Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật tính tích phân của "hàm ẩn"

Sáng kiến kinh nghiệm Kĩ thuật tính tích phân của "hàm ẩn" 1 MỤC LỤC Mục lục 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CỦA[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI KĨ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN CỦA " HÀM ẨN " Người thực hiện:Trần Ngọc Tiến Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn MỤC LỤC Mục lục………………………………………………………………………… THANH HOÁ NĂM 2018 SangKienKinhNghiem.net Mục lục 1.Mở đầu…………………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………………….1 1.2.Mục đích nghiên cứu…………………………………………………… 1.3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu……………………………………… 1.4.Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………3 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………………… 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm…………………………………3 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……….4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề……………4 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường…………………………………………….20 3.Kết luận, kiến nghị…………………………………………………………21 3.1.Kết luận………………………………………………………………… 21 3.2.Kiến nghị…………………………………………………………………22 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………22 1.Mở đầu 1.1.Lí chọn đề tài Trong chương trình bậc THPT mơn Tốn học ln mơn học quan trọng Để đạt kết cao mơn học địi hỏi người học kiên trì, chịu khó, nỗ lực phấn đấu, ln tìm tịi sáng tạo học tập Và để giúp học sinh học tập tốt địi hỏi người dạy phải ln tự học tập, nghiên cứu, trau dồi kiến thức, phải tâm huyết, đam mê, tỉ mỉ, kiên nhẫn giảng dạy nghiên cứu Qua nhiều năm giảng dạy tơi thấy có nhiều học u thích đam mê mơn tốn kết đạt lại chưa cao Bên cạnh kì thi học sinh giỏi, kì thi tốt nghiệp quốc gia ln có nhiều cách khai thác kiến thức chương trình nhiều khía cạnh khác để tạo nhiều dạng tốn khó Kì thi mà xã hội quan tâm kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia kì thi quan trọng bậc trung học phổ thông Để chuẩn bị tốt cho kì thi để đạt kết cao kì thi học sinh ngồi việc học tất mơn học cịn phải đặc biệt hóa mơn xét điểm vào trường Đại học, trường danh tiếng Bộ mơn tốn học môn cần đạt kết cao để hoàn thành mục tiêu tốt nghiệp quốc gia xét tuyển vào trường chuyên nghiệp Muốn làm tốt nhiệm vụ này, học sinh việc đầu tư nhiều thời gian cịn phải tìm tịi phương pháp học hiệu sáng tạo để thu kết cao Bộ mơn tốn học trường THPT mơn học tương đối khó chứa đựng nhiều nép đẹp quyễn rũ đầy tính sáng tạo Để chuẩn bị tốt cho kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia Bộ giáo dục đào tạo đạo học sinh ôn tập đưa đề thi minh họa, bên cạch trường THPT nước đề kiểm tra chất lượng ôn tập tốt nghiệp quốc gia, đề thi chứa đựng nhiều dạng toán câu SangKienKinhNghiem.net hỏi để phân loại học sinh phần vận dụng cao, chẳng hặn dạng tốn tích phân VD: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều kiện: 1 0 B C f (1)  0,   f ' (x)  dx   x f (x) dx  Tích phân  f(x) dx bằng: A 5 D Khi gặp dạng tốn tơi bắt gặp lúng túng, phương hướng việc tìm cách giải học sinh vận dụng kiến thức thực khó để tìm lời giải cho tốn này, tài liệu, chuyên đề vấn đề chưa nhiều Và nhiều câu hỏi đồ thị hàm ẩn, toán thực tế…vv Trước thực trạng vấn đề tồn thiết nghĩ chọn nghiên cứu chủ đề nóng kì thi là: " Kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" nhằm giúp em ôn tập tốt đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia tới 1.2 Mục đích nghiên cứu -Các vấn đề trình bày sáng kiến nhằm mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 phương pháp tính tích phân "hàm ẩn" sở sử dụng kĩ thuật tính tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích lớp 12 -Giúp học sinh nhận dạng phân loại tốn tích phân "hàm ẩn" -Hình thành phương pháp tính tích phân "hàm ẩn" dựa phương pháp tính tích phân qua bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kĩ giải toán, khả vận sáng tạo phương pháp tính Qua giúp học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo niềm đam mê toán học -Nâng cao khả tư độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng khả giải dạng tốn kì thi, để từ thu kết cao kì thi tốt nghiệp quốc gia tới 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn tính tích phân hàm ẩn b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình Giải tích bậc trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu lí luận: Dựa việc tìm đọc, nghiên cứu, phân tích tài liệu liên quan Rút kinh nghiệm thực tiễn giáo dục Từ xây dựng sở lý luận đề tài SangKienKinhNghiem.net - Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin, trị chuyện, điều tra vấn học sinh, đồng nghiệp - Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm Hệ thống lại cho học sinh kiến thức phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ phương phương pháp tích phân phần Thơng qua ví dụ cách giải dẫn dắt học sinh đến tốn tích phân hàm ẩn cách tự nhiên, nhẹ nhàng Bằng cách giải đơn giản, sáng tạo dựa khai thác phương pháp biết, phân dạng hình thành phương pháp giải cho dạng tốn học sinh thấy vận dụng linh hoạt việc giải dạng tốn khó nhiều, thường rơi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trương THPT nước Các ví dụ minh họa đề tài chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo đề thi thử tốt nghiệp quốc gia năm gần đây, đặc biệt năm học 2017-2018, xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Trong học lớp tơi lồng ghép ví dụ cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho em tị mị từ dẫn dắt em tìm tịi, suy luận sáng tạo cách giải từ phương pháp để từ rút phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn Qua cho em thấy hiệu việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận a Lí luận chung: Chủ trương ngành giáo dục phổ thông phát huy tính tích cực, tự giác , chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh b Kiến thức vận dụng: * Định nghĩa tích phân, tính chất, phương pháp tính tích phân, quy tắc tính đạo hàm, đặc biệt quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp * Để giải tốn tích phân hàm số ẩn ta cần nắm vững cách tính đạo hàm hàm số hợp, phương pháp tính tích phân bản: - Đạo hàm hàm số hợp: + Nếu hàm số u  u (x) có đạo hàm điểm x0 hàm số y  f (u) có đạo hàm điểm u  u ( x0 ) hàm số hợp g (x)  f u (x) có đạo hàm điểm x0 , g , ( x0 )  f ' (u ).u , (x ) + Nếu giả thiết phần a) thỏa mãn điểm x  J hàm số hợp y  g (x) có đạo hàm J , g , ( x)  f ' (u).u , (x) - Phương pháp đặt ẩn phụ: b u (b) a u (a)  f u ( x)u '( x)dx   f (u) du SangKienKinhNghiem.net Trong hàm số u  u (x) có đạo hàm liên tục K, hàm số y  f (u ) liên tục cho hàm hợp f u ( x) xác định K; a b hai số thực thuộc K - Phương pháp tích phân phần: b b b , u dx  u  v(x) u , (x)dx (x) v (x) (x) v(x) a a a Trong hàm số u,v có đạo hàm liên tục K, a,b hai số thực thuộc K 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong qua trình học tập giảng dạy, thân nhận thấy tốn tính tích phân đề thi tốt nghiệp quốc gia đa dạng phong phú, đặc biệt đề minh họa mơn tốn năm học 2017-2018 Bộ giáo dục trương THPT nước khai thác sâu phương pháp tính tích phân xuất dạng tốn : tính tích phân của" hàm số ẩn" Đứng trước toán dạng học sinh thường lúng túng, bế tắc việc tìm phương