Đề thi thử môn toán tống duy tân thanh hóa

De DA thi thu DH 2013

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TỐNG DUY TÂN. ĐỀ KSCL ÔN THI ĐẠI HỌC. NĂM 2012 - 2013 MÔN: TOÁN. KHỐI A - B - D. Thời gian làm bài: 180 phút. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm): Câu 1. (2 điểm) Cho hàm số : 3 2 3 3 1 2 2   y x mx m (1). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m = 1. b) Xác định m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d có phương trình y = x. Câu 2. (2 điểm) a) Giải phương trình: sin 2 cos2 sin cos (1 2cos ) sin cos x x x x x x x      . b) Giải hệ phương trình:   3 3 4 1 1 3 log 1 y x x x y x            . Câu 3. (1 điểm) Tính tích phân 1 3 0 ln( 1) . 1 7 x I x x dx x x             . Câu 4. (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc  ABC = 120 0 , O là giao điểm của AC và BD, I và E là trung điểm OB và AB tương ứng. Mặt phẳng (SAI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Cho góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (ABCD) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ACE và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và CE. Câu 5. (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: 1 x y z    . Chứng minh rằng: xy yz zx x y z xy z yz x zx y y z z x x y            . II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B). A. Theo chương trình Chuẩn. Câu 6a. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình cạnh AB là: x – 2y – 1 = 0, đường chéo BD có phương trình: x – 7y + 14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2; 1). Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật. Câu 7a. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(1; 1; - 3), B(2; 5; - 2), C(1; - 1; 2), D(3; 1; 1). Viết phương trình mặt (P) đi qua A, B và cách đều hai điểm C, D. Câu 8a. (1 điểm) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn )3(7 3 1 4     nCC n n n n . Tìm hệ số của số hạng chứa 8 x trong khai triển nhị thức Niu – Tơn của 5 3 1 5 , 0. 7 n n x x x          B. Theo chương trình Nâng cao. Câu 6b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (T): 2 2 ( 1) ( 1) 2x y    và hai điểm A(0; - 4), B(4; 0). Tìm tọa độ hai điểm C, D sao cho ABCD là hình thang (AB // CD) và đường tròn (T) nội tiếp trong hình thang đó. Câu 7b. (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2 ( ) : 2 4 20 0S x y z y z      và các điểm A(1; 2; 2), B(-2; 0; 4). Mặt phẳng (P) song song với AB và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có chu vi bằng 6  . Viết phương trình mặt phẳng (P), biết (P) đi qua điểm C(2; 1; -6). Câu 8b. (1 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn 3 1 5 n n C C . Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu – Tơn của 3 4 2 1 5 n x n x         , x > 0. Hết www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TỐNG DUY TÂN. ĐÁP ÁN KSCL ÔN THI ĐẠI HỌC. NĂM 2012 - 2013 MÔN: TOÁN. KHỐI A - B - D. Thời gian làm bài: 180 phút. I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm): Câu Ý Nội dung Điểm Khi m =1, ta có hàm số 3 2 3 1 2 2 y x x   . TXĐ:  . lim x y    , lim x y    0.25 Đạo hàm y’ = 3x 2 – 3x; y’ = 0 khi x = 0, x =1. Hs đồng biến trên (-  ; 0) và (1; +  ). Nghịch biến trên (0; 1) HS đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 0,5; HS đạt cực tiểu tại x = 1, y CT = 0 0.25 Bảng BT x - 0 1 + y’ + 0 - 0 + 0.5 +  y - 0 0.25 a) Đồ thị. Đồ thị đi qua hai điểm cực trị(0; 0,5), (1; 0), điểm uốn (0,5; 0,25) và các điểm (1,5; 0,5), (-0,5; 0). 0.25 Xét 3 2 3 3 1 2 2   y x mx m . TXĐ:  . Và y’ = 3x 2 – 3mx = 3x(x – m) = 0 khi x = 0, x = m 0.25 Do y’ là tam thức bậc hai nên để hàm số có CĐ, CT thì cần và đủ là y’ có hai nghiệm phân biệt, hay m  0. Khi đó tọa độ các điểm CT của đồ thị là: A(0; 3 1 2 m ), B(m; 0) 0.25 Để A, B đối xứng nhau qua y = x, ta phải có AB vuông góc với ĐT y = x và trung điểm của AB thuộc ĐT y = x, 0.25 1 b) Hay 3 3 1 2 .1 1 2 1 1 4 2 m m m m m               (do m  0). Vậy m = 2 là các giá trị cần tìm. 0.25 Phương trình: sin 2 cos 2 sin cos (1 2cos ) sin cos x x x x x x x      . 2 (2sin cos sin ) [(2cos 1) cos ]+sin cos (1 2cos ) 0 sin (2cos 1) (2cos 1)(cos 1) sin cos (1 2cos ) 0 (2cos 1)(sin cos 1 sin cos ) 0 2cos 1 0 (1), sin cos 1 sin cos 0 (2) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                             0.5 Giải (1) ta được 1 cos 2 2 3 x x k        0.25 2 a) Giải (2) bằng cách đặt sinx – cosx = t thì | | 2t  và 2 1 sin cos 2 t x x   . Thay vào (2): 2 2 1 1 0 2 3 0 2 t t t t          t =1, t = -3 (loại) Với t = 1 thì sinx – cosx = 1 2 2 sin 1 sin 4 4 2 x x                     2 2 4 4 2 2 2 4 4 x k x k x k x k                                   . Vậy PT đã cho có 4 họ nghiệm: 2 3 x k      , 2 2 x k     , 2 x k     với k  0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Giải hệ phương trình:   3 3 4 1 1 3 (1) log 1 (2) y x x x y x            ĐK: 0 4,x y   . Từ (2) ta có: 3 3 3 1 log logy x x    suy ra 3 3 log 3 3 3 y x x   0.25 Thay vào (1) ta được:   3 3 4 1 1 1 1 4 1 1 4 2 4 x x x x x x x x x                 0.25 2 2 2 2 2 2 4 3 0 3 ( 2) 4 3 0 x x x x x x x x x x x x                              0.25 b) Với x = 3 thỏa mãn ĐK ta có y = 0. Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (3; 0). 0.25 Tính tích phân 1 1 1 2 3 3 3 0 0 0 ln( 1) . ln( 1) 1 7 1 7 x x dx I x x dx x x dx x x x                    Xét 1 2 1 3 3 0 1 7 x dx I x    . Đặt 2 3 3 2 3 3 3 2 1 1 3 1 7 3 2 7 7 7 t t t x t x x dx dt                     Đổi cận: với x = 0 thì t = 1, với x = 1 thì t = 2. Khi đó: 0.25 1 2 1 3 3 0 1 7 x dx I x    = 3 2 2 2 2 4 5 2 1 1 1 1 2 7 7 2 2 1 1 47 ( ) 49 49 5 2 245 t t dt t t dt t t t                     . 0.25 Xét 1 2 0 ln( 1)I x x dx   . Đặt 2 1 ln( 1) 1 1 ( 1) 2 du dx u x x dv xdx v x                   0.25 3 Khi đó 1 2 0 ln( 1)I x x dx   = = 1 1 1 2 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( 1)ln( 1) ( 1) 2 2 1 2 2 2 x x x dx x dx x x x                    = 1 4 Vậy I = 47 1 433 245 4 980   . ( 0,4418367347) 0.25 K E I O D CB A S Do (SIA) và (SIC) cùng vuông góc với (ABCD) nên SI  (ABCD). Từ GT suy ra  0 60SOI  ; IO = 1 1 1 2 4 4 BO BD a  , suy ra SI = 0 1 3 .tan60 4 4 a a  . 