2 bài TOÁN GIÁ TRỊ TUYỆT đối 7

Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối PHẦN II: NỘI DUNG A Lý thuyết giá trị tuyết đối Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a (a số thực) * Giá trị tuyệt đối số không âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối Tổng quát: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Nếu x-a ≥ 0=> = x-a Nếu x-a ≤ 0=> = a-x Tính chất * Giá trị tuyệt đối số không âm * Tổng quát: a ≥ với a ∈ R * Cụ thể: =0 a=0 ≠ a ≠ * Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối Tổng quát: a = b a =b ⇔  a = −b * Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối Tổng quát: − a ≤ a ≤ a − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ * Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn Tổng quát: Nếu a < b < ⇒ a > b * Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ Tổng quát: Nếu < a < b ⇒ a < b * Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối Tổng quát: a.b = a b * Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối Tổng quát: a a = b b * Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số Tổng quát: a = a * Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu xảy hai số dấu Tổng quát: a + b ≥ a + b a + b = a + b ⇔ a.b ≥ B Các dạng toán : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: A(x)= k (Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước) Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối * Cách giải: - Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức (Vì giá trị tuyệt đối số không âm) - Nếu k = ta có A( x) = ⇒ A( x) =  A( x) = k  A( x) = − k - Nếu k > ta có: A( x) = k ⇒  Bài 1.1: Tìm x, biết: a) x − = b) − − 2x = 4 c) 1 − x+ = d) − 2x + = Giải: a) x − = ⇔ 2x – = ± * 2x – = 2x = x = 4,5 Vậy: b) * 2x – = – 2x = – 2x = x = 0,5 x = 4,5 ; x =0,5 − − 2x = 4 5   − x = 12 2 x = 1 ⇔ ⇔  ⇔ − 2x = − =  2 x = − 2x = − 4 12   12 14  − = x=  12 12 ⇔ 12  14 x = − =  12 12 12  Vậy: x ∈  8 ;  12 12  Bài 1.2: Tìm x, biết: a) 2 x − = b) 7,5 − − x = −4,5 c) x + − − 3,75 = − − 2,15 15 Bài 1.3: Tìm x, biết: a) 3x − + = b) x −1 = c) − x + + = 3,5 d) x − 1 =2 Bài 1.4: Tìm x, biết: − = 5% 4 c) + x − = 4 a) x + −5 x− = 4 5 x+ = d) 4,5 − b) − Bài 1.5: Tìm x, biết: 11 =2 b) + : x − = 15 21 x c) − 2,5 : x + = d) + : − = 4 Dạng 2: A(x)= B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) a) 6,5 − : x + * Cách giải: a = b Vận dụng tính chất: a = b ⇔   a = −b Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối  A( x) = B ( x ) Ta có: A( x) = B( x) ⇒   A( x) = − B ( x) Bài 2.1: Tìm x, biết: a) x − = x + b) x − − 3x + = c) + 3x = x − d) x + − x + = Giải: a) x − = x + * 5x – = x + * 5x – = – x – 5x – x = + 5x + x = – + 4x = 6x = x =1,5 x= Vậy: x= 1,5 ; x= Bài 2.2: Tìm x, biết: x + = 4x − 2 c) x + = x − 3 − x+ =0 d) x + − x + = b) x − a) Dạng 3: A(x)= B(x) (Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x) * Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: A( x ) = B ( x) (1) Điều kiện: B(x) ≥ (*)  A( x) = B ( x) (1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒   A( x) = − B( x) (Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện (*)) * Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a ≥ ⇒ a = a Nếu a < ⇒ a = −a Ta giải sau: A( x) = B( x) (1) • Nếu A(x) ≥ (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) • Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện ) Ví dụ: Tìm x ∈ Q biết =2x * Xét x+ ≥ , ta có x + *Xét x+ < , ta có x + Vậy : x = (TMĐK) = – 2x ⇔ x = − (Không TMĐK) 15 = 2x ⇔ x = Bài 3.1: Tìm x, biết: a) x = − 2x b) x − = 3x + c) x = x − 12 d) − x = x + Bài 3.2: Tìm x, biết: Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) + x = x b) x − 3x = c) x + − = x d) x − + x = 21 Bài 3.3: Tìm x, biết: a) + x = −4 x b) 3x − + = x c) x + 15 + = 3x d) x − + x = Bài 3.4: Tìm x, biết: a) x − = x + b) 3x − − = x c) 3x − = x + d) x − + = x Bài 3.5: Tìm x, biết: a) x − + = x b) x + − x = c) 3x − + = 3x d) − x + = x Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x ) + B ( x ) + C ( x) = m Căn bảng xét khoảng giải toán (Đối chiếu điều kiện tương ứng) Ví dụ1 : Tìm x biết x − + x − = 2x − (1)  Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x Giải: Xét x – = ⇔ x = 1; x – < ⇔ x < 1; x – > ⇔ x > x – = ⇔ x = 3; x – < ⇔ x < 3; x – > ⇔ x > Ta có bảng xét dấu đa thức x – x – đây: x x–1 x–3 – – + – + + Xét khoảng x < ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( – x ) = 2x – ⇔ – 2x + = 2x – ⇔ x = (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét khoảng ≤ x ≤ ta có: (1) ⇔ (x – ) + ( – x ) = 2x – ⇔ = 2x – ⇔ x = ( giá trị thuộc khoảng xét) Xét khoảng x > ta có: (1) ⇔ (x – ) + (x – ) = 2x – ⇔ 0.x = – ( Phương trình vơ nghiệm) Kết luận: Vậy x = Ví dụ : Tìm x, biết + =0 Nhận xét : x+1 = => x = –1 x –1 = => x =1 Ta lập bảng xét dấu x –1 x+1 – + + x–1 – – + Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp Nếu x< – 1, ta có PT : – x – – x + = ⇔ x = (không TMĐK) Nếu –1 ≤ x ≤ 1, ta có PT : x + – x + = ⇔ 0.x = – (PT vô nghiệm) Nếu x >1, ta có PT : x + + x – = ⇔ x = (không TMĐK) Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn đề Bài 4.1: Tìm x, biết: a) 3x − + x − x − + x − = 12 b) x + − x + − x + + x − = 5 5 c) − x + x − + = 1,2 Bài 4.2: Tìm x, biết: a) x − + x + = d) x + + x − = − x b) x + + x − = c) x − + x − + x − = d) x + + x − + x + = Bài 4.3: Tìm x, biết: a) x − + x − + x − = e) x + + − x = 11 c) x − + x − − x − = d) x + − − x = x b) 3x x + − x x + = 12 e) x − x + = x − f) x + − x = x + x − Bài 4.4: Tìm x, biết: a) x − + x − = b) x − + x + = c) x − + x − = d) x − + 3x + = x + Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt A(x)+ B(x)+ C(x)= D(x) (1) Điều kiện: D(x) ≥ kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bài 5.1: Tìm x, biết: a) x + + x + + x + = x b) x + + x + + x + + x + = x − c) x + + x + + x + = 4x d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = x Bài 5.2: Tìm x, biết: 100 + x+ + x+ + + x + = 101x 101 101 101 101 1 1 + x+ + x+ + + x + = 100 x b) x + 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 + x+ + x+ + + x + = 50 x c) x + 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 + x+ + x+ + + x + = 101x d) x + 1.5 5.9 9.13 397.401 a) x + Dạng 6: Dạng hỗn hợp Bài 6.1: Tìm x, biết: a) x − + = b) x + x − = x2 + 2 2 c) x x + = x Bài 6.2: Tìm x, biết: Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) x − − 1 = b) x +1 − = c) x x + =x Bài 6.3: Tìm x, biết:   =x a) x x − 1 2 b)  x +  x − 3 = 2x − 4 Bài 6.4: Tìm x, biết: a) x − − x + = x − b) x − − = Dạng 7: A + B = c) x − x − 3 = 2x − 4 c) 3x + − = Vận dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức * Nhận xét: Tổng số không âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời * Cách giải chung: A + B = Bước1: Đánh giá: A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 A = B = Bước 2: Khẳng định: A + B = ⇔  Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn: a) 3x − + y + = b) x − y + y + =0 25 c) − x + y + = Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn: b) − + 2 y −3 = 11 23 x + 1,5 − + y =0 17 13 a) − x + c) x − 2007 + y − 2008 = Chú ý 1: Bài tốn cho dạng A + B ≤ kết không thay đổi * Cách giải: A + B ≤ (1) A ≥ 0 ⇒ A + B ≥0 B ≥ 0 (2) A = B = Từ (1) (2) ⇒ A + B = ⇔  Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn: a) x + + y − ≤ b) x + y + y − ≤ c) x − y + + y + ≤ Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn: a) 12 x + + 11 y − ≤ b) 3x + y + y − ≤ c) x + y − + xy − 10 ≤ Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 + y+4 =0 a) x − y − + y + = b) x − y 2006 2008 c) ( x + y ) + 2007 y − = d) x − y − + 2007( y − 3) = Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn : Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) ( x − 1) + ( y + 3) = c) 3( x − y ) 2004 +4y+ =0 b) 2( x − 5) + y − = 2000 d) 1  x + 3y −1 + 2 y −  2  b) x − y + 10 y + ≤0 =0 Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 2007 + y − 2008 ≤ c) 13 1  x−  24 2 2006 + 2007 y+ ≤0 2008 25 2008 2007 d) 2007 x − y + 2008 y − ≤ Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b Từ ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + + − x = b) x − + x − = c) 3x − + 3x + = d) x − + x + = 11 e) x + + x − = 3x − f) x − + − x + x − = Bài 8.2: Tìm x, biết: a) x − + x − = b) x + + x + = c) 3x + + − x = 13 d) x + + − x = + 3x e) x + + 3x − + x − = f) x − + x − = II Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: A + B = m với m ≥ * Cách giải: A = B = Nếu m = ta có A + B = ⇔  Nếu m > ta giải sau: A + B = m (1) Do A ≥ nên từ (1) ta có: ≤ B ≤ m từ tìm giá trị B A tương ứng Ví dụ : Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: |x – y – 2| + |y + 3| = Giải: |x – y – 2| + |y + 3| = x − y − =  x = −1 ⇔ ⇔ y +3 =  y = −3 Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − 2007 + x − 2008 = b) x − y − + y + = c) ( x + y ) + y − = Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn: a) x − y + y + = b) x − y − + ( y − 3) = c) x + y − + y + = Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn: a) x + + y − = b) x + + y − = c) 3x + y + = d) x + y + = Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) x − + y + = b) x + + y − = 12 c) 3x + y + = 10 d) x + y + = 21 Bài 1.5: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) y = − x − c) y = − x + Dạng 2: A + B < m (với m > 0) * Cách giải: Đánh giá A + B < m (1) 2 b) y = − x − d) y = 12 − x − A ≥ 0  ⇒ A + B ≥ (2) B ≥ 0 Từ (1) (2) ⇒ ≤ A + B < m từ giải toán A + B = k dạng với 0≤k d) ( 3x + 1)( − x ) > Bài 4.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( − x )( x + 1) = y + b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − 2)( − x ) = y + + Bài 4.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: a) ( x + 1)( − x ) = y + b) ( x − 2)( − x ) − y + = c) ( x − 3)( x − 5) + y − = Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A ≥ m (1) Đánh giá: B ≤ m (2) Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối A = m B = m Từ (1) (2) ta có: A = B ⇔  Bài 5.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 12 a) x + + x − = − ( y + 2) b) x − + − x = y + + 10 d) x − + − x = y + + ( x − 6) + Bài 5.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: c) y + + = a) x + + x − = 2( y − 5) + 12 16 b) x + + x − = y − + y + 10 c) 3x + + 3x − = ( y + 3) + d) x − y − + = y − + Bài 5.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn: 14 a) ( x + y − 2) + = y − + y − 20 b) ( x + 2) + = y + + 30 c) x − 2007 + = y − 2008 + d) x + y + + = y + + III Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối * Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1 a) A = x − 3,5 + 4,1 − x b) B = − x + 3,5 + x − 4,1 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < – 1,3: a) A = x + 1,3 − x − 2,5 b) B = − x − 1,3 + x − 2,5 Bài 3: Rút gọn biểu thức: − x− c) C = x + + x − 5 −3 IV Tính giá trị biểu thức Bài 1: Tính giá trị biểu thức: a) M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75 