang cõn

Các tập vận dụnG

Bài tËp 5:

Cho tứ giác lồi ABCD AD = DC đờng chéo AC phân giác góc DAB Chứng minh ABCD hình thang

Bµi tËp :

Chứng minh hình thang đờng thẳng qua trung điểm cạnh bên song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên Bài tập 7:

Cho tứ giác ABCD CD> AB Gọi E, F lần lợt trung điểm BD AC Chứng minh

nÕu E F =

AB CD

thì tứ giác ABCD hình thang Bài tập 8:

Cho tam giỏc ABC AB > AC Gọi H chân đờng cao kẻ từ đỉnh A M, N, P lần lợt trung điểm cạnh AB, AC, BC

Chứng minh tứ giác MNHP hình thang cân Bài tập 9:

F E

D C

B A

E F

C D

A

N M

D C

B A

O

N M

B

A

AE + AK = AB +AC Chøng minh r»ng : BC < EK

………

Chủ đề 14: Tiết 14

§êng trung bình tam giác, hình thang

*) Kiến thức :

1 a) Đờng thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ hai qua trung ®iĨm cđa c¹nh thø ba

b) Đờng thẳng qua trung điểm cạnh bên hình thang song song với hai đáy qua trung điểm cạnh bên thứ hai

2 a) §êng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác (h.8)

b) Đờng trung bình hình thang đoạn nối trung điểm hai cạnh bên hình thang.(h.9)

h.8

h.9

3.a ) Đờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh b) Đờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy

Bỉ sung :

Trong hình thang có hai cạnh bên không song song, đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo song song với hai đáy nửa hiệu hai đáy

Trong h.10 :

MN // AB // CD

CD AB

MN

2





C¸c vÝ dô minh häa

*) VÝ dô 1:

Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AD BC Chứng minh MN AB CD

2



 th× tứ giác ABCD hình thang Giải :

Gi O trung điểm BD Các đoạn thẳng OM, ON lần lợt đờng trung bình ABD BCD nên

AB OM

2

 vµ OM // AB ; (1)

P Q N M

D C

B A

ON = CD

2 vµ ON // CD ; (2)

Suy O nằm M N Vậy ba điểm M, O, N thẳng hàng (3) Từ (1), (2), (3) suy AB // CD tứ giác ABCD hình thang

+) NhËn xÐt :

Trong giả thiết tốn có trung điểm hai cạnh đối tứ giác, nối hai điểm ta cha đợc đờng trung bình tam giác Vì ta vẽ thêm trung điểm đờng chéo BD ( AC ) vận dụng đợc định lí đờng trung bình tam giác để chứng minh

Việc vẽ thêm trung điểm đoạn thẳng để vận dụng đờng trung bình tam giác việc vẽ đờng phụ thờng gặp giải tốn hình học

*) VÝ dơ :

Cho hình thang ABCD ( đáy AB nhỏ đáy CD ) Tìm điều kiện hình thang để hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phần

Gi¶i :

Gọi M, N lần lợt trung điểm AD BC ; MN cắt BD P, cắt AC Q ; MN đờng trung bình hình thang nên MN // AB // CD

XÐt ABD cã MA = MD ; MP // AB nªn PB = PD XÐt ADC cã MA = MD ; MQ // CD nªn QA = QC

MP NQ lần lợt đờng trung bình ABD ABCnên AB

MP NQ

2

 

PQ đoạn nối trung điểm hai đờng chéo hình thang ABCD nên

CD AB

PQ

2





Ta cã : MP = +Q = QN AB2 CD AB

2



 

AB CD AB CD 2.AB

  

 

+) NhËn xÐt :

Nếu khơng có điều kiện đáy AB nhỏ đáy CD AB = 2.CD , chứng minh tơng tự nh ta có hai đờng chéo chia đờng trung bình thành ba phần

Tóm lại, hình thang có đáy gấp đơi đáy hai đờng chéo chia đờng trung bình làm ba phần

