PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI ...

www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỨC PHỔ NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN - LỚP Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2016 Câu 1: (5 điểm) 1 + a− , với a = 2014 2016 2015 x −1 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số số nguyên x +1 a) Tính giá trị biểu thức P = a − Câu 2: (5 điểm) a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab  a + b b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Câu 3: (3 điểm) Cho ∆DEF vng D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF a) Chứng minh MDH = E − F b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Câu 4: (2 điểm) Cho số  a1  a2  a3   a15 Chứng minh a1 + a2 + a3 + + a15 5 a5 + a10 + a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A = 1200 Các tia phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM = CIN = 300 a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC Hết Cán coi thi khơng giải thích thêm www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com PHỊNG GD-ĐT ĐỨC PHỔ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MƠN: TỐN - LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 2.5 đ NỘI DUNG ĐÁP ÁN 1 + a− a) Tính giá trị biểu thức P = a − , với a = 2014 2016 2015 1 1 − + − Thay a = vào biểu thức P = 2015 2014 2015 2016 2015 1 1 Ta có P = − + − 2014 2015 2015 2016 1 P= − 2014 2016 2016 − 2014 P= = 2014.2016 2014.2016 1 P= = 1007.2016 2030112 b) Tìm số ngun x để tích hai phân số 2.5 đ x −1 số nguyên x +1 x −1 x +1 x −1 = x +1 2( x − 1) = x +1 2x − = x +1 2( x + 1) − = x +1 = 2− x +1 Để A nhận giá trị nguyên x + Ư(4) = 1; 2; 4 Đặt A = Điểm 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Suy x  0; −2;1; −3;3; −5 2đ a) Cho a > 2, b > Chứng minh ab  a + b 1 Từ a    a 1 b2  b www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.5 Trang www.thuvienhoclieu.com 1 a+b + 1  1 a b ab Vậy ab  a + b Suy 3đ b) Cho ba hình chữ nhật, biết diện tích hình thứ diện tích hình thứ hai tỉ lệ với 5, diện tích hình thư hai diện tích hình thứ ba tỉ lệ với 8, hình thứ hình thứ hai có chiều dài tổng chiều rộng chúng 27 cm, hình thứ hai hình thứ ba có chiều rộng, chiều dài hình thứ ba 24 cm Tính diện tích hình chữ nhật Gọi diện tích ba hình chữ nhật S1 , S , S3 , chiều dài, chiều rộng tương ứng d1 , r1 ; d , r2 ; d3 , r3 theo đề ta có S1 S = ; = d1 = d ; r1 + r2 = 27; r2 = r3 , d3 = 24 S S3 Vì hình thứ hình thứ hai chiều dài S1 r1 r r r + r 27 = =  1= = = =3 S2 r2 9 Suy chiều rộng r1 = 12cm, r2 = 15cm Vì hình thứ hai hình thứ ba chiều rộng 7d S2 d 7.24 = =  d2 = = = 21cm S3 d 8 3đ 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vậy diện tích hình thứ hai S = d r2 = 21.15 = 315 cm 0.25 4 0.25 Diện tích hình thứ S1 = S2 = 315 = 252 cm 5 0.25 8 Diện tích hình thứ ba S3 = S2 = 315 = 360 cm2 7 Cho ∆DEF vuông D DF > DE, kẻ DH vng góc với EF (H thuộc cạnh EF) Gọi M trung điểm EF · µ− F µ a) Chứng minh MDH =E 0.5 Hình vẽ đúng, xác 0.25 Vì M trung điểm EF suy MD = ME = MF 0.25  ∆MDE cân M  E = MDE 0.25 Mà HDE = F phụ với E 0.25 Ta có MDH = MDE − HDE · µ− F