Nam 2016 2017 Đỗ Văn Lâm THCS Thị Trấn Tân Uyên ubnd tØnh lai ch©u héi ®ång tuyÓn dông céng hoµ x� héi chñ nghÜa viÖt nam §éc lËp Tù do H¹nh phóc ĐỀ THI SÁT HẠCH KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN TUYỂN DỤNG VIÊN C[.]
Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên ubnd tỉnh lai châu hội đồng tuyển dụng cộng hoà x héi chđ nghÜa viƯt nam §éc lËp - Tù - Hạnh phúc đề thức THI ST HCH KIẾN THỨC CHUYÊN MÔN TUYỂN DỤNG VIÊN CHỨC NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN TOÁN - CẤP THCS Thời gian làm bài: 120 phút khơng kể thời gian chép đề (Đề thi có 01 trang) Bài (10 điểm) Thực phép tính −3 −4 1.1) + : + + : 11 11 11 11 2 1.2) + + + 11.13 13.15 19.21 Câu (10 ñiểm) 2.1) Chứng minh số tự nhiên có dạng abba chia hết cho 11 + 3y + 5y + 7y 2.2) Tìm cặp số (x, y) biết: = = 12 5x 4x Câu (10 ñiểm) 3.1) Cho a, b, c, d ≥ Chứng minh rằng: (a + c)(b + d) ≥ ab + cd c d 3.2) Cho a, b, c, d ≠ , c + d = + = Chứng minh a = b a b ac + bd Câu (20 ñiểm) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 4.1) Giải phương trình sau: + + + = 10 17 19 21 23 x = 2y + 4.2) Giải hệ phương trình: y = 2x + C©u (10 ñiểm) Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x1 x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá 2x1x + trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = x1 + x 22 + 2(x1x + 1) C©u (30 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi d d' tiếp tuyến với đường trịn A B Điểm C thuộc ñường thẳng d (C khác A), đường thẳng vng góc với OC O cắt d d' thứ tự M D 6.1) Chứng minh tam giác CMD cân CD tiếp tuyến đường trịn (O); 6.2) Chứng minh C di chuyển đường thẳng d tích AC.BD khơng đổi; 6.3) Điểm C vị trí đường thẳng d thi diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất? Tính giá trị nhỏ theo R C©u (10 điểm) Cho a + b + c = 0, abc ≠ Rút gọn biểu thức sau: a2 b2 c2 B= + + a − b − c b − c2 − a c − a − b HÕt - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu - Giám thị khơng giải thích thêm Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Un h−íng dÉn gi¶i Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo C©u (10 ñiểm) 2 −3 −4 1.1) + : + + : 1.2) + + + 11.13 13.15 19.21 11 11 11 11 Giải 11 −3 −4 −3 −4 1.1) + : + + : = + + + : = ( −1 + 1) = 11 11 11 11 11 11 11 2 10 1 1 1 1 1 1 2.2) + + + = − + − + + − = − = 11.13 13.15 19.21 11 13 13 15 19 21 11 21 231 Câu (10 ñiểm) 2.1) Chứng minh số tự nhiên có dạng abba chia hết cho 11 + 3y + 5y + 7y 2.2) Tìm cặp số (x, y) biết: = = 12 5x 4x Giải 2.1) Vì abba = a.1001 + b.110 = 11.91a + 11.10b = 11(91a + 10b)⋮11 2.2) ĐKXĐ x ≠ + 5y + 7y −1 - Vì x ≠ nên từ : = ⇒ 4(1 + 5y) = 5(1 + 7y) ⇔ 15y = -1 ⇒ y = 5x 4x 15 + 3y + 5y 12(1 + 5y) −1 - Từ = ⇒x= = Vậy (x, y) = (2; ) 12 5x 5(1 + 3y) 15 Câu (10 ñiểm) 3.1) Cho a, b, c, d ≥ Chứng minh rằng: (a + c)(b + d) ≥ ab + cd c d 3.2) Cho a, b, c, d ≠ , c + d = + = Chứng minh a = b a b ac + bd Giải 3.1) (a + c)(b + d) ≥ ab + cd ⇔ (a + c)(b+ d) ≥ ab+ cd + ab.cd ⇔ ad + bc ≥ ad bc ⇔ ( ad − bc ) ≥ (ñúng) Từ ñó suy ñiều phải chứng minh c d 1− d d b − bd + ad + = ⇒ + = ⇔ = a b ac + bd a b a − ad + bd ab a − ad + bd ⇒ (b - bd + ad)(a - ad + bd) = ab ⇔ ab - abd + b2d - abd + abd2 - b2d2 + a2d - a2d2 + abd2 - ab = (Chú ý d ≠ ) ⇔ - 2ab + b2 + a2 + 2abd - b2d - a2d = ⇔ (a - b)2 - d(a - b)2 = ⇔ (a - b)2(1 - d) = Vì c + d = c ≠ ⇒ d ≠ nên (a - b)2 = ⇒ a = b Câu (20 ñiểm) x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 4.1) Giải phương trình sau: + + + = 10 17 19 21 23 x = 2y + 4.2) Giải hệ phương trình: y = 2x + Gi¶i x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 4.1) + + + = 10 17 19 21 23 x − 241 x − 220 x − 195 x − 166 ⇔ − 1 + − 2 + − 3 + − 4 = 17 19 21 23 1 ⇔ (x - 258) + + + = ⇔ x − 258 = ⇔ x = 258 Vậy x = 258 17 19 21 23 3.2) Từ c + d = Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên x = 2y + 4.2) ⇒ x3 - y3 + 2(x - y) = ⇔ (x - y)(x2 + xy + y2 + 2) = y = 2x + x − y = ⇔ ⇔ x = y (x + y )2 + 3y + = x = y x = y x = y Khi ta có hệ: ⇔ ⇔ x − 2x − = (x + 1) − 2(x + 1) = (x + 1)(x − x − 1) = TH1: x = y = -1 x = y x = y TH2: ⇔ 1± x x − − = x = 1± Vậy x = y =1 x = y = Câu (10 ñiểm) Cho phương trình: x2 - mx + m - = Gọi x1 x2 hai nghiệm phương 2x1x + trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = x1 + x 22 + 2(x1x + 1) Giải Điều kiện để phương trình bậc có hai nghiệm x1, x2 là: ∆ ≥ ⇔ m2 - 4m + ≥ ⇔ (m - 2)2 ≥ ñúng ∀ m Khi áp dụng hệ thức Vi-Ét ta có: 2x1x + 2(m − 1) + 2m + A= = = 2 (x1 + x ) + m2 + m +2 +) Tìm giá trị lớn A: 2m + m + − (m − 2m + 1) (m − 1)2 A= = = 1− ≤ Dấu "=" xảy m = m +2 m2 + m +2 Vậy: Max A = m = +) Tìm giá trị nhỏ A: −(m + 2) + (m + 4m + 4) (m + 2)2 1 = − ≥ − Dấu "=" xảy m = -2 A= 2 2(m + 2) 2(m + 2) 2 Vậy: Min A = m = -2 C 2 Câu (30 ñiểm) F E 6.1) Chứng minh ∆CMD cân CD tiếp tuyến (O) +) Xét ∆AOM ∆BOD có: A = B = 900 (t/c tiếp tuyến) OA = OB = R (gt) O1 = O (ñối ñỉnh) ⇒ ∆AOM = ∆BOD (g.c.g) ⇒ OM = OD mà CO ⊥ MD (gt) ⇒ ∆CMD cân C +) Từ O kẻ OE ⊥ CD E ∈ CD Xét ∆AOC ∆EOC có: A = E = 900 OC - cạnh chung A O M C1 = C2 (t/c ñường cao tam giác cân CMD) ⇒ ∆AOC = ∆EOC (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ OA = OE = R ⇒ CD tiếp tuyến (O) 6.2) Chứng minh AC.BD không ñổi D B Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên - Vì CD tiếp tuyến (O) tiếp ñiểm E ⇒ AC = CE, BD = DE (t/c tiếp tuyến cắt nhau) - Áp dụng hệ thức cạnh ñường cao tam giác vng OCD ta có: OE2 = EC.ED ⇒ OE2 = AC.BD ⇒ AC.BD = R2 khơng đổi 6.3) Tìm vị trí C để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất, tìm diện tích nhỏ theo R Gọi F trung ñiểm CD ⇒ OF ñường trung bình hình thang vng ABDC AC + BD 2.OF AB = 2R = 2R.OF ⇒ SABDC nhỏ OF nhỏ ⇒ E ≡ F Khi đó: SABDC = 2 ⇒ ABDC hình chữ nhật AC = R Vậy Min SABDC = 2R2 C cách A khoảng R C©u (10 ®iÓm) Cho a + b + c = 0, abc ≠ Rút gọn biểu thức sau: a2 b2 c2 B= + + a − b − c b − c2 − a c − a − b Giải +) Từ a + b + c = ⇒ a + b = - c ⇒ (a + b) = -c3 ⇒ a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3 ⇒ a3 + b3 - 3abc = -c3 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc + ) Từ a + b + c = ⇒ a + b = -c ⇒ a2 + b2 + 2ab = c2 ⇒ c2 - a2 - b2 = 2ab Tương tự: a2 - b2 - c2 = 2bc b2 - c2 - a2 = 2ca a2 b2 c2 Khi ñó: B = + + a − b − c b − c2 − a c − a − b a2 b2 c2 a + b3 + c3 3abc = + + = = = 2bc 2ac 2ab 2abc 2abc