*) VÝ dô :

Từ ba đỉnh tam giác, hạ đờng vng góc xuống đờng thẳng d khơng cắt cạnh tam giác Chứng minh tổng độ dài ba đờng vng góc gấp ba lần độ dài đoạn thẳng vng góc hạ từ trọng tâm tam giác xuống đ-ờng thẳng d

F O

D M

B

H N I G P K

C E A

F E

H

C

A N B

B' M

A'

Giả sử ABC có ba đờng trung tuyến AD, BE, CF cắt O; đoạn thẳng AG, BH, OI, CK vuông góc với đờng thẳng d Ta phải chứng minh:

AG + BH + CK = 3OI

Tõ trung điểm M BO từ E, ta hạ MN EP

vuông góc với d Ta có BH // MN // OI // AG //

EP //CK ( chúng vuông góc với d) Vì O

tọng tâm tam giác

ABC nên BM = MO = OE

Ta lại có HN = IN = IP (đờng thẳng song song cách đều) Nh ta đợc ba hình thang vng BOIH, MEPN, ACKG lần lợt có MN, OI, EP đờng trung bình Từ suy

MN + EP = 2.OI hay 2MN + 2EP = 4.OI (1) Nhng 2MN = BH + OI, 2EP = AG + CK, thay vào (1) ta đợc

BH + OI + AG + CK = 4.OI suy AG + BH + CK = 3.OI

 VÝ dô :

Cho điểm C đoạn thẳng AB Dựng tam giác vuông cân ACA, BCB tam gi¸c ABC (A ' AC = CBB' = 1v ) Chứng minh vị trí điểm M ( trung điểm AB) không phụ thuộc vào vị trí chọn điểm C

Giải :

H AH, C E B’F vng góc với đờng thẳng AB Ta dễ dàng chứng minh đợc cặp tam giác vuông sau :

A' HA = AEC (1) B'FB = BEC (2)

 

 

Suy AH = BF = CE Gọi N

trung điểm HF N

trung điểm AB MN

đ-ờng trung bình hình thang

vuông

AHFB nên

A'H + B'F MN AB vµ MN =

2



Nhng tõ (1) vµ (2) ta cã A’H = AE ; B’F = BE

nªn MN = AE + BE AB

VËy MN vu«ng gãc với AB trung điểm N AB MN = AB

2 , nghĩa vị trí điểm M đợc hồn tồn xác định khơng phụ thuộc vào việc chọn điểm C ( C điểm bất kì, C M thuộc nửa mặt phẳng có bờ l ng thng AB)

các tập vận dụng

Bài 1:

Cho tam giác ABC có A = Trên cạnh CA lấy điểm D cho CD = AB Kẻ đ-ờng thẳng xy qua trung điểm AD BC tính góc đđ-ờng thẳng xy tạo với AB Bài :

Trên hai cạnh góc nhọn xOy, ta đặt đoạn thẳng AB CD ( A nằm O B, C nằm O D) Các điẻm I E lần lợt trung điểm AC BD Chứng minh đờng thẳng IE song song với tia phân giác góc xOy

Cho tam giác ABC Dựng tam giác vuông cân ABD( vuông A, D C thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), dựng tam giác vuông cân AEC ( vuông A, E B thuộc nửa mặt phẳng bờ AC) Gọi K, I, M lần lợt trung điểm EC, BD BC Chứng minh tam giác KMI vuông cân

Bài 4:

Cho hai điểm A B đờng thẳng xy tìm hệ thức khoảng cách từ trung điểm O đoạn thẳng AB đến xy khoảng cách từ A B đến xy

Bµi5 :

Cho tam giác ABC Đờng thẳng xy qua đỉnh A Gọi B’ C’ chân đờng vuông góc kẻ từ B C xuống xy Hãy xác định vị trí đờng thẳng xy để tổng BB’ + CC’ đặt giá trị lớn

