§6: CHIA HẾT VÀ CHIA CĨ DƯ TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Cho a, b ∈ ¥ ; b ≠ Ta ln tìm số q, r ∈ ¥ cho a = b.q + r (0 ≤ r < b) Ta gọi q r thương số dư phép chia a cho b - Nếu r = 0, tức a = b.q, ta nói a chia hết cho b ( a Mb ) ta có phép chia hết a : b = q - Nếu r ≠ 0, ta nói a không chia hết cho b ( a Mb ) ta có phép chia có dư Cho a, b, n ∈ ¥ ; a > b n ≠ ( a + b ) Mn ( a − b ) Mn - Nếu a Mn b Mn ( a + b ) Mn ( a − b ) Mn - Nếu a Mn b Mn ( a + b ) Mn ( a − b ) Mn - Nếu a Mn b Mn Nhận xét: Tính chất mở rộng cho tổng có nhiều số hạng ( a + b + c ) Mn - Nếu a Mn , b Mn c Mn (Trong tổng, số hạng chia hết cho số tổng chia hết cho số đó) ( a + b + c ) Mn - Nếu a Mn b Mn , c Mn (Nếu tổng có số hạng khơng chia hét cho số, số hạng lại chia hết cho số tổng khơng chia hết cho số đó) B BÀI TẬP CĨ HƯỚNG DẪN DẠNG 1: Xét tính chia hết tổng hiệu Bài Chọn câu a) 1100 − 30 chia hết cho 10; b) 410 + 55 không chia hết cho 5; c) 77 + 49 không chia hết cho 11 Hướng dẫn: Áp dụng tính chất chia hết tổng, hiệu Bài Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng hiệu sau có chia hết cho không? a) 48 − 12 b) 15 + 42 − 30 c) 32 + 47 + 33 Hướng dẫn: Áp dụng phần nhận xét tính chất chia hết tổng, hiệu có nhiều số hạng c) Chú ý: Có hai số hạng khơng chia hết cho → Xét tính chia hết tổng số dư Bài Cho B = 121 − 110 + 99 − 88 + + 11 + Khơng thực phép tính, cho biết B có chia hết cho 11 hay khơng? Tại sao? Hướng dẫn: Áp dụng phần nhận xét tính chất chia hết tổng, hiệu có nhiều số hạng DẠNG 2: Xét tính chia hết tích Bài Khơng thực phép tính, cho biết 2.3.4.6 + 27 có chia hết cho 3, cho hay khơng? Hướng dẫn: Áp dụng tính chất chia hết tích: “Nếu tích số tự nhiên có thừa số chia hết cho số tích chia hết cho số đó” tính chất chia hết tổng Bài Chọn câu sai: a) 11.4 + 16 chia hết chia hết cho 2; b) 24.8 − 17 chia hết cho 3; c) 136.3 − 2.3 chia hết cho 9; Hướng dẫn: Áp dụng tính chất chia hết tích (có thể tách lũy thừa/ thừa số để tạo thành tích có chứa thừa số chia hết cho số chia) tính chất chia hết tổng, hiệu DẠNG 3: Tìm điều kiện cho quan hệ chia hết Bài Cho tổng A = 12 + 18 + x, x số tự nhiên Với số x thỏa mãn điều kiện A chia hết cho 5? Hướng dẫn: Áp dụng tính chất chia hết tổng để tìm điều kiện số hạng chưa biết Bài a) Tìm số tự nhiên a nhỏ 10 để P = 15.16.17 + a vừa chia hết cho 3, vừa chia hết cho 10 b) Tìm số tự nhiên a lớn 90 nhỏ 100 để 125 − a chia hết cho Hướng dẫn: a) Áp dụng tính chất chia hết tích tính chất chia hết tổng để xét tính chia hết P 10, tìm điều kiện a Kết hợp điều kiện a nhỏ 10 để tìm số tự nhiên a thỏa mãn yêu cầu đề b) Áp dụng tính chất chia hết tổng để tìm điều kiện số hạng chưa biết Bài Tìm số tự nhiên n để: a) ( n + 3) Mn b) ( 35 − 12n ) Mn c) ( n + 8) M( n + 3) d) ( 16 − 3n ) M( n + ) , với n b b) Nếu ( ab + cd ) M11 abcd M11 Hướng dẫn: a) Biến đổi b) Biến đổi ab − ba = ( 10a + b ) − ( 10b + a ) = ( a − b ) ( abcd = 100.ab + cd = 99.ab + ab + cd Áp dụng tính chất chia hết tích ) Áp dụng tính chất chia