µ Vậy MDH =E b) Chứng minh EF - DE > DF - DH Trên cạnh EF lấy K cho EK = ED, cạnh DF lấy I cho DI = DH 0.25 Ta có EF - DE = EF - EK = KF DF - DH = DF - DI = IF 0.25 Ta cần chứng minh KF > IF 0.25 0.25 - EK = ED  ∆DHK  EDK = EKD 0.25 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com (2đ) (5đ) - EDK + KDI = EKD + HDK = 900  KDI = HDK - ∆DHK = ∆DIK (c-g-c)  KID = DHK = 900 Trong ∆KIF vuông I  KF > FI điều phải chứng minh Cho số  a1  a2  a3   a15 a + a + a + + a15 5 Chứng minh a5 + a10 + a15 Ta có a1 + a2 + a3 + a4 + a5  5a5 a6 + a7 + a8 + a9 + a10  5a10 a11 + a12 + a13 + a14 + a15  5a15 Suy a1 + a2 + + a15  5(a5 + a10 + a15 ) a + a + a + + a15 5 Vậy a5 + a10 + a15 Câu 5: (5 điểm) Cho ∆ABC có A = 1200 Các tia phân phân giác BE, CF ABC ACB cắt I (E, F thuộc cạnh AC, AB) Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N cho BIM = CIN = 300 a) Tính số đo MIN b) Chứng minh CE + BF < BC - Vẽ hình đúng, đủ, xác a) Tính số đo MIN Ta có ABC + ACB = 1800 - A = 600 1  B + C = 300 2  BIC = 1500 Mà BIM = CIN = 300  MIN = 900 b) Chứng minh CE + BF < BC - BIC = 1500  FIB = EIC = 300 Suy ∆BFI = ∆BMI ( g-c-g)  BF = BM - ∆CNI = ∆CEI ( g-c-g)  CN = CE Do CE + BF = BM + CN < BM + MN + NC = BC Vây CE + BF < BC 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 - Một tốn có nhiều cách giải khác phù hợp đạt điểm tối đa Giám khảo cần thảo lụân, thống đáp án biểu điểm trước chấm www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2009-2010 MƠN TỐN LỚP (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu Tìm giá trị n nguyên dương: a) 81n = 3n ; 27 b) < 2n < 64 Câu Thực phép tính: 1 1 − − − − − 49 ( + + + + ) 8.15 15.22 43.50 217 Câu Tìm cặp số (x; y) biết: a) x y = vµ xy =405 ; b) 1+5y 1+7y 1+9y = = 24 7x 2x Câu Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau : a) A = x + + b) B = x + 17 x2 + Câu Cho tam giác ABC (CA < CB), BC lấy điểm M N cho BM = MN = NC Qua điểm M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AN I a) Chứng minh: I trung điểm AN b) Qua K trung điểm AB kẻ đường thẳng vng góc với đường phân giác góc ACB cắt đường thẳng AC E, đường thẳng BC F Chứng minh AE = BF www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM TỐN 7-ĐỨC THỌ Câu Tìm giá trị n ngun dương: a) (2điểm) 81n = 3n ; => 34n-3 = 3n => 4n – = n => n = 27 b) (2điểm) < 2n < 64 => 23 < 2n < 26 => n = 4, n = Câu Thực phép tính: (3điểm) 1 1 − − − − − 49 ( + + + + ) 8.15 15.22 43.50 217 1 1 1 1 − (1 + + + + + 49) = (1 − + − + − + + − ) 8 15 15 22 43 50 217 1 − (12.50 + 25) 49 − 625 7.7.2.2.5.31 = = (1 − ) = =− =− 50 217 50 7.31 7.2.5.5.7.31 Câu Tìm cặp số (x; y) biết: (2điểm) a) x y x y2 xy 405 = vµ xy =405 => = = = =9 25 81 5.9 45 => x2 = 9.25 = 152 => x =  15 => y2 = 9.81 = 272 => y =  27 Do x, y dấu nên: x = 15; y = 27 x = - 15; y = - 27 (2điểm) b) 1+5y 1+7y 1+9y = = 24 7x 2x Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: 1+5y 1+7y 1+9y + 9y − − 7y 2y + 7y − − 5y 2y = = = = = = 24 7x 2x 2x − 7x −5x 7x − 24 7x − 24 2y 2y => => - 5x = 7x – 24 => x = = −5x 7x − 24 Thay x = vào ta được: + 5y y => - - 25y = 24 y => - 49y = => y = − = 24 −5 49 Vậy x = 2, y = − thoả