………

Chủ đề 15: Tiết 15

ph©n tích đa thức thành nhân tử

*) Kiến thức bản:

1 Phõn tớch a thc thnh nhõn tử biến đổi đa thức thành tích đa thức

2 Các phơng pháp thông thờng : +) Phơng pháp đặt nhân tử chung

AB + AC – AD = A(B+C-D) +) Phơng pháp dùng đẳng thức :

A2 2AB + B2 = (AB)2

A3 3A2B + 3AB2  B3= (A B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B)

A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 AB + B2) +) Phơng pháp nhóm hạng tử :

AC AD + BC BD = (C –D )(A + B) *) N©ng cao :

1 Dạng tổng quát đẳng thức hiệu hai bình phơng, hiệu hai lập phơng :

An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B + + ABn-2 + Bn-1).

An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - AB2 + Bn-1). áp dụng vào tÝnh chÊt chia hÕt :

An – Bn  A – B víi n N vµ A B ; An + Bn  A + B víi n lỴ vµ A-B :

A2k – B2k  A2 – B2 với kN AB ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư : a) x2 – 6x + ;

b) 9x2 + 6x -8 ;

Giải : Ba hạng tử đa thức khơng có nhân tử chung , khơng lập thành bình phơng nhị thức Do ta nghĩ đến việc tách hạng tử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn năm hạng tử

a) C¸ch x2 -6x + = x2 – 2x – 4x + = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2) (x- 4)

C¸ch x2 – 6x + = x2 – 6x + – = (x -3)2- = (x – 2)(x – 4) C¸ch x2 – 6x +8 = x2 - - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x- 4) C¸ch x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2)

b) Có nhiều cách tách hạng tử thành hai hạng tử khác, hai cách sau thơng dụng :

Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung

9x2 +6x – = 9x2 -6x + 12x – = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x + 4)

Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử đa đa thức dạng hiệu hai bình phơng

9x2 + 6x – = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2).

*) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dựa vào đẳng thức :

mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q)

Nh tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b đợc tách thành b

1 + b2 cho b1b2 =ac

Trong thùc hµnh ta lµm nh sau : Tìm tích ac

2 Phân tích ac tÝch cđa hai thõa sè nguyªn b»ng mäi cách Chọn hai thừa số mà tổng b

Trong đa thức 9x2 + 6x -8 a=9, b=6, c = -8. Bíc : TÝch ac = (- 8) = -72

Bớc : Phân tích -72 tích hai thừa số trái dấu, thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn ( để tổng hai thừa số 6)

Trong trêng hỵp tam thøc ax2 + bx +c có b số lẻ, a không bình ph-ơng số nguyên giải theo cách gọn cách

Ví dụ : Phân tích thành nhân tử :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12.

Giải : Ta nhận thấy đặt x2 +x =y đa thức có dạng y2 + 4y -12 tam thức bậc hai y Ta có :

y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x +6) (x2 +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1)

Cách làm nh gọi đổi biến

Chú ý : Tam thức bậc hai ax2 +bx +c không phân tích tiếp đợc nhân tử phạm vi số hu t nu :

Theo cách 1, phân tÝch ac tÝch cđa hai thõa sè nguyªn b»ng cách, hai thừa số có tổng b,

Theo cách 2, sau đa tam thức dạng a x2 k k không bình phơng số hữu tỉ

Tam thức x2 +x +6 khơng phân tích thành nhân tử đợc nữa(trong phạm vi số hữu tỉ) :

Theo c¸ch 1, tÝch ac =6 =1.6= 2.3, hai thừa số có tổng Còn theo cách 2, x2 + x+6 = x2 + 2x.

2

+

+ 23

= (x +

)2 +

4 23

Ta thÊy

4 23

không bình phơng số hữu tỉ Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x3 + 3x2 – 4.

