Trăc nghiệm dạng 2 nguyên hàm cơ bản

TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Giáo viên: Tuan Vu A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa nguyên hàm Một số tính chất nguyên hàm Một số nguyên hàm Nguyên hàm hàm số ∫ a.dx = ax + C , a ∈ ¡ α ∫ x dx = xα +1 + C , α ≠ −1 α +1 ∫ dx = ln x + C , x ≠ x ∫ dx = x + C, x > x ∫x Nguyên hàm mở rộng dx dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C = − + C, x ≠ x dx ∫x ( ax + b)α +1 α ( ax + b ) d x = +C ∫ a α +1 =− α +C (α − 1) xα −1 ∫ e dx = e x x ∫ a dx = x +C ax +C ln a dx ∫ (ax + b) α ∫e =− 1 +C a (α − 1)(ax + b)α −1 dx = e ax +b + C a ax + b α x+β ∫ a dx = aα x + β +C α ln a ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin(ax + b)dx = a cos(ax + b) + C ∫ cos 10 x ∫ sin x 1 1 dx = tan x + C ∫ cos (ax + b) dx = a tan(ax + b) + C dx = −cotx + C ∫ sin Cơng thức tính vi phân hàm số 2 1 dx = − cot(ax + b) + C (ax + b) a Định nghĩa: Vi phân hàm số y = f ( x ) biểu thức f ′ ( x ) dx Ký hiệu dy hay d f ( x ) vi phân f ( x ) d y = f ′ ( x ) dx hay df ( x ) =  f ′ ( x ) dx Các vi phân bản: α +1 α 1) d ( u ) = ( α + 1) u du 2) d ( sin u ) =  cosu.du 3) d ( cosu ) = −sinudu 4) d ( tan u ) = 5) d ( cotu ) = − 7) d (ln) = du sin u du cos u u u 6) d ( e ) = e du du u 8) d ( α u + β v ) = α du + β dv 9) d ( u + C ) = du    với C số Các phép biến đổi vi phân bản:  uα +1  α u du = d 1)  ÷  α +1  4) du = d (tan u ) cos u 7) du = d (ln | u |) u 2) cosu.du = d ( sinu ) 5) du = d (−cotu ) sin u 3) sinu.du = d ( −cosu ) u u 6) e du = d ( e ) Chú ý: Trên phép biến đổi quan trọng, giúp cho việc tính nguyên hàm trở nên ngắn gọn, tiết kiệm thời gian trình bày B KỸ NĂNG CƠ BẢN Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất bảng nguyên hàm C BÀI TẬP Dạng Tìm nguyên hàm công thức nguyên hàm mở rộng (không có đk) Câu 1: (02 – 101 – THPTQG 2017)Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) sin x + C ⇒ ∫ cos 3xdx = +C a Câu 2: [2D3-1] (02 – 102 – THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 5x − Hướng dẫn giải Ta có: dx dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ⇒ ∫ 5x − = ln x − + C Câu 3: [2D3-1] (08 – 103 – THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2sin x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ sin xdx = − cos x + C ⇒ ∫ 2sin xdx = ∫ sin xdx = −2 cos x + C Câu 1: [2D3-1] Tính nguyên hàm J = ∫ ( x + x + 1) dx Hướng dẫn giải x3 3x J = ∫ ( x + x + 1) dx = + + x+C 2 Câu 2: [2D3-1] Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = 2x4 + ( x ≠ ) là: x2 Hướng dẫn giải I =∫ 2x4 + x3   d x = x + d x = − +C ÷ ∫  x2 x2  x Câu 3: [2D3-1] Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = − x + x Hướng dẫn giải x x ∫ ( − x + x ) dx = x − + + C x −1 Câu 4: [2D3-1] Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ( ) x ( x ≠ 0) Hướng dẫn giải ∫ ( x − 1) x3 dx = ∫ x3 − 3x + 3x −  3  dx = ∫ 1 − + − ÷dx =x − 3ln x − + + C x x  x 2x  x x x Câu 5: [2D3-1] (09 – 104 THPTQG 2017) Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = Hướng dẫn giải Ta có: ∫ a x dx = ax 7x + C ⇒ ∫ x dx = +C ln a ln Câu 6: [2D3-1] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + x Hướng dẫn giải ∫ 1 x3 3x  f ( x ) dx = ∫  x − x + ÷dx = − + ln x + C x  Câu 7: [2D3-1] Tìm họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − x + Hướng dẫn giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x − x + 1) dx = x − x + x + C Câu 8: [2D3-1] Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = 1 − x x2 Hướng dẫn giải 1  dx = ln x + + C ÷ x  ∫ f ( x ) dx = ∫  x − x Câu 9: [2D3-1] Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = x + x2 Hướng dẫn giải   dx = x − + C ÷ x  ∫ f ( x ) dx = ∫  x + x Câu 10: [2D3-1] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x − x + Hướng dẫn giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + 3x − x + 1) dx = x + x3 − x + x 1  Câu 11: [2D3-1] Tính nguyên hàm J = ∫  + x ÷dx x  Hướng dẫn giải 1  J = ∫  + x ÷dx = ln x + x + C x  Câu 12: [[2D3-1] Tìm guyên hàm hàm số f ( x) = cos x Hướng dẫn giải ∫ cos 3xdx = sin 3x + C Câu 13: [2D3-1] Tính ∫ sin(3x − 1)dx Hướng dẫn giải ∫ sin(3x − 1)dx = − cos(3x − 1) + C Câu 14: [2D3-1] Tính ∫ (cos x − cos x)dx Hướng dẫn giải ∫ (cos x − cos x)dx = sin x − sin x + C Câu 15: [2D3-1] Tìm nguyên hàm f ( x ) = sin x Hướng dẫn giải 1 ∫ sin xdx = ∫ sin xd (2 x) = − cos x + C Câu 16: [2D3-2] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ cos xdx = 1 cos xd (5 x) = sin x + C ∫ 5 Câu 17: [2D3-2] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ sin xdx = 1 1 sin xd (2 x) = − cos x + C = − ( − 2sin x ) + C = sin x − + C ∫ 2 2 Câu 18: [2D3-2] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos ( x + 1) Hướng dẫn giải Ta có: 1 1 ∫ cos ( x + 1) dx = ∫ cos ( x + 1) d (2 x + 1) = tan ( x + 1) + C 2 Câu 19: [2D3-3] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos x.cos x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ cos x.cos xdx = ∫ = 1 ( cos x + cos x ) dx = ∫ cos xdx + ∫ cos xdx 2 1 cos xd (6 x) + ∫ cos xd (4 x) = sin x + sin x + C ∫ 12 12 Câu 20: [2D3-2] Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = 2sin x cos x Hướng dẫn giải ∫ 2sin 3x cos x dx = ∫ ( sin x + sin x ) dx = ∫ sin xdx + ∫ sin xdx = − cos x − cos x + C x Câu 21: [2D3-1] Chứng minh hàm số F ( x ) = e + tan x + C nguyên hàm hàm số f ( x ) = ex + cos x Hướng dẫn giải ( F ( x) )′ = ( e x + tan x + C ) ′ = e x + cos x Câu 22: [2D3-2] Tìm guyên hàm hàm số y = cos x Hướng dẫn giải 1 ∫ ( + cos x ) dx = ( x + sin x ) + C 2x x Câu 23: [2D3-1] Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = e − e Hướng dẫn giải 2x x ∫ ( e − e ) dx = e2 x − ex + C x+3 Câu 24: [2D3-2] Tìm nguyên hàm f ( x ) = e Hướng dẫn giải ax + b Áp dụng công thức ∫ e dx = ax +b e + C ⇒ ∫ e3 x+3 dx = e3 x +3 + C