pháp giải nhanh hiệu vì: - Học sinh thường quen với cách tính tích phân hàm số cụ thể, thường có cách giải tổng qt như: tích phân hàm số phân thức hữu tỷ, tích phân hàm số lượng giác, tích phân hàm số chưa ẩn dấu thức…vv Trong lần học sinh bắt gặp tốn tích phân " hàm số ẩn" - Số lượng tốn tích phân " hàm số ẩn" xuất phổ biến đề minh họa tốt nghiệp trường THPT nước đề thi thử tốt nghiệp sở giáo dục khắp tỉnh thành nước - Trong tài liệu chuyên đề viết vấn đề chưa nhiều, chưa phổ biến chưa cập nhật với chuyên động mùa thi 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm sử dụng để giải vấn đề Đầu tiên hệ thống lại cho học sinh kiến thức phương pháp tính tích phân: phương pháp đặt ẩn phụ phương phương pháp tích phân phần Thơng qua ví dụ cách giải dẫn dắt học sinh đến tốn tích phân hàm ẩn cách tự nhiên, nhẹ nhàng Sau cách giải đơn giản, sáng tạo dựa khai thác phương pháp biết, phân dạng hình thành phương pháp giải cho dạng tốn học sinh thấy vận dụng linh hoạt việc giải dạng tốn khó nhiều, thường rơi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi thử tốt nghiệp quốc gia trương THPT nước Các ví dụ minh họa đề tài chọn lọc từ nhiều tài liệu tham khảo đề thi thử tốt nghiệp quốc gia năm gần đây, đặc biệt năm học 2017-2018, xếp theo thứ tự từ dễ đến khó Trong học lớp tơi lồng ghép ví dụ cách tự nhiên để xem xét phản ứng từ phía học sinh, khơi gợi cho em tị mị từ dẫn dắt em tìm tịi, suy luận sáng tạo cách giải từ phương pháp để từ rút phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn Qua cho em thấy hiệu việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" SangKienKinhNghiem.net Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả hướng dẫn cho học sinh nhận dạng, phân loại toán dẫn dắt học sinh tìm cách giải toán từ cách giải sách giao khoa theo hệ thống ví dụ tập xếp theo trình tự logic biên soạn cơng phu sau a.Phương pháp giải chung Các toán tích phân hàm số ẩn khai thác sâu cho nhiều dạng phong phú, dạng toán thường bắt gặp đề thi là: Cho hàm số f(x) xác định hàm liên tục đoạn, khoảng K b thỏa mãn điều kiện cho trước Bài toán yêu cầu tính I   f (x)dx a Chẳng hặn: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Bộ giáo dục đào tạo Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều kiện : 1 f (1)  0,   f ' (x)  dx   x f (x) dx  A Tích phân  f(x) dx bằng: C B D Một dạng khác phổ biến là: Cho hàm số f(x) xác định hàm liên tục đoạn, khoảng K thỏa mãn điều kiện cho trước phương trình hàm khai thác thành b phương trình chứa tích phân cần tìm Bài tốn yêu cầu tính  f (x)dx a Ví dụ : Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2018 Cho hàm số f(x) xác định liên tục R \ 0thỏa mãn điều kiện x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf (x)  1,  x  R\ 0đồng thời f (1)  2 Tích phân  f(x) dx 2 ' bằng: A  ln   B  ln  C  ln  D ln  2 Đứng trước tốn khó ta thường tư theo bước sau để tìm lời giải cách nhanh nhất: Bước 1: Khai thác điều kiện cho trước giả thiết để định hướng cách giải + Nếu giả thiết cho dạng phương trình tích phân với biến khác ta sử dụng phương pháp đổi biến số để tìm ta cách giải SangKienKinhNghiem.net + Nếu giả thiết cho dạng tích phân hàm số chứa đạo hàm cấp 1, cấp 2, ta thường vận dụng phương pháp tích phân phần để làm xuất tích phân hàm số cần tìm Lưu ý vận dụng hệ thức đặc biệt từ điều kiện giải thiết + Đặc biệt có tốn mà giải thiết cần sử dụng sáng tạo hai phương pháp tìm cách giải Bước 2: Tiến hành giải toán dựa vào hai phương pháp tính tích phân : phương pháp đổi biến số phương pháp tích phân phân phối hợp hai phương pháp Bước 3: Sử dụng hệ thức tính chất đặc biệt tích phân từ tìm kết