Giải : Ta tách hạng tử đa thức phơng pháp tìm nghiệm đa thức Ta nhắc lại a nghiệm đa thức f(x) f(a)= Nh đa thức f(x) chứa nhân tử x-a a phải nghiệm đa thức Ta lại ý rằng, đa thức có nhân tử x-a nhân tử cịn lại x2 + bx + c, suy –ac = -4, tức a phải ớc -4 Tổng quát, đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ớc hạng tử không đổi Ước -4 1, 2, 4 Kiểm tra ta thấy -1 nghiệm đa thức Nh đa thức chứa nhân tử x-1, ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung x-1

C¸ch x3 +3x2 – 4 = x3 -x2 + 4x2 -4

= x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) =(x-1)(x+2)2.

C¸ch x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3

= (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3)

= (x-1)(x+2)2.

VÝ dô : Phân tích thành nhân tử : 2x3 -5x2 + 8x -3.

Giải : Các số 1, 3 không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm nguyên Nhng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên , nghiệm hữu tỉ có phải có dạng qp p ớc hệ số tự do,q ớc dơng hệ số cao Nh nghiệm hữu tỉ có đa thức 1, 

2

,3, hc 

2

Sau kiÓm tra ta thấy x=

nghiệm nên ®a thøc chøa nh©n tư x-

2

hay 2x-1 Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung 2x-1

2x3 -5x2 +8x -3

= 2x3 –x2 -4x2 +2x +6x -3 = x2 (2x-1)-2x(2x-1) + 3(2x-1) = (2x-1)(x2 – 2x +3).

Có thể giải tập phơng pháp hệ số bất định : đa thức phân tích đợc thành nhân tử phải có dạng :

(ax +b)(cx2 +dx +m). Phép nhân cho kết :

acx3 +(ad +bc)x2 +(am +bd)x +bm.

Đồng đa thức với 2x3 -5x2 +8x -3, ta đợc ac =2, ad +bc =-5, am +bd =8, bm =-3

Có thể giả thiết a > (vì a < ta đổi dấu hai nhân tử), a=1 a=2

XÐt a=2 th× c=1, ta cã 2d +b =-5, 2m +bd =8, bm = -3 ;b cã thÓ b»ng1, 

XÐt b =-1 m=3, d=-2 thoả mÃn điều kiện Vậy a=2, c=1, b=-1, m=3, d=-2

Ta cã :

2x3 -5x2 +8x -3= (2x-1)(x2 – 2x +3). VÝ dô 5:

Cho x y hai số khác nhau, thoả mÃn điều kiện : 9x(x-y) 10(y x)2 = 0.

Chøng minh r»ng: x = 10y Gi¶i:

9x(x – y) – 10(y-x)2 = 9x(x-y) -10(x-y)2 =(x-y)[9x -10(x-y)]=(x-y)(10y –x)

Theo đề ta có (x-y)(-x +10y) = Vì xy nên –x +10y = hay x = 10y

C- tập vận dụng

Bài tập 1:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 5x(x -2y) + 2(2y –x)2 ; b) 7x(y -4)2 – (4 –y)3 ; c) (x2 +4y2 -5)2 – 16(x2 y2 +2xy +1).

f) a5 + b5 – (a+b)5 Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng:

a) 432 + 43 17 60

b) 2110 - 1

200

c) 20052007 + 20072005

2006

d) 495 – 49

100

Bµi tËp 3: Cho x2y-y2x + x2z – z2x+ y2z+z2y = 2xyz

Chứng minh ba số x,y,z có hai số đối

Bµi tËp :

Phân tích thành nhân tử : a) x5+x + 1

b) x7+ x2+ 1. Bµi tËp :

Phân tích đa thức sau thành nh©n tư : a) A = (a-b)3 + (b-c)3+ (c-a)3

b) B = (a+ b -2c)3 + (b + c -2a)3 + (c + a – 2b)3. Bµi tËp :

Phân tích đa thức A thành tích nhị thức bậc với đa thức bËc ba víi hƯ sè nguyªn cho hƯ sè cao đa thức bậc ba 1:

A = 3x4 + 11x3 – 7x2 – 2x + 1. Bài tập :

Phân tích đa thức B thµnh tÝch cđa hai tam thøc bËc hai víi hƯ sè nguyªn : B = x4– 6x3 + 11x2 – 6x + 1.

