Đang tải... (xem toàn văn)
Hệ thống kiến thức: Hình thoi Hình vuoâng Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc Định Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau baèng nhau nghóa - Các cạnh đối song somg, bằng nhau - Các cạnh đối song s[r]
(1)Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Buổi : đẳng thức a môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức phép nhân đa thức – đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải các bài toán phép nhân đa thức – đẳng thức * T¹o høng thó cho HS qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Nh©n ®a thøc víi ®a thøc: A( B + C + D) = AB + AC + AD (A + B + C) (D + E) = AD + AE + BD + BE + CD + CE 2.Những đẳng thức đáng nhớ: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) II Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động GV Hoạt động HS HS ghi đề, thực theo nhóm Bµi 1: Rót gän biÓu thøc HS cïng GV thùc hiÖn lêi gi¶i a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) a) (x + 1) (x2 + 2x + 4) =x3 + 2x2 + 4x + x2 + Thùc hiÖn phÐp nh©n råi rót gän 2x + = x3 + 3x2 + 6x + b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) b) (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 – x + 1) = …= x7 + x2 + 2 c) (3x + 1) – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5) c) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2 = [(3x + 1) – (3x + 5)]2 = (3x + – 3x – 5)2 = (- 4)2 = 16 Bµi 2: T×m x biÕt: 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = HS ghi đề bài 172 gi¶i theo nhãm Ýt phót áp dụng các H.đẳng thức (1), (2), (3) áp dụng các H.đẳng thức nào để giải 3(x + 2)2 + (2x – 1)2 – 7(x + 3)(x - 3) = Biến đổi, rút gọn vế trái 172 3(x2 + 4x + 4) + 4x2 – 4x + – 7(x2 – Bµi 3: 9) = 172 … 8x = 96 x = 12 Cho x + y = a; xy = b tÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b: HS ghi đề bài, tiến hành bài giải x2 + y2; x4 + y4 Ta cã x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2(xy)2 Bµi 4: chøng minh r»ng = (a2 – 2b)2 – 2b2 = a4 - 4a2b + 2b2 a) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – y4 HS ghi đề, tiến hành giải cùng với GV a)VT = (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = x4 – x3y + x2y2 – xy3 +x3y - x2y2 + xy3y4 b) NÕu: (a + b)2 = 2(a2 + b2) th×: a = b = x4 – y4 = VP (®pcm) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy ®iÒu g×? b) Tõ (a + b)2 = 2(a2 + b2) suy a2 + 2ab + b2 = 2a2 + 2b2 a2 - 2ab + b2 = c) NÕu: x + y + z = vµ (a – b)2 = a – b = a = b xy + yz + zx = th× x = y = z (®pcm) Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 =? c) Tõ : x + y + z = (x + y + z)2 = Tõ ®o ta cã ®iÒu g×? x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = d) cho a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 4 x2 + y2 + z2 = ( v× xy + yz + zx = 0) c/m: a + b + c = HD c¸ch gi¶i t¬ng tù x=y=z (2) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Bµi 5: So s¸nh: a) A = 1997 1999 vµ B = 19982 b)A = 4(32 + 1)(34 + 1)…(364 + 1) vµ B = 3128 - TÝnh theo 32 – 1? Khi đó A = ? áp dụng đẳng thức nào liên tiếp để so s¸nh A vµ B Bµi 6: a) Cho a = 11…1( co n ch÷ sè 1) b = 100…05( cã n – ch÷ sè 0) Cmr: ab + lµ sè chÝnh ph¬ng b) Cho Un = 11…155…5 (cã n ch÷ sè vµ n ch÷ sè 5) Cmr: Un + lµ sè chÝnh ph¬ng d) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = ab + bc + ca = -1 (1) Ta l¹i cã: (a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = (2) Tõ (1) (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (3) Tõ (2) vµ (3) suy a4 + b4 + c4 = a) A = 1997 1999 = (1998 – 1)(1998 + 1) = 19982 – < 19982 A < B 32 b) V× = nªn A = 4(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) 32 = (32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (34 - 1) (34 + 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (38 - 1)(38 + 1)…(364 + 1) = (316 - 1)(316 + 1)(332 + 1)(364 + 1) = (332 - 1)(332 + 1)(364 + 1) 1 = (364 - 1)(364 + 1) = (3128 - 1) = B VËy: A < B Ta cã: b = 10n + = 9….9 + = 9(1…1) + = 9a + ab + = a(9a + 6) + = 9a2 + 6a +1 = (3a + 1)2 lµ mét sè chÝnh ph¬ng Ta viÕt: = = 11…1.10n + 11…1 §Æt: a = 11…1 th× 9a + = 10n Do đó : Un + = 9a2 + 6a +1 =(3a + 1)2 III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: cho x + y = TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x2 + y2 + 2xy – 4x – 4y + Bµi 2: Chøng minh r»ng: x4 + y4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2 Bµi 3: (3) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Cho (a + b + c)2 = 3(a2 + b2 + c2) Cmr: a = b = c Bµi 4: Chøng minh r»ng: NÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n vµ n2 cñng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng Bµi 5: So s¸nh: x y x2 y2 2 A = x y víi B = x y (Víi < y < x ) Buổi : đẳng thức ( Tiếp) a môc tiªu: * Củng cố và nâng cao kiến thức đẳng thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ giải các bài toán đẳng thức * T¹o høng thó cho HS qu¸ tr×nh häc n©ng cao m«n to¸n b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i néi dung bµi häc: Những đẳng thức đáng nhớ: B×nh ph¬ng mét tæng: ( A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (1) B×nh ph¬ng mét hiÖu: ( A - B)2 = A2 - 2AB + B2 (2) HiÖu hai b×nh ph¬ng: A2 – B2 = (A + B)(A – B) (3) LËp ph¬ng mét tæng: (A + B)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (4) LËp ph¬ng mét hiÖu: (A - B)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 (5) Tæng hai lËp ph¬ng: a3 + b3 = ( a + b )( a2 – ab + b2 ) (6) HiÖu hai lËp ph¬ng: a3 – b3 = ( a – b )( a2 + ab + b2 ) (7) B×nh ph¬ng tæng ba h¹ng tö: (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + AC + BC) II Bµi tËp ¸p dông: Hoạt động GV Hoạt động HS Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: HS ghi đề, tiến hành bài giải a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) (4) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Cho HS ghi đề, tiến hành bài giải Ta thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) Ta nªn thùc hiÖn phÐp tÝnh nh thÕ nµo? Bµi 2: T×m x biÕt (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = §Ó t×m x ta lµm thÕ nµo? Bµi 3: ViÕt biÓu thøc sau díi d¹ng tæng cña ba b×nh ph¬ng: A = (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 Cho HS suy nghÜ, t×m c¸ch gi¶i Nếu HS cha giải đợc thì gợi ý: H·y triÓn khai, t¸ch tæng trªn thµnh ba tæng cã d¹ng: A2 + 2AB + B2 Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ Bt biÕt gi¸ tri Bt kh¸c a) Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10 TÝnh gi¸ trÞ cña Bt A = x3 + y3 Cho HS gi¶i ViÕt A thµnh tÝch §Ó tÝnh gi¸ trÞ cña A ta cÇn tÝnh xy TÝnh xy nh thÕ nµo? Tõ : x + y = 2; x2 + y2 = 10 H·y t×m c¸ch tÝnh xy b) Cho a + b + c = ; a2 + b2 + c2 = TÝnh gi¸ trÞ cña Bt: B = a4 + b4 + c4 ? §Ó cã a4 + b4 + c4 ta lµm thÕ nµo? NhiÖm vô b©y giê lµ lµm g×? §Ó cã (a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i lµm g×? Khi đó ab + bc + ca = ? Từ đây, làm nào để tính giá trị Bt B Bµi 5: Cho a = 2n ; b= 1 n 1 HS ghi đề, tiến hành bài giải Thùc hiÖn phÐp tÝnh, rót gän vÕ tr¸i 1HS lªn b¶ng gi¶i (x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = x3 - 27 - x(x + 2)(x - 2) = x3 - 27 - x(x2 - 4) = x3 - 27 - x3 + 4x = 4x = 28 x = HS ghi đề, tìm cách giải Đại diện HS lên trình bày( Nếu không giải đợc th× theo Hd cña GV) A = a2+ b2+ c2 +2ab+2bc+ ca+ a2+ b2+ c2 = (a2+ 2ab+ b2) + (a2 +2ac+ c2) + (b2+ 2bc+ c2) = (a + b)2 + (a + c)2 + (b + c)2 HS gi¶i A = (x + y)(x2 + y2 - xy) = 2( 10 - xy) (1) HS suy nghÜ, t×m c¸ch tÝnh xy Tõ x + y = x2 + y2 + 2xy = xy = - (2) Thay (2) vµo (1) ta cã : A = 2(10 + 3) = 26 HS ghi đề B×nh ph¬ng Bt: a2 + b2 + c2 = 1, ta cã a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) = a4 + b4 + c4 = - 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) (1) TÝnh: 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) ta ph¶i b×nh ph¬ng Bt: (ab + bc + ca) Ta b×nh ph¬ng Bt: a + b + c = 0, ta cã: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 1 ab + bc + ca = (ab + bc + ca)2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2(a + b + c) abc = a2b2 + b2c2 + c2a2 = (2) a2b2 + b2c2 + c2a2 = ? 