Giao an Boi duong HSG Toan 9

Như vậy muốn tìm chữ số tận cùng của số tự nhiên x=a m trước hết ta xác định chữ số tận cùng của.. a.[r]

PHẦN I KIẾN THỨC CƠ BẢN

PHẦN I.I PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC MỘT SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Dùng cấu tạo số: I Cơ sở lí thuyết:

Để tìm chữ số tận số người ta thường tìm số dư phép chia số cho 10

Nhận xét 1: Nếu số nguyên a có tận chữ số: 0; 1; 5; an có tận

cùng 0; 1; 5; Nhận xét 2: ta có:

24k = 16k ≡ ( mod 10)

34k = 81k ≡ ( mod 10)

74k = 492k ≡ (mod 10)

Nhận xét 3: Các số tự nhiên bất kì, nâng lên luỹ thừa 4n + chữ số tận khơng thay đổi

Các nhận xét hiển nhiên Nhận xét dễ dàng chứng minh Xem số tự nhiên : A=nk với n, kN .

1.Muốn tìm chữ số tận A cần biểu diễn A dạng: A = 10a + b = ab  b chữ số cuối A

Ta viết:

A = nk = (10q + r)k = 10t + rk với r  N;  r 

Chữ số cuối A chữ số cuối số rk

- Nếu A = 100a + bc = abc bc hai chữ số cuối A

- Nếu A = 1000a + bcd = abcd bcd ba chữ số cuối A

- Nếu A=10m.a

m + am1 a0 = am a1a0 am1 a0 m chữ số cuối A 2.Vận dụng nhị thức Newtơn:

(a+b)n= n n

n n n

n n

n

n a c a b c ab c b

c0  1  1 1

II Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm chữ số cuối số: A= 99

9

Giải:

Xem số M = 9k ; k  N

- Nếu k chẵn  k 2m ta có:

M =92m = 81m = (80+1)m

=(10q +1)m = 10 t + ( với m, q, t N)

Vậy: M có chữ số cuối k chẵn

M =92m+1 = 92m.9 = (10t + 1).9 =10q + ( với m, t, q N)

Vậy: M có chữ số cuối k lẻ, ta có 99 là số lẻ.

Do đó: A = 99

9 có chữ số cuối

Bài 2: tìm chữ số cuối số: B = 34

2

Giải:

B = 34

2 = 281 = (25)16 = 3216.2

= (30+2)16.2 = 10q +217

= 10q + (25)3.22 = 10q + (10q + 2)3 22

= 10t + 25 = 10t + 2

Vậy B có chữ số cuối

Phương pháp 2: Nhận xét lũy thừa.

I Cơ sở lý thuyết: nhận xét lũy thừa

- an lũy thừa.

Các trường hợp đặt biệt: 1.các số có dạng:

+ (a0)n tận

+ (a1`)n; (a5)n; (a6)n tận lần lược 1; 5;

+ (a3)4; (b7)n; (b9)n tận lần lược

+ (a2)4; (a4)4; (a8)4 tận lần lược

2 Các số 320, 815, 74, 512, 992 tận 01

264, 65, 184, 242, 684, 742 có hai chữ số tận 76.

125n, 25n, 52 tận 25.

3 Các số có dạng:

(a01`)n; (a25)n; (a76)n có hai chữ số tận là: 01, 25, 76

Bài 1: tìm chữ số cuối số A = 99

9

Giải:

Ta có: 92m tận 1

92m+1 tận 9

Suy ra: 99 tận 9, (9 số lẻ.)

Vậy A= 99

9 tận

Bài 2: Tìm chữ số tận của: C = 62002, D = 22001. Giải:

Ta có: 61 tận 6

63 tận 6

Vậy 6n tận suy 62002 tận 6

Ta có: 24 = 16 tận 6

Suy 22002 = (24)500.22 = (a6).4k4 với a, k  N

 22002 tận 4

Bài 3: Tìm chữ số cuối số: M = 71999, G = 18177 Giải:

*Ta có 74 = 2401 tận 1

M = 71999 = (74) = (n1).343

= c3 tận

Vậy M = 71999 tận 3

*Ta có 184 = n6 tận 6

Suy ra: G = 18177 = (184 )44 .181 =t6.18 = k8

Vậy G = 18177 tận 8.