0.25 4 Tam giác ABD đều cạnh a nên đường cao AO = 3 2 a => AC = 3a . 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Do E là trung điểm của AB nên ta có : 1 1 1 . 2 4 8 ACE ABC ABCD S S S AC BD       2 3 8 a Vậy thể tích khối chóp S.ACE là : 1 . . 3 ACE V S SI    3 32 a Do OA,OB, SI đôi một vuông góc nên ta thiết lập hệ tọa độ: O = (0; 0; 0), A( 3 2 a ; 0; 0), B(0; 2 a ; 0), S(0; 4 a ; 3 4 a ). Suy ra D(0; - 2 a ; 0), E( 3 ; ;0) 4 4 a a , C(- 1 3 2 a ; 0; 0). Ta có 3 3 0; ; 4 4 a a SD             , 3 3 ; ;0 4 4 a a CE           . MP chứa CE và song song song với SD có 1 vectơ pháp tuyến là   16 ; 3; 9;9 3 n SD CE a           . Nên mp chứa CE và song song với SD có PT: 1 ( ): 3( 3) 9 9 3 0 2 x a y z      Vâỵ d(SD,CE) = d(D,(  )) = 2 2 1 1 3 9 6 2 327 2 2 109 327 3 9 3.9 a a a a      0.5 Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: 1 x y z    . Chứng minh rằng: xy yz zx x y z xy z yz x zx y y z z x x y            . Do x, y, z dương và 1 = x + y + z nên . ( ) ( )( ) xy xy xy x y xy z xy z x y z z x z y z x z y            1 2 x y z x z y           (1) (Theo Cô – Si ) Hoàn toàn tương tự ta có thêm: yz yz x  1 2 y z x y x z           (2) , zx zx y   1 2 z x y z y x          (3). Từ (1), (2) và (3) ta suy ra: xy yz zx xy z yz x zx y       3 2 (I) 0.5 5 Ta C/M: với x, y, z dương ta có: x y z y z z x x y      3 2  (II) Thật vậy, biến đổi (II) thành: 1 1 1 [( ) ( ) ( )] 9 x y y z z x x y y z z x                  (4) Áp dụng BĐT Cô – Si ta có: ( ) ( ) ( ) x y y z z x      3 3 ( )( )( ) x y y z z x     >0 (5) 1 1 1 x y y z z x      3 1 1 1 3 . . x y y z z x     >0 (6) Từ (5), (6) suy ra (4) hay (II) được C/M. Kết hợp (I) và (II) suy ra xy yz zx xy z yz x zx y       x y z y z z x x y      (đpcm) Đẳng thức xáy ra khi x = y = z = 1/3. 0.5 A.Theo chương trình Chuẩn. B = AB giao với BD nên B = (7; 3), mà BC vuông góc với AB nên BC: 2x + y – 17 = 0 0.25 6a A thuộc AB nên A(2a + 1; a) với a  3; C thuộc BC nên C(c; 17 – 2c) với c  7. trung điểm của AC là I = 2 1 2 17 ; 2 2 a c a c          cũng là trung điểm của BD, hay I 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com thuộc BD nên: 3c – a – 18 = 0 (1) Lại có M, A, C thẳng hàng nên (2 1; 1) MA a a     và ( 2;16 2 ) MC c c     cùng phương, suy ra (2a – 1)(16 – 2c) = (a – 1)(c - 2) (2) 0.25 Thay a = 3c – 18 từ (1) vào (2) được c 2 – 13c + 42 = 0 6, 7 c c    (loại) Với c = 6 thì A(1; 0), C(6; 5), B(7; 3) và D(0; 2) 0.25 Ta có (1;4;1) AB   . Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là ( ; ; ) n a b c   thì do (P) qua A, B nên . 0 AB n    hay a + 4b + c = 0 (1). 0.25 Mp (P) có pt dạng: a(x – 1) + b(y – 1) + c(z + 3) = 0. Vì C, D cách đều (P) nên ta có: 2 2 2 2 2 2 | 2 5 | | 2 4 | | 2 5 | | 2 4 | b c a c b c a c a b c a b c              (2) 0.25 Giải hệ (1), (2) với chú ý 2 2 2 0 a b c    , ta được: (a; b; c) = (2; - 1; 2) hoặc (a; b; c) = (38; - 7; -10) 0.25 Vậy có hai mp cần tìm: 2x – y + 2z + 5 = 0 hoặc 38x – 7y – 10z – 61 = 0. 