………

Chủ đề 16: Tit 16

phơng pháp giải toán chia hết tạp hợp z số nguyên.

I Nhắc lại số kiến thức lớp lí thuyết Z TÝnh chia hÕt :

NÕu cã q Z cho a = bq Th× ta nói:

a bội b b ớc a a chia hết cho b b chia hÕt a KÝ hiÖu: a b

a b a = bq



 

b) Tính chất quan hệ “ chia hÕt” Z Víi mäi a, b, c, m Z :

1 a/ (a 0) 1/ a

3 a/ a (a 0)

4 a/b vµ b/a  a =  b (a, b  0)

5 a/ b vµ b/ c  a/c (a, b  0)

(TÝnh chất bắc cầu)

6 c/a c/b c/ (am + bn) (c0)

2 PhÐp chia cã d : a) Định lí :

Cho hai số nguyªn a, b (b> 0), bao giê cịng cã cặp số nguyên q, r cho :

a = bq + r víi 0 r b r lµ sè d phÐp chia a cho b

(r = : th× a chia hÕt cho b)

Khi r0, cã thÓ lÊy sè d số âm r = r- b b) Chia a cho b>0 số d r b sè : +) b ch¾n r= 0, 1, 2, 3, +b

2

   

(hc r= 0, 1, 2, 3, -b

    )

+) b lỴ r= 0, 1, 2, 3, b-1

    

3 Thuật toán Euclide để tìm ƯCLN hai số :

Ước chung lớn hai số dơng a b đợc kí hiệu ƯCLN(a, b) (a, b)

ThuËt to¸n Euclide giúp ta tìm ƯCLN cách khác Thuật toán dựa điịnh lí sau :

+) Nếu a bội b ƯCLN(a, b) = b a = bq  (a, b) = b

+) Nếu a chia cho b, d r0, ƯCLN(a, b) b»ng ¦CLN(b, r)

do đó, ta thực phép chia liên tiếp để tìm ƯCLN(a, b) Vớ d :

Tìm ƯCLN(300, 105)

- chia 105 cho 90, ta đợc d 15 - Chia 90 cho 15, ta đợc d Vậy : ƯCLN(300, 105) = 15 Có thể thấy rõ điều nh sau :

300 = 105 + 90  (300; 105) = (105; 90) 105 = 90 + 15  (105; 90 ) = (105; 15) 90 = 15  ( 90; 15 ) = 15

VËy : (300; 15) = 15

Trong thực hành, ta đặt phép tính nh sau : 300 105

105 90

90 15

0

4 Một số định lí quan trọng : *) Định lí :

Mét sè d lµ íc chung cđa a vµ b vµ chØ d lµ íc cđa ¦CLN(a, b) d/a vµ d / b  d / (a, b)

*) Định lí :

Một sè m lµ béi chung cđa a vµ b vµ chØ m lµ béi cđa BCNN(a, b)

m a vµ m b    m [ a, b] *) Định lí 3:

(a,b) [a, b] = ab *) Định lí :

Nếu a, b nguyên tố tích a.c chia hÕt cho b th× c chia hÕt cho b

ac b vµ (a, b) =  c b *) Định lí :

Nếu c chia hÕt a vµ cho b mµ a, b nguyên tố c cia hết cho tích a.b

c a, c b vµ (a, b) = c a.b II Phơng pháp giải số toán chia hết :

*) ph ơng pháp :

Để chng minh A(n) chia hÕt cho b, cã thÓ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia n cho p

Bài toán 1:

Chứng minh với nZ :

A(n) = n(n2 + 1)(n2 + 4)

 Gi¶i :