mãn đề 49 Câu Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức sau: a) (2điểm) A= x +5 +5 Ta có : x +  Dấu “=” xẩy  x = -  A  Vậy: Min A =  x = - www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com x + 17 ( x + ) + 10 10 B= = =1+ 2 x +7 x +7 x +7 b) (2điểm) Ta có: x  Dấu = xảy  x =  x +  (2 vế dương)  10 10 10 10 17 => + B   1+ x +7 x +7 7 Dấu “=” xảy  x = Vậy: Max B = 17  x = Câu a) (3điểm) Từ I kẻ đường thẳng // BC cắt AB H Nối MH Ta có:  BHM =  IMH vì: A BHM = IMH (so le trong) BMH = IHM (so le trong) Cạnh HM chung =>BM = IH = MN H I  AHI =  IMN vì: IH = MN (kết trên) AHI = IMN (= ABC) B M AIH = INM (đồng vị) => AI = IN (đpcm) N C b) (2điểm) Từ A kẻ đường thẳng song song với BC cắt EF P  PKA =  FKB vì: PKA = FKB (đối đỉnh) APK = BFK (so le trong) E P AK = KB (gt) => AP = BF (1) A K EPA = KFC (đồng vị) CEF = KFC (  CFE cân) => EPA = CEF =>  APE cân => AP = AF (2) Từ (1) (2) => AE = BF (đpcm) B www.thuvienhoclieu.com F C Trang www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013-2014 Mơn thi: Tốn Lớp THCS Ngày thi: 07 tháng năm 2014 Thời gian : 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Đề có 01 trang ĐỀ THI CHÍNH THỨC Số báo danh … .…… Câu 1(5 …………… điểm): … a) Cho biểu thức: P = x - 4xy + y Tính giá trị P với x = 1,5; y = -0,75 b) Rút gọn biểu thức: A= 212.35 − 46.81 ( 3) + 84.35 Câu (4điểm): a) Tìm x, y, z, biết: 2x = 3y; 4y = 5z x + y + z = 11 b) Tìm x, biết: x +1 + x + + x + = 4x Câu 3(3 điểm) Cho hàm số: y = f(x) = -4x3 + x a) Tính f(0), f(-0,5) b) Chứng minh: f(-a) = -f(a) Câu 4: (1,0 điểm): Tìm cặp số nguyên (x;y) biết: x + y = x.y Câu 5(6 điểm):Cho  ABC có góc A nhỏ 900 Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác vuông cân A  ABM  ACN a) Chứng minh rằng:  AMC =  ABN; b) Chứng minh: BN ⊥ CM; c) Kẻ AH ⊥ BC (H  BC) Chứng minh AH qua trung điểm MN Câu (1 điểm):Cho ba số a, b, c thõa mãn:  a  b +  c + a + b + c = Tìm giá trị nhỏ c Hết Chú ý: - Giám thị khơng giải thích thêm - Học sinh khơng dùng máy tính www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO HUYỆN HẬU LỘC HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2013-2014 Nội dung Câu Câu (5điểm) a) Ta có: x = 1,5  x = 1,5 x = -1,5 +) Với x = 1,5 y = -0,75 P = 1,5 -4.1,5(-0,75) -0,75 = 1,5(1 + 3) = -0,75 = 5,25 +) Với x = -1,5 y = - 0,75 P = -1,5 -4(-1,5).(-0,75) - 0,75 = -1,5(1+3) - 0,75 = -6,75 b) A = 212.35 − 46.81 ( 3) + 84.35 = 212.35 − 212.34 212.34 (3 − 1) = = 212.36 − 212.35 212.35 (3 − 1) x y y z x y y z = ; =  = ; = 15 10 10 x y z x + y + z 11 = = = = =  15 10 15 + 10 + 33 10 ;z=  x = 5; y = 3 a) 2x = 3y; 4y = 5z  Câu (4 điểm) b) x +1 + x + + x + = 4x (1) Vì VT   4x  hay x  0, đó: x + = x + 1; x + = x + 2; x + = x + (1)  x + + x + + x + = 4x x=6 a) f(0) = f(-0,5) = -4.