0.25 7a Lưu ý. Bài trên có thể giải theo cách: Do (P) cách đều CD nên ta phải có (P) đi qua trung điểm của CD hoặc (P) // CD. Với n nguyên dương ta có: 1 3 3 4 3 4 3 7( 3) 7( 3) n n n n n n C C n C C n             ( 4)( 3)( 2) ( 3)( 2)( 1) 7( 3) 12 3! 3! n n n n n n n n             0.25 Với n =12, Số hạng tổng quát của khai triển 5 3 1 5 7 n n x x          12 5 3 1 x x        là   12 5 36 3 5 2 1 12 12 3 1 . k k k k k k k T C x C x x              . 0.25 Để số hạng trên chứa x 8 thì 5 36 3 8 8 2 k k k       0.25 8a Vậy số hạng chứa x 8 có hệ số là 8 12 495 C  . 0.25 B. Theo chương trình Nâng cao. (T) có tâm I(1; -1) và bán kính R = 2 . AB có pt: 1 4 0. 4 4 x y x y        CD//AB nên CD có PT dạng: x – y + c = 0, c khác -4; CD lại tiếp xúc với (T) nên: |1 1 | 2 0 2 c c      , c = -4 (loại). CD: x – y = 0. 0,5 AD đi qua A nên có PT: ax + b(y + 4) = 0, 2 2 0 a b   . Do AD tiếp xúc với (T) nên: 2 2 2 2 2 2 2 | 3 | 2 ( 3 ) 2( ) 6 7 0 a b a b a b a ab b a b            ( )( 7 ) 0 a b a b     7 a b   , a = - b bị loại do AD  AB. Với a = 7b thì ta có pt AD: 7x + y + 4 = 0. Suy ra D = AD  CD = (-0,5; -0,5) 0.25 6b BC đi qua B nên có PT: a(x – 4) + by = 0, 2 2 0 a b   . Do BC tiếp xúc với (T) nên: 2 2 2 2 2 2 2 | 3 | 2 (3 ) 2( ) 6 7 0 a b a b a b b ab a a b             ( )( 7 ) 0 a b b a     7 b a   , a = - b bị loại do AC  AB. Với b = 7a thì ta có pt BC: x + 7y - 4 = 0. Suy ra C = BC  CD = (0,5; 0,5) Vậy tọa độ các điểm phải tìm là: 1 1 1 1 ; , ; 2 2 2 2 D C               . 0.25 Ta có ( 3; 2;2) AB     . Gọi 2 2 2 ( ; ; ),( 0) n a b c a b c      là vectơ pháp tuyến của (P) thì do (P) // AB nên . 0 AB n    hay -3a – 2b + 2c = 0 (1) 0.25 7b (P) lại đi qua C nên (P) có PT: a(x – 2) + b(y – 1) + c(z + 6) = 0. Mặt cầu (S) có tâm I(0; 1; 2) và bán kính R = 5 lại cắt (P) theo đường tròn có chu vi 6  nên suy ra k/c từ I đến (P) bằng 4, hay 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com 2 2 2 2 2 2 2 | 2 8 | 4 ( 4 ) 4( ) a c a c a b c a b c           (2) Từ (1): 2 2 3 c b a   , thay vào (2) ta được: 2 2 2 3 2 0 (2 )( 2 ) 0b bc c b c b c       2b + c = 0 hoặc b – 2c = 0. 0.25 Với 2b + c = 0 ta suy ra b = 1, c = -2, a = -2 nên (P): -2x + y – 2z – 9 = 0 Với b – 2c = 0, suy ra c = 1, b = 2, a = -2/3 nên (P) : 2 16 2 0 3 3 x y z     0.25 Với n là số nguyên dương và 3n  , ta có 3 1 5 n n C C 2 ( 1)( 2) 5 3 28 0 3! n n n n n n          n = 7, n = -4 (loại) 0.25 Với n = 7, số hạng tổng quát của khai triển 3 4 2 1 5 n x n x         = 7 3 4 1 x x        là:   7 7 3 3 4 1 7 7 4 1 k k k k k k k T C x C x x             0.25 Để số hạng trên không chứa x, thì 7 0 3 4 k k   4k  0.25 8b Vậy số hạng không chứa x của khai triển là 4 7 35C  . 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com . www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT TỐNG DUY TÂN. ĐÁP ÁN KSCL ÔN THI ĐẠI HỌC. NĂM 2012 - 2013. SI = 0 1 3 .tan6 0 4 4 a a  . 0.25 4 Tam giác ABD đều cạnh a nên đường cao AO = 3 2 a => AC = 3a . 0.25 www.MATHVN.com www.DeThiThuDaiHoc.com Do