Lưu ý: + Kiến thức đạo hàm hàm số hợp + Tính chất tích phân b + f (x)  0,  x  a; b   f (x)dx  a b.Phân loại theo phương pháp giải: b.1 Sử dụng kĩ thuật đổi biến số để tính tích phân của" hàm ẩn": Phương pháp đổi biến số hai phương pháp để tính tích phân trình bày chi tiết sách giáo khoa giải tích lớp 12 lấy ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Qua trình giảng dạy nhiều năm thấy học sinh nắm tốt phần kiến thức này, thông thạo phương pháp đổi biến số loại hàm số cụ thể như: hàm số phân thức hữu tỉ, hàm số lượng giác, hàm số chưa ẩn dấu thức , hàm số siêu việt…Tuy nhiên bắt gặp dạng toán tích phân hàm ẩn gần khơng có phản ứng ý tưởng giải tốn Đứng trước thực trạng vấn đề tìm tịi, nghiên cứu sáng tạo cách giải toán dạng sở phương pháp sách giáo khoa cách sáng tạo khéo léo Xin trình bày giải ấn tượng Ví dụ 1: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Thái Bình lần năm 2018 Giả sử hàm số y  f (x) đồng biến khoảng (0; ) , y  f (x) liên tục nhận giá trị dương khoảng (0; ) thỏa mãn: f (2)   f ' (x)   (x  1) f(x) Mệnh đề sau ? A 2613  f (8)  2614 B 2614  f (8)  2615 C 2618  f (8)  2619 D 2616  f (8)  2617 SangKienKinhNghiem.net Trong u cầu tốn tính giá trị f (8) hàm số chưa biết, mặt khác giải thiết lại cho nhiều điều kiện phức tạp liên quan đến đạo hàm hàm số Câu hỏi lớn đặt tận dụng giả thiết để tìm lời giải? Có liên quan đến tích phân hay khơng? Câu hỏi thật khó tìm câu trả lời Sau thời gian suy ngẫm, tìm đọc tài liệu có liên quan vận dụng vào tốn cụ thể cuối tơi tìm câu trả lời cách khai thác triệt để giải thiết Sử dụng điều kiện giả thiết f ' (x)  f (x)   (x  1) f(x)  f (x)  (x  1) f(x)   x 1 f (x) ' ' Đến lúc tốn có hướng giải rõ ràng cách lấy tích phân hai vế sử dụng phương pháp đổi biến số để tính tích phân  8 d  f ' (x)  f ' (x) (x  1)3 dx   x  1dx   dx  f (x) f (x) 3 Để tính tích phân  d  f ' (x)    d  f ' (x)  f (x) f (8)  dx  f (x) dx ta đặt: t  f (x)  dt  f ' x dx  d  f (x)   f ' x dx 3 38  (x  1)3  f (x)  8 3 f (8)  f (3)  19 19 19   f (8)  (  )  2613.261332 3 3 Vậy ta chọn đáp án : A Bài giải ấn tượng thứ mà thành công theo lối phân tích giả thiết cách giải phương trình hàm từ giả thiết toán thu kết sau Ví dụ 2: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An (Hà nội) lần năm 2018 Cho hàm số y  f (x) liên tục R , thỏa mãn điều kiện: ' 2 x f(x)  1   f (x)  , x  R  Tích phân f(0)  1 A B  C  f(x) dx bằng: D  Đọc giả thiết toán ta thấy phương trình phức tạp khó để tìm ý tưởng giải tốn Thế với cảm hứng việc chinh phục ví dụ ta định hướng tốn cách lấy bậc hai vế phương trình để suy f ' (x)  x(1  f(x)) Và từ ta tìm cách giải theo hướng ví dụ1 f ' (x)  x(1  f(x))  f ' (x) f ' (x)  2x   dx   xdx  f (x)  f (x) SangKienKinhNghiem.net Đặt: t   f (x)  dt  f ' (x) dx Từ suy  d 1  f (x)  f ' (x) dx   xdx   dx   2 x 3 d (2 x)  f (x)  f (x)   1  f (x)  d 1  f (x)     33 (2 x)  C 33 1  f (x)  (2 x)4  C  1  f (x)  13 (2 x)  C f (x)  x    f (x) dx   4 x2   x   C   f (x)   1  4 x  f (x)   x    f (x) dx   Đối chiếu với đáp án ta chọn : Đáp án B Một ví dụ theo xu hướng mang tính vận dụng cao Ví dụ 3: Câu 50 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Võ Nguyên Giáp lần năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn R thỏa mãn điều kiện f (x)  f ' (x)  1, x  R; f (0)  Tìm giá trị lớn f (1) A 2e  B e  e 2e  C e  e D Giả thiết bất phương trình đạo hàm nên việc tìm ý tưởng giải cịn khó nhiều so với ví dụ Tuy nhiên ta giải trọn vẹn ví dụ ví dụ ta cần sử dụng khéo léo tính chất tích b phân là: f (x)  0,  x  a; b   f (x)dx  cho ta lời giải hay Thật vậy, từ a điều kiện giả thiết ta suy luận sau Nếu : f (x)   