(- )3 Câu (3điểm) 1 = − =0 2 b) f(-a) = -4(-a)3 - a = 4a3 - a - f(a) = - −4a3 + a  = 4a3 - a  f(-a) = -f(a) www.thuvienhoclieu.com Điểm 1,5 1,5 1 1 1 0,5 0,5 Trang www.thuvienhoclieu.com Câu (1 điểm) y y −1 x + y = x.y  xy − x = y  x( y − 1) = y  x = x  z  y y −  y − + y −  y − , 0,5 y - =   y = y = Nếu y = x = Nếu y = x = Vậy cặp số nguyên (x;y) là: (0,0) (2;2) Câu (6 điểm) a) Xét  AMC  ABN, có: AM = AB (  AMB vuông cân) AC = AN (  ACN vuông cân)  MAC =  NAC ( = 900 +  BAC) Suy  AMC =  ABN (c - g - c) 0,5 F N D M 1,0 E 1,0 A I 0,5 K B H C b) Gọi I giao điểm BN với AC, K giao điểm BN với MC Xét  KIC  AIN, có:  ANI =  KCI (  AMC =  ABN)  AIN =  KIC (đối đỉnh)   IKC =  NAI = 900, đó: MC ⊥ BN c) Kẻ ME ⊥ AH E, NF ⊥ AH F Gọi D giao điểm MN AH - Ta có:  BAH +  MAE = 900(vì  MAB = 900) Lại có  MAE +  AME = 900, nên  AME =  BAH Xét  MAE  ABH , vng E H, có:  AME =  BAH (chứng minh trên) MA = AB Suy  MAE =  ABH (cạnh huyền-góc nhọn)  ME = AH - Chứng minh tương tự ta có  AFN =  CHA  FN = AH Xét  MED  NFD, vuông E F, có: ME = NF (= AH)  EMD =  FND(phụ với  MDE  FDN, mà  MDE www.thuvienhoclieu.com 1 0,5 0,25 0,25 0,25 Trang 10 www.thuvienhoclieu.com x = -11/30 x = -1/30 b) − 2x + = Khơng có giá trị x thỏa mãn 0.5 a, Để chứng tỏ DE = 2AM tạo đoạn thẳng gấp đôi AM cách tia đối MA lấy MK = MA chứng minh DE = AK Xét ABK & DAE : AD = AB( gt ); AE = BK(= AC) Và DAE + BAC = 1800 (DAB + EAC = 1800 ) ABC + CBK = ABC + ACB = ABK + BAC = 180 E D (2) A B ABK = DAE = ABK = DAE Vậy: DE = AK = DE = AM = C M K b, Gọi H giao điểm AM&DE ; Ta có BAˆ K + DAˆ H = 90 = Dˆ + DAˆ H = 90 = AD H = 90 Phòng Giáo dục- Đào tạo TRựC NINH ***** đề thức đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện năm học: 2008 - 2009 môn: Toán (Thời gian:120 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 01 trang Bài 1: (3,5 điểm) Thực phép tính:   −4  a)  +  : +  +  :  11  11  11  11 1 1 − − − − − b) 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bài 2: (3,5 điểm) Tìm x; y; z biÕt: a) 2009 – x − 2009 = x b) ( x − 1) 2008 2  + y−  5  2008 + x+ y−z =0 Bài 3: (3 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 25 www.thuvienhoclieu.com Tìm sè a; b; c biÕt: 3a − 2b 2c − 5a 5b − 3c vµ a + b + c = – 50 = = Bµi 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù) Trên cạnh BC lấy điểm D, tia đối CB lấy điểm E cho BD = CE Trên tia đối CA lấy ®iĨm I cho CI = CA C©u 1: Chøng minh: a) ABD = ICE b) AB + AC < AD + AE Câu 2: Từ D E kẻ đ-ờng thẳng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thø tù t¹i M; N Chøng minh BM = CN C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam giác ABC nhỏ chu vi tam giác AMN Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên a; b cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Đáp án Đề thi HSG môn Toán 7-TRựC NINH Bài 1: điểm Câu a: điểm (kết = 0) Câu b: điểm 1 1 − − − − − 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 = 1 1   − + + + +  99.97  1.3 3.5 5.7 95.97  = 1 1 1 1  − 1 − + − + − + + −  99.97  3 5 95 97  1  − 1 −  99.97  97  48 = − 99.97 97 −4751 = 99.97 = Bài 2: 3,5 điểm Câu a: ®iÓm - NÕu x  2009  2009 – x + 2009 = x  2.2009 = 2x www.thuvienhoclieu.com Trang 26 www.thuvienhoclieu.com  x = 2009 - NÕu x < 2009  2009 – 2009 + x = x 0=0 Vậy với x < 2009 thoả mÃn - KÕt ln : víi x  2009 th× 2009 − x 2009 = x Hoặc cách 2: 2009 x − 2009 = x  2009 − x = x − 2009  x − 2009 = − ( x − 2009 )  x  2009 C©u b: 1,5 ®iĨm x= ; y= ; z= 10 Bài 3: 2,5 điểm 3a 2b 2c − 5a 5b − 3c = = 