Microsoft Word Copy of Tong hop kien thuc toan 7 doc Trường THCS Liêm Phong GV Nguyễn Văn Tiến 1 Họ và tên học sinh Lớp 7B TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN 7 CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ – QUY TẮC “CHUYỂN VẾ” 1 Tóm tắ.
Họ tên học sinh: Lớp 7B TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN CỘNG, TRỪ SỐ HỮU TỈ – QUY TẮC “CHUYỂN VẾ” 1/ Tóm tắt lý thuyết: Mọi số hữu tỉ viết dạng phân số a với a, b Z b ≠ b x (-x) hai số đối Ta có x + (- x) = 0, với x Q Với hai số hữu tỉ x = a b y = (a, b, m Z, m ≠ 0), ta có: m m x+y= a b a b + = m m m x-y= a b a b - = m m m Trong trình thực cộng trừ số hữu tỉ, ta viết số hữu tỉ dạng phân số có mẫu số Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng Với x, y Q : x + y = z x = z – y NHÂN, CHIA SỐ HỮU TỈ 1/ Tóm tắt lý thuyết: Phép nhân, chia số hữu tỉ tương tự phép nhân phân số a c y = (a,b,c,d Z; b.d ≠ 0), ta có: b d a c a.c x.y = = b d b.d a c Với hai số hữu tỉ x = y = (a,b,c,d Z; b.d.c ≠ ), ta có: b d a c a d a.d x:y = : = = b d b c b.c Với hai số hữu tỉ x = Thương hai số hữu tỉ x y gọi tỉ số hai số x y, kí hiệu hay x : y Chú ý : x.0 = 0.x = (m n) : x = m : x n : x x (y : z) = (x.y) : z Trường THCS Liêm Phong x.(y z) = x.y x.z x : (y.z) = (x : y) : z GV: Nguyễn Văn Tiến x y GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ 1/ Tóm tắt lý thuyết: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x, kí hiệu x, khoảng cách từ điểm x đến điểm trục số x x x neáu x neáu x x ; x Q ; x+ y= x = y = (Lưu ý dùng « » khơng dùng « » A= m : * Nếu m < biểu thức cho khơng có nghĩa A m A m * Nếu m xn = x.x x… x.x; n thừa số m n x x = x m+n x Q, n N, n> m n n m ; (x ) = (x ) = x m.n m n ; x :x = xm xn =xm-n n x xn n n n (x.y) = x y ; yn y x –n = (y ≠ 0); (x ≠ 0) xn Quy ước x1 = x ; x0 = x ≠ LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ I Tóm tắt lý thuyết: Luỹ thừa với số mũ tự nhiên Luỹ thừa bậc n số hữu tỉ, kí hiệu xn, tích n thừa số x (n số tự nhiên lớn 1): xn = x.x.x.x x ( x Q, n N, n > 1) Quy ước: x1 = x; x0 = 1; (x 0) n a a an Khi viết số hữu tỉ x dạng a, b Z , b , ta có: b b bn Tích thương hai luỹ thừa số: x m x n x m n x m : x n x mn (x 0, m n ) a) Khi nhâân hai luỹ thừa số, ta giữ nguyên số cộng hai số mũ b) Khi chia hai luỹ thừa số khác 0, ta giữ nguyên số lấy số mũ luỹ thừa bị chia trừ đđi số mũ luỹ thừa chia Luỹ thừa luỹ thừa ( x m ) n x m n Khi tính luỹ thừa luỹ thừa, ta giữ nguyên số nhân hai số mũ Luỹ thừa tích - luỹ thừa thương n n ( x y ) x y x n xn ( x : y) x : y ( ) n y y n n n n Luỹ thừa tích tích lũy thừa Luỹ thừa thương thương lũy thừa Tóm tắt công thức luỹ thừa a b x , y Q; x ; y c d Nhân hai lũy thừa số a a a x m x n ( ) m ( ) n ( ) m n b b b Chia hai lũy thừa số xm : xn = ( a ) m : ( b a n ) b =( a )m - n (m≥n) b Lũy thừa tích (x y)m = xm ym Lũy thừa thương (x : y)m = xm : ym Lũy thừa lũy thừa (xm)n = xm.n Lũy thừa với số mũ âm xn = x n * Quy ước: a1 = a; a0 = (y 0) TỈ LỆ THỨC, TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU 1/ Tóm tắt lý thuyết: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số: a c a:b = c:d b d a, d gọi ngoại tỉ b, c gọi trung tỉ Nếu có đẳng thức ad = bc ta lập tỉ lệ thức : a c a b b d c d ; ; ; b d c d a c a b a c e a c e a ce ca Tính chất: b d f b d f bd f d b a b c Nếu có ta nói a, b, c tỉ lệ với ba số 3; 4; 5 Muốn tìm thành phần chưa biết tỉ lệ thức, ta