1 1HS lªn gi¶i a) (x - 2)3 - x(x + 1)(x - 1) + 6x(x - 3) = = 5x - HS thùc hiÖn, 1HS lªn gi¶i b) (x - 2)(x2 - 2x + 4)(x + 2)(x2 + 2x + 4) = (x - 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 - 2x + 4) = (x3 - 8)(x3 + 8) = x6 - 64 vµ c = 6 Thay (2) vµo (1) ta cã: 1 B = - = - = n (5) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Chøng minh r»ng: A = a + b + c + lµ mét sè chÝnh ph¬ng §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m g×? A=a+b+c+8=? 11 (11 1) n ViÕt thµnh luü Ta cã: n thõa 10? HS ghi đề, tìm cách giải §Ó chøng minh mét tæng lµ mét sè chÝnh ph¬ng, ta cÇn c/m nã b»ng b×nh ph¬ng cña mét sè A= 1 2n + 1 n 1 + 6 n +8 1 1 1 9 2n n = ( )+ ( ) + 6( n ) + 102n 10n 1 10n 9 = + + + 102n 10n 1 10n 64 102n 16.10n 64 9 = = Bµi 6: Tån t¹i hay kh«ng c¸c sè x, y, z 2 10n 100 08 thoã mãn đẳng thức: 33 36 x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = 3 n Hãy biến đổi vế trái đẳng thức thành dạng = tæng c¸c b×nh ph¬ng? Có nhận xét gì hai vế đẳng thức? Ta cã kÕt luËn g×? Ta cã thÓ nãi : BiÓu thøc A = x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 cã vµ x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = (x2- 4x+ 4)+(4y2+4y+1)+(z2- 8z +16)+ = (x - 2)2 + (2y + 1)2 + (z - 4)2 + = Rõ ràng, vế trái đẳng thức là số dơng víi mäi x, y, z; cßn vÕ ph¶i b»ng Vậy không tồn các số x, y, z thoã mãn đẳng thøc: x2 + 4y2 + z2 - 4x + 4y - 8z + 23 = gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ x = ; y = z=4 Bµi tËp vÒ nhµ Bµi 1: Rót gän biÓu thøc: a) (y - 2)(y + 2)(y2 + 4) - (y + 3)(y - 3)(y2 + 9) b) 2(x2 - xy + y2)(x - y)(x2 + xy + y2)(x + y) - 2(x6 - y6) Bµi 2: a) Cho x - y = TÝnh gi¸ trÞ Bt: A = x3 - y3 - 3xy b) Cho x + y = a + b; x2 + y2 = a2 + b2 TÝnh x3 + y3 theo a vµ b Bµi 3: Chøng minh r»ng NÕu a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = abc (6) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Buổi : đờng trung bình tam giác, hình thang a môc tiªu: - Củng cố và nâng cao kiến thức hình thang, đờng trung bình tam giác, đờng trung b×nh cña h×nh thang - TiÕp tôc rÌn luyÖn kû n¨ng chøng minh h×nh häc cho HS - t¹o niÒm tin vµ høng thó cho HS häc n©ng cao A b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc bµi häc: E F §êng trung b×nh cña tam gi¸c * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh cña tam gi¸c gọi là đờng trung bình tam giác B C - E là trung điểm AB, F là trung điểm AC thi EF là đờng trung b×nh cña ABC - NÕu E lµ trung ®iÓm AB vµ EF // BC th× F lµ trung ®iÓm AC - EF là đờng trung bình ABC thì EF // BC và EF = BC §êng trung b×nh cña h×nh thang: * §o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm hai c¹nh bªn cña h×nh thang gọi là đờng trung bình hình thang + H×nh thang ABCD (AB // CD) cã M lµ trung ®iÓm AD, N là trung điểm BC thì MN là đờng trung bình h×nh thang ABCD + NÕu MA = MD, MN // CD // AB th× NB = NC + MN là đờng trung bình hình thang ABCD th× MN // AB // CD vµ MN = (AB + CD) II Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: Cho ABC cạnh a Gọi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AB vµ AC a) Tø gi¸c BCMN lµ h×nh g×? v× sao? b) TÝnh chu vi cña tø gi¸c BCNM theo a Cho HS t×m lêi gi¶i Ýt phót Dù ®o¸n d¹ng cña tø gi¸c BCNM? §Ó c/m tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n ta cÇn c/m g×? V× MN // BC V× B = C ? Từ đó ta có KL gì? HS ghi đề bài ViÕt GT, KL, vÏ h×nh HS suy nghÜ, t×m lêi gi¶i HS dù ®o¸n c/m: MN // BC vµ B = C Từ GT MN là đờng trung bình ABC MN // BC (1) vµ MN = BC (2) =C 600 ABC nên B (3) Tõ (1) vµ (3) suy tø gi¸c BCNM lµ h×nh thang c©n Chu vi h×nh thang c©n BCNM lµ (7) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Chu vi h×nh thang c©n BCNM tÝnh nh thÕ nµo? H·y tÝnh c¹nh BM, NC theo a BC = ? v× sao? VËy: chu vi h×nh thang c©n BCNM tinh theo a lµ bao nhiªu? PBCNM = BC +BM + MN + NC (4) A BM = NC = AB = 1 BC = a BC = a, MN = BC = a M N B C Bµi 2: Cho ABC có ba góc nhọn; AB > AC Vậy : PBCNM = BC +BM + MN + NC 1 Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung ®iÓm cña AB, AC, BC Vẽ đờng cao AH =a+ 2a+ 2a+ 2a= 2a a) C/m: MP = NH VÏ h×nh b) Gi¶ sö: MH PN C/m: MN + PH = AH A M §Ó C/m MP = NH ta cÇn C/m g×? Tõ GT suy MP cã tÝnh chÊt g×? Ta cÇn C/m g×? Gäi I = MN AH th× ta cã ®iÒu g×? V× sao? Hoµn thµnh lêi gi¶i? B N P H C Tø gi¸c MPHN lµ h×nh thang c©n hoÆc C/m: MP và NH cùng đoạn nào đó MP là đờng Tb ABC nên MP // AC và MP = AC Ta cÇn C/m NH = AC Khi MH PN th× MH AB? V× sao? AMH lµ tam gi¸c g×? v× sao? M là trung điểm AB và MI // BH ( MN là đờng trung bình ABC) nên I là trung điểm AH vµ AI MN (Do AH BC ) ABH lµ tam gi¸c g×? v× sao? ANH c©n t¹i N NH = NA = AC Từ đó suy điều gì? Bµi 3: Cho ABC Gäi I lµ giao ®iÓm cña c¸c tia ph©n gi¸c kÎ IM AB; IN BC và IK AC Qua A vẽ đờng thẳng a // MN; đờng thẳng b // NK A cắt NK E, b c¾t NM t¹i D, ED lÇn lît c¾t AC, AB t¹i P, Q Cmr: PQ // BC VËy: MP = NH HS hoµn thµnh lêi gi¶i c©u a Khi MH PN th× MH AB v× NP // AB AMH lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i M v× cã AMH 900 vµ cã MI võa lµ trung tuyÕn võa lµ MAH = AHM 450 đờng cao 900 mµ AHM 450 nªn ABH cã AHB HBM 450 ABH vu«ng c©n t¹i H Suy BH = AH Mµ BH = BP + PH = MN + PH (8) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n VËy: MN + PH = AH HS ghi đề, Vẽ hình, A Gäi giao ®iÓm cña BC vµ AD lµ L, cña BC vµ AE lµ H §Ó c/m: AM = AK ta c/m g×?, T¬ng tù h·y c/m: BN = BM, CN = CK D MNHA lµ h×nh g×? V× Ta suy ®iÒu g×? KNLA là hình gì? Vì sao? Từ đó ta có ®iÒu g×? Ta cã thÓ KL g× vÒ Mqh gi÷a ND, NE ALH DE cã tÝnh chÊt g×? Bµi 4: Cho ABC cã AB = c, BC = a, AC = b Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC c¾t c¸c tia ph©n gi¸c cña gãc B vµ gãc C t¹i D vµ E Tõ A vÏ AP BD; AQ CE PQ lÇn lît c¾t BE, CD t¹i M vµ N TÝnh MN, PQ theo a, b, c Dù ®o¸n xem MN cã tÝnh chÊt g×? H·y C/m BCDE lµ h×nh thang Dù ®o¸n vµ c/m d¹ng cña BAD Q P E M K I B L C N H AMI = AKI (C huyÒn – g nhän) AM = AK (1) BMI = BNI (C huyÒn – g nhän) BM = BN (2) CNI = CKI (C huyÒn – g nhän) CN = CK (3) MNHA lµ h×nh thang c©n( v× cã: MN//AH, MAH = BMN = NHA = BNM ) NH = AM (4) KNLA lµ h×nh thang c©n NL = AK (5) Tõ (1), (4), (5) NL = NH (6) NE, ND là đờng trung bình ALH nên: EA = EH (7) vµ DA = DL (8) Từ (7) và (8) suy ra: DE là đờng trung bình cña ALH DE // LH PQ // BC HS vÏ h×nh E A D Từ đó ta có điều gì? M Q P PQ cã tÝnh chÊt g×? Suy tÝnh chÊt cña MN 1 B H·y tÝnh MN vµ PQ theo a, b, c N C Dự đoán: MN là đờng trung bình hình thang BCDE Tõ gt BCDE lµ h×nh thang v× cã DE // BC =B B mµ B2 = D1 (so le – BC // DE) B1 = D1 BAD c©n t¹i A mµ AP BD PB = PD; AB = AD = c T¬ng tù CAE c©n t¹i A Vµ AQ CE (9) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n QC = QE vµ AC = AE = b PQ là đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chÐo h×nh thang BCDE nªn PQ // AB MN là đờng trung bình hình thang BCDE nªn: BC + DE BC + AE + AD a + b + c 2 MN = = BC + DE PQ = MN–(MQ + NP) = - BC AD + AE - BC b+c-a 2 = III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: = 900); AB = CD = AB Cho h×nh thang vu«ng ABCD (AB // CD, A kÎ CH AB, Gäi giao ®iÓm cña AC vµ DH lµ E, giao ®iÓm cña BD vµ CH lµ F a) Tø gi¸c ADCH lµ h×nh g×? b) C/m : AC BC 1 c) EF = DC = AB Bµi 2: Chứng minh rằng: Đoạn thẳng nối trung điểm hai đờng chéo hình thang thì song song với hai đáy và nửa hiệu hai đáy Buæi – ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a môc tiªu: * Cñng cè, kh¾c s©u vµ n©ng cao kiÕn thøc vÒ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö * HS sử dụng