Bài 4: Tìm chữ số tận số sau:

a/ 99

7 b/ 141414 c/ 3567

Giải:

a/ có: 99 = (8+1)9 = 4k + nên 99

7 = 74k+1 = 7.74k = 492k có chữ số tận 7.1 =

b/ ta có 1414 = 1967 = (49.4)7 = 4k

nên: 141414 = 24k.74k = 16k.2401k nên tận c/ có 567 = (4+1)67= 4k+1 nên 567

3 = 34k+1 = 3.34k = 3.81k có tận 3.1 =

Bài 5: Tìm chữ số tận tổng sau:

T = 21 + 35 + 49 + + 20048009

Giải:

Chú ý tất số mũ có dạng 4(n-2) +1 với n2 nên tất số

hạng tổng có tận tận số khơng lấy luỹ thừa Mặt khác ta có: T = 21 + 35 + 49 + + 20048009 = 21 + 35 + 49 + 513 +617 + 721 + 825 + 929

+              

sè

1990

7992 37

33 11 2000

10    + + 20048009

vậy nên T có chữ số tận chữ số tổng sau

T’ = ( 2+3+ +9) +199(0+1+2+ +9) + (1+2+3+4) = 9009 Vậy chữ số tận T

Giải:

Nhận xét số mũ số hạng tổng có dạng 4(n-2) +3 với n2

Vậy nên ta tìm quy luật chữ số tận số a4k+3 với a = {0, 9}

Ta có : số có tận : 0; 1; 5; ak có tận 0; 1; 5; 6

xét 24k+3 = 8.24k = 8.16k có tận 8

34k+3 = 27.81k có tận 7

44k+3 = 64.28k =64.162k có tận 4

74k+3 = 343.2401k có tận 3

84k+3 = 512.162k có tận 2.

Vậy chữ số tận T chữ số tận T’ =

(8+7+4+5+6+3+2+9)+199(1+8+7+4+5+6+3+2+9) +1+8+7+4 = 9019 Vậy chữ số tận T

Bài 7: Tồn hay không số tự nhiên n cho số n2 + n + chia hết cho 20052005 Giải:

Số 20052005 có tận nên chia hết cho 5

ta có n2 + n + = n(n+1) +1 có chữ số tận 1, 3, nên khơng

chia hết cho

Vậy không tồn n

Bài 8: chứng minh tổng sau khơng thể số phương

a/ M = 19k + 5k + 1995k +1996k ( với k tự nhiên chẵn)

b/ N = 20042004k - 2003

Giải:

a/ k chẵn nên k = 2n

19k = 192n =361n có tận 1

5k + 1995k có tận 0

1996k có tận 6

vậy tổng M có tận nên khơng số phương số phương có tận 0; 1;4;9;6;5

b/ ta có: 20042004k = (2000 + 4)2004k = 10n + 42004k = 10n + 161002k có tận 6

Nên N có tận nên N khơng thể số phương

Bài 9: cho P số nguyên tố lớn chứng minh ( P8n + 3p4n - )⋮5. Giải:

Nếu P có tận p4n = 10k+ 34n = 10k + 81n có tận p8n có tận

1 nên: P8n + 3p4n – có tận nên chia hết cho 5

Nếu p có tận tương tự tận p4n p8n có tận nên

tổng chia hết cho

Nếu p có tận thì:p4n = 10k + 94n = 10k + 812n có tận 1

và p8n = (p4n)2 có tận 1

Nên tổng chia hết cho

Tóm lại với p nguyên tố lớn tổng ln chia hết cho Nhận xét chung phương pháp:

1 Tách an dạng (10k + a

1)n với a1 = {0, 1, 9}

2 Viết n dạng n = 4q + r ( r = 0, 1, 2, 3) Sử dụng nhận xét 1, 2, chứng minh

Phương pháp 3: Dùng đồng dư I.Cơ sở lý thuyết:

1 Định nghĩa: Cho số nguyên M>0, hai số nguyên a chia cho m có số dư ta nói a đồng dư với b theo mô đun m viết a  b(mod m)

2 Định lý: Ba mệnh đề sau tương đương với nhau: a.a đồng dư với b theo mô đun m

b.a-b chia hết cho m

c.có số nguyên t cho a = b + m.t

3.Tính chất:

1 a  a(mod m)

2 a  b(mod m); bc (mod m) Suy ra: a  c (mod m)      ) (mod ) (mod m d c m b a

suy ra: acabdb(modd(modm)m) Hệ quả: a+cb (mod m)  a  b - c (mod m)

ab (mod m)  am bn (mod m)

4 Nếu ab (mod m); k ƯC(a,b), (k,m) = (modm)

k b k a         0 , ) (mod k k m b a

suy ka  kb (mod m)

6 d  ƯC(a,b,m) : ab (mod m) suy (mod )

d m d b d a 

7 Nếu ab (mod m1) ab (mod m2) suy ab (mod m)

Hệ quả: (m1, m2, …, mn ) = nguyên tố đôi

Suy ra: ab (mod m1), ab (mod m2),……ab (mod mn)

ab (mod m1, m2, ….Mn) II Bài tập

Bài 1: Tìm chữ số tận 6195 và 21000 Giải:

Tìm chữ số tận số N có nghĩa phải tìm số dư phép chia số N cho 10, Tức tìm số tư nhiên nhỏ 10 dồng dư với N theo mod 10

* Ta có: 62 = 36  mod 10 suy 6n = mod 10

* Với N số tự nhiên khác

* Suy ra: 6195  (mod 10) vây cữ số tận 6195 6.

*Tacó: 21000 = 24 250 = (2n)250

Vì 2n  16  (mod 10)

Suy ra: (2n)250  16250  (mod 10)

Do đó: 21000 6250 6(mod 10)

Nghĩa hữ số tận 21000 6.

Vậy ta tận dụng đồng dư vào tìm chữ số tận có nghĩa tìm chữ số tận số N với:

Một chữ số tận N  a (mod 10) suy ra: tận a: a<10 Hai chữ số tận N  b (mod 100) suy tận b: b<100 Ba chữ số tận N  c (mod 1000) suy tận c: c<1000 ………

m chữ số tận N  K (mod 10…0) suy tận k: K<10…0

Phương pháp 3: Dùng tính chất I.Cơ sở lý thuyết:

1.Tính chất 1

-Các số có tận 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 0; 1; 5;

-Các số có tận 2; 4; nâng lên lũy thừa số có tận -Các số có tận 3; 7; nâng lên lũy thưa số có tận (Riêng số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên lũy thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên lũy thừa chẳn có chữ số tận 1)

Việc chứng minh tính chất khơng khó, xin dành cho bạn Như muốn tìm chữ số tận số tự nhiên x=am trước hết ta xác định chữ số tận của

a

- Nếu chữ số tận a 3, 7, am=a4n+r=a4nar với r=0, 1, 2, nên từ tính chất

1c suy chữ số tận x chữ số tận ar.

-Nếu chữ số tận a 2, 4, trường hợp từ tính chất suy chữ số tận x chữ số tận 6.ar

Bài 1: Chữ số tận 187324 Giải:

Ta thấy số có tận nâng lên lũy thừa bậc có tận Các số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận

187324 =(1874)81=(…1)81=(…1)

Vậy chữ số tận 187324 1

Bài 2: Chứng minh 8102-2102 chia hết cho 10

Giải :

Ta thấy số có tận nâng lũy thừa đựơc số có tận Một số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận Do ta biến đổi sau:

8102=(84)25.82=(…6)25.64=(.6).64=…4

2102=(24)25.22 =1625.4=( 6).4=…4

Vậy 8102-2102 tận nên chia hết cho 10 2.Tính chất 2

Một số tự nhiên nâng lên lũy thừa bậc 4n+1(nN) chữ số tận không thay đổi

Chữ số tận tổng lũy thừa xác định cách tính tổng chữ số tận lũy thừa tổng

Bài toán

Tìm chữ số tận tổng s=21+35+49 +…+2004800

Lời giải

Nhận xét: Mọi lũy thừa S có số mủ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n-2)+1, n}2,3 ,2004}.