a x x Câu 25: [2D3-2] Tính J = ∫ ( + ) dx Hướng dẫn giải ∫( x + 3x ) dx = 2x 3x + +C ln ln x Câu 26: [2D3-2] Tìm nguyên hàm f ( x ) = e + cos x Hướng dẫn giải ∫( e x + cos x ) dx = e x + sin x + C ex Câu 27: [2D3-2] Tìm nguyên hàm hàm số y = x Hướng dẫn giải x e x  ÷ x e ex e  2 +C = dx = dx = +C x ∫ 2x ∫  ÷ e − ln 2 ( ) ln 2  x2 +  Câu 28: [2D3-2] Tìm guyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) =  ÷  x  ( x ≠ 0) Hướng dẫn giải 2  x2 +  1    2 −2 f x d x = ( ) ∫ ∫  x ÷ dx = ∫  x + x ÷ dx =∫  x + + x ÷dx = ∫ ( x + + x ) dx = x3 x3 + x − x −1 + C = − + x + C 3 x Dạng Tìm ngun hàm thoả mãn có điều kiện cho trước Câu 1: [2D3-2] (13 – 103 – THPTQG 2017) Cho F ( x ) f ( x ) = e x + x thỏa mãn F ( ) = Tìm F ( x ) Hướng dẫn giải ∫ f ( x ) dx = ∫ ( e x + x ) dx = e x + x + C nguyên hàm hàm số F ( ) = e + 02 + C = 1 ⇒ C = ⇒ F ( x ) = ex + x2 + 2 Câu 2: [2D3-2] (27 – 101 – THPTQG 2017) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ′ ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Tìm f ( x ) Hướng dẫn giải Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ ( − 5sin x ) dx = x + 5cos x + C f ( ) = 3.0 + 5cos + C = 10 ⇒ C = [2D3-3] Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = ax + Câu 3: b ( x ≠ ) , biết F ( −1) = , x2 Hướng dẫn giải ∫ b  ax bx −1 ax b  −2 f ( x ) dx = ∫  ax + ÷dx = ∫ ( ax + bx ) dx = + +C = − + C = F ( x) x  −1 x  a  2 +b +C =1 a =  F ( −1) =    a  Ta có:  F ( 1) = ⇔  − b + C = ⇔ b = −  2  f = ( )  a + b =   c =   Vậy F ( x ) = 3x + + 2x Câu 4: [2D3-3] Tìm guyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x − x + thỏa mãn điều kiện F ( −1) = Hướng dẫn giải Ta có: F ( x ) = ∫ ( x − x + ) dx = x − x + x + C Lại có F ( −1) = ⇔ ( −1) − ( −1) + ( −1) + C = ⇔ C = 4 Vậy F ( x ) = x − x + x + Câu 5: [2D3-1] Tìm hàm số f ( x ) biết f ′ ( x ) = x + f ( 1) = Hướng dẫn giải  f ( x ) = ( x + 1) dx  f ( x ) = x + x + C ∫ ⇒ ⇒ f ( x ) = x2 + x +   f ( 1) = + +  f ( 1) = Câu 6: [2D3-2] Tìm hàm số f ( x ) biết f ' ( x ) = x − x f ( ) = Hướng dẫn giải Ta có: f ( x ) = ∫ (  12  x x2 8x x x2 x − x dx = ∫  x − x ÷dx = − +C = − +C 3   ) Lại có f ( ) = ⇔ Vậy f ( x ) = 8.4 42 40 − +C = ⇔ C = − 3 x x x 40 − − 3 Câu 7: [2D3-2] Tìm hàm số y = f ( x ) biết f ' ( x ) = ( x − x ) ( x + 1) f ( ) = Hướng dẫn giải x4 x2 Ta có: f ( x ) = ∫ ( x − x ) ( x + 1)  dx = ∫ ( x3 − x ) dx = − + C Lại có f ( ) = ⇔ Vậy y = f ( x ) = 04 02 − +C = ⇔ C = x4 x2 − +3 2 Câu 8: [2D3-2] Cho f ( x ) = x + x − có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 1) = Tìm F ( x ) Hướng dẫn giải Ta có: F ( x ) = ∫ ( x + x − 3) dx = x + x − x + C Lại có F ( 1) = ⇔ + − 3.1 + C = ⇔ C = Vậy F ( x ) = x + x − 3x + Câu 9: [2D3-2] F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = F ( x) 2x + ( x ≠ ) , biết F ( 1) = Tìm x2 Hướng dẫn giải ∫ 2x + 3 2  dx = ∫  + ÷dx = F ( x ) = ln x − + C x x x  F ( 1) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = ln x − + Dạng Chứng minh hàm số nguyên hàm hàm số khác Câu Chứng minh hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) :  F (x) = (4x − 5)ex a)  x  f (x) = (4x − 1)e  F (x) = tan4 x + 3x − b)   f (x) = 4tan x + 4tan x +   x2 +   F (x) = ln ÷ ÷  x +   c)  − x  f (x) =  (x2 + 4)(x2 + 3)  x2 − x +  F (x) = ln  x + x 2+1 d)  2  f (x) = 2(x − 1)  x4 + Hướng dẫn giải x x x a) Ta có F ′ ( x ) = 4.e + ( x − ) e = ( x − 1) e = f ( x ) với ∀x ∈ ¡ nên hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ¡ Câu Tìm điều kiện tham số để F ( x ) nguyên hàm f ( x ) :  F (x) = mx3 + (3m+ 2)x2 − 4x + Tìmm a)   f (x) = 3x + 10x −  F (x) = ln x2 − mx +  Tìmm b)  2x + f ( x ) =  x2 + 3x +   F (x) = (ax2 + bx + c) x2 − 4x Tìma, b,c c)   f (x) = (x − 2) x2 − 4x  F (x) = (ax2 + bx + c)ex Tìma, b,c d)  x  f (x) = (x − 3)e Hướng dẫn giải b) Điều kiện xác định hàm số F ( x ) x − mx + > Hàm số f ( x ) xác định ¡ F′( x ) = 2x − m x − mx + Hàm số F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) ¡ ⇔ F ′ ( x ) = f ( x ) với ∀x ∈ ¡ ⇔ 2x − m 2x + = với ∀x ∈ ¡ ⇔ m = −3 x − mx + x + x + BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 1/ f ( x ) = (2 x − 3)5 2/ f ( x) = sin x cos x 3/ f ( x ) = (sin x − 1)3 cos x 4/ f ( x) = x x +1 5/ f ( x ) = 2x − x − 3x + 6/ f ( x) = ( x + 1)5x 7/ f ( x ) = ln x 2x (ln x + 3)3 8/ f ( x) = 2x 2 + x −1 9/ f ( x ) = sin(ax + b) cos (ax + b) 10/ f ( x) = tan x 11/ f ( x) = x x + 12/ f ( x) = e3cos x sin x − x2 14/ f ( x) = x − 3x + 15/ f ( x ) = sin x cos x cos x 16/ f ( x) = 17 x 10 x + 13 x − 13/ f ( x ) = 2 17/ f ( x ) = cos x + 3sin x sin x + cos x 5sin x − 3cotg x 19/ f ( x ) = cos x 21/ ( f ( x) = ) x −1 x x 18/ f ( x) = x x  20/ f ( x) =  sin − cos ÷ 2   x 22/ f ( x) = e  − x ÷ xe   23/ f ( x ) = x2 + 2x +1 24/ f ( x) = 25/ f ( x ) = x cos (ln x) 26/ f ( x) = 27/ ∫ dx x +1 + x −1 29/ ∫ x(1 − x) 2019 dx cos x (sin x + cos x)3 3x 3x + sin x cos x cos x − sin x 28/ ∫ x15 + x8 dx 30/ ∫ dx + cotx Câu 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau( với điều kiện kèm theo) 1/ f ( x) = ex , F (0) = − ln ex + π  3/ f ( x) = sin 2 x cos3 x , F  ÷ = 2 5/ f ( x) = x + 3x + x − , F(1) = x + 2x +1 2/ f ( x ) = cos x  π , F  − ÷= 20 sin x  2 2   4/ f ( x ) =  + ÷ , F  ÷=    3x −  ... Câu 27 : [2D3 -2] Tìm nguyên hàm hàm số y = x Hướng dẫn giải x e x  ÷ x e ex e  2? ?? +C = dx = dx = +C x ∫ 2x ∫  ÷ e − ln 2 ( ) ln 2  x2 +  Câu 28 : [2D3 -2] Tìm guyên hàm F ( x ) hàm. .. 17: [2D3 -2] Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x Hướng dẫn giải Ta có: ∫ sin xdx = 1 1 sin xd (2 x) = − cos x + C = − ( − 2sin x ) + C = sin x − + C ∫ 2 2 Câu 18: [2D3 -2] Tìm nguyên hàm hàm... dx = ( x + sin x ) + C 2x x Câu 23 : [2D3-1] Tìm guyên hàm hàm số f ( x ) = e − e Hướng dẫn giải 2x x ∫ ( e − e ) dx = e2 x − ex + C x+3 Câu 24 : [2D3 -2] Tìm nguyên hàm f ( x ) = e Hướng dẫn