thành thạo các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử * VËn dông viÖc ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö vµo c¸c bµi to¸n chøng minh, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc, cña biÕn b hoạt động dạy học: I Nh¾c l¹i kiÕn thøc bµi häc: C¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: (10) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n * Phơng pháp đặt nhân tử chung: AB + AC + AD = A(B + C + D) * Phơng pháp dùng đẳng thức: Sử dụng Hđt để viết đa thức thành tích * Phơng pháp nhóm các hạng tử: Nhóm các hạng tử nào đó với để làm xuất nhân tử chung xuất đẳng thức * Ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö : Víi ®a thøc d¹ng: a x2 + bx + c ta lµm nh sau: Viết tích ac = b1b2 = b3b4 = sau đó chọn thừa số có tổng b T¸ch bx = (b1x + b2x) nÕu b = b1 + b2 Khi đó a x2 + bx + c = (b1 x2 + b1x) + ( b2x + b2) = * Phơng pháp đặt ẩn phụ: Đặt ẩn phụ để đa biểu thức cần phân tích thành biểu thức dễ ph©n tÝch h¬n * Phơng pháp Thêm bớt cùng hạng tử : Thêm bớt cùng hạng tử để làm xuất nhân tử chung đẳng thức * Phối hợp nhiều phơng pháp: sử dụng đồng thời nhiều phơng pháp để phân tích II Bµi tËp vËn dông: Hoạt động Giáo viên Hoạt động học sinh HS: ¸p dông PP dïng H®t Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2)2 – 5x2.y + y2 a) 25x4 – 10x2y + y2 áp dụng phơng pháp nào để phân tích đa = (5x2 – y)2 thøc nµy b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 b) 8m3 + 36m2n + 54mn2 + 27n3 = (2m)3 + 3.(2m)2.3n + 3.2m.(3n)2 + (3n)3 = (2m + 3n)3 2 2 c) (4x2 – 3x -18)2 – (4x2 + 3x)2 c) (4x – 3x -18) – (4x + 3x) = [(4x2 – 3x -18) – (4x2 + 3x)][(4x2 – 3x -18) + (4x2 + 3x)] = (8x2 – 18) (- 6x – 18) = 2(4x2 – 9)[- 6(x + 3)] = -12(2x + 3)(2x – 3)(x + 3) Bµi 2: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x4 + 2x3 – 4x - Ta áp dụng phơng pháp nào để phân tích áp dụng phơng pháp nhóm hạng tử a) x4 + 2x3 – 4x – = (x4 – ) + (2x3 – 4x) = (x2 + 2)(x2 – 2) + 2x(x2 – 2) = (x2 – 2)(x2 + 2x + 2) b) x3 +2x2y – x – 2y b) x3 +2x2y – x – 2y = x2 (x + 2y) – (x + 2y) 2 c) ac x – adx – bc x + cdx +bdx – c x = (x + 2y)(x2 – 1) = (x + 2y)(x – 1)(x + 1) c) ac2x – adx – bc2x + cdx + bdx – c3x = (– adx + bdx + cdx) + (ac2x – bc2x – c3x) = dx( -a + b + c) + c2x(a – b – c) = x[(b + c – a)d – c2(b + c – a)] = x(b + c – a) (d - c2) Bµi 3: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) x – 6x + HS ghi đề áp dụng phơng pháp nào để phân tích? C¸ch 1: Ph©n tÝch b»ng c¸ch t¸ch h¹ng tö nµo? V× 1.8 = 2.4 = (-4)(-2); -6 = (-2) + (-4) t¸ch nh thÕ nµo? Có thể tách nh nào khác để xuất nên ta có: x2 – 6x + = (x2 - 2x) – (4x – 8) = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x - 4) đẳng thức tiếp tục phân C¸ch 2: x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = …? tÝch C¸ch 3: x2 – 6x + = (x2 – 4) – 6x + 12 =…? C¸ch 4: x2 – 6x + = (x2 – 16) – 6x + 24 = ? T¬ng tù, GV cïng HS t×m c¸c c¸ch HS vÒ nhµ t×m thªm c¸ch kh¸c ph©n tÝch kh¸c ph¬ng ph¸p t¸ch h¹ng tö b) a4 + a2 + Hãy tách a2 thành hạng tử để phân tích b) a4 + a2 + = (a4 + 2a2 + ) – a2 = (a2 + 1)2 – a2 = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1) c) x3 – 19x – 30 (11) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Hãy tách hạng tử -19x để phân tích Bµi 4: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) a4 + 64 D¹ng a2 + b2 nªn ta thªm vµ bít h¹ng tö nào để xuất đẳng thức b) x5 – x4 - c) a3 + b3 + c3 - 3abc Ta đã có a3 + b3, nên thêm bớt các hạng tử nào để xuất đẳng thức H·y ph©n tÝch ®a thøc trªn thµnh nh©n tö Bµi 5: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 Ta sử dụng phơng pháp nào để phân tích b) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 Yc HS lµm t¬ng tù nh c©u a Bµi 6: a) Cho a + b + c = c/m r»ng: a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) Tõ a + b + c = ? b) cho xy 0; (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 a b C/m: x y c) x3 – 19x – 30 = (x3 – 9x) – (10x + 30) = x(x2 – 9) – 10 (x + 3) = (x + 3)[x(x – 3) – 10] = (x + 3)(x2 – 3x – 10) = (x + 3) [(x2 – 5x) + (2x – 10)] = (x + 3)[x(x – 5) + 2(x – 5)] = (x + 3)(x – 5)(x + 2) thªm vµ bít 2ab ta cã; a4 + 64 = (a2)2 + 2.8a2 + 64 – 2.8a2 = (a2 + 8)2 – (4a)2 = (a2 + 4a + 8)(a2 - 4a + 8) b) x5 – x4 – = (x5 - x4 + x3) - (x3- x2 + x) - (x2 - x + 1) = x3 (x2 - x + 1) - x (x2 - x + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x3 - x - 1) HS suy nghÜ, tr¶ lêi c) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a3+ b3+ 3a2b+ 3ab2)+ c3- (3a2b+ 3ab2+3abc) = (a + b)3+ c3- 3ab(a+ b+ c) = (a+ b+ c)[(a+ b)2- (a+ b)c + c2] - 3ab(a+b+c) = (a+ b+ c)(a2+ b2+ c2 - ab - ac - bc) a) (x2 + x )2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x )2 + 4(x2 + x ) – 12 (*) §Æt (x2 + x ) = y ta cã (*) = y2 + 4y – 12 = (y2 + 4y + 4) – 16 = (y + 2)2 – 42 = (y + 6)(y – 2) = (x2 + x +6 )(x2 + x - 2) = (x2 + x +6 )[(x2 – x) + (2x – 2)] = (x2 + x +6 )[x(x – 1) + 2(x – 1)] = (x2 + x +6 )(x – 1)(x + 2) b) §Æt y = x2 + 8x + th× x2 + 8x + 15 = y + ta cã: (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15 = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 8y +16 – = (y + 4)2 – = (y + 3)(y + 5) =(x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) a) Tõ a + b + c = (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = (a2 + b2 + c2)2 = [ - 2(ab + bc + ca)]2 a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4[a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) = 4(a2b2 + b2c2 + c2a2) V× a + b + c = a4 + b4 + c4 = 2( a2b2 + b2c2 + c2a2) b) Tõ (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 (a2 + b2)(x2 + y2) - (ax + by)2 = a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2 - a2x2 - 2abxy - b2y2 = a2y2 - 2abxy + b2x2 = (ay – bx)2 = ay – bx = (12) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n a b ay = bx x y (®pcm) III Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö a) 25x2 – 20xy + 4y2 b) x3 – 4x2 – 9x + 36 2 c) x – 7xy + 10y d) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Bµi 2: Chøng minh r»ng a) HiÖu c¸c b×nh ph¬ng cña hai sè lÎ liªn tiÕp th× chia hÕt cho b) A = (n + 1)4 + n4 + chia hÕt cho mét sè chÝnh ph¬ng kh¸c víi n N bµi 5: h×nh b×nh hµnh – h×nh ch÷ nhËt A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức hình bình hành và hình chữ nhật * Vận dụng thành thạo kiến thức vào các bài tập Hbh và hcn * HS có hứng thú và nghiêm túc học tập B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại kiến thức bài học: Kieán Hình bình haønh Hình chữ nhật thức AB // CD Ñònh ABCD laø Hcn A = B = C = D 90 nghóa ABCD laø Hbh AD // BC Tính ABCD laø Hbh , AC BD = O ABCD laø Hcn , AC BD = O AB = CD, AD = BC AB = CD, AD = BC chaát Daáu hieäu nhaän bieát ,B =D A =C OA = OC, OD = OB ,B =D A = C OA = OC, OD = OB AC = BD AB // CD, AD // BC AB = CD, AD = BC =B ,C =D A OA = OC, OB = OD ( O = AC BD) + + ABCD coù AB // CD Vaø + ABCD laø Hbh coù: - AC = BD ABCD laø Hbh ABCD Laø hcn (13) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n II Baøi taäp vaän duïng: Hoạt động GV Baøi 1: Cho Hbh ABCD có A = 120 Đường phaân giaùc cuûa goùc D ñi qua trung ñieåm cuûa AB a) C/m: AB = 2AD b) Goïi F laø trung ñieåm cuûa CD C/m ADF đều, AFC cân c) C/m AC AD Giaûi Goïi E laø trung ñieåm cuûa AB Ta coù ADE laø tam giaùc gì? Vì sao? Hãy C/m điều đó Hoạt động HS HS ghi đề, vẽ hình E A D B C F a) ADE laø tam giaùc caân Ta coù A = 120 , maø ABCD laø Hbh neân = 600 ADE D = AED = 300 ADE caân taïi A AD = AE maø AB = AE Haõy C/m ADF caân taïi A coù moät goùc 600 Neân AB = 2AD b) AB = CD (do ABCD laø Hbh) Haõy C/m AFC caân taïi F 1 maø DF = CD, AD = AB Suy = 600 D Từ AFC cân F ta suy điều gì? Goùc DFA baèng hai laàn goùc naøo cuûa AFC DAC =? AD = DF ADF caân traïi D coù vậy: ADF là tam giác Ta có AF = DF (do ADF đều) Maø DF = FC (F laø trung ñieåm cuûa BC) Suy AF = FC AFC caân taïi F c) AFC cân F DFA = 2FAC (Góc ngoài taïi ñænh cuûa tam giaùc caân) Mà FDA = 60 (do ADF đều) Suy FAC = 300 DAC = 900 hay AC AD Baøi 2: Cho ABC vaø O laø ñieåm thuoäc mieàn HS ghi đề, vẽ hình tam giác đó Gọi D, E, F là trung điểm AB, BC, CA và L, M, N là trung điểm OA, OB, OC Chứng minh các đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy Giaûi (14) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Để C/m ba đoạn thẳng EL, FM, DN A đồng quy ta C/m gì? L Ta C/m các đoạn thẳng đó là đường F D O chéo hai hbh có chung đường cheùo M N Để C/m tứ giác EFLM là Hbh ta c/m B E theá naøo? Tương tự ta có tứ giác NLDE là hình gì? HS suy nghĩ , phát biểu Hai Hbh này có chung đường chéo nào? Từ đó ta có kết luận gì? Những Hbh nào có tâm trùng nhau? C HS ghi nhớ phương pháp c/m E, F là trung điểm BC, CA EF là đường trung bình cuûa ABC suy EF // AB, EF = AB (1) Tương tự LM là đường trung bình OAB Baøi 3: Cho hìn chữ nhật ABCD; kẻ BH AC Gọi E, F là trung điểm AH, CD Chứng minh BE EF Giaûi Goïi K laø trung ñieåm cuûa AB ta coù ñieàu gì? Vì sao? Tứ giác BCFK là hình gì? Vì sao? suy LM // AB, LM = AB (2) Từ (1) và (2) suy tứ giác EFLM là Hbh C/m tương tự ta có tứ giác NLDE là Hbh (Vì coù NE //= LD) Hai Hbh EFLM và NLDE có chung đường chéo LE hay ba đoạn thẳng EL, FM, DN đồng quy taïi trung ñieåm cuûa LE Hay ba Hbh EFLM , NFDM vaø NLDE coù taâm truøng HS ghi đề, vẽ hình F D C H E I EI coù tính chaát gì? Vì sao? Goïi K laø trung A K B ñieåm cuûa AB ta có EK // HB (Vì EK là đường trung bình AHB) maø BH AC EK AC suy BFE laø tam giaùc gì? Vìa sao? CEK = 900 CEK vuoâng taïi E Baøi 4: Cho ABC cân A Từ điểm D trên Tứ giác BCFK có BK //= CF và có = 900 B nên là hình chữ nhật nên hai đường (15) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC E, F Dựng các hình chữ nhaät BDEH vaø CDFK a) C/m: ba ñieåm A, H, K thaúng haøng b) C/m: A laø trung ñieåm cuûa HK c) Goi I, J theo thứ tự là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng IJ D di động trên BC Để C/m A, H, K thẳng hàng ta c/m gì? Hãy C/m AH, AK cùng song song với đường thẳng nào ? Hãy c/m tứ giác AIDJ là Hbh? Như naøo? Từ I, J là tâm các hình chữ nhật BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy ñieàu gì? Từ MI // AH và MJ // AK ta suy điều gì Coù caùch C/m naøo khaùc? Ta đã có A, H, K thẳng hàng nên để c/m A laø trung ñieåm cuûa HK ta C/m gì? Hãy C/m AB // DK và kết hợp với I là trung điểm DH để AH = AK Kẻ MN BC và đường cao AG thì MN coù tính chaát gì? M cách BC khoảng không đổi thì m nằm trên đường nào? cheùo BF vaø CK caét taïi I vaø BF = CK I laø trung ñieåm cuûa BF , CK EI laø trung tuyeán thuoäc caïnh huyeàn CK cuûa CEK 1 EI = CK = BF BFE coù trung tuyeán EI = BF neân laø tam giaùc vuoâng taïi E BE EF HS ghi đề , vẽ hình H F A I P E M K Q J B G N D C HS phaùt bieåu C/m AH, AK cùng song song với IJ HS neâu caùch c/m Từ I, J là tâm các hình chữ nhật BDEH vaø CDFK vaø M laø trung ñieåm cuûa IJ ta suy MI và MJ là đường trung bình caùc tam giaùc AHD vaø AKD Neân MI // AH vaø MJ // AK hay AH vaø AK cùng song song với IJ nên A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclít) HS neâu caùch C/m khaùc = ACB ABC caân taïi A neân ABC (1) I laø taâm cuûa hcn BDEH neân suy BID caân BDI = DBI ABD = BDI taïi I hay (2) Từ (1) và (2) suy AB // DK mà IH = ID neân AH = AK maø A, H, K thaúng haøng neân A laø trung ñieåm cuûa HK c) Kẻ MN BC (N BC); đường cao AG ta có MN = AH (vì MN là đường trung bình (16) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n ADG )không đổi, nên M nằm trên đường thẳng song song với BC và cách BC khoảng AH không đổi chính là đường trung bình PQ ABC (PQ // BC) III Baøi taäp veà nhaø: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M, K theo thứ tự là trung điểm AH và CD Chứng minh BM vuông góc với MK cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngoài hình bình hành các tam giác ABM, AND Gọi E, F, Q theo thứ tự là trung điểm BD, AN, AM a) tam giaùc MNC laø tam giaùc gì? Vì sao? b) Tính FEQ BUỔI – PHÉP CHIA ĐA THỨC A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao phép chia đa thức * Tiếp tục rèn luyện, nâng cao kỹ vận dụng phép chia đa thức vào các bài toán khaùc * Tạo hứng thú cho HS quá trình học tập và vận dụng vào thực tiễ B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Nhắc lại số kiến thức: Đa thức A chia hết cho đa thức B luỹ thừa biến A chia hết cho luỹ thừa cùng biến đó B Đa thức A chia hết cho đa thức B khi: A = B.Q Neáu A = B.Q + R thì: A chia heát cho B R = ; A khoâng chia heát cho b R II Xác định hệ số để đa thức A chia hết cho đa thức B: Phöông phaùp: 1.1- Cách 1: + Chia A cho B thương là Q, dư là R (17) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n + Cho R = 0, tìm hệ số tương ứng đồng thức 2.1- Caùch 2: Duøng heä soá baát ñònh Đa thức bị chia có bậc là m, đa thức chia có bậc là n thìo thương có bậc là m – n Nếu gọi thương là xm – n + C (C là đa thức chưa xác định) Thì A = (xm – n + C ) B A chia hết cho B hệ số cùng luỹ thừa hai vế phải 3.1 - Cách 3: dùng giá trị riêng (chỉ áp dụng đa thức bị chia có nghiệm) Goïi thöông cuûa pheùp chia A cho B laø C thì A = B.C Tìm giá trị biến để C = dùng hệ số bất định để xác định hệ số III Baøi taäp aùp duïng: Hoạt động GV Hoạt động HS III.1 - Daïng 1: HS ghi đề , tìm cách giải Bài 1: xác định a, b để A(x) = x3 + ax + b chia heát cho B(x) = x + x – HS thực phép chia: Hãy thực phép chia A(x) cho B(x) x3+ ax +b = (x2+ x- 2)(x- 1)+ (a + 3)x + b -2 Để A(x) chia hết cho B(x) thì phải có Đk gì Để A(x) B(x) (a + 3)x + b - = Hãy dùng hệ số bất dịnh để tìm a và b a + = a = - b - = b = Thử lại xem có đúng không Bài 2: Tìm a, b Q để A = x4 + ax + b chia heát cho B = x2 – Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức nào? HS thử lại: HS ghi đề và tìm cách giải Gọi thương là x2 + c ta có đẳng thức x4 + ax + b = (x2 – 4)(x2 + c ) x4 + ax + b = x4 + (c – 4)x2 – 4c Đẳng thức xẩy với x Q nên Đẳng thức xẩy với x Q nên ta có điều gì? Hãy tìm a, b, c tương ứng a 0 c 0 b 4c III.2 – Dạng 2: Các bài toán chứng minh Bài 1: Chứng minh định lí Bơ-du “ Số dư phép chia f(x) cho nhị thức x – a giá trị đa thức x = a” Neáu goïi thöông laø q(x) dö laø r thì f(x) = ? Khi x = a thì f(x) = ? a 0 c 4 b 16 HS tieáp caän yeâu caàu Ta coù f(x) = (x – a) q(x) + r Khi x = a thì f(x) = (a – a) q(x) + r f(x) = r (soá dö cuûa f(x) : (x – a)) Bài 2: chứng minh rằng: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – Aùp duïng ñònh lí Bô- du ta coù ñieàu gì? HS tiếp cận đề bài (18) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Ta coù: (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - = (x – 1) Q(x) + r (ñònh lí Bô-du) f(1) = (1 + – 1)10 + (1 – + 1)10 – = (x2 + x – 1)10 + (x2 - x + 1)10 - x – Bài 3: Chứng minh Với m, n Z thì: A = (x3m + + x3n + + 1) chia HS tiếp cận đề bài heát cho B = x2 + x + 3m + 3n + Để C/m : A = (x +x + 1) chia heát HS phaùt bieåu: cho B = x + x + ta C/m A (x3 – 1) Vì x3 – = (x – 1)(x2 + x + 1) (x2 + x + Vì sao? Để C/m điều này ta làm nào? 1) 3m 3m – 3m – A = (x3m + – x) + (x3n + – x2) + (x2 + x + x – = (x – 1)(x +x + … + 1) coù 1) chia heát cho x3 – 1? = x(x3m – 1) + x2 (x3n – 1) + (x2 + x + 1) x3m – = (x3 – 1)(x3m – + x3m – + … + 1) Tương tự ta có kết luận gì? chia heát cho x3 – neân chia heát cho x2 + x + x(x3m – 1) x2 + x + (1) Tương tự: x2 (x3n – 1) x2 + x + (2) III 3- Dạng 3: Các bài toán khác Vaø x2 + x + x2 + x + (3) Từ (1), (2), (3) suy đpcm Baøi 1: Tìm soá dö cuûa pheùp chia A(x) = x50 + x49 + + x + cho B(x) = x2 – Goïi thöông laø Q(x) , dö laø R(x) = ? Khi đó A(x) =? Đẳng thức đúng với x nên ta có điều gì? Goïi thöông laø Q(x), dö laø R(x) = ax + b ta coù: A(x) = B(x) Q(x) + ax + b Đẳng thức đúng với