gi¶i nh÷ng bµi tËp nµy lµ häc sinh biÕt vËn dông ph¬ng ph¸p thÝch hîp ®Ó gi¶i.[r]
(1)Giáo án dạy HSG toán 8 năm học 2009-2010 Ngày soạn:
Chuyờn 3: Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
I/ Mơc tiªu:
- HS nắm đợc phơng pháp phân tích thành nhân tử
- HS thực hành phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo, vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải tốn liên quan,
- RÌn luyn t logic, khả phán đoán, suy luận thông qua dạng tập
- Giỏo dc ý thức học tập chủ động tích cực, sáng tạo, tinh thần say xua, hứng thú học tập
II/ Chuẩn bị
- GV: nghiên tài liệu, soạn nội dung dạy - HS: làm việc theo híng dÉn cđa GV
- Tµi liƯu tham kh¶o
1 Sách giáo khoa Tốn Sách tập Toán Toán bồi dỡng đại số 400 toán chọn lọc
5 Toán học tuổi trẻ số hàng tháng Toán học tuổi thơ II số hàng tháng Tuyển tập toán chọn lọc THCS III/ Nội dung
Tuần:
Phần 1: GV giới thiệu pp phân tích đa thức yhành nhân tử
1 phơng pháp đặt nhân tử chung a) Phơng pháp :
+ Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử
+ Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác
+ Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc( kể dấu chúng)
b) Ví dô:
+) 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
(2)+) xm + xm+3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2) Ph ơng pháp dùng đẳng thức.
a) Phơng pháp: Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử
b) VÝ dô:
9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x- 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23- (3ab2)3 = (2- 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3) Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử: a)Phơng pháp:
Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhãm
áp dụng liên tiếp phơng pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức
b) VÝ dô:
2x3- 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3) x2 - 2xy + y2 – 16 = ( x- y)2 - 42
= ( x – y – 4)( x –y + 4)
4) Phối hợp nhiều ph ơng pháp
a) Phơng pháp :+ Chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên + Đặt nhân tử chung
+ Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử
b) VÝ dô:
3xy2 – 12xy + 12x = 3x( y2 – 4y + 4) = 3x(y – 2)2
3x3y – 6x2y – 3xy3 - 6axy2 – 3a2 xy + 3xy = 3xy(x2 – 2y –y2 – 2ay- a2+ 1)
= 3xy[( x2 – 2x + 1) - (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1)- ( y+ a)][(x – 1) + (y+ a)] = 3xy( x -1 – y – a)(x -1 +y + a)
(3)a) Phơng pháp: Tách hạng tử thành hani hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
b) VÝ dơ: Ph©n tÝch: x2 - 6x + 8
* C¸ch 1: x2 – 6x + = x2 – 2x – 4x + 8
= x(x – 2) – 4( x – 2) = (x- 2)(x- 4) * C¸ch 2: x2 - 6x + = x2 – 6x + - 1
= (x – 3)2 – = ( x – -1)(x-3 + 1) = (x- 4)( x- 2)
* C¸ch 3: x2 - 6x + = x2 – – 6x + 12
= ( x – 2)(x+ 2) – 6(x- 2) = (x- 2)(x- 4)
* C¸ch 4: x2 - 6x + = x2 – 16 – 6x + 24 = ( x- 4)(4 + x) - 6(x – 4) = (x- 4)( x + – 6) = (x - 4) ( x – 2)
* C¸ch : x2 - 6x + = x2 – 4x + – 2x + = (x- 2)2 – 2( x -2) = (x- 2)( x- – 2) = ( x- 2)(x – 4) Tuy r»ng cã nhiều cách tách nhng thông dụng hai cách sau:
* Cách 1: Tách hạng tử bậc thành hai hạng tử dùng phơng pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung
¸p dơng ph©n tÝch tam thøc bËc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm nh sau:
+ Tìm tích ac
+ Phân tích tích ac thành tích thừa số nguyên mäi c¸ch
+ Chän hai thõa sè cã tỉng b»ng b
Khi hạng tử bx đợc tách thành hạng tử bậc
VÝ dô: 4x2 – 4x – 3
TÝnh tÝch: ac = 4.(-3) = - 12
Phân tích : - 12 = -1.12 = 1.(-12) = - 2.6 = -3.4 = 3.(-4) Chọn thừa số có tổng : - (-6)
4x2 – 4x – = 4x2 + 2x - 6x – = 2x(2x + 1) – 3(2x+ 1)
= (2x+ 1)(2x – 3)
(4)VÝ dô: 4x2 – 4x – = 4x2 – 4x +1 – = ( 2x – 1) -22 = ( 2x -1 -2)( 2x- 1+ 2)
= (2x + 1)(2x- 3)
3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x-2)2 – x2
= ( 2x – – x)(2x – + x) = (x -2)(3x 2)
6 ph ơng pháp thêm bớt cïng mét h¹ng tư.
a) Phơng pháp : Thêm bớt hạng tử để đa đa thức dạng đẳng thức nhóm nhiều hạng tử Thơng thờng hay đa dạng a2 – b2 sau thêm bớt.