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c  = = 25 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng cã: 15a − 10b 6c − 15a 10b − 6c 15a − 10b + 6c − 15a + 10b − 6c = = = =0 25 38 a b 2 = 15a − 10b = 3a = 2b    a c  6c − 15a =  2c = 5a   = 10b − 6c = 5b = 3c 2   c b 5 =  a b c = = VËy  a = −10   b = −15 ¸p dơng tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng c = 25 Bài 4: điểm www.thuvienhoclieu.com Trang 27 www.thuvienhoclieu.com A M O B C E D N I Câu 1: câu cho 1,5 điểm Câu a: Chøng minh ABD = ICE ( cgc ) C©u b: cã AB + AC = AI V× ABD = ICE AD = EI (2 cạnh t-ơng ứng) áp dụng bất đẳng thức tam giác AEI có: AE + EI > AI hay AE + AD > AB + AC Câu 2: 1,5 điểm Chứng minh vBDM = vCEN (gcg) BM = CN Câu 3: 2,5 điểm Vì BM = CN  AB + AC = AM + AN (1) cã BD = CE (gt)  BC = DE Gọi giao điểm MN với BC O ta cã: MO  OD    MO + NO  OD + OE NO  OE   MN  DE  MN  BC ( ) Từ (1) (2) chu vi ABC nhỏ chu vi AMN Bài 5: điểm Theo đề  2008a + 3b + vµ 2008a + 2008a + b số lẻ Nếu a 2008a + 2008a số chẵn để 2008a + 2008a + b lỴ  b lỴ NÕu b lỴ 3b + chẵn 2008a + 3b + chẵn (không thoả mÃn) Vậy a = Víi a =  (3b + 1)(b + 1) = 225 V× b  N  (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 45 = 9.25 3b + không chia hết cho 3b + > b + www.thuvienhoclieu.com Trang 28 www.thuvienhoclieu.com 3b + = 25  b=8 b + =  VËy a = ; b = PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TỐN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài:120 phút Câu (4,0 điểm) 2 1   − 0, 25 +  0, − + 11  : 2012 1) M =  −   1, − + 1 − 0,875 + 0,  2013 11   2) Tìm x, biết: x + x − = x + Câu (5,0 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:   b  a  a  c  a+ b− c b+ c− a c+ a− b = = c a b c b Hãy tính giá trị biểu thức B = 1 + 1 + 1 +  2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (4,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = 2x − + 2x − 2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = xyz Câu (6,0 điểm) Cho xAy =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vng góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b )  KMC tam giác www.thuvienhoclieu.com Trang 29 www.thuvienhoclieu.com c) Cho BK = 2cm Tính cạnh  AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  chứng minh rằng: a b c + + 2 bc + ac + ab + Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012-2013 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung 2 1   − 0, 25 +  0, − + 11  : 2012 1) Ta có: M =  −   1, − + 1 − 0,875 + 0,  2013 11   1  2 2  − + 11 − +  2012 = − :  − + 7 − +  2013  11 10   1 1  1 1    − + 11   − +   2012 −   : Câu =  1 1    2013  7 − +  (4 điểm)   11   − +         2  2012 =  − : =0  7  2013 KL:…… 2) x2 + x −1  nên (1) => x2 + x −1 = x2 + hay x −1 = +) Nếu x  (*) = > x -1 = => x = +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 KL:………… Câu (5 điểm) 1) +Nếu a+b+c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: www.thuvienhoclieu.com Điểm 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Trang 30 www.thuvienhoclieu.com a+ b− c b+ c− a c+ a− b = a +b −c +b +c −a +c + a −b = = = a+b+c c a b mà a + b − c + = b + c − a + = c + a − b + = => c a a + b b + c c + a =2 = = c a b  b  0.25đ b a  c b+a c+a b+c )( )( ) =8 Vậy B = 1 + 1 + 1 +  = ( a c b  a  c  b  +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a+ b− c b+ c− a c+ a− b = a +b −c +b +c −a +c + a −b = = = a+b+c c a b mà a + b − c + = b + c − a + = c + a − b + = => c a a + b b + c c + a =1 = = c a b  b  a  0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ b c b+a c+a b+c )( )( ) =1 Vậy B = 1 + 1 + 1 +  = ( a c b  a  c  b  2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: a b c a+b+c x 5x 6x x 7x = = = =  a = ;b = = ;c = 18 18 18 18 18 (1) Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a , + b, + c , x x , 5x x , x = = = =  a, = ;b = = ;c = 15 15 15 15 15 6x x x − =4 =  x = 360 15 18 90 Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 1) Ta có: A = 2x − + 2x − 2013 = 2x − + 2013 − x  2x − + 2013 − 2x = 2011 2013 Dấu “=” xảy (2 x − 2)(2013 − x)    x  Câu KL:…… (4 điểm) 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z 1 1 1 + +  + + = yz yx zx x x x x => x  => x = Thay vào đầu ta có + y + z = yz => y – yz + + z = Theo = www.thuvienhoclieu.com 0,5đ 0,25đ (2) So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều lúc đầu Vây: c’ – c = hay 0,5 đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ Trang 31 www.thuvienhoclieu.com => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) V ẽ h ình , GT _ KL 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu (6 điểm) a,  ABC cân B CAB = ACB(= MAC) BK đường cao  BK đường trung tuyến  K trung điểm AC b,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  BH = AK ( hai cạnh t ) mà AK = AC  BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC  CM = CK   MKC tam giác cân ( ) Mặt khác : MCB = 900 ACB = 300  MCK = 600 (2) Từ (1) (2)   MKC tam giác c) Vì  ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì  ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB2 − BK = 16 − = 12 AC => KC = AK = 12  KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Mà KC = www.thuvienhoclieu.com 1đ 1đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ Trang 32 www.thuvienhoclieu.com Câu (1 điểm) Vì  a  b  c  nên: 1 c c (1)    ab + a + b ab + a + b a a b b Tương tự: (2) ; (3)   bc + b + c ac + a + c a b c a b c Do đó: (4) + +  + + bc + ac + ab + b + c a + c a + b a b c 2a 2b 2c 2(a + b + c) Mà + +  + + = = (5) b+c a +c a +b a +b+c a +b+c a +b+c a +b+c a b c Từ (4) (5) suy ra: + +  (đpcm) bc + ac + ab + (a − 1)(b − 1)   ab +  a + b  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) PHỊNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm trang) ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2014 - 2015 Mơn thi: TỐN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 3 + 11 12 + 1,5 + − 0,75 a Thực phép tính: 5 −0,265 + 0,5 − − 2,5 + − 1,25 11 12 b So sánh: 50 + 26 + 168 0,375 − 0,3 + Câu a Tìm x biết: x − + − 2x = 2x +1 b Tìm x; y  Z biết: xy + x − y = c Tìm x; y; z biết: 2x = 3y; 4y = 5z 4x - 3y + 5z = Câu a Tìm đa thức bậc hai biết f(x) - f(x-1) = x Từ áp dụng tính tổng S = 1+2+3+ + n b Cho 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx x y z Chứng minh: = = = = a 2b 3c a 2b 3c Câu www.thuvienhoclieu.com Trang 33 www.thuvienhoclieu.com Cho tam giác ABC ( BAC  90o ), đường cao AH Gọi E; F điểm đối xứng H qua AB; AC, đường thẳng EF cắt AB; AC M N Chứng minh rằng: a AE = AF; b HA phân giác MHN ; c CM // EH; BN // FH Hết./ Họ tên: Số báo danh: PHÒNG GD & ĐT CHƯƠNG MỸ ĐÁP ÁN THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: 2012 - 2013 Môn thi: TOÁN Câu Ý a 0,5 điểm Câu 1,5 điểm b điểm Câu a Nội dung 3 3 3 − + + + − 10 11 12 A= + 53 5 5 5 − + − − + − 100 10 11 12 1 1  1 1 3 − + +  3 + −  3( 165 − 132 + 120 + 110 )  10 11 12  +   = 1320 + −53 −66 + 60 + 55 −53  1   1 1 − 5( ) − 5 − + +  5 + −  660  10 11 12    100 A= 100 263 263 3 3945 −1881 1320 + = 1320 = + = + = −53 49 −1749 − 1225 −5948 29740 − 100 660 3300 Ta có: 50 > 49 = 4; 26 > 25 = Vậy: 50 + 26 +  + + = 13 = 169  168 Điểm 0.25 Nếu x >2 ta có: x - + 2x - = 2x +  x = 0.25 www.thuvienhoclieu.com 0.25 0.5 0,5 Trang 34 www.thuvienhoclieu.com điểm điểm b 1.5 điểm c 1.5 điểm a 0.5 điểm  x  ta có: - x + 2x - = 2x +  x = - loại Nếu x< ta có: - x + - 2x = 2x +  x = Vậy: x = ; x = Ta có: xy + 2x - y =  x(y+2) - (y+2) =  (y+2)(x-1) = 3.1 =1.3 = (-1).(-3) = (-3).(-1) y+2 -1 -3 x-1 -3 -1 X -2 Y -1 -3 -5 Từ: 2x= 3y; 4y = 5z  8x = 12y = 15z x − y + 5z x y z x y 5z = = = = = = 12 =  = 1 1 1 1 − + 12 15 2 12 4 = 1; z = 12 =  x = 12 = ; y = 12 15 12 Đa thức bậc hai cần tìm có dạng: f ( x ) = ax2 + bx + c (a  0) Nếu 0.25 5 0.5 0.5 Áp dụng: + Với x = ta có : = f (1) − f ( 0) + Với x = ta có : = f ( 2) − f (1) ………………………………… + Với x = n ta có : n = f ( n) − f ( n −1)  S = 1+2+3+…+n = f ( n) − f ( 0) = b điểm 0.25 Ta có : f ( x − 1) = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c a = 2a =   f ( x ) − f ( x −1) = 2ax − a + b = x   b − a =  b = 1 Vậy đa thức cần tìm là: f ( x ) = x + x + c (c số tùy ý) 2 Câu 1.5 điểm 0.25 0.25 0.25 n ( n + 1) n2 n + +c−c = 2 2bz − 3cy 3cx − az ay − 2bx = =  a 2b 3c 2abz − 3acy 6bcx − 2abz 3acy − 6bcx = = a2 4b 9c 2abz − 3acy + 6bcx − 2abz + 3acy − 6bcx = =0 a + 4b + 9c z y  2bz - 3cy =  = (1) 3c 2b www.thuvienhoclieu.com 0.5 0.25 0.25 Trang 35 www.thuvienhoclieu.com  3cx - az =  Câu điểm x z x y z = (2); Từ (1) (2) suy ra: = = a 3c a 2b 3c Hình vẽ 5đ 0.25 F A N M E B C H Vì AB trung trực EH nên ta có: AE = AH (1) Vì AC trung trực HF nên ta có: AH = AF (2) Từ (1) (2) suy ra: AE = AF b Vì M  AB nên MB phân giác EMH  MB phân giác điểm ngồi góc M tam giác MNH Vì N  AC nên NC phân giác FNH  NC phân giác ngồi góc N tam giác MNH Do MB; NC cắt A nên HA phân giác góc H tam giác HMN hay HA phân giác MHN c Ta có AH ⊥ BC (gt) mà HM phân giác MHN  HB phân điểm giác góc H tam giác HMN MB phân giác ngồi góc M tam giác HMN (cmt)  NB phân giác góc N tam giác HMN  BN ⊥ AC ( Hai đường phân giác hai góc kề bù vng góc với nhau)  BN // HF ( vng góc với AC) Chứng minh tương tự ta có: EH // CM a điểm UBND HUYỆN CHÂU THÀNH PHÒNG GD ĐT CHÂU THÀNH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (đề thi gồm trang) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP THCS - Năm học 2010 – 2011 MƠN : TỐN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) www.thuvienhoclieu.com