Theo tính chất 2, lũy thừa S số tương ứng có chữ số tận tổng :

(2+3+ +9)+199.(1+2+…+9)+1+2+3+4=200.(1+2+…+9)+9=9009 Vậy chữ số tận tổng S

Từ tính chất tiếp tục suy tính chất

a) Số chữ số tận nâng lũy thừa 4n+3 có chữ số tận 7; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 có chữ số tận

b) Số chữ số tận nâng lũy thừa 4n+3 có chữ số tận 8; số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 có chữ số tận

c) Các chữ số có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9, nâng lên lũy thừa bậc 4n+3 không thay đổi chữ số tận

Bài tốn 1: Tìm chữ số tận tổng T=23+37+411+ +20048011

Lời giải:

Nhận xét:mọi lũy thừa T có số mũ chia cho dư (các lũy thừa có dạng n4(n-2)+3 n }2, 3,…,2004})

Theo tính chất 23 có chữ số tận 8; 37 có chữ số tận 7; 411 có chữ

số tận 4…

Như vậy, Tổng T có chữ số tận chữ số tận tổng =(8+7+4+5+6+3+2+9)+199.(1+8+7+4+5+6+3+2+9)+1+8+7+4=9019 Vây chữ số tận tổng T

Trong tốn khác, việc tìm chữ số tận dẫn đến lời giải độc đáo

Bài toán 2: Tồn hay không số tự nhiên cho n2+n+1 chia hết cho 19952000. Lời giải:

19952000 tận chữ số chia hết cho ta đặt vấn đề liệu n2+n+1 có thể

chia hết cho hay không?

Ta có: n2+n=n(n+1) tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận n2+n chỉ

có thể 0; 2;  n2+n+1 tận 1; 3; 7 n2+n+1 không chia hết cho

5

Vậy không tồn số tự nhiên cho n2 + n+1 chia hết cho 19952000

Sử dụng tính chất “Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9; ta giải toán sau:

Bài toán 3: Chứng minh tổng sau số phương: a) M=19k+5k+1995k+1996k (với k chẳn)

b) N=20042004k+2003

Sử dụng tính chất số nguyên tố lớn tận chữ số 1; 3; 7; 9; ta tiếp tục giải toán:

PHẦN I.II: PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC HAI SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

Phương pháp 1: Nếu xN x=100+y; k; y  N hai chữ số tận x

cũng hai chữ số tận y

Hiển nhiên y ≤ x, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên y (nhỏ hơn) Rõ ràng số y nhỏ việc tìm chữ số tận y đơn giản

Từ nhận xét ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x=am sau:

Trường hợp 1: Nếu a chẳn x=am 2m

Gọi n số tự nhiên cho an-1  25

Viết m=pn (p; qN) q số nhỏ để aq  ta có:

X=am=aq (apn -1) +av

Vì an-1 25

Mặt khác (4,25)=1 nên aq (apn-1)  100

Vậy hai chữ số tận Am cũmg hai chữ số tận aq

Tiếp theo ta tìm chữ số tận aq

Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho an-1 100

Viết m=un+v (u,v  N, ≤ v < n ) ta có

X=am=av (aun-1)+av

Vì an-1

 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av

Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận av.

Khoảng hai trường hợp chìa khóa để giải tốn phải tìm đựoc số tự nhiên n Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dể dàng tìm hai chữ số tận aq av .

Phương pháp 2:

Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, cần ý đến số dặc biệt: -Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) 01, 25, 76 -Các số 320 (hoặc 815), 74, 512, 992 có tận 01

-Các số 2020, 65, 184, 242, 684, 742 có tận 76

-Số 36n (n>1) có tận 76 Bài 1: Tìm hai chữ số tận 71991

Giải:

Ta thấy: 74=2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01.

Do đó:

=(…01).343=….43

Vậy 71991 có hai chữ số tận 43 Bài 2: Tìm hai chữ số tận 2100

Giải:

Chú ý rằng: 210=1024, bình phương số có tận 24 tận 76, số

có tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 76 Do đó: (2)100=(210)10=(1024)10=(10242)5=(….76)5=….76

Vậy hai chữ số tận 2100 là 76.