b) VÝ dô: 4x4+ 81 = 4x4 + 36x2 + 81 – 36x2 = ( 2x2+ 9)2 – (6x)2
= (2x2 + – 6x)(2x2 + + 6x) x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1)
= x(x3 +1)(x- 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1) = (x2+ x+ 1)(x5- x4 – x2 - x + 1)
II Các ph ơng pháp khác:
1 Ph ng phỏp đổi biến số ( đặt ẩn phụ).
a) Phơng pháp: Đặt ẩnphụ để đa dạng tam thức bậc hai sử dụng cac phơng pháp
b) Ví dụ: Đa thức cho có dạng : +) 6x4- 11x2+ 3
Đặt x2 = y ta cã 6y2-11y + = ( 3y – 1)( 2y – 3)
VËy : 6x4- 11x2+ = (3x2 – 1)( 2x2 – 3)
+) (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + 2 Đặt x2 + x = y Ta cã y2 + 3y +2 = ( y + 1)( y + 2)
VËy : (x2 + x)2 + 3( x2 + x) + = (x2 + x + 1)(x2+x + 2)
2.Ph ng phỏp h s bt nh.
a) Phơng pháp: Phân tích thành tích hai đa thức bậcnhất bËc hai hay mét ®a thøc bËc nhÊt, mét ®a thøc bËc hai d¹ng
( ax +b)( cx2 + dx + m) biến đổi cho đồng hệ số đa thức vơí hệ số đa thức
b) VÝ dô: x3 – 19x – 30
(5)x(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + ( ab + c)x + ac Vì hai đa thức đồng
a+ b = ab + c = -19 ac = -30 Chän a =2, c = - 15
Khi b = - thoả mãn điều kiện Vậy: x3 – 19x – 30 = (x + 2))( x2 - 2x – 15)
3 Ph ơng pháp xét giá trị riêng.
a) Phơng pháp: Xác định dạng thừa số chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể xác định số lại
b) VÝ dô:
p = x2( y – z) + y2 (z – c) + z(x - y) Thay x bëi y th× p = y2 ( y – z) + y2( z – y) = 0 Nh vËy p chøa thõa sè(x – y)
Ta thấy thay x y , thay y z, thay z x p khơng đổi (đa thức p hốn vị vịng quanh) Do p chứa thừa số ( x – y) chứa thừa số ( y – z), ( z – x) Vậy p có dạng k(x – y)(y – z)(z- x)
Ta thấy k phải số p có bậc tập hợp biến x, y, z; cịn tích
(x – y)(y- z)(z – x) có bậc tập hợp biến x,y,z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x –y)(y – z)(z- x) với x, y, z Nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng chẳng hạn:
x =2 , y = 1, z = ta đợc 4.1 + 1.(-2) + = k.1.1.(-2) suy k =1 Vậy p = -(x – y)(y – z)(z – x) = (x- y)(y – z)( x – z)
4 Ph ơng pháp tìm nghiệm đa thức:
a) Phơng pháp: Cho đa thức f(x), a nghiƯm cđa ®a thøc f(x) nÕu
f(x) = Nh đa thức f(x) chứa nhân tử (x – a) phải nghiệm đa thức Ta biết nghiệm nguyên cảu đa thức có phải ớc hệ số tự
VÝ dô: x3 + 3x – 4
(6)Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm ngun có phải ớc hạng tử khơng i
Ước (-4) -1; 1; -2; 2; - 4; Sau kiÓm tra ta thÊy nghiệm đa thức suy đa thức chứa nh©n tư ( x – 1)
Do vËy ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x 1) * Cách 1:
x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x -1)(x + 1) = ( x – 1)(x2+ 4x +4) = (x- 1)(x+ 2)2 * C¸ch 2: x3 + 3x2 – = x3 – + 3x2 – = (x3 – 1) + 3(x2 – 1)
= (x – 1)( x2 + x + 1) + 3(x2 – 1)
= ( x – 1)( x+ 2)2 Chó ý:
+ Nếu đa thức có tổng hệ số không đa thức chứa nhân tử (x 1)
+ Nếu đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hạng tử bậc lẻ đa thức chứa nhân tử ( x + 1)
VÝ dơ:
* §a thøc : x3 – 5x2 + 8x – cã 1-5 + – = 0
Suy ®a thøc có nghiệm hay đa thức có chứa thừa sè ( x – 1) * §a thøc: 5x3 – 5x2 + 3x + cã (- 5) + = 1+ 3
Suy ®a thøc cã nghiƯm -1 hay đa thức chứa thừa số ( x+ 1)
+ Nếu đa thức khơng có nghiệm ngun nhng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ có phải có dạng p/q p ớc hạng tử không đổi, q ớc dơng hạng tử cao
VÝ dô: 2x3 – 5x2 + 8x 3
Nghiệm hữu tỷ Nếu có đa thức là:
( - 1); 1; (-1/2); 1/2 ; ( -3/2); 3/2 ; -3