f ' (x)   f (x)   y  f (x) nghịch biến  f (x)  f(0)  vơ lí Nếu : f (x)   f ' (x)   f (x)   f (x)  f ' (x)   f ' (x) f ' (x) f ' (x) 1 (1       0  f (x) )dx   f ' (x)  f ' (x) Do ta được: 1 1 f ' (x) ' 0  f (x)dx  0 dx   0  f (x)d 1  f( x)  1(t   f (x)  d 1  f( x)  dt   f (x) dx)   ln  f (x) e 1   ln  f (1)  1   f (1)   f (1)  e e SangKienKinhNghiem.net Suy ra: Maxf (1)  e 1 Vậy ta chọn đáp án :B e Một toán ấn tượng giải thiết cho phương trình đạo hàm hàm số dạng phương trình mũ Ví dụ 4: Câu 41 đề thi thử TNQG trường THPTChuyên Lê Quý Đôn Hà nội lần năm 2018 Giả sử hàm số y  f (x) liên tục có đạo hàm khoảng R thỏa mãn: f (x)  e '  f (x) (2 x  3);f(0)  ln Tích phân  f(x) dx A ln  B ln  C ln  D ln  Cũng với cách giải ví dụ1 ta biến đổi phương trình : f ' (x)  e  f (x) (2 x  3)  f ' (x)  x   f ' (x)e f (x)  x    f ' (x)e f (x) dx   (2 x  3) dx  f (x) e   e f (x) d  f ( x)    (2 x  3) dx  e f (x)  x  x  C  x   C  Do : 2 1 ef (x)  x  3x   f (x)  ln x  3x    f(x) dx   ln x  3x  2dx  ln  Vậy ta chọn đáp án : B Bài tốn cịn khai thác sâu phương trình hàm cách giải theo phong cách ví dụ dựa vào kĩ thuật biến đổi Ví dụ 5: Câu 46 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lam Sơn lần năm 2018 Cho hàm số f(x) xác định liên tục R \ 0thỏa mãn điều kiện x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x  R\ 0đồng thời f (1)  2 Tích phân  f(x) dx bằng: A  ln   B  ln  C  ln  D ln  2 Giả thiết phương trình khó Đối với học sinh khá, giỏi khó nhận để khai thác giả thiết theo cách giải ví dụ trên, tổng bình phương phức tạp: x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x  R\ 0 Mới đầu nhìn vào giả thiết ta dễ bị chống ngợp q phức tạp, sau ta lại thấy 10 SangKienKinhNghiem.net có nét liên quan đến đẳng thức quen thuộc, từ ý tưởng biến đổi sau x f (x)  (2 x  1) f(x)  xf ' (x)  1,  x  R\ 0  (xf(x)  1)  f (x)  xf ' (x)  f (x)  xf ' (x) f (x)  xf ' (x)    (xf(x)  1)2 dx   dx (xf(x)  1) Lúc ta cần để ý d (xf(x)  1)  (f(x)  xf ' (x)) dx toán lại chinh phục theo phong cách ví dụ  d xf(x)  1 f (x)  xf ' (x)  xC dx  x  C   dx  x  C   2 xf (x)  (xf(x)  1) (xf(x)  1) 1 x 1 x 1 x 1    C  C   f (x)    I   f (x) dx    dx   ln  x f (1)  x 1 2 Vậy ta chọn đáp án : B Thêm toán hay giải theo phong cách Ví dụ 6: Đề thi thử TNQG trường THPT QuảngXương I –ThanhHóa- lần Cho hàm số f(x) dương, xác định hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều x 0 kiện g(x)   2018 f (t)dt , g(x)  f (x) Tính  g(x)dx A 1011 B 1009 C 2009 D 505 Bài toán phức tạp, từ cách khai thác giả thiết tìm mối liên hệ với tích phân cần tính tương đối khó Bài tốn địi hỏi cao tính sáng tạo cách khai thác giả thiết Ta giải toán sau: Đầu tiên ta áp dụng tính chất nguyên hàm: x g ' (x)  2018 g(x)   2018 f (t)dt  g (x)  2018 f (x)  2018 g(x)  g (x) ' Sau ta lấy tích phân hai vế theo biến t d g (x)  g ' (x) g ' (x)  2018   dx  2018 dx    2018 dx g (x) g (x) g (x) 0 0 t  t t 2( g (t)  1)  2018 t  g (t)  1009t    g (x)dx  t 1011 Vậy ta chọn đáp án : A 11 SangKienKinhNghiem.net Bây ta lại khai thác gỉa thiết dạng phương trình tích phân, học sinh phải khai thác tối đa giả thiết cho ta cách giải tốn tích phân dạng phương trình bậc Ví dụ 7: Câu 42 đề thi thử TNQG trường THPT Chu Văn An TP Hà nội lần năm 2018.Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều kiện : xf (x )  3f(1  x)   x Tích phân I   f(x) dx bằng: 2 A I    I 16 B  I C I   D 20 Từ giải thiết: xf (x )  3f(1  x)   x , cách đổi biến số ta đưa phương trình I suy I cách giải phương trình bậc 1 0 2 2 Ta có : xf (x )  3f(1  x)   x   xf (x )dx   3f(1  x)    x dx x   u  x   u  Đặt: u  x  du  2xdx 1 0 Đổi cận:  Do đó:  4xf (x ) dx  2 f (u)du  2I x   t  x   t  Đặt: t   x  dt  dx Đổi cận:  1 Suy ra: 3 f (1  x)dx  3 f (t)dt  3 f (t)dt  3I Như ta thiết lập phương trình bậc là:  xf (x )dx   3f(1  x) dx    x dx  I  3I  0  I  20 Vậy ta chọn đáp án : C Ví dụ tương tự yêu cầu cao Ví dụ 8: Đề thi thử tốt nghiệp quốc gia Sở GD&ĐT Bình Phước- lần năm 2018 Cho số thực a>0.Giả sử hàm số f(x) dương, xác định hàm liên tục a đoạn 0;a  Thỏa mãn điều kiện: f(x) f(a  x)  Tính  dx  f (x) A I  a B I  a C I  a D I  2a 12 SangKienKinhNghiem.net Ta có : f(x) f(a  x)   f(x) f(a  x)  f(a  x)   f(a  x)  f(a  x) 1   1  f(a  x)  f(x)  f(a  x)  f(x)  a   (1  a a a a 1 1 dx   dx   ( dx )dx   )d (a  x)   f(a  x)  f(x)  f(a  x)  f(x)  0 0 Mặt khác, đặt a a 1 t  a  x  dt  dx   ( )d (a  x)   ( )dt    ( )dt f(a  x)  f(t)  f(t)  a 0 a a a a a a 1 1 )d (a  x)     dx   ( dx   dx   dx   dx f(a  x)  f(x)  f(x)  f(x)  0 0 0 a a 1 a dx   dx  f(x)  f(x)  0  a  2 Vậy ta chọn đáp án: B Một dạng toán khác đơn giản tác giả khai thác theo phương pháp đổi biến số: Ví dụ 9: Câu 28 đề thi thử TNQG trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh (Tỉnh Đồng Nai) lần năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn R thỏa mãn điều kiện K   f (2 x)dx  Tính I   xf (x ) dx 0 A I  B I  16 C I  D I  32 Đối với toán nhiều học sinh có ý tưởng giải theo hướng tìm mối liên hệ tích phân K I Đây ý tưởng hồn tồn xác, vấn đề dẫn dắt em sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp với giả thiết cho lời giải hay để từ kích thích trí sáng tạo học sinh hình thành niềm đam mê mơn tốn Xin trình bày ý tưởng sau: x   t  x   t  Đặt: t  2x  dt  2dx Suy ra:  Đổi cận:  2 f (2 x)dx    f (t)dt    f (t)dt  16 20 Lúc ta liên hệ K I theo cách đặt: Đặt: u  x  du  2xdx x   u  Đổi cận:   x   u  13 SangKienKinhNghiem.net Do đó: I   xf (x ) dx  1 f (u)du  16   20 Vậy ta chọn đáp án: C b.2 Sử dụng kĩ thuật tích phân phần để tính tích phân hàm ẩn Phương pháp tính tích phân phần trình bày dễ hiểu sách giáo khoa, học sinh nắm phương pháp tương đối tốt Các toán cho phương pháp dược phân chia đến loại hàm số trí nhiều loại hàm ta cịn có cách đặt tổng qt, hàm ẩn khơng Vận dụng phương pháp tốn tích phân hàm ẩn tương đối khó, địi hỏi ước lượng tốt, nhạy bén, sáng tạo kinh nghiệm Và sau đây, tơi xin trình bày giải ấn tượng vận dụng cách linh hoạt phương pháp tích phân phần Ví dụ 1: Câu 50-Đề minh họa TNQG năm 2018- lần Bộ giáo dục đào tạo Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều kiện : 1 f (1)  0,   f (x)  dx   x f (x) dx  0 ' 2 A Tích phân  f(x) dx bằng: C B D Cá nhân xem đề minh họa tốt nghiệp quốc gia lần năm 2018 Bộ giáo dục, bất ngờ với câu hỏi Ban đầu khơng có phản ứng cách tìm lời giải cho tốn này, vượt khỏi tầm suy nghĩ cơng chinh phục tốn bất đầu Tơi bắt tay vào việc tìm đọc tài liệu, cách giải tác giả diễn đàn toán học nước bắt gặp nhiều toán cho theo phong cách Sau thời gian nghiên cứu sưu tầm tổng kết cách làm riêng để chinh phục tốn dạng tích phân biểu thức không âm sau Từ giả thiết toán ta tiến hành bước đặt theo phương pháp tích phân phần u  f x   du  f   x  d x   , khiđó:  dv  x dx  v  x  Đặt  1 3  x f  x  dx  x f  x    x f   x  d x 0 1 Suyra:  f 1   x f  x dx   x f  x dx  1   x3 f  x dx   3 0 14 SangKienKinhNghiem.net Đến lúc ta xét tích phân đặc biệt dựa ước lượng suy luận từ kết vừa tìm kết hợp với giả thiết toán 1 1 0 0 Xét tích phân:  ( f ' (x)  x )2 dx   ( f ' (x))2 dx  14 f ' (x) x 3dx  49 x  Mặt khác: f (x)  x     f ' (x)  x  dx  '    f ' (x)  x  dx   f ' (x)  x   f ' (x)  7 x  f ' (x)dx   x4 7  C ; f (1)   C   I  4 Vậy ta chọn đáp án: A Các toán tương tự trương THPT nước khai thác theo