b) N = a − b với a = 1,5; b = −0,75 Bài 2: Tính giá trị biểu thức: Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) A = x + xy − y với x = 2,5; y = với a = ; b = 0,25 với x = với a = ; b = 0,25 b) B = 3a − 3ab − b c) C = −3 5a − b d) D = 3x − x + Bài 3: Tính giá trị biểu thức: a) A = x − 3x + x + b) B = x − y c) C = x − − 31 − x d) D = 5x − x + 3x − −2 với x = ; y = −3 với x = với x = với x = V Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối * Cách giải chủ yếu từ tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức Bài 1.1: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = 0,5 − x − 3,5 d) D = 2x +3 x −1 c) C = e) E = 5,5 − x − 1,5 f) F = − 10,2 − 3x − 14 5,8 g) G = − x − − y + 12 h) H = 2,5 − x + 5,8 k) K = 10 − x − l) L = − x − 1 12 + l) L = 3x − + g) G = 4,9 + x − 2,8 h) H = x − k) K = 3x − − Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: 15 a) A = + 3x + + 20 c) C = + 3x + + y + + 4x −5 i) I = − 2,5 − x − 5,8 m) M = x − + n) N = + x + + Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 1,7 + 3,4 − x b) B = x + 2,8 − 3,5 d) D = 3x + 8,4 − 14,2 e) E = x − + y + 7,5 + 17,5 3x +2 b) B = − 1,4 − x − c) C = 3,7 + 4,3 − x f) F = 2,5 − x + 5,8 i) I = 1,5 + 1,9 − x m) M = 51 − x − −1 21 b) B = + 815 x − 21 + 24 d) D = −6 + x − y + x + + 21 e) E = + ( x + y ) + x + + 14 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: 10 Trịnh Đình Dũng 0945002388 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) A = x + + 11 b) B = 7x + + y + + 13 c) C = 2y + + 15 x + + 32 x +1 + Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: −8 a) A = + x + + 24 C= 14 b) B = − y − + 35 c) 15 28 − 12 x − y + x + + 35 Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 21 x + + 33 4x + + b) B = y + + 14 y + + 14 c) C = − 15 x + − 68 x + + 12 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + − x b) B = x − + x + c) C = 3x + + − 3x d) D = x + + x − e) E = x − + + x f) F = x + + − x Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x − + x + b) B = x − + − 3x c) C = x + + 4x − Bài 2.3: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = − x − + x + b) B = − x + + x + c) C = − 3x − + − 3x Bài 2.4: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = −2 x − + x + b) B = −3 x − + − 3x c) C = −5 − x + x + Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x − + c) C = x − + x + Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − b) B = x − + x + c) C = x − + 3x + Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x + + b) B = 3x − + 3x + + c) C = x + + x − + 12 Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = x + + x − + x − b) B = x + + 3x − + x − + c) C = x + + x − + x − d) D = x + + x + + x − + Bài 3.4: Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x +1 + y − Bài 3.5: Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B = x − + y +1 Bài 3.6: Cho x – y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = 2x + + y + Bài 3.7: Cho 2x+y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x + + y + + 11 ... − x = 12 ? ?2 x = 1 ⇔ ⇔  ⇔ − 2x = − =  ? ?2 x = − 2x = − 4 12   12 14  − = x=  12 12 ⇔ 12  14 x = − =  12 12 12  Vậy: x ∈  8 ;   12 12  Bài 1 .2: Tìm x, biết: a) 2 x − = b) 7, 5 −... b) 2( x − 5) + y − = 20 00 d) 1  x + 3y −1 + ? ?2 y −  2? ??  b) x − y + 10 y + ≤0 =0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 20 07 + y − 20 08 ≤ c) 13 1  x−  2? ??4 2? ?? 20 06 + 20 07 y+ ≤0 20 08 25 20 08 20 07. .. 20 06 20 08 c) ( x + y ) + 20 07 y − = d) x − y − + 20 07( y − 3) = Bài 7. 6: Tìm x, y thoả mãn : Trịnh Đình Dũng 09450 023 88 - Bài tập giá trị Tuyệt đối a) ( x − 1) + ( y + 3) = c) 3( x − y ) 20 04