x nên x2 – = x = x = -1 A(1) = a + b 51 a + b a = 25 A(-1) = - a + b 1=-a+b b = 26 Vaäy R(x) = 25x + 26 Bài 2: Tìm đa thức f(x) biết f(x) chia x – thì dö 2; chia x + thì dö vaø chia cho x2 + x – 12 thương là x2 + còn dư * So sánh x2 + x – 12 với (x + 3)(x + 4) ? Goïi dö cuûa f(x) : (x2 + x – 12 ) laø ax + b Thöông cuûa f(x) chia cho x + 3; x + laàn lượt là p(x), q(x) ta có điều gì? HS ghi đề bài x2 + x – 12 = (x + 3)(x + 4) HS phaùt bieåu f(x) = (x - 3).p(x) + (1) (2) f(x) = (x + 4).q(x) + f(x) = (x - 3)(x + 4)(x + 3) + ax + b (3) Từ (1) f(3) = ; từ (3) f(3) = 3a + b (19) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Từ (1) và (3) suy điều gì? 3a + b = (4) Từ (2) và (3) sy : -4a + b = (5) Từ (4) và (5) suy ra: a = -1; b = Vaäy: f(x) = (x – 3)(x + 4)(x2 + 3) – x + = x4 +x3 – 9x2 + 2x – 31 Từ (2) và (3) suy điều gì? Từ (4) và (5) ta có a =?; b = ? Vậy đa thức cần tìm là đa thức nào? III Baøi taäp veà nhaø: Bài 1: Xác định a; b để a) A = x4 + a x2 + b chia heát cho B = x2 + x + b) C = x4 – x3 – 3x2 + ax + b chia cho D = x2 – x – coù dö laø R = 2x – c) P = 2x3 + a x + b chia Q = x + dö - vaø chia R = x – dö 21 Baøi 2: Chöng minh raèng a) mn(m2 – n2) chia hết cho với số nguyên m, n b) n4 + 6n3 + 11n2 + 6n chia hết cho 24 với số nguyên n Baøi 3: a)Tìm soá dö pheùp chia A = (x+1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 2009 cho B = x2 + 8x + 11 b) Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức A = x3 – 3x2 – 3x – chia hết cho giá trị biểu thức B = x2 + x + BUỔI – CÁC BAØI TOÁN VỀ HÌNH THOI, HÌNH VUÔNG Ngày soạn: 28 – 11 - 2010 Ngaøy daïy: - 11 - 2010 A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức hình thoi, hình vuông: tính chất và dấu hiệu nhận bieát * Vận dụng tính chất hình thoi và hình vuông vào các bài toán chứng minh các đoạn thẳng, góc nhau, đường thẳng vuông góc, song song,… * Nâng cao kỹ chứng minh hình học cho HS B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Hệ thống kiến thức: Hình thoi Hình vuoâng Tứ giác có cạnh và góc Định Tứ giác có cạnh baèng nghóa - Các cạnh đối song somg, - Các cạnh đối song somg, - các góc đối - các góc đối Tính - Hai đường chéo vuông góc với - Hai đường chéo nhau, vuông góc chất trung điểm đường, là trục đói với trung điểm đường, là xứng hình thoi trục đói xứng hình vuông - đường chéo là phân giác - đường chéo là phân giác hai (20) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n hai góc đối - Tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo góc đối - Tâm đối xứng là giao điểm hai đường cheùo - Đường trung bình là trục đối xứng - Tứ giác có cạnh - Tứ giác có cạnh và góc - Hbh coù caïnh keà baèng - hình thoi coù goùc vuoâng Dấu - Hbh có đường chéo vuông góc với - hình thoi có đường chéo - hình chữ nhật có cạnh kề hieäu nhận - hbh có đường chéo là tia phân giác - hình chữ nhật có đường chéo vuông cuûa goùc góc với bieát - Hình chữ nhật có đường chéo là tia phaân giaùc cuûa goùc II Heä thoáng Baøi taäp HS ghi đề và vẽ hình Baøi 1: Cho hình thang caân ABCD AB // CD, AB < CD Gọi M, N, P , Q là trung ñieåm cuûa CD, AB, DB, CA a) C/m: NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ b) Tính số đo các góc tứ giác MPNQ bieát caùc goùc nhoïn cuûa hình thang ABCD laø C = D = 50 c) Hình thang ABCD thoã mãn điều kiện gì thì tứ giác MPNQ là hình vuoâng? * Để C/m MN là tia phân giác A N / B / Q P PNQ Ta caàn C/m gì? Để C/m MPNQ là hình thoi ta C/m theá naøo? Haõy C/m MPNQ laø Hình bình haønh Bằng cách C/m có hai cạnh đối vừa song song vừa nhau, đó là hai caïnh naøo? Haõy C/m NP //= MQ ? // D M // C Ta C/m tứ giác MPNQ là hình thoi C/m MPNQ laø hình bình haønh coù hai caïnh keà baèng Từ GT NP là đường trung bình ADE neân NP // AD vaø NP = AD (1) MQ là đường trung bình ADC nên MQ // AD vaø MQ = AD (2) Từ (1) và (2) NP // MQ và NP = MQ suy tứ giác MPNQ là H.b.h C/m MP = MQ để suy H.b.h MPNQ 1 Maët khaùc MP = CB = AD (Vì AD = CB) (21) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n laø hình thoi MPNQ laø hình thoi ta suy ñieàu gì ? Suy MP = MQ MPNQ laø hình thoi (H.b.h coù caïnh keà baèng nhau) NM laø tia phaân giaùc cuûa PNQ CMQ baèng goùc naøo? Vì sao? PMD baèng goùc naøo? Vì sao? CMQ + PMD = ? PNQ =? MPN = MQN =? Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng naøo? b) MQ // AD ADC = CMQ = 50 (3) MP // CE ECD = PMD = 50 (4) Từ (3) và (4) CMQ + PMD = 100 PMQ = 800 PNQ = 800 MPN = MQN = 1000 c) Hình thoi MPNQ laø hình vuoâng 0 PMQ = 90 CMQ + PMD = 90 +D = 900 C =D = 45 C Vaäy: Hình thang caân ABCD coù C = D = 45 thì tứ giác MPNQ là hình vuoâng Baøi 2: Cho ABC vuông cân B từ điểm HS ghi đề bài và vẽ D thuoäc caïnh AB veõ DE AC taïi E, hình tia ED caét tia CB taïi F Goïi M, N, P, Q là trung điểm AD, DF, FC, CA Chứng minh MNPQ là hình vuông Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta caàn C/m ñieàu gì? Để C/m tứ giác MNPQ là hình chữ nhaät ta caàn C/m gì? Hãy C/m tứ giác MNPQ là hình bình haønh? Để C/m H.b.h MNPQ là hình chữ nhật thì ta C/m gì? Haõy C/m MNP = 90 A E M Q D N F B P C Để C/m tứ giác MNPQ là hình vuông ta cần C/m MNPQ vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi MNPQ laø hình bình haønh coù moät goùc vuoâng Từ Gt MN là đường trung bình FCA MN // FA vaø MN = FA (1) Tương tự ta có: PQ // FA và PQ = FA (2) Từ (1) và (2) suy MNPQ là H.b.h Mặt khác D là giao điểm đường cao AB và FE FAC nên CD là đường cao còn lại cuûa FAC CD FA PN FA PN MN (Vì MN // FA) MNP = 900 Nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật (*) = 450 FCE vuoâng taïi E vaø coù C ( ABC vuoâng caân taïi A) FCE vuoâng caân taïi E (22) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n DBF vuoâng caân taïi B BD = BF neân suy ABF = CBD FA = CD Mặt khác NP là đường trung bình FCD, 1 neân NP = CD = FA = MN hình bình Haõy C/m H.b.h MNPQ laø hình thoi baèng caùch C/m NP = MN haønh MNPQ laø hình thoi (**) Từ (*) và (**) suy MNPQ là hình vuông HS ghi đề và vẽ hình Baøi 3: Cho hình vuoâng ABCD, goïi I, K laàn lượt là trung điểm AD, DC; E là giao ñieåm cuûa BI vaø AK a) chứng minh: BI AK b) Chứng minh CE = AB c) So saùnh AK, BI, BK d) C/m: BD laø phaân giaùc cuûa IBK * Để C/m BI AK ta C/m gì? Để C/m A1 + I1 = 90 ta C/m A1 goùc naøo? Vì sao? Haõy C/m AIB = DKA? A / _ I F / M B / C E _ D / K a) HS suy nghĩ, trả lời: C/m A1 + I1 = 90 + I1 = 900 B ABI vuoâng taïi A Ta caàn C/m AIB = DKA Vì coù AB = DA (ABCD laø hình vuoâng) AI = DK (nửa cạnh hình vuông ABCD) =D = 900 A AIB = DKA(c.g.c) 0 1= A B maø B1 + I1 = 90 A1 + I1 = 90 + I1 = 900 AEI A = 900 ta coù BI AK b) Goïi F laø trung ñieåm AB AKCF laø H.b.h vì coù FA //= CK Để C/m CE = AB ta C/m gì? AK // CF CM BE hay CM là đường AB =? Vậy để C/m CE = AB ta C/m cao cuûa cuûa BCE (1) CE = CB baèng caùch C/m hai tam giaùc F laø trung ñieåm AB maø MF // AK neân M laø naøo baèng nhau? Hay tam giaùc naøo caân? trung điển BE hay CM là đường trung tuyến cuûa BCE (2) Từ (1) và (2) suy BCE cân B suy CE = CB maø CB = AB neân CE = AB c) BI = AK (do AIB = DKA(c.g.c)- C/m caâu a) IDB = KDB (c.g.c) vì coù: ID = KD AK = BI? Vì sao? (nửa cạnh hình vuông ABCD); IDB = KDB = 45 Ta cần C/m gì? (AK = BK BI = (23) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n BK) IBD = KBD hay khoâng? Vì sao? (đường chéo DB là phân giác góc D); DB chung BI = BK Vaäy: AK = BI = BK = KBD d) IDB = KDB (c.g.c) neân IBD hay BD laø tia phaân giaùc cuûa IBK III Baøi taäp veà nhaø: Bài 1:Cho hình vuông ABCD Từ điểm E trên cạnh BC dựng EAx 90 , tia Ax cắt CD taïi F Goïi I laø trung ñieåm FE, AI caét CD taïi M Veõ Ey // CD, Ey caét AI taïi K a) Tam giaùc AFE laø tam giaùc gì? Vì sao? b) Tứ giác KFME là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh chu vi CEM không đổi E chuyển động trên BC Bài 2: Cho ABCD là hình vuông Gọi M, N, I, L là trung