lập tích theo đường chéo chia cho thành phần lại: Từ tỉ lệ thức x a m.a x m b b SỐ VÔ TỈ, KHÁI NIỆM CĂN BẬC HAI, SỐ THỰC 1/ Tóm tắt lý thuyết Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vô hạn không tuần hồn Tập hợp số vơ tỉ kí hiệu I Số số vô tỉ Căn bậc hai số a không âm số x không âm cho x2 = a Ta kí hiệu bậc hai a a Mỗi số thực dương a có hai bậc hai a - a Số có bậc hai Số âm khơng có bậc hai Số thực (R) bao gồm số hữu tỉ (Q) số vô tỉ (I) Một số giá trị đặc biệt cần ý: 0; 1; 2; 3; 16 4; 25 5; 36 49 7; 64 8; 81 9; 100 10; 121 11; 144 12; 169 13; 196 14 Số thực có tính chất hồn tồn giống tính chất số hữu tỉ (giao hoán, kết hợp, phân phối, ) Vì điểm biểu diễn số thực lấp dầy trục số nên trục số gọi trục số thực ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN Khái niệm: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = k.x (với k số khác 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với Tỉ số hai giá trị tương ứng chúng không đổi ( y1 y2 y3 ) x1 x2 x3 Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng ( x1 y1 x1 y1 ; ; ) x2 y2 x5 y5 ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH Khái niệm: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức y a hay y.x= x a (a số khác 0) ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì: Tích hai giá trị tương ứng chúng không đổi (bằng hệ số tỉ lệ) ( y1 x1 y2 x2 ) Tỉ số hai giá trị đại lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng ( x1 y2 ; ) x2 x1 HÀM SỐ, ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax, (a 0) 1/ Tóm tắt lý thuyết: Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số x x gọi biến số (gọi tắt biến) Nếu x thay đổi mà y không thay đổi y gọi hàm số (hàm hằng) Với x1; x2 R x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) gọi hàm đồng biến Với x1; x2 R x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) gọi hàm nghịch biến Hàm số y = ax (a 0) gọi đồng biến R a > nghịch biến R a < Tập hợp tất điểm (x, y) thỏa mãn hệ thức y = f(x) gọi đồ thị hàm số y = f(x) Đồ thị hàm số y = f(x) = ax (a 0) đường thẳng qua gốc tọa độ điểm (1; a) Để vẽ đồ thị hàm số y = ax, ta cần vẽ đường thẳng qua hai điểm O(0;0) A(1; a) TAM GIÁC BẰNG NHAU CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC 1/ Tóm tắt lý thuyết: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng góc tương ứng ABC = A’B’C’ AB = A’B’; AC = A’C’; BC = B’C’; Aˆ Aˆ ' ; Bˆ Bˆ ' ; Cˆ Cˆ ' A A' B C B' C' Nếu ABC MNP có: AB = MN; AC = MP; BC=NP ABC=MNP (c-c-c) A M B C N P Nếu ABC MNP có : AB = MN; Bˆ Nˆ ; BC = NP ABC =MNP (c-g-c) A M B C N P + Nếu ABC MNP có : Aˆ Mˆ ; AB = MN ; Bˆ Nˆ ABC =MNP (g-c-g) M A B C N P THỐNG KÊ A Tóm tắt lý thuyết Bảng thống kê số liệu - Khi quan tâm đến vấn đề , người ta quan sát , đo đạc, ghi chép lại số liệu đối tượng quan tâm để lập nên bảng số liệu thống kê Dấu hiệu , đơn vị điều tra - Vấn đề mà người điều tra nghiên cứu , quan tâm gọi dấu hiệu điều tra - Mỗi đơn vị quan sát đo đạc đơn vị điều tra - Mỗi đơn vị điều tra cho tương ứng số liệu giá trị dấu hiệu - Tập hợp đơn vị điều tra cho tương ứng dãy giá trị dấu hiệu Tần số giá trị , bảng tần số - Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu tần số giá trị - Bảng kê giá trị khác dãy tần số tương ướnlà bảng tần số Số trung bình cộng , mốt dấu hiệu - Là giá trị trung bình dấu hiệu - Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng tần