Bài 3: Tìm hai chữ số tận số: C=2999, D=3999 Giải:

*Ta có: 220 có chữ số tận 76.

Suy ra: C=2999=(220)49.219=(y76).n88 (với y, n, q  N)

Vậy C=2999 có chữ số tận 88

*Ta có: 3D = 31000 =(320)50 =(k01)50 = z01

Nên 3D tận 01, mà 3.3999   chữ số hàng trăm 31000 2

 31000 tận 201

Vậy 3999 có hai chữ số tận 67 Bài 4: Tìm hai chữ số tận số

a) M=78966

b) N=247561

c) =816251

Giải:

a)Ta có 74 có hai chữ số tận 01

Suy M=78966=(74)2241.72=(a01)2241.49=c01.49=n49 (với a,c,n

N)

Suy M=78966 có hai chữ số tận 49

b)Ta có 242 tận 76

Suy N=247561=(242)3765.24=(m76)3765.24=k76.24=n24 (với m, k, n

 N)

Vậy N=247561 có hai chữ số tận 24

c) Ta có 815 có hai chữ số tận 01

Nên Q=816251=(815)1250.81=(k01)1250.81=m81 (Với k, t, m  N)

Vậy Q=816251 có hai chữ số tận 81. Bài 5: Tìm hai chữ số tận số

a) Z=26854 b) c=68194

Giải:

 Z=26854 =(264)213.262=(n76)213 676=k76.676=c76 (Với n, k, t  N)

Vậy Z= 26854 có hai chữ số tận 76

b) Ta có 684 có hai chữ số tận 76

Suy C= 68194 = (684)48.682= (n76)48.4624 = k76.4624 = t24 (với n, k, t

 N)

Vậy C=68194 có hai chữ số tận 24. Bài 6: Tìm hai chữ số tận

a.D=2999

b.G=3999 Giải:

A.Ta có: 2999=21000 : 2

Ta có: 220 = 10485761 (mod 25)

Suy ra: (220)50150 (mod 25)

210001 (mod 25)

21000 chia cho 25 dư 1

21000 Có hai chữ số tận 1; 26; 51; 76; 21000 suy hai chữ số tận cùng

của 88

b Ta có: 3419 (mod 100) suy 38  192  (mod 100)

31061.9 49 (mod 100) suy 31004921 (mod 100)

Suy ra: 3100001 (mod 100)

Nghĩa hai chữ số tận 31000 01

Số 31000

3 nên chữ số hàng trăm chia cho phải dư (chia tiếp số 201:

nếu số dư 0,1 001; 101 khơng chia hết cho 3) Vậy 3999=31000

3 có hai chữ số tận 76

Bài 7: Tìm hai chữ số tận số: D= 99

9

Giải:

Ta có: 92=811 (mod 10) suy 98(92)n1 (mod 10)

Suy 991.99 (mod 10) suy 9910k+9 (k

 N)

94=656161 (mod 100)

98 61221 (mod 100)

91002k8101 (mod 100)

910k1 (mod 100)

Suy ra: 99

9 = 910k+9 = (910)k.99  1.99 (mod 100)

Ta lại có: 93 = 729  29 (mod 100)

99 = 293  89 (mod 100)

Vậy 99

9 có hai chữ số cuối 89

Ta có: 1991  (mod 10) suy 19911997  (mod 10)

Vậy 19911997 có chữ số tận 1

Ta có: 1997  (mod 10) suy 19972  49  (mod 10)

Suy 19974  (mod 10) suy (19974)409  (mod 10)

Suy 19971996  (mod 10)

Vậy 19971996 có chữ số tận 1

Bài 9: Tìm hai chữ số cuối số: C = 2999

Giải:

Ta có: 210 + =1024 + = 1025 : 25 suy 210 –

 25

Ta lại có 21000 – = (220)50 –

 220 – suy 21000 –  25

Do 21000 chữ số tận 26 ; 51 ; 76 21000  4

Suy 21000 tận 76  2999 tận 38 88 2999  4

 2999 tận 88

Vậy C=2999 có hai chữ số tận 88.