điểm AB, BC, CD, DA; DN cắt AI, CM K và P; BL cắt AI, CM H và Q a) Chứng minh PA = DA b) Tứ giác KPQH là hình gì? Vì sao? BUỔI – RÚT GỌN PHÂN THỨC Ngày soạn: 06 - 12 - 2010 Ngaøy daïy: - 12 - 2010 A MUÏC TIEÂU: * Củng cố và nâng cao kiến thức rút gọn phân thức, qua đó tiếp tục rèn luyện thêm kỹ phân tích đa thức thành nhân tử * Tiếp tục rèn luyyện cho HS kỹ tìm nhân tử chung để rút going phân thức * Khắc sâu và vận dụng thành thạo kỹ rút gọn phân thức mức độ cao B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I HỆ THỐNG KIẾN THỨC: * Các bước rút gọn phân thức: + Phân tích tử và mẫu thành nhân tử + Tìm nhân tử chung + chia tử và mẫu cho nhân tử chung A -A A - A A A * Quy tắc đổi dấu B - B ; B B ; B B II BAØI TAÄP: Hoạt động GV Bài 1: Rút gọn phân các thức Hoạt động HS HS ghi đề và tìm cách giải (24) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 4a 12a a) 2a a Ta làm nào để rút gon phân thức đã cho? Phân tích tử và mẫu nào? Tìm nhân tử chung rút gọnh phân thức đã cho x - xy + 2x - 2y 2 b) x - y + x - y Goi HS leân baûng trình baøy 3x - 7x + 5x - c) 2x - x - 4x + Cho HS lớp giải ít phút Goïi HS leân baûng trình baøy Nếu HS chưa thực thì gợi ý: Tử và mẫu là đa thức bậc có dạng đặc biệt nào? Có nhân tử nào? Tách tử và mẫu để làm xuất nhân tử là x – Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, tìm nhân tử chung chia tử và mẫu cho nhân tử chung đó 4a 12a ( a+3 )2 a+ ¿ = ( a+ )( a− ) a −2 a) 2a a x - xy + 2x - 2y x(x - y) + 2(x - y) 2 b) x - y + x - y = (x - y)(x + y) + (x - y) (x - y)(x + 2) x+2 (x - y)(x + y + 1) x + y + HS ghi đề, tiến hành giải 1HS leân baûng trình baøy HS ghi đề bài và tiến hành giải lớp Tử và mẫu là đa thức bậc có dạng đa thức có tổng các hệ số nên có nhân tử laø x – HS thực hiện: 3x - 7x + 5x - 2x - x - 4x + (3x - 3x ) (4x 4x) + (x - 1) 2x - 2x + (x - x) - (3x - 3) 3x (x - 1) 4x(x 1) + (x - 1) (x - 1)(3x 4x + 1) 2x (x 1) + x(x 1) (x 1) (x - 1)(2x x - 3) = 3x 4x + (3x 3x) - (x - 1) 3x - 2 = 2x x - (2x - 2x) + (3x - 3) = = 2x + a - 3a + d) a - a - 2a - Áp dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích tử và mẫu thành nhân tử Tìm nhân tử chung rút gọn phân thức x x3 x e) x x x x HS phân tích tử và mẫu thành nhân tử Bằng phương pháp tách hạng tử và các phương pháp bổ sung đã học Tìm nhân tử chung rút gọn phân HS ghi đề bài a - 3a + a - a - 2a - = a a 1 a (a - 2a + 1) - a a - (a + 2a + 1) a a + 1 1 a a a 1 a - a - 1 a2 a a a +1 = HS ghi đề bài, phân tích tử và mẫu thành nhân a a + 1 a2 a + a2 - a - x x x 1 x x3 x 1 4 2 tử: x x x x x x x x x (25) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n thức ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) 2 2 2 f) a(b - c ) b(c - a ) c(a - b ) x3 x 1 x 1 x x x 1 x x 1 x 1 x3 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử x 1 ( phân tích tử xong đến mẫu) HS ghi đề Phân tích tử: ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = ab(a – b) – bc[(a – b) + (c – a)] + ca(c – a) = [ab(a – b) – bc(a – b)]+[bc(c – a) + ca(c – a)] = …= (a – b)(b – c) (a – c) Phaân tích maãu: a(b2 – c2) + b(c2 – a2) + c(a2 – b2) = … = (a – b)(b – c) (a – c) Bài 2: Chứng minh với n Z thì 15n 8n phaân soá: a) 30n 21n 13 toái giaûn Để C/m phân số tối giản ta làm naøo? Để C/m ƯCLN tử và mẫu ta laøm theá naøo? Goïi ÖCLN(15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13) = d (d 1) ta coù ñieàu gì? 15n2 + 8n + coù theå phaân tích thaønh tổng có chứa nhân tử (5n + 1) naøo? Từ đó ta suy điều gì? n2 n7 b) n n khoâng toái giaûn ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a) 2 2 2 Neân: a(b - c ) b(c - a ) c(a - b ) (a - b)(b - c) (a - c) 1 = (a - b)(b - c) (a - c) HS tiếp cận đề bài Để C/m phân số tối giản ta C/m ƯCLN tử và mẫu Gọi ƯCLN tử và mẫu là d (d 1) ta C/m d = (15n2 + 8n + 6) d vaø (30n2 + 21n + 13) d hay [2 (15n2 + 8n + ) + 5n + 1] d 5n + d Maø 15n2 + 8n + = [(3n + 1)(5n + 1) + 5] d d 5n d maø 5n + d d d = Hay 15n2 + 8n + 6; 30n2 + 21n + 13 nguyeân toá 15n 8n cuøng neân phaân soá 30n 21n 13 toái giaûn Để C/m phân số không tối giản ta làm theá naøo Hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử Để C/m phân số không tối giản ta C/m tử và để tìm nhân tử chung maãu coù ÖC khaùc Ta coù: n n (1 n n ) n(n 1) (26) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 3 = (1 n n ) n(n 1)(n 1) =…….= ( n n )(1 n n n n ) + n + n lớn không? Vì sao? Vaäy ta coù keát luaän gì? n n8 (1 n n ) n2 ( n6 1) 2 3 = (1 n n ) n (n 1)(n 1) =…….= ( n n )(1 n n n n ) Với n nguyên dương thì n n > Suy tử và mẫu phân số có ƯC lớn n2 n7 neân phaân soá n n khoâng toái giaûn III BAØI TAÄP VEÀ NHAØ: Bài 1: rút gọn các phân thức sau: 2a 12a 17a a a) x5 x x3 x 3x x2 x b) x3 x 2 2 c) x ( x 3) x(3 x) 4( x 3) Bài 2: Chứng minh : x 15 x 2 phân số 13 21x 30 x tối giản với x nguyên dương BUỔI – CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC Ngày soạn: 11 - 12 - 2010 Ngaøy daïy: - 12 - 2010 A MUÏC TIEÂU: * Củng cố, nâng cao kiến thức các phép toán quy đồng mẫu, cộng phân thức * Tiếp tục rèn luyện kỹ quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, các phép toán cộng phân thức * Tiếp tục phát triển kỹ phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn phân thức càc các phép toán phân thức và tạo hứng thú cho HS quá trình học toán B HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC: I Kiến thức bài học: Phép cộng phân thức: Quy đồng mẫu thức (Nếu khác mẫu) Cộng tử với tử và giữ nguyên mẫu Tính chất phép cộng phân thức: A C C A a) Tính chất giao hoán: B D D B (27) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n A C E A C E b) Tính chất kết hợp: B D F B D F * Lưu ý: Có ta cần đổi dấu để thực phép tính cách nhanh II Bài tập lớp: Bài 1: Thực phép tính: 12 a) x 2 x x Coù nhaän xeùt gì veà caùc maãu? Để có MTC ta cần làm gì? Haõy tìm MTC, tieán haønh baøi giaûi HS ghi đề bài, tiến hành cách giải HS suy nghĩ trả lời Đổi dấu phân thức thứ hai HS hoàn thành bài giải 12 3 12 4(x 2) 3(x 2) 12 x 2 x x x x (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) 4x 3x 12 x2 (x 2)(x 2) (x 2)(x 2) x 2y x 8x 2y x 2 b) y xy x y y xy Phân tích mẫu thành nhân tử Cần đổi dấu không? Vì sao? HS phân tích mẫu thành nhân tử, đổi dấu Tìm MTC Thực các phép toán cách liên tuïc Gọi số HS trả lời và cùng giải Tìm MTC HS thực phép toán moat cách liên tục Một số HS đại diện trả lời câu hỏi và cùng giải với GV 8x 8x 2 phân thức x y y x 2y x 8x 2y x 2y x 8x 2y x 2 2 b) y xy x y y xy = y xy y x y xy 2y x 8x 2y x (2y x)(2y x) 8xy (2y x)(2y x) y(2y x)(2y x) = y (2 y x) (2 y x)(2 y x) y (2 y x) = y xy x xy y xy x y xy x 2(4 y xy x ) y (2 y x)(2 y x) y(2 y x)(2 y x) y(2 y x)(2 y x) 2(2 y x) 2(2 y x) y (2 y x)(2 y x) y (2 y x ) 1 1 c) x x x 3x x 5x x x 12 Ta nên thực nào? Hãy phân tích mẫu thành nhân tử Có nhận xét gì mối quan hệ các maãu HS: Thực phép tính ngoặc trước HS phaân tích HS neâu nhaän xeùt: Moãi maãu laø tích cuûa 2 (28) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n soá lieân tieùp, Maãu tieáp theo laø tích cuûa thừa số thứ mẫu thứ và thừa Ta nên quy đồng mẫu hay thực phép số đó cộng thêm toán nào? HS phaùt bieåu 1 1 Ta coù: x x x( x 1) x x 1 vaäy toång các phân thức trên có thể viết naøo? GV và HS tiến hành lời giải HS neâu caùch giaûi HS cuøng GV tieán haønh baøi giaûi 1 1 c) x x x 3x x 5x x x 12 1 1 1 1 x4 x 1 = x x x x x x x x = x x x( x 4) x( x 4) 1 2a 4a 8a 8 d) a b a b a b a b a b Coù neân phaân tích moãi maãu thaønh nhaân HS suy nghó, phaùt bieåu tử hay không? Vì sao? Ta thực phép cộng hai phân thức đầu tiếp tục cộng với phân thức HS thực d) Ta coù: 1 2a 4a 8a 2a 4a 8a 2 a b a b a b a b a b8 = a b a b a b a b a b 2a 4a3 8a 2a 4a 8a a b a b 2a 8 2 8 2 2 a b a b a b a b a b a b a b a b = a ( a b ) 2a ( a b ) 4a 4a 8a 4a 8a a b a8 b8 a b a b a8 b8 a b4 