số BIỂU THỨC ĐẠI SỐ , ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNG 1/ Tóm tắt lý thuyết: Để tính giá trị biểu thức đại số giá trị cho trước biến,ta thay giá trị cho trước vào biểu thức thực phép tính Đơn thức biểu thức đại số gồm tích số với biến, mà biến nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương (mỗi biến viết lần) Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức Muốn xác định bậc đơn thức, trước hết ta thu gọn đơn thức Số đơn thức khơng có bậc Mỗi số thực coi đơn thức Đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến Mọi số thực đơn thức đồng dạng với Để cộng (trừ ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến QUAN HỆ GIỮA GĨC, CẠNH, ĐƯỜNG XIÊN, HÌNH CHIẾU TRONG TAM GIÁC, BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 1/ Tóm tắt lý thuyết: Trong tam giác: Góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn Hai góc hai cạnh đối diện ngược lại hai cạnh hai góc đối diện Trong đường xiên, đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn Đường xiên có hình chiếu lớn lớn hơn, đường xiên lớn hình chiếu lớn hơn, hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại hai hình chiếu hai đường xiên Trong tam giác, cạnh lớn hiệu nhỏ tổng hai cạnh cịn lại ABC ln có: AB – AC < BC < AB + AC AB – BC < AC < AB + BC AC – BC < AB < AC + BC ĐA THỨC, ĐA THỨC MỘT BIẾN, CỘNG TRỪ ĐA THỨC NGHIỆM CỦA ĐA THỨC MỘT BIẾN 1/ Tóm tắt lý thuyết: Đa thức số đơn thức tổng (hiệu) hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao hạng tử dạng thu gọn Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp hạng tử hai đa thức với dấu chúng thu gọn hạng tử đồng dạng (nếu có) Muốn trừ hai đơn thức, ta viết hạng tử đa thức thứ với dấu chúng viết tiếp hạng tử đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau thu gọn hạng tử đồng dạng hai đa thức (nếu có) Đa thức biến tổng đơn thức biến Do số coi đa thức biến Bậc đa thức biến khác đa thức không (sau thu gọn) số mũ lớn biến có đa thức Hệ số cao đa thức hệ số phần biến có số mũ lớn Hêï số tự số hạng không chứa biến Người ta thường dùng chữ in hoa kèm theo cặp dấu ngoặc (trong có biến) để đặt tên cho đa thức biến Ví dụ: A(x) = 3x3 + 5x + Do giá trị đa thức x = -2 A(-2) Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức Đa thức bậc n có khơng q n nghiệm HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 1/ Tóm tắt lý thuyết Hai đường thẳng cắt tạo thành góc vng hai đường thẳng vng góc Kí hiệu xx’ yy’ (xem Hình 2.1) Tính chất: “Có đường thẳng qua M vng góc với a” (xem hình 2.2) Đường thẳng vng góc trung điểm đoạn thẳng đường thẳng gọi đường trung trực đoạn thẳng (xem hình 2.3) a x M A a y' y B Đ ươ øng thẳn g a đườn g trung trực AB x' Hình 2.1 Hình Hình 2 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1/ Tóm tắt lý thuyết: Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung + Hai đường thẳng phân biệt cắt song song Tính chất: “Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với nhau” Kí hiệu a // b Từ tính chất ta suy rằng: Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le ngồi (hoặc cặp góc phía bù cặp góc ngồi phía bù nhau) a b song song với c c a A B A b B 3 a b Nếu A 1+B4 = 180 A4+B1=180 a//b Nếu A 1= B3 a//b 10 TAM GIÁC CÂN, TAM GIÁC ĐỀU VÀ ĐỊNH LÍ PITAGO 1/ Tóm tắt lý thuyết: Tam giác cân tam giác có hai cạnh nhau, hai cạnh gọi hai cạnh bên, cạnh lại gọi cạnh đáy ABC có AB = AC