Bài 10: Tìm hai chữ số tận số: D=3999 Giải:

Ta có: 92m tận ; 92m+1 tận 9

Ta tìm số dư phép chia 95 +1 cho 100

Ta có: 95 + =10(94 – 93 + 92 – + 1)

Số: 94 + 92 +1 tận 3

93 + tận 8

Suy (94 – 93 + 92 – + 1) tận 5

 94 – 93 – 92 – + = 10q + 5  95 + = 100q + 50

 910 – = (95 + 1)(95 – 1) = 100t

Ta lại có: 31000 - = 9500 – = (910)50 – suy 31000 –

 100

 31000 tận 01 Mặt khác 31000 

Suy chữ số hàng trăm 31000 phải (để 201 chia hết cho 3)

 31000 chữ số tận 201

Do 3999 tận 67.

Bài 11: Tìm hai chữ số tận số A= 99

9

Giải :

A = 99

9 = (10 -1)99 có dạng: (10 – 1)n với n=99 ta lại có

A = C0

n 10n - C

1

n 10n-1 + ……+ C

1



n

n 10 - C n n Suy A có hai chữ số cuối

Với a = Cn1

Vậy số A = 99

9 có hai chữ số cuối 89

Bài 12: Tìm hai chữ số tận số: B 99

9

9

Giải:

B= 99

9

9 = (10-1) với m =999

= c0

m.10m - c

1

m.10m-1+…+ c

1



m

m 10-c

m m  B có hai chữ số cuối với số:

B= cm1

m 10-c

n

m = 10m-1 Số m=999

tận Suy ra: số b tận 89 Vậy: Số B= 99

9

9 có hai chữ số tận 89

PHẦN I.III: PHƯƠNG PHÁP TÌM BA CHỮ SỐ TẬN CÙNG HOẶC BA CHỮ SỐ CUỐI CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN TRỞ LÊN.

Phương pháp 1. Để tìm ba chữ số tận trở lên lũy thừa, cần ý rằng: -Các số tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 001, 376, 625

-Các số có tận 0625 nâng lân lũy thừa (khác 0) tận 0625

Bài 1: Tìm bốn chữ số tận 51992 Giải

51992 =(54)498 =625498 =0625498 =(…0625)

Vậy bốn chữ số tận 51992 0625

Bài 2: Tìm ba chữ số tận số T = 5946 Giải

Ta có 53 có ba chữ số tận 125

Suy T = 5946 = (53)315.5=(n125)315.5=m125.5=t625

(Với n, m, t  N)

Vậy T = 5946 có ba chữ số tận 125.

Bài 3: Tìm chữ số tận số: P=51994 Giải

55 tận 3125

56 tận 5625

57 tận 8125

58 tận 0625

59 tận 3125

510 tận 5625

511 tận 8125

512 tận 0625

Chu kỳ lặp

Suy ra: 54m tận 0625

54m+1 tận 3125

54m+2 tận 5625

54m+3 tận 8125

Mà 1994 có dạng 4m+2 Do M=51994 có chữ số tận 5625.

Bài 4: Tìm ba chữ số tận 213 Giải

Ta có 210 = 1024; 210 = 24 (mod 1000)

Có 23 8 (mod 1000); 213  192 (mod 100)

Vậy ba chữ số cuối 213 192.

PHẦN II: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Có thể dùng tốn tìm ba chữ số tận để chứng minh chia hết, nhận xét số có phải số số phương hay khơng, tìm số dư phép chia

Bài 1: Chứng minh tồn m N để số 3m tận 001 Giải

Ta chứng minh tồn nN để 3n – 103

Xét dãy gồm 1000 số hạng 3; 32; 33;…; 103

3 (*)

Chia số hạng dãy (*) cho 103 số dư phép chia

1; 2; 3;…; 999 (Vì 3n khơng chia hết cho 103 với n thuộc N) mà có 1000 phép chia

nên có số có số dư chia cho 103

Gọi số 3i 3j với i, j  N, 1

 i < j  103

Suy ra: 3j – 3i

 103

3i(3j-i – 1)

 103 mà (3i,10) =

(3i,103) =  3j-I -1

 103

Vậy tồn n  N cho 3n tận 001.