a ( a b ) 4a (a b 8a 8a 8a 8a (a b8 ) 8a (a b8 ) 8 8 8 a b8 a b a b a b a16 b16 8a15 8a b8 8a15 8a 7b8 16a15 a16 b16 a16 b16 Baøi 2: Tính A + (- B) bieát 1 1 n(n 1)(n 2) A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 HS ghi đề bài Tieán haønh giaûi n(n 3) vaø B = 4(n 1)(n 2) (29) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Vieát n(n 1)(n 2) thaønh keát quaû cuûa tổng hai phân số cùng tử? Từ đó ta có tổng trên tính nào? HS biến đổi từ hạng tử cuối để tìm quy luaät 1 1 n(n 1)(n 2) Ta coù: A = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 1 1 1 1 1 1 1 1 n( n 1) ( n 1)( n 2) = 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 1 1 1 1 1 n( n 1) ( n 1)( n 2) = 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)( n 2) 11 n 3n n( n 3) = (n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) 4( n 1)(n 2) 4(n 1)( n 2) n(n 3) n(n 3) Vaäy: A + (- B) = 4(n 1)(n 2) - 4(n 1)(n 2) = Baøi 3: Cho a,b,c laø số ñoâi moät khaùc Chứng minh : b −c c −a a −b 2 + + = + + ( a −b ) ( a − c ) ( b −a )( b − c ) ( c −a )( c −b ) a − b b − c c − a b c HS thực phép tính và trả lời a b a c b −c 1 Haõy tính: = + ( a −b ) ( a − c ) a − b c − a Tương tự ta có: c−a 1 = + c a ( b− a ) ( b − c ) b − c a −b a− b 1 b a b c = ? = + ( c − a ) ( c − b ) b −c c − a a b c a c b =? Làm nào để có đẳng thức cần chứng minh? Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta có ñpcm III Baøi taäp veà nhaø: Bài 1: Thực các phép tính 3x 3x a) x x x x x 1 2x 3y xy x2 b) xy x y xy x y x c) b b b b 2 x bx x 3bx 2b x 5bx 6b ( x kb) x (k 1)b x y z Baøi 2: Cho a + b + c = vaø a2 +b 2+ c 2=1 , Nếu a = b = c (30) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Chứng minh xy + yz + zx = Buæi 10: C¸c bµi to¸n vÒ diÖn tÝch Ngµy so¹n: 19 - 12 - 2010 Ngµy d¹y: - 12 - 2010 A môc tiªu: 1) Cñng cè, n©ng cao kiÕn thøc vÒ tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c 2) HS biết so sánh độ dài đoạn thẳng mà không sử dụng kiến thức tam giác 3) VËn dông kiÕn thøc vµo bµi tËp cô thÓ; thùc tiÔn cuéc sèng b.hoạt động dạy học: I KiÕn thøc bæ trî: * Diện tích tam giác nửa tích đờng cao và cạnh tơng ứng * Các tam giác có chung cạnh và độ dài đờng cao tơng ứng thì có cùng diện tích * Hai tam giác cùng độ dài đờng cao thì diện tích tỷ lệ thuận với cạnh tơng ứng với đờng cao đó ii bµi tËp ¸p dông: HS ghi đề và vẽ hình Bµi 1: Nối các đỉnh B và C ABC cân A A với trung điểm O đờng cao AH Các đờng thẳng này lần lợt cắt AC, AB D và D E E TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c AEOD theo N O diÖn tÝch S ABC B NÕu gäi N lµ trung ®iÓm cña CD th× ta cã ®iÒu g×? T×m mèi quan hÖ gi÷a SAOD vµ SAOC ? H C Gọi N là trung điểm CD thì NH là đờng trung b×nh cña DBC nªn NH // BD suy OD // HN D lµ trung ®iÓm AN AD = DN = 1 NC = AC SAOD = SAOC (V× cã chung ®- (31) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n So s¸nh SAOC vµ SABC ; SAHC vµ SABC ? êng cao h¹ tõ O xuèng AC vµ AD = AC) 1 MÆt kh¸c SAOC = SAHC (v× cã AO = AH vµ cùng đờng cao CH) Từ đó suy SAOD bao nhiêu SABC ? Bµi 2: TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c c©n cã chiÒu cao ứng với cạnh đáy 10 cm, chiều cao øng víi c¹nh bªn b»ng 12 cm Gi¶i SABC tÝnh nh thÕ nµo ?(theo AH vµ BK) Từ đó ta suy điều gì? 1 SAHC = SABC (V× Cã CH = BC Vµcïng ®1 êng cao AH ) SAOD = 12 SABC T¬ng tù ta cã: SAOE = 12 SABC 1 SADOE = SAOD + SAOE = 12 SABC = SABC HS ghi đề và vẽ hình A Hãy tính BC2 theo AC2 để có CH2 áp dụng định lí Pytago vào ACH ta có g×? Thay AC = 12,5 cm ta cã SABC = ? Bµi 3: Tính diện tích ABC có độ dài ba c¹nh lµ AB = 20 cm, AC = 34 cm, BC = 42 cm Gi¶i Vẽ đờng cao AH §Ó tÝnh SABC ta lµm thÕ nao? (tÝnh AH) AH tÝnh nh thÕ nµo? §Æt CH = x, ta cã AC2 = ? SABC = BC AH = AC BK B K H BC BK BC AH = AC BK AC AH 36 AC2 36 AC2 BC2 = 25 CH2 = 100 áp dụng định lí Pytago vào ACH ta có: 36 AC2 AC2 - CH2 = 100 AC2 - 100 = 100 64AC2 = 1002 AC = 12,5 cm SABC = AC BK = 12,5 = 75 cm2 HS ghi đề bài và vẽ hình A áp dụng định lí Pytago vào B H AHC, AHB ta cã: AH2 = AC2 - CH2 = AB2 - BH2 Bµi 4: 2 2 Cho tam giác ABC , AB > AC ,trên AB lấy đặt CH = x ta có: AC - x = AB - (BC -x) AC2 - x2 = AB2 - BC2 + 2BCx - x2 ®iÓm M Sao cho: AM = AB , trªn AC lÊy C C AC2 - AB2 + BC 342 202 422 30 x= 2BC 2.42 cm AH2 = AC2 - CH2 =342 - 302 = 162 (32) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n ®iÓm N cho : AN = AC Gäi O lµ giao ®iÓm cña BN vµ CM , F lµ giao ®iÓm cña AO vµ BC , vÏ AI vu«ng gãc víi BC t¹i I , OL vu«ng gãc víi BC t¹i L , BD vu«ng gãc víi FA t¹i D, CE FA t¹i E So s¸nh: CE víi BD ; OL víi IA ; OA víi FO Gi¶i AH = 16 cm 1 SABC = BC AH = 42 16 = 336 cm2 HS ghi đề và vẽ hình AON , CON có chung đờng cao hạ từ O xuèng AC vµ AN = NC nªn ta cã ®iÒu g×? Kẽ AH ON , CK ON ,khi đó SAON , SCON tÝnh nh thÕ nµo? Tõ (1) , (2) , (3) ? Từ đó suy ra? Chøng minh t¬ng tù nh trªn ta cã ®iÒu g×? AON , CON có chung đờng cao hạ từ O xuèng AC vµ AN = NC nªn: SAON = SCON (1) kẽ AH ON , CK ON ,khi đó : SAON = ON AH (2) SCON = ON CK (3) Tõ (1) , (2) , (3) AH = CK BO CK = BO CH SBOC = SBOA T¬ng tù: SBOM = SAOM SBOC = SCOA SBOA = SCOA AO CE = AO BD CE = BD CF = BF ( CEF = BDF - tr- êng hîp : c¹nh huyÒn – gãc nhän) SABC = 2SCOB nªn: AI BC = OL BC AI = OL Tõ : BF = CF vµ C/m trªn SCOF = SCOA OA = FO c.bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1: Trªn c¸c c¹nh AB, AC cña ABC cã diÖn tÝch S, lÊy c¸c ®iÓm D, E cho 1 AD = AB, AE = AC Gäi K lµ giao ®iÓm cña BE, CD TÝnh SADKE theo S Bài 2: Tam giác ABC có ba cạnh dài 26 cm, 28 cm, 30 cm Tính độ dài đờng cao ứng với c¹nh 28 cm Bai 3: Cho ABC, ph©n gi¸c AD, ph©n gi¸c ngoµi Ay, kÎ BE Ay t¹i E, CF Ay t¹i F So s¸nh SABC vµ SEDF (33) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n Buổi 11 : Biển đổi biểu thức hữu tỉ - giá trị phân thức Ngµy so¹n: 27 - 12- 2010 Ngµy d¹y: - 12 - 2010 A.môc tiªu: 1) Củng cố ,nâng cao kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ 2) HS làm thành thạo các bài toán biến đổi biểu thức hữu tỉ,giá trị phân thức 3) Vận dụng thành thạo kiêns thức vào các bài tập nâng cao chuyên đề này B.bµi tËp t¹i líp x2 y2 x x y y x y VÝ dô 1: Rót gän biÓu thøc A = Ta thực phép tính theo thứ tự nào Hãy biến đổi, thực phép tính dấu ngoặc GV kết hợp cùng HS hoàn thành lời giaûi Gi¶i: Thực phép tính ngoặc trước HS thực phép tính theo thứ tự HS cùng GV hoàn thành bài giải x2 y2 x( x y ) ( x y ) x y y x xy x y x y x y( x y) x y y x y x y x y y( x y) A= xy y x y y ( x y )( x y ) 1 x y y ( x y ) y ( x y )( x y ) = x 16 Cho A = x x x 16 x 16 VÝ dô 2: a) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức A xác định b) Rót gän A c) Tìm x để A có giá tri d) Tìm các giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Giá trị biểu thức A xác định nào? Giá trị biểu thức A xác định Để tìm đợc giá trị x để mẫ khác ta lµm thÕ nµo? Tìm giá trị x để mẫu khác Muèn rót gän biÓu thøc A ta lµm thÕ nµo? H·y rót gän biÓu thøc A Y/c HS rót gän biÓu thøc A vµ tr¶ lêi kÕt qu¶ BiÓu thøc A cã gi¸ trÞ nguyªn nµo? H·y t×m gi¸ trÞ t¬ng óng cña x Hoµn thµnh bµi gi¶i x x x 16 x 16 0 Ta ph©n tÝch mÉu thµnh nh©n tö, cho mÉo kh¸c mäi nh©n tö kh¸c HS gi¶i vµ t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x HS tr¶ lêi HS rót gän HS tr¶ lêi HS t×m gi¸ trÞ t¬ng øng cña x (34) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n HS hoµn thµnh bµi gi¶i a) Ta cã: x x x 16 x 16 x 16 x3 x 16 x 32 = x 2 x 2 x2 4 x x 16 x x x x x 16 x x3 x x = x 16 x x3 = x x x x 4 Biểu thức A xác định (x - 2)2(x2 + 4) x 2 (vì x2 + với x) b) Rót gän : x2 4 x2 4 x 2 x 2 x2 4 x x 16 x x3 x 16 x 16 x x x x 2 x2 4 A= x2 x 2( x 2) 2 x x c) A = x x + = 2x - x = (t/m) 1 x d) Chia x + cho x - ta cã A = §Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn víi x nguyªn th× x - lµ ¦(4) Nªn ta cã: x x x x x x 2 1 2 4 VÝ dô 3: x x 