ABC cân A Trong tam giác cân, hai góc đáy ˆ ABC cân A B C Muốn chứng minh tam giác tam giác cân, ta cần chứng minh tam giác có hai cạnh hai góc Tam giác tam giác có ba cạnh Trong tam giác đều, ba góc 600 ABC có AB = AC=BC ABC tam giác ABC tam giác Aˆ Bˆ C 600 Muốn chứng minh tam giác tam giác đều, ta cần chứng minh: - Tam giác có ba cạnh - Hoặc chứng minh tam giác có ba góc - Hoặc chứng minh tam giác cân có góc 600 - (một số phương pháp khác nghiên cứu sau) Định lí Pitago thuận: Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông ABC vuông A BC2 = AC2 + AB2 Định lí Pitago đảo: Nếu tam giác có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vng Nếu ABC có BC2 = AC2 + AB2 AC2 = BC2 + AB2 AB2 = AC2 + BC2 ABC vng 11 CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG 1/ Tóm tắt lý thuyết: Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng này, hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng theo trường hợp c-g-c N B C A P M Nếu ABC MNP có Aˆ Mˆ =900; AB=MN; AC = MP Thì ABC = MNP (c-g-c) Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng này, cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng theo trường hợp g-c-g N B A C M P Nếu ABC MNP có Aˆ Mˆ =900; AC = MP; Cˆ Pˆ Thì ABC = MNP (g-c-g) Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông này, cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng theo trường hợp g-c-g N B A C M P Nếu ABC MNP có Aˆ Mˆ =900; BC = NP; Cˆ Pˆ Thì ABC = MNP (g-c-g) Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng này, cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng theo trường hợp c-c-c N B A C M P Nếu ABC MNP có Aˆ Mˆ =900; BC = NP; AB = MN Thì ABC = MNP (c-c-c) 12 TÍNH CHẤT CÁC ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN, ĐƯỜNG PHÂN GIÁC, ĐƯỜNG TRUNG TRỰC, ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC 1/ Tóm tắt lý thuyết: Đường trung tuyến đường xuất phát từ đỉnh qua trung điểm cạnh đối diện tam giác A A P B C M N G B C M AM trung tuyến ABC MB = MC Một tam giác có đường trung tuyến Ba đường trung tuyến tam giác đồng quy điểm Điểm cách đỉnh 2/3 độ dài đường trung tuyến qua đỉnh GA GB GC AM BN CP Giao điểm ba đường trung tuyến gọi trọng tâm tam giác Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền Đường phân giác tam giác đường thẳng xuất phát từ đỉnh chia góc có đỉnh hai phần A A A F J K E O B D C B I D C B C Một tam giác có ba đường phân giác Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác (giao điểm tâm đường trịn tiếp xúc với ba cạnh tam giác) + Trong tam giác cân, đường phân giác kẻ từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy Đường trung trực đoạn thẳng đường vng góc trung điểm đoạn thẳng Đường trung trực tam giác đường trung trực cạnh tam giác Một tam giác có ba đường trung trực Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác 13 A m m O A B C B B A + Các điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng AB cách hai đầu đoạn thẳng AB + Tập hợp điểm cách hai đầu đoạn thẳng AB đường trung trực đoạn thẳng AB Đọan vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác + Một tam giác có ba đường cao Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác H AH A F E E F A H B D C B D 14 B D C C 15 ... (Q) số vô tỉ (I) Một số giá trị đặc biệt cần ý: 0; 1; 2; 3; 16 4; 25 5; 36 49 7; 64 8; 81 9; 100 10; 121 11; 144 12; 169 13; 196 14 Số thực có tính chất hồn tồn