NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ PHẦN A LÝ THUYẾT Tổng hai lập phương: A3 B3 A B A2 AB B2 Hiệu hai lập phương: A3 B3 A B A2 AB B2 B VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Thực phép tính: a) x y x2 xy y x y x xy y b) x y 3 x y 3 Giải a) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x y x2 xy y x y x2 xy y x3 y3 x y x xy y x3 y x3 y x3 b) Áp dụng bất đẳng thức ta được: x y x y 3 x3 3x y 3xy y x3 3.x 2 y 3.x. y y x3 3x2 y 3xy y3 x3 x2 y 12 xy y3 x2 y xy y3 Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: a) x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 b) x y x y 3 c) x2 3x 1 3x 1 x2 3x 1 3x 1 2 Giải a) x 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x3 1 x3 1 x6 b) x y x y 3 x3 3x2 y 3xy y3 x3 3x y 3xy y x3 3x2 y 3xy y3 x3 3x2 y 3xy y3 x y y y 3x y c) x2 3x 1 3x 1 x2 3x 1 3x 1 2 x 3x 1 3x 1 x 3x 3x 1 x 2 Ví dụ 3: Cho x y Tính giá trị biểu thức sau: A x3 3xy y3 Giải Áp dụng đẳng thức bậc 3, ta được: A x3 y 3xy x y x xy y 3xy x y x y 3xy 3xy Theo x y , thay vào A ta được: A x y x y 3xy 3xy 1.12 3xy 3xy 3xy 3xy Vậy A Ví dụ 4: Cho x y xy Tính B x3 y3 x y Giải Áp dụng đẳng thức, ta được: B x3 y3 x y x y x xy y x y x y x y 3xy x y 2 Theo x y , xy thay vào B ta được: B x y x y 3xy x y 42 3.5 16 140 2 Vậy B 140 Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức: a) x2 48x 64 5x3 x b) x3 x2 27 x 27 x 4 x3 c) x x 1 x2 2x x2 1 d) x x3 x 1 Giải a) Ta có: x2 48x 64 5x3 3x 8 5x3 2 Thay x vào ta được: 3.2 8 5.23 36 b) Ta có x3 x2 27 x 27 x 33 Thay x 4 vào ta được: x 33 4 33 73 343 c) Ta có: x3 x 1 x x 1 x x x2 x 1 x 1 x 1 x x 62 43 Thay x vào ta được: x 1 1 d) Ta có: x2 2x x2 1 x3 x 1 x 1 x 1 x 1 x x x2 x x x 1 x2 x 1 x 1 Thay x vào ta được: 1 1 28 2 13 13 C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho x y 7 x2 y 11 Tính x3 y3 ? Giải Tìm cách giải Sử dụng đẳng thức (1) giả thiết ta tính tích xy Mặt khác phân tích kết luận đẳng thức (4), ta cần biết thêm tích xy xong Từ ta có lời giải sau Trình bày lời giải Từ x y 7 x2 xy y 49 Mà x2 y 11 11 xy 49 xy 12 Ta có : x3 y3 x y 3xy x y 7 3.12 7 3 x3 y3 91 Bài 2: Tính nhanh: a) A 20203 20202 2019 b) B 20203 20202 2021 Giải Tìm cách giải Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy phân số ẩn chứa đẳng thức Do vậy, việc dùng đẳng thức để phân tích thừa số suy luận tự nhiên Trình bày lời giải 2020 1 20202 2020 1 20203 a) A 2021 20202 2019 20202 2020 2020 1 20202 2020 1 20203 b) B 2019 20202 2021 20202 2020 Bài 3: Cho x y Tính giá trị A x3 y3 3. x y Giải Tìm cách giải Dựa vào giả thiết kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau: Biến đổi biểu thức A nhằm xuất x y để thay số Từ giả thiết, suy x y thay vào kết luận, ta biểu thức chứa biến y Sau rút gọn biểu thức Trình bày lời giải Cách Ta có : A x3 y x y 2 x y x y xy x y xy x2 y xy 3xy 3 x y 12 xy x y 3 x y 12 xy 12 xy x y 2 Cách Từ giả thiết, suy x y thay vào biểu thức A ta có : A y y 3 y y y3 y 12 y y 3 y 12 y 24 y 16 12 y 12 y 12 Bài Tính giá trị biểu thức : 2 20212 2020 2019 2019 2020 2021 A 20203 2020 1 20203 1 Hướng dẫn giải – đáp số 20212 20202 2019 20192 2020 2021 A 20203 20202 1 20203 1 20212 20202 2020 1 20192 20202 2020 1 2020 1 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2020 1 20202 2020 1 2019 2019 Bài Tìm x, biết : a) x x 3 x x 3 19 2 b) x x x x x 5 15 c) x 1 x x x 3x x 17 Hướng dẫn giải – đáp số a) x x 3 x x 3 19 2 x 2 8x x 3 12 x x x 3 19 2 20 x x x 3 19 20 x 19 20 x 18 x 10 b) x x x x x 5 15 x3 x3 5x 15 x 15 x x c) x 1 x x x 3x x 17 x 1 x3 3x x 17 x3 3x2 3x x3 x 17 x 17 x 10 x 10 Bài Cho số thực x; y thỏa mãn điều kiện x y 3; x2 y 17 Tính giá trị biểu thức x3 y Hướng dẫn giải – đáp số Ta có: x y xy x y xy 17 xy 9 17 4 x3 y3 x y 3xy x y 27 4 63 Bài Cho x y a b 1 x3 y3 a3 b3 2 Chứng minh : x2 y a b2 Hướng dẫn giải – đáp số Ta có đẳng thức : x y 3 x3 y3 3xy x y (1) a b a3 b3 3ab a b Kết hợp với (1) (2) suy xy ab (2) (3) Mặt khác, từ (1) suy x y a b x2 y 2xy a b2 2ab Kết hợp với (3) suy : x2 y a b2 ... x2 3x 1 3x 1 x2 3x 1 3x 1 2 x 3x 1 3x 1 x 3x 3x 1 x 2 Ví dụ 3: Cho x y Tính giá trị biểu thức sau: A x3 3xy y3 Giải... có x3 x2 27 x 27 x 3? ? ?3 Thay x 4 vào ta được: x 3? ? ?3 4 3? ? ?3 73 34 3 c) Ta có: x3 x 1 x x 1 x x x2 x 1 x 1 x 1 x x 62 43 Thay... Ta có : x3 y3 x y 3xy x y 7 3. 12 7 3 x3 y3 91 Bài 2: Tính nhanh: a) A 202 03 20202 2019 b) B 202 03 20202 2021 Giải Tìm cách giải Quan sat kỹ