0 x 1 x 3 x 4 x 6 x - 2; 0; 1; 3; 4; b c a Gọi a,b,c là độ dài cạnh tam gi¸c biết rằng: 1+ a 1+ b 1+ c =8 Chứng minh tam giác đó là tam giác Để C/m tam giác đó là tam giác thì ta Để C/m tam giác đó là tam giác thì ta phải ph¶i C/m g×? C/m a=b=c a-b=b-c=c-a=0 Hãy biến đổi biểu thức trên để có đợc HS biến đổi ®iÒu cÇn C/m ( )( )( ) a b bc a c b c a 8 8 a b c a b c a 2b ab a 2c abc abc b 2c ac bc 8abc 0 abc ( a 2b 2abc bc ) ( ab abc ac ) (a c 2abc b c) b(c a ) a (b c )2 c(a b) 0 0 abc abc ( a b) 0 a b 0 2 2 ( b c ) b c 0 a b c a b b c c a 0 c a ) 0 ab bc ca (c a ) 0 hay tam giác đó là tam giác (35) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n VÝ dô 4: Cho 1 0 a b c b c c a a b a b c TÝnh gi¸ trÞ cña BT : M = Để tính giá trị M với điều kiện đã cho Để tính đợc giá trị M theo điều kiện bài th× ta ph¶i lµm g×? thì ta phải biến đổi M thành biểu thức đó có biểu thức đã có giá trị nh GT đã cho Hãy biến đổi M thành biểu thức thoã HS biến đổi mãn điều đó a b c a b c a b c b c c a a b 1 1 1 a b c a b c Ta cã: M = 1 1 a b c a b c = 1 1 a b c - = - VÝ dô 5: Cho a, b, c ≠ vµ a + b + c ≠ tháa m·n ®iÒu kiÖn Chứng minh ba số a, b, c có hai số đối + + = 1 1 + + = a b c a +b +c b c a +b +c Từ đó suy : a Lêi gi¶i 1 1 a +b a +b 1 1 + + = + =0 + + =0 ab c(a + b + c) a b c a + b + c a b c a + b + c Ta cã : éb + c = éa =- b ê ê Û êa + b = Û êb =- c c(a + b + c) + ab ê ê (a + b) =0 ê êc =- a c + a = abc(a + b + c) ë ë (a + b)(b + c)(c + a) = 1 1 1 + 2009 + 2009 = 2009 + + 2009 = 2009 2009 2009 b c a (- c) c a Từ đó suy : a 2009 2009 2009 2009 2009 2009 1 = a 2009 + b 2009 + c2009 a 2009 + (- c)2009 + c2009 a 2009 1 1 + + = 2009 b 2009 c2009 a 2009 + b 2009 + c2009 a = C) Bµi tËp vÒ nhµ: 1) Rút gọn các biểu thức: 1 1 n(n 1) a) 1.2 2.3 3.4 3b a a2 b 2 a b a ab a ab a a b ab b) (36) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n 1 0 2) Cho ba sè a , b, c tho¶ m·n : a + b + c = 2010 vµ a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = a2 + b2 + c2 3) Chøng minh r»ng: 1 1 1 2 2 NÕu a b c vµ a + b + c = abc Th× : a b c Buæi 12: ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng: ax + b = ph¬ng tr×nh tÝch a môc tiªu : * Cñng cè , hÖ thèng kiÕn thøc vÒ ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh ®a vÒ d¹ng ax + b; ph¬ng tr×nh tÝch * N©ng cao kû n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh cho HS * VËn dông thµnh th¹o kü n¨nggi¶i Pt vµo c¸c bµi to¸n cô thÓ b bµi tËp : Hoạt động GV Hoạt động HS VÝ dô a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Gi¶i c¸c Pt: 24x - 16 - 14x = - 14x + 15x a) 8(3x - 2) - 14x = 2(4 - 7x) + 15x Biến đổi Pt nh nào? 24x - 14x + 14x - 15x = + 16 x x x 3 x b) Thực phép nhân, thu gọn Pt để da d¹ng ax = - b c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + Hãy biến đổi tơng đơng để giải Pt này x 3x x 3x 12 d) Biến đổi để giải Pt này nh nào? VÝ dô 2: Gi¶i c¸c Pt 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x 0 93 95 97 a) 91 Ta có nên quy đồng mẫu hay không? Vì ? Em cã nhËn xÐt g× vÒ tæng cña tö vµ mÉu cña mçi ph©n thøc Vậy, ta biến đổi Pt nh nào? 24 9x = 24 x = x = x x 4x x b) x x 10 12 x 25 10 x x x 6 x c) x(x + 3)2 - 3x = (x + 2)3 + x(x2 + 6x + 9) - 3x = x3 + 6x2 +12x + + x3 + 6x2 + 9x - 3x = x3 + 6x2 +12x + 3 6x = 12x + - 6x = x = x 3x x x 12 d) 8(x - 4) - 6(3x + 1) = 3(9x - 2) + 2(3x - 1) 8x - 32 - 18x - = 27x - + 6x - -10x - 38 = 33x - - 43x = 30 30 x = 43 HS ghi đề bài, tìm cách giải HS tr¶ lêi 1909 x 1907 x 1905 x 1903 x 0 93 95 97 a) 91 (37) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n x 999 x 896 x 789 6 101 103 b) 99 VÝ dô Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh : a) (x-1)3 + x3 + ( x + )3 = ( x + )3 Ta biến đổi Pt nh nào? Thu gän pt (x2 + x +1) ( x – ) = nµo? b) ( x + ) (x – ) ( x2 – 11 ) + = Hãy biến đổi Pt trên Ta nªn gi¶i Pt theo ph¬ng ph¸p nµo? §Æt : x2 – = y ; th× (1) ? 1 (2000 - x) 91 93 95 97 = 2000 - x = x = 2000 x 999 x 896 x 789 6 101 103 b) 99 x 999 x 896 x 789 1 2 0 101 103 99 x 1098 x 1098 x 1098 0 99 101 103 1 (x - 1098) 99 101 103 = x = 1098 a) (x-1)3 + x3 + ( x + )3 = ( x + )3 x3 – 3x2 + 3x – + x3 + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 6x2 + 12x + x3 – 3x2 – 3x – = x3 - - 3x2 -3x - = ( x – )( x2 + x +1) - 3(x2 + x +1) = (x2 + x +1) ( x – ) = x – = x = (v× x2 + x +1 = (x + )2 + > víi x R ) c) 2x3 + 7x2 +7x + = Ph©n tÝch vÕ tr¸i thµnh nh©n tö nh thÕ nµo? b) ( x + ) (x – ) ( x2 – 11 ) + = d) ( x +3)4 + ( x + )4 = (2) (x2 – ) (x2 – 11 ) +1 = (1) §Æt x + = y ; th× pt (2) ? §Æt : x2 – = y ; th× (1) y ( y – ) + = Biến đổi Pt thành Pt tích y2 – 2y + = ( y + 1)2 = y + = y = - x2 – = x2 = 10 x 10 e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = (*) x = cã phaØ lµ nghiÖm cña Pt (*) ? Chia vế cho x2 ta đợc pt nào? c) 2x3 + 7x2 +7x + = 2x3 + 2x2 + 5x2 + 5x + 2x + = … (x+1)(x+2)(2x+1) = … d) ( x +3)4 + ( x + )4 = (2) §Æt : x + = y ; th× (2) (y – 1)4 + ( y + )4 – = 2 y 1 y 1 0 2 2 y 1 y 1 y 1 y 1 0 Gi¶i Pt (**) nh thÕ nµo? 1 x y x2 y x x §Æt : Th× Pt (2) trë thµnh Pt nµo? 2 y y 1 y 1 y 1 y 0 2 … y 12 y 0 y ( y 6) 0 y 0 (V× y 0 ) Víi : y = th× x = - (38) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n e) x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + = (*) NhËn xÐt : x = kh«ng phaØ lµ nghiÖm cña Pt , Nªn chia c¶ vÕ Pt (*) cho x2 ta cã : (*) VÝ dô 4: Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 – (a +b +c) x2 + (ab +ac+bc) x = abc Hãy biến đổi dạng Pt tích? x2 x HS tr¶ lêi x §Æt : 1 3 x x + = (**) 1 y x2 y x x Th× y 1 y y 0 y 1 y 0 y 2 (**) x3 b) 2 x x x x x x 0 a ac b bc c ab abc Biến đổi Pt này cách nào? c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = Ph©n tÝch vÕ tr¸i cña Pt thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nµo? +Víi y =1 th× ta cã Pt : x2 – x + = 1 x 0 2 , Pt v« nghiÖm +Víi y = , ta cã : x2 – 2x + = x 1 0 x 1 a) x3 – ( a + b + c ) x2 + ( ab + ac + bc ) x = abc x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx + bcx – abc = (x – a) (x2 – bx – cx – bc ) = (x – a) [x(x – b) – c(x – b)] = (x – a)(x – b)(x – c) = x2 x x2 x x2 x x 0 a ac b bc c ab abc b) x2 x2 x x2 x x x 0 a c ac b ab bc abc 1 x 1 x 1 1 x x x x x 0 a c a b a bc a d) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + = h·y gi¶i t¬ng tù nh c©u trªn x x 1 x x 0 a b c bc 1 1 1 x x x x 0 a b c b 1 1 x x x 0 a b c c) x7 + x5 + x4 + x3 + x2 +1 = (x7 + x5 + x3 ) +( x4 + x2 +1) = x3 (x4 + x2 + x ) +( x4 + x2 +1) = ( x4 + x2 +1) (x3 + 1) = VÝ dô 5: Cho Pt x3 – (m2 – m + 7)x – 3(m2 – m – 2) x3 0 x3 0 x x x 0 (39) Gi¸o ¸n BDHSG to¸n = (1) a) Xác định m để Pt có nghiệm b) Gi¶i Pt t¬ng øng víi gi¸ trÞ m võa t×m b) Thay : m2 – m = Vµo Pt (1) ta cã (1) trë thµnh Pt nµo? 1 x + 0 2 4 V× x + x +1 = Víi x 10 d) x + x + x + x + x + = x6 (x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = (x6 + 1)( x4 + x2 + 1) = x 0 1 x 0 (x6 + 1) [( x + )2 + ] = V× : x6 + 1 víi mäi x R; Nªn Pt : x6 + = v« nghiÖm 3 ( x + )2 + víi mäi x R nªn Pt : ( x + )2 + = v« nghiÖm Vậy Pt đã cho vô nghiệm a)V× x = lµ nghiÖm cña Pt (1) , nªn ta cã : – (m2 – m + 7) – 3m2 +3m + = m = - 4m + 4m = m = b) Thay : m – m = Vµo Pt (1) ta cã : 1 x - 7x + = (x x ) - ( 6x - ) = (x - 1) ( x x - ) = x 0 ( x 1)( x 2)( x 3) 0 x 0 x 0 x 1 x 2 x Bµi tËp vÒ nhµ 1) Gi¶i Pt : a) (x - 2)(x + 2) - (2x + 1)2 = x(2 - 3x) x 1 x x x x - 3x - 2x - 7x + + -x = 63 61 59 10 b) c) 65 x - 29 x - 27 x - 25 x - 23 x - 1970 x - 1972 x - 1974 x - 1976 + + + + + + + 1972 1974 1976 29 27 25 23 d) 1970 -8=0 2) Gi¶i c¸c Pt sau : a) x3 + 3x2 + 4x + = c)(x – 2)4+ (x – 3)4 = b) 6x – x – 7x + x + = d) x6 – x3 + = 2 e) (x + 10x + 16)( x + 10x + 24) +16 = 3) Cho Pt : x3 + (m2 – 2)x2 – (m – 1)x – = a) Xác định m , biết Pt có nghiệm : x = - b) Tìm nghiệm còn lại Pt với m vừa xác định (40)