phong cách Ví dụ : Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Trần Phú –Hải Phòng- lần năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều kiện f (1)  1 ' 0  f (x)  dx  9; 0 x f (x) dx  A Tính  f (x)dx B C D 6 Ta có: 1 0 1 x4 ' f x    x f ' (x) dx   x f ' (x) dx  1 40  x f (x) dx   f (x) d  x f (x) dx  x4 x4 ' x ' f (1) '  f (x)   f (x) dx    x f (x) dx 0 4 4 40 1 Trong lại xét tích phân đặc biệt sau: 1 1 0 0 Xét tích phân:  ( f ' (x)  x )2 dx   ( f ' (x))2 dx  18 f ' (x) x 4dx  81 x8  Mặt khác: f (x)  x     f ' (x)  x  dx  ' 15 SangKienKinhNghiem.net    f ' (x)  x  dx   f ' (x)  x   f ' (x)  9 x  x5 14 f (x)dx    C ; f (1)   C   I  5 ' Vậy ta chọn đáp án: B Tích phân đặc biệt tác giả khai thác hàm lượng giác, mang lại cảm giác khó đốn phức tạp cách suy luận Ví dụ 3: Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Vinh –Nghệ An- lần năm 2018 Cho hàm số f(x) liên tục có đạo hàm đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện :  f (0)  f(1)  0;  f (x) dx  ;  f ' (x) c os xdx= Tính 2 1 B A   f (x)dx D 3 C   Ta có :  f ' (x) c os xdx=       cos xd(f(x)) 1 1   f (x)cos x    f (x) sin  xdx   f (x) sin  xdx  2 0 Lúc ta lại xét tích phân đặc biệt dưa giả thiết 1 1 0 Xét tích phân:  (f (x)  sin  x) dx   f (x) dx  2 sin xdx   sin xdx  0(1) 2 Ta thấy: (f (x)  sin  x)2    (f (x)  sin  x)2  0(2) 1 0 Từ (1) (2) suy :   (f (x) dx   sin xdx   Vậy ta chọn đáp án: C Vấn đề khai thác hàm số siêu việt dẫn đến vận dung cao cách giải Ví dụ 4: Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục 0;1thỏa mãn điều kiện: 1 x  f ' x  dx   x  1.e f x dx  e2  f 1  Tính tích phân I   f x dx 16 SangKienKinhNghiem.net A e  e2 C e  D e 2 1 u  f x  du  f ' x dx x x Đặt   ,  x  e f x dx  xe f x       1  xe x f ' x dx   x x  v  xe 0 dv  x  1e dx 1 1 e  e.f 1   xe x f ' x dx   xe x f ' x dx   x  1e x f x dx  0 B 1 1 0 Xét tích phân:  f ' x   xe  dx   f ' x  dx  2. xe x f ' x dx   x 2e2x dx  x 0 e 1 1 e e 1     f ' x    xe x 4 Do f x    f ' x dx    x.e x dx  1  x e x  C mà f 1   C   2 1 0 Vậy I   f x dx   1  x e x dx I  e  Vậy ta chọn đáp án: C Và nữa, tốn mà tơi phải suy luận để tìm biểu thức đặc biệt khó khăn Ví dụ 5: Đề thi TNQG trường THPT Chuyên Lam sơn –Thanh Hóa- lần năm 2018 Cho hàm số f(x) có đạo hàm dương, liên tục đoạn 0;1thỏa mãn điều 1 kiện f (1)  0, 3  f ' (x)  f (x)2   dx  2 9  A B ' f (x) f(x) dx Tính  f (x) dx C D Ta có : 3  f ' (x)  f (x)2   dx  2 f ' (x) f(x) dx(1) 1  9 Mặt khác: 2 1 1  '  '  f (x) f (x)       f (x) f (x)   dx  0 1   3  f ' (x)  f (x)    dx  3 9  1 f ' (x) f(x) dx   f ' (x) f (x)dx(2) Từ (1) (2) suy : 1  3  f ' (x)  f ' (x)    dx   9  1 f ' (x) f(x) dx(1) Dấu xảy 17 SangKienKinhNghiem.net t t  f (x) t  x t 1  f (x)  f (x)     f ' (x)  f (x)  dx   dx  9 0 '  f (t)   f (0)  3 1 t x 3  t   f (t)       f (x)  dx   (1  )dx  3 0 Vậy ta chọn đáp án: D Về phương pháp tích phân hàm số ẩn cịn khai thác sâu rộng đòi hỏi người học phải có ước lượng tốt kinh nghiệm việc giải toán từ cách khai thác tinh vi điều kiện tốn Ví dụ 6: Câu 47 -Đề thi TNQG trường Đại học Hồng Đức- lần năm 2018    Cho hàm số f(x) liên tục đoạn 0;  với f ( )  , thỏa mãn điều kiện :  4  x f (x)  (xsinx  cos x) A I   xf (x) ; dx=0   cos x( x sin x  cosx) 2 dx  ' B  4  4  f (x) dx cos x Tính I   C 4 D Đây ví dụ hay khó việc tìm lời giải Bắt gặp khó để tìm cách đặt ẩn, Câu hỏi đặt ẩn để tận dụng tối đa giả thiết tìm lời giải nhanh thời gian ngắn Câu hỏi hiện lại đầu sau thời gian dài tơi tìm cách giải từ ý tưởng tính đạo hàm mẫu số, thêm bớt làm xuất vi phân mẫu số tìm cách đặt ẩn Thật vậy, ta thấy d (xsinx  cos x)  xcosxdx , từ điều ta thêm bớt mẫu