hết tích, kiện câu tính chất chia hết tổng DẠNG 6: Một số toán thực tế chia hết Bài 13 Một lớp học trung tâm có 24 học sinh Cơ giáo muốn chia lớp thành nhóm để hoạt động theo u cầu, nhóm có bạn Có cách chia nào? Hướng dẫn: Áp dụng kiến thức chia hết, xem 224 chia hết cho số liệt kê trường hợp Bài 14 Một cửa hàng có hai loại khay nướng bánh Loại khay thứ chứa bánh, loại khay thứ hai chứa bánh Sau số lần nướng hai loại khay trên, người bán hàng đếm số bánh làm 125 Hỏi người bán hàng đếm hay sai? Biết lần nướng, khay xếp đủ số bánh Hướng dẫn: Gọi số lần nướng bánh a (lần) ( a ∈ ¥ * ) Tổng số bánh nướng sau a lần là: 3a + 9a = 12a (do lần nướng sử dụng hai khay) ⇒ 12a = 125 (Loại – 125 M12 ) Người bán đếm sai C BÀI TẬP TỰ GIẢI CÓ ĐÁP SỐ Bài 15 Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho 8: a) 400 − 144 Đáp án: a) 400 − 144 M8 b) 80 + 25 + 48 c) 240 − 56 + 32 b) 80 + 25 + 48 M8 c) 240 − 56 + 32 M8 Bài 16 Xét xem tổng (hiệu) chia hết cho 8: a) 400 − 144 Đáp án: a) 400 − 144 M8 b) 80 + 25 + 48 c) 240 − 56 + 32 b) 80 + 25 + 48 M8 c) 240 − 56 + 32 M8 Bài 17 Cho tổng S = 56 + 32 − + x với x ∈ ¥ Tìm điều kiện x để: a) S M8 Đáp án: a) x M8 b) S M4 b) x M4 Bài 18 Tìm số tự nhiên n cho: ( n + 12 ) Mn a) Đáp án: a) n ∈ { 1; 2; 3; 4; 6; 12} b) ( n + 13) M( n − ) c) ( 15 − 2n ) M( n + 1) b) n ∈ { 1; 2; 3; 6; 9; 18} c) n ∈ { 1; 17} Bài 19 Chia số cho 15 số dư Hỏi số có chia hết cho khơng? Có chia hết cho khơng? Đáp án: Gọi a số chia cho 15 số dư ⇒ a M3; a M5 Bài 20 Chứng minh tổng bốn số tự nhiên liên tiếp số không chia hết cho Đáp án: a + ( a + 1) + ( a + ) + ( a + ) = 4a + M4 ; Bài 21 Đội thể thao trường có 45 học sinh Giáo viên huấn luyện muốn chia đội thành nhóm để tập luyện cho nhóm có số người nhau, nhóm có người không 10 người Đáp án: Giáo viên huấn luyện chia đội thành: • 15 nhóm (3 người/ nhóm); • nhóm (5 người/ nhóm); • nhóm (9 người/ nhóm) D BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Cho tổng A = 14 + 16 + 18 + 20 Dựa vào tính chất chia hết tổng, A chia hết cho số đây? A B C D Đáp án: A Câu Xét xem hiệu chia hết cho 7? A 50 − 36 − 48 B 49 − 35 − C 80 − 17 − 14 D 79 − 19 − 15 Đáp án: B Câu Cho tổng M = 75 + 120 + x Với giá trị x M M3 ? A x = B x = C x = D x = 12 Đáp án: D Câu Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho A x M5 Đáp án: C B x chia cho dư C x chia cho dư D x chia cho dư ... Chứng minh quan hệ chia hết B? ?i 11 a) Chứng minh ba số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho b) Chứng minh tổng ba số tự nhiên liên tiếp số chia hết cho c) Chứng minh tích ba số tự nhiên liên tiếp... thừa số chia hết cho số chia) tính chất chia hết tổng, hiệu DẠNG 3: Tìm ? ?i? ??u kiện cho quan hệ chia hết B? ?i Cho tổng A = 12 + 18 + x, x số tự nhiên V? ?i số x thỏa mãn ? ?i? ??u kiện A chia hết cho... dụng kiến thức chia hết, xem 224 chia hết cho số liệt kê trường hợp B? ?i 14 Một cửa hàng có hai lo? ?i khay nướng bánh Lo? ?i khay thứ chứa bánh, lo? ?i khay thứ hai chứa bánh Sau số lần nướng hai loại