Trang 36 www.thuvienhoclieu.com Câu 1: (2.0 điểm) Thực tính: A= 2 2 B =  −  −  −  11 13 36 − + + 0,5 − 24 41 24 41  5  5 Câu 2: (2.0 điểm) a Tìm x, y biết: b Cho 4+ x = x + y = 22 7+ y 2x + 3y + 4z x y y z = = Tính M = 3x + y + z Câu 3: (2.0 điểm) Thực tính: 2010 − 2009 − 2008 − − a S = b P = + 1 1 (1 + 2) + (1 + + 3) + (1 + + + 4) + + (1 + + + + 16) 16 Câu 4: (1.0 điểm) Vẽ đồ thị hàm số y = x Câu 5: (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có A = 900, B = A 500 Đường thẳng AH vng góc với BC H Gọi d đường thẳng vng góc với BC B Trên đường thẳng d thuộc nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A lấy B điểm D cho BD = HA (Hình vẽ bên) a Chứng minh  ABH =  DHB H C D b Tính số đo góc BDH c Chứng minh đường thẳng DH vng góc với đường thẳng AC _ Hết _ Họ tên thí sinh: …………………………………………… Số báo danh ………… Chữ ký giám thị 1: ……………………… … Giám thị ……………………………… ĐÁP ÁN-CHÂU THÀNH Câu 1: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang 37 www.thuvienhoclieu.com 2 2 B = − 7 −  5 7 2 2 = − 7 + − −  5 7 = − (5) 11 13 36 + − − + 0,5 24 24 41 41 24 41 = − + 0,5 24 41 A= = - + 0,5 = 0,5 =-2 Câu 2: a)  28 + x = 28 + y 0,25 đ x y x+ y 0,25 đ = 4+7 x y 22  = = =  x = 8; y = 14 0,25 đ 11 x y x y y x z z y y z b) =  = ; =  =  = = 15 20 24 20 24 15 20 2x y 4z 2x + y + 4z (1)  = = = 30 60 96 30 + 60 + 96 3x y z 3x + y + z (1)  = = = 45 80 120 45 + 80 + 120 x + y + z 3x + y + z 2x 3x  : = : 30 + 60 + 96 45 + 80 + 120 30 45 2x + 3y + 4z 245 x + y + z 186 =1 M = =  186 3x + y + z 3x + y + z 245  = (1) 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Câu 3: a) − 22010 − 22009 − 22 − 2011 − 22010 − 22010 − 22009 + 22009 − 22 + 22 − + + 2S-S = 2S = S S b) 2011 = − 2.2 + = 2011 − 2011 + = 2011 2010 2.3 3.4 4.5 16.17 + + + + 2 16 2 17 = + + + + + 2 2 = (1 + + + + 17 − 1)  17 18  =  − 1 = 76 2  P = 1+ www.thuvienhoclieu.com 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ Trang 38 www.thuvienhoclieu.com Câu 4: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) - Vẽ hệ trục toạ độ - Xác định toạ độ điểm A  O thuộc đồ thị hàm số y = x - Biểu diễn điểm A - Vẽ đồ thị hàm số y = x (Đường thẳng OA) Câu 5: (Mỗi bước cho 0,25 điểm) a Xét  ABH  DHB có: B = H (= 900) HB chung BD = HA   ABH =  DHB (c-g-c) b Xét  ABH có B = 500 H = 900  BAH = 180 - ( B + H ) = 400 Từ  ABH =  DHB có: A B H C D BAH = BDH  BDH = 400 c Từ  ABH =  DHB có: ABH = DHB  AB song song với DH AB ⊥ AC  DH ⊥ AC www.thuvienhoclieu.com Trang 39 ... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2013-2014 Môn thi: Toán Lớp THCS Ngày thi: 07 tháng năm 2014 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đ? ?... - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa - Học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm hình PHỊNG GD-ĐT HỊA BÌNH Đề thức Gồm 01 trang KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6, NĂM HỌC 2009 – 2010 Môn thi: ... chú: Học sinh làm cách khác điểm tối đa câu - - - - - - - - - - - - - - - - - - Hết - - - - - - - - - - - - - - - - - - phòng giáo dục đào tạo h-ơng khê kỳ thi chọn học sinh giỏi huyện Năm học