XÐt mäi trêng hỵp chia nZ cho 5, ta cã sè d lµ : r = 0,  1, 

a) r =

c) r = 

2

2

n 5

b) r = n = 5k

n 25 k 10k +1 (n 4) 5



  

  

 





2

2

n = 5k

n = 25k 20k

( n 1)

 

  

A(n) tích ba thừa số, trờng hợp có thừa số chia hết cho Vậy A(n)  5, với nZ

VÝ dô :

Chøng minh r»ng :

a) Tỉng cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho ; b) Tỉng cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho ;

c) Tỉng cđa 2k + sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho 2k + Gỵi ý :

a) (n – 1) + n + (n + 1) = 3n

b) (n – 2) + (n – 1) + n + (n + 1) + (n + 2) = 5n

c) (n – k ) + (n – k + 1) + + n + (n + 1) + + (n + k – 1) + ( n + k) = (2k + 1) n

VÝ dô :

Chøng minh r»ng :

a) Trong sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho (chẵn) ; b) Trong số nguyên liên tiếp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho ;

c) Trong k sè nguyªn liªn tiÕp, cã mét vµ chØ mét sè chia hÕt cho k ; *) Ph ơng pháp :

Để chứng minh A(n) chia hÕt cho mét sè m, nãi chung nªn ph©n tÝch m thõa sè : m = p.q

1) NÕu p, q nguyªn tè cïng : ta tìm cách chứng minh : A(n) p vµ A(n) q

(Suy A(n)  p.q, theo định lí chia hết ) Ví dụ :

a) Chøng minh r»ng tÝch cña sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho b) TÝch cđa sè nguyªn liªn tiÕp chia hÕt cho

Giải :

a) Gọi ba số nguyên liên tiếp n, n +1, n + Tích cđa chóng lµ :

A(n) = n(n + 1)(n + 2)

Ta cã = 2.3 ( số nguyên tố)

Trong s nguyên liên tiếp n n + 1, có số chẵn, A(n) 2 Trong số nguyên liên tiếp n, n + 1, n + có số chia hết cho 3,

nên tích chúng chia hết cho : A(n)  3 A(n) vµ A(n) 3, mà (2, 3) = nên

A(n) 2.3 =

 



Chó ý r»ng : ba sè nguyªn liªn tiÕp cã thĨ lµ n – 1, n vµ n + b) A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

Tríc hÕt, ta thÊy r»ng sè nguyªn liªn tiÕp : n, n + 1, n + 2, n+3, bao giê còng cã mét sè cia hÕt cho số khác chia hết cho

ThËt vËy :

Nếu n = 2k n + = 2k + = 2(k + 1) Do ú :

- Khi k chẵn n  cßn (n + 2) 2 - Khi k lẻ (n + 2) n 2

Do A(n) = n(n + 1)(n + 2)(n +3)  4.2 =

Theo a) n(n + 1)(n + 2)(n +3) mà (3, 8) = nªn A(n) 3.8 = 24

2) Nếu p, q không nguyên tố : Ph©n tÝch A(n) thõa sè : A(n) = B(n) C(n)

và tìm cách chứng minh

B(n) p vµ C(n) q  suy B(n).C(n)  p q

Bµi tËp :

Chøng minh r»ng tÝch hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Trong trờng hợp số chẵn liên tiếp tích chia hết cho

*) Ph ơng pháp :

Để chứng minh A(n) chia hết cho m, ta biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử chứng minh hạnh tử chia hết cho m

VÝ dô :

Chứng minh lập phơng số nguyên (n > 1) trừ 13 lần số nguyên ln chia hết cho

Gi¶i :

Ta ph¶i chøng mhinh :

A(n) = n3 - 13n 

Chú ý : 13n = 12n + n, mà 12n  6, ta biến đổi A(n) thành A(n) = (n3 - n) - 12n.

Ta cã : n3 -n = n(n2 - 1) = (n -1)n(n + 1).