Sau kiểm tra ta thấy x = 1/2 nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x - 1/2) hay (2x – 1) Do ta tìm cách tách hạng tử đa thức để xuất nhân tử chung (2x – 1)
2x3 - 5x2 + 8x – = 2x3- x2 – 4x2 + 2x + 6x – 3
= x2( 2x – 1) – 2x( 2x – 1) + 3(2x – 1) = ( 2x – 1)(x2 – 2x + 3)
(7)a) Phơng pháp: Tam thøc bËc hai ax2 + bx + c
Nếu b2 – 4ac bình phơng mmột số hữu tỷ phân tích tam thức thành thừa số phơng pháp biết
Nếu b2 – 4ac khơng bình phơng số hữu tỷ khơng thể phân tích tiếp đợc
b) VÝ dơ: 2x2 – 7x + 3 a = , b = -7 , c = XÐt b2 – 4ac = 49 – 4.2.3 = 25 = 55
Suy Phân tích đợc thành nhân tử: 2x2 – 7x + = ( x – 3)(2x – 1)
Hoặc phân tích cách để bình phơng đủ 2x2 – 7x + = 2/9x2 – 7/2x + 3/2
= 2( x2 – 2.7/4 + 49/16 – 25/16)
= 2[(x – 7/4)2 – (5/4)2] = 2(x – 1/2)(x – 3) = (2x -1)(x- 3)
Chó ý: P(x) = ax2 + bx + c cã nghiệm x
1 , x2 P(x) = a( x- x1)(x – x2)
Ký dut cđa BGH
Tuần:
Phần 2: toán phân tích đa thức 1 Bài toán rút gọn biểu thức.
a) VÝ dô: Cho A = ( 2x− x
+3−
3− x x+2+
2− x x2+5x+6 )
a) Rót gän A
b) Tính giá trị A với x = 998 c) Tìm giá trị x để A >
(8)Với học sinh: Rèn luyện kỹ vận dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc liên hệ chặt chẽ kiến thức phỏt trin trớ thụng minh
2 Bài toán giải phơng trình:
a) ng li gii: Vi cỏc phng trình bậc hai trở lên việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng, sau phân tích vế chứa ẩn đợc dạng phơng trình tích A.B = A = B =
b) Ví dụ:
+) Giải phơng trình: ( 4x + 3)2 – 25 = 0
Gi¶i : áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng trình dạng
8(2x – 1)( x+ 2) = ⇒ x = 1/2 x = -2 +) Giải phơng trình: 3x2 + 5x - = 0
Gi¶i: áp dụng phơng pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đa phơng trình d¹ng
( 3x – 1)( x + 2) = ⇒ x = 1/3 hc x = -2 3 Bài toán giải bất phơng trình
a) ng li giải: Với bất phơng trình bậc cao bất phơng trình có chứa ẩn mẫu việc rút gọn biểu thức phơng trình thành đa thức tử mẫu thành nhân tử đóng vai trị quan trọng đa bất phơng trình dạng bất phơng trình tích
( A.B < 0) hc A.B > 0) hay bất phơng trình thờng b) Ví dụ: Giải bất phơng trình
x x 2
2
x −3>1
x −3
¿
(x −2)¿ −2
¿
V× - < ⇒ ( x- 2)(x- 3) < ⇒ < x< 3x3 – 10x – > 0
⇒ ( 3x + 2)( x – 4) > lËp b¶ng xÐt dÊu tÝch
(9)Bài toán chứng minh chia hết
a) Đờng lối giải: Biến đổi đa thức cho thành tích đó xuất thừa số có dạng chia hết
b) VÝ dơ: * Chøng minh r»ng ∀ x Z ta cã biÓu thøc: P = ( 4x + 3) 2 – 25 chia hÕt cho 8
Ph©n tÝch P = 8( 2x – 1)( x + 1) chia hÕt cho * Chøng minh r»ng: ∀ n Z th× biĨu thøc
n
3+
n2
2+
n3
6 số nguyên
Bin i biu thức dạng
2n+3n2+n3
6
Vµ chøng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hÕt cho 6
2n + 3n2 + n3 = n( n+ 1)( n +2) lµ tÝch cđa sè nguyên liên tiếp có thừa sè chia hÕt cho vµ chia hÕt cho mà (2;3) = nên tích chia hết cho
VËy ∀ n Z th× biĨu thøc n
3+
n2
2+
n3
6 số nguyên
* GV lu ý: Trên loại toán áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Tất nhiên khơng có dạng mà cịn có số tập khác ( khơng điển hình, gặp) có vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Với tập vận dụng giúp học sinh phát triển t duy, óc sáng tạo tìm tới phơng pháp giải tốn nhanh hơn, thơng minh Đờng lối
giải tập học sinh biết vận dụng phơng pháp thích hợp để giải Giáo viên tác động đến đối tợng cho phù hợp nh với học sinh trung bình cần gợi ý tỷ mỉ, học sinh giỏi nêu nét hớng dẫn giải theo đờng ngắn Có nh học sinh tích cực tìm tịi phát huy trí học
Qua tập vận dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần đợc rèn luyện củng cố phơng pháp t tổng hợp