số tử số dẫn đến cách đặt sau:    4 x f (x)  xf (x) d ( x s inx  cos x)   xf (x) x cos x  dx     dx  2 0 (xsinx  cos x)2   4 cos x (xsinx  cos x) 4 cos x (xsinx  cos x) 4 0 xf (x)   f (x)(cosx  xsinx)  xf ' (x) cosx) u  du dx   cos x  cos x ,  Đặt  dv  d(x s inx  cos x)  v (xsinx  cos x)   xsinx  cos x Khi 18 SangKienKinhNghiem.net  xf (x) x cos x  cos x (xsinx  cos x) dx    4  xf (x) f (x)(cosx  xsinx)  xf ' (x) cosx) 1    dx   cos x (xsinx  cos x) cos x xsinx  cos x 4 0   f (x) 2 xf ' (x)  2     I 0  dx   dx   I 1   cos x   4 cos x (xsinx  cos x) 4 Vậy ta chọn đáp án: A Tiếp theo tốn hóc búa vận dụng phương pháp Ví dụ 7: Đề thi thử TNQG trường THPT ChuyênVinh –Nghệ An- lần năm 2018 Cho hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện :  f ' (x)   f (x) f '' (x)  15 x  12 x, x  R f (0)  f ' (0)  Giá trị f (1) A B C 10 D Ta có:  f ' (x)   f (x) f '' (x)  15 x  12 x, x  R t t t 0 t   ( f ' (x))  f (x) f '' (x) dx   (15 x  12 x) dx    f ' (x)  dx   f (x) f '' (x) dx  t  6t 2 Mặt khác, ta đặt: t u  f ' (x) t t du  f '' (x)dx ' '   f (x) dx f (x)f (x)      f (x) f '' (x) dx      ' dv  f (x) dx  v  f (x) 0 t t   f ' (x)  dx   f (x)f '' (x) dx  t  6t 2 0 t t t  f (x) f (x)   f (x) f (x) dx   f (x) f '' (x) dx  t  6t  f (t) f ' (t)  t  6t  0 ' '' 1 1 0 0   f (t) f ' (t)dt   (3 t  6t  1)dt   f (t) df(t)   (3 t  6t  1)dt  f (x)   f (x)  2 Vậy ta chọn đáp án: D Có nhiều tốn cịn theo phong cách vận dụng sâu phương trình hàm đánh lạc hướng suy nghĩ học sinh Ví dụ 8: Câu 40 -Đề thi thử TNQG trường THPT Hàm Rồng- lần năm 2018 19 SangKienKinhNghiem.net Hàm số f x  có đạo hàm đến cấp hai ¡ thỏa mãn: f 1  x   x  3 f x  1 Biết f x   0, x  ¡ , tính I   2 x  1 f " x dx A 4 B u  2x  C D du  f (x)dx  ' dv  f (x) dx  v  f (x) 2 ' '  I   2 x  1 f " x dx  (2 x  1) f (x)   f (x) dx 0 Nếu ta đặt:  '' ''  I  3f ' (2)  f ' (0)  f(x)  I  3f ' (2)  f ' (0)  f(2)  f(0) Mặt khác: Từ giả thiết f 1  x   x  3 f x  1 2  x  1  f 2   f 0   f 2   f 0    f (0)  f(2)    x   f 0   f 2   f 0   f 2  Vấn đề gặp phải mà toán gây khó khăn phải tìm f ' (2);f ' (0);f(2);f(0) Đến lúc ta lại phải khai thác giả thiết lần sâu để tìm yếu tố Từ giả thiết ta lấy đạo hàm hai chọn giá trị thích hợp biến số ta f 1  x   x  3 f x  1  2 f ' (1  x) f(1  x)  xf(x  1)  x  3 f ' x  1 ' ' ' ' '  x  1  2 f (2) f(2)  2 f(0)  f 0  8 f (2)  8  f 0   f (2)     ' ' ' ' '  f (0)  2  x   2 f (0) f(0)  f(2)  f 2  8 f (0)   f 2  Đến lúc ta suy tích phân cần tính:  I  3f ' (2)  f ' (0)  f(2)  f(0)  3.2     Vậy ta chọn đáp án: B 2.4.Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong năm học vừa qua tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cách nghiêm túc khoa học lớp thực tế giảng dạy khối 12 lớp cụ thể sau: Đối tượng thực nghiệm: 12C2,12C3 Đối tượng đối chứng: 12C1,12C4 Tiến hành triển khai đề tài theo kế hoạch thời gian vạch Tổ chức kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm kết Kết đạt sau: 20 SangKienKinhNghiem.net ... pháp tính tích phân "hàm ẩn" sở sử dụng kĩ thuật tính tích phân trình bày sách giáo khoa Giải tích lớp 12 -Giúp học sinh nhận dạng phân loại tốn tích phân "hàm ẩn" -Hình thành phương pháp tính tích. .. 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm? ??……………………………………… 2.1.Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm? ??………………………………3 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm? ??…….4 2.3.Các sáng kiến kinh nghiệm. .. suy luận sáng tạo cách giải từ phương pháp để từ rút phương pháp giải tốn tích phân hàm ẩn Qua cho em thấy hiệu việc sử dụng "kĩ thuật tính tích phân hàm ẩn" 2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1