Bằng phương pháp tương tự ta giải tốn khó sau: Bài 2: Chứng minh tồn n  N, Sao cho số 3n tận 000001

Giải

Ta chứng minh tồn nN để 3n -1  106

Xét dãy gồm 1000000 số hạng 3; 32; 33;…; 106

3 (*)

Chia số hạng dãy (*) cho 106 số dư phép chia

1; 2; 3;…; 99999 (Vì 3n không chia hết cho 106 với n thựôc N) mà có 1000000

phép chia nên có số có số dư chia cho 106

(Nguyênlý Dirichle)

Gọi số 3i 3j với i, j  N, 1 i < j  106 suy ra: 3j – 3i

 106

suy ra: 3i(3j-i – 1)  106 mà (3i,10) =1

(3i,106) =  3j-i –  106

Vậy tồn n  N cho 3n tận 000001.

Bài Chứng minh 261570 chia hết cho 8 Giải:

Ta thấy :265= 11881376, số có tận 376 nâng lên lũy thừa

Nào (khác 0) có tận 376 Do đó: 261570=(265)314=(…376)314=(…376)

Mà 376 chia hết cho

Một số có ba chữ số tận chia hết cho chia hết cho Vậy 261570 chia hết cho 8

Bài 4: Chứng minh n5 n có chữ số tận cung giống nhau

Giải

Để chứng minh n5 và n có chữ số tận chứng minh n5 – n

 10

Ta có: A =n5 – n = n(n4-1).(n2+1)

=(n-1).n(n+1).(n2+1)

Ta có 10 =2.5 (2.5)=1

(n-1), n, n+1 số tự nhiên liên tiếp Suy A 

Nếu n  dư suy n-1   A 5

n: dư suy n2+1 = (5k+2)2+1 = (5k)2+20k+4+1

5  A5

n: dư suy n2 +1 =(5k+3)2+1 = (5k)2+30k+9+1

5  A5

n: dư suy n+1   A5

Vậy A2 A5  A  10

Vậy n5 n có chữ số tận cùng.

Bài 5: Chứng minh 19911997-19971996

10

Giải

Là chứng minh số có chữ số tận cùng: Theo phương pháp Ta có 19911997 19971996 có chữ số tận 1

Suy 19911997-19971996 10

Bài 6: Tích 1125! tận chữ số 0 Giải

Ta thấy 2.5 = 10 tận chữ số Suy có thừa số tận số Với 51 suy  1125 có

5 1125

+1 = 225 (chữ số 5) Với 52 suy

25 25 1125

+1 =45 (số) Với 53 suy

125 125 1125

+1 =9 (số) Với 54 có 625 có (số)

Vậy có 225+45+9+1 =280 số Vậy tận có 280 chữ số

PHẦN III BÀI TẬP THAM KHẢO

Bài 1:

Chứng tỏ 175+244-1321 chia hết cho 10

Bài 2:

Tìm chữ số tận số sau: 7430; 4931; 8732; 5833; 2335

Bài 3:

Tìm hai chữ số tận 5n (n>1)

Bài 4:

Tìm chữ số tận số sau: a/(2345)42

Bài 5:

Cho A =51n+47102 (n

 N)

Chứng tỏ A chia hết cho 10 Bài 6:

Tìm chữ số tận tổng, hiệu sau: a/ 132001-82001

b/7552-218

c/12591+12692

d/116+126+136+146+156+166

Bài 7:

Chứng tỏ với n N* (n>1) (22)n +1 có chữ số tận

Bài 8:

Chứng tỏ với số tự nhiên n: a/74n-1 chia hết cho 5

b/34n+1+2 chia hết cho 5

c/24n+1+3 chia hết cho 5

d/24n+2+1 chia hết cho 5

e/92n+1+1 chia hết cho 10

Bài 9:

Tìm hai chữ số tận a/5151

b(9999)99

c/6666