Đây tích ba số nguyên liên tiếp, tích chia hÕt cho

A(n) hiệu hai hạng tử : n3 - n 12n, hạng tử chia hết cho 6, nên :

A(n)  VÝ dô :

Chøng minh r»ng tổng lập phơng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Gải :

Ba số nguyên liên tiếp n, n +1, n+ 2, ta phải chứng minh : A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 chia hÕt cho 9.

Ta cã :

A = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3n3 -3n + 18n + 9n2 + 9

= 3n(n - 1)(n + 1) + 18n + + 9n2

n, n -1, n + ba số nguyên liên tiếp, số chia hết cho 3, : B = 3n(n -1)(n + 1) 

C = 18n + 9n2 +9 

A = B +C mà B 9, C nên A 

Để chứng minh tổng không chia hết cho m, ta chứng minh hạng tử nào khơng chia hết cho m, cịn tất hạng tử chia hết cho m.

VÝ dô :

Chøng minh r»ng :

Đặt n = 2k + 1, ta cã :

n2 + 4n + = (2k + 1)2 + 4(2k + 1) + 5 = (4k2 + 4k + 1) + (8k + 4) +5 = (4k2 + 4k) + (8k + 8) + 2 = 4k(k + 1) + 8(k + 1) +2

Đây tổng ba hạng tử, hạng tử đầu 4k(k + 1) chia hết cho 8, hạng tử thứ hai (k + 1) chia hết cho 8, riêng hạnh tử ba không chia hết cho Vậy tổng cho không chia hết cho

Bµi tËp :

Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n : a) n3 - n + kh«ng chia hÕt cho ; b) n2 + 11n + 39 kh«ng chia hÕt cho 49 ; c) n2 + 3n + kh«ng chia hÕt cho 121.

*) Ph ơng pháp :

chng minh A(n) chia hết cho m, ta phân tích A(n) thành nhân tử, có nhân tử m :

A(n) = m B(n)

Thờng phải sử dụng đẳng thức Nói riên, từ đẳng thức (9), (10) (11) ta có :

an - bn chia hÕt cho a - b (a  b) víi n bÊt k×

an - bn chia hÕt cho a + b (a  - b) víi n ch½n ( n = 2k) an + bn chia hÕt cho a + b (a  - b) víi n lỴ ( n = 2k + 1). VÝ dô :

Chøng minh r»ng : 25 + 35 + 55

Gợi ý :

Vì số lẻ, nên 25 + 35

(2 + 3) VÝ dô :

Chøng minh r»ng : 24n - chia hÕt cho 15. Gi¶i :

24n - = (24)n - 1n = (24 -1)[(24)n – 1 + + 1] = 15 M VËy : (24n - 1)

 15 Bµi tËp :

a)Chøng minh r»ng :

A = 71 + 72 + + 74k (trong k số tự nhiên) chia hết cho 400. b) Chứng minh biểu thức :

A = 75(41975+ 41974+ + 42 + 5) + 25 chia hÕt cho 41976.

*) Ph ơng pháp :

Dùng nguyên tắc Dirichlet

Đề kiểm tra học sinh giỏi mơn tốn 9 Bài 1: Rút gọn biểu thức: (3đ)

A =

1

4

2

1

1

x x

x x

x        

Bài 2: Tìm giá trị nguyên x để phân thức sau có giá trị số nguyên

(3đ)

3

8

2



  



x

x x x

A

Bài 3: Cho số a, b, c, d khác đôi (3đ)

Và: b

a c a

c b c

b

a 

Tính M = (1 )(1 )(1 )

a c c

b b

a

 



Bài 4: Giải phương trình sau (4đ)

a/ ( 7)2 (2 5)2  

 

 x x

x

b/ 1990x 5x1980 15x151980x 19905

Bài 5: (7đ)

Trên cạnh kéo dài ∆ ABC đặt đoạn AA’ = AB, BB’ = BC, CC’= CA CMR trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ trùng