Phương pháp bài toán vật lí bằng số phức

Cach giai nhanh vat li 12

I Phương pháp bài toán Vật lí bằng số phức

Bình thường các bài toán về vectơ giáo viên hướng dẫn học sử dụng hình học kết hợp các công thức lượng giác để giải Khi sử dụng máy tính Casio fx 570MS để tìm nhanh kết quả khi phối hợp hình học và tính năng hỗ trợ của máy tính cầm tay

Có thể vận dụng để giải các bài toán:

→ Tổng hợp, phân tích vectơ: Chương trình 10, 11

→ Tổng hợp dao động điều hoà: Chương trình 12

→ Lập biểu thức điện áp, dòng điện xoay chiều: Chương trình 12

1 Cơ sở của phương pháp:

→ Dựa vào phương pháp biểu diễn số phức: z = a + bi thông qua vectơ r

Trong đó: r = a2b2 ; tan b

a

 

→ Khi đó việc tổng hợp tính toán cộng trừ vectơ sẽ đưa về bằng việc sử dụng các phép cộng, trừ số phức

→ Cách sử dụng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:

Nhập biểu thức r

sẽ là: r 

2 Hướng dẫn dùng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:

Quy ước: Chọn một vectơ làm chuẩn(trục thực)  , sau đó xác định số đo góc của 0 các vectơ thứ 2, thứ 3…theo chiều dương quy ước của đường tròn lượng giác

Bước chuẩn bị nhập số liệu vào máy Chuyển chế độ dùng số phức:

Bấm Mode chọn 2

Trên màn hình có dạng:

Ở đây ta sử dụng số đo góc là độ(D), để dùng rad(Chuyển về R)

Cách nhập biểu tượng góc  : nhấn Shift + (-)

Bước lấy kết quả Sau khi nhập biểu thức cộng hoặc trừ vectơ

Nhấn =

- Để lấy r (Véctơ kết quả):

CMPLX D

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

Nhấn Shift + + + =

- Để lấy φ(góc hợp bởi vectơ kết quả và vectơ chọn làm gốc:

Nhấn Shift + =

3 Áp dụng:

a Các bài toán tổng hợp vectơ

Bài 1 (BT4/48 Sách Vật lí 10NC) Một người lái xuồng dự định mở máy cho xuồng chạy ngang con sông rộng 240m, mũi xuồng luôn hướng vuông góc với bờ sông Nhưng do nước chảy nên xuồng sang bờ bên kia tại điểm cách bến dự định 180m về phía hạ lưu và xuồng đi hết 1min? Xác định vận tốc của thuyền so với bờ sông

Giải:

1

v



-Vận tốc của xuồng so với nước sông

2

v

-Vận tốc của nước sông so với bờ

3

v

-Vận tốc của xuồng so với bờ sông

Ta có: v3v 1v2

; với v2

làm trục gốc Nhập vào máy: (180/60)  0 + (240/60)  90 Kết quả: v3 = r = 5m/s; φ = 53,130(Hợp với v2

)

Bài 2 (BT6/63 Sách Vật lí 10NC) Tìm hợp lực của bốn lực đồng quy như hình:

Biết: F1 = 5N; F2 = 3N; F3 = 7N; F4 = 1N

Giải:

Chọn F3

làm trục gốc Khi đó ta có:F30;F290;F1180;F4 90 Nhập vào máy: 7  0 + 3  90 + 5  180 + 1  (-90)

Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

Kết quả: F3 = r = 2,8284N = 2 2 N; φ = 450 (Hợp với F3

)

Bài 3 Hai điện tích điểm q1 = 8.10-8 C,q2 = 8.10-8C đặt tại hai điểm A, B trong không khí với AB = 6cm Xác định vectơ lực tổng hợp tác dụng lên q3 = - 8.10-8 C đặt C, biết CA = 8cm; CB = 10cm

Giải:

Độ lớn: F1 k.q q1. 32

AC

 = 9.10-3 N

F2 k.q q2. 23

BC

 = 5,76.10-3 N

tan( ACB ) = AB/AC = 6/8

Lực tổng hợp: F F 1F2

Chọn F1

làm trục gốc Khi đó F2ACB

Nhập vào máy: (9.10-3)  0 + (5,76.10-3)  (tan-16/8)

Kết quả: F = r = 14,04.10-3N = 9.105 2N; φ = 14,250(Hợp với F1

và AC)

b Các bài toán tổng hợp dao động

Lưu ý về cơ sở của phương pháp: Một dao động điều hoá x Acos(t) được biểu

diễn bằng vectơ A

và góc lệch φ so với trục thực

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

Khi vectơ A

quay quanh O với tốc độ góc ω thì hình chiếu của A

lên trục thực Ox

sẽ biểu diễn dao động điều hoà: xAcos(t)

Ví dụ:

Câu 1.Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa, cùng phương, cùng tần số có

phương trình : x1 3cos 4 cm ; x  2 3cos 4 cm 

3

đầu của dao động tổng hợp là:

6

cm 

6

cm 

6

cm 

3

cm 

Giải:

Nhập vào máy: 3  60 + 3  0 Kết quả: A = r = 5,196 = 3 3 cm; φ = 300 = π/6 → Đáp án: A

Câu 2 (Đề TN THPT 2008) Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có

phương trình là 1 6sin( )( )

3



6



  Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ:

Giải:

Nhập vào máy: 6 60 + 8  (-30) Kết quả: A = r = 10cm → Đáp án: A

Câu 3 (ĐH2010)Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần

số có phương trình li độ 3cos( 5 )

6



  (cm) Biết dao động thứ nhất có phương trình li

độ 1 5cos( )

6



  (cm) Dao động thứ hai có phương trình li độ là

A 2 8cos( )

6



6



6



6



Giải:

Nhập vào máy: 3  (-150) - 5  30 Kết quả: A = r = 8cm; φ = -1500 = -5π/6 → Đáp án: C

Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

Câu 4 (ĐH2009) Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng

phương Hai dao động này có phương trình lần lượt là 1 4cos(10 )

4

2

3

4

  (cm) Độ lớn vận tốc của vật ở vị trí cân bằng là:

A 10 cm/s B 80 cm/s C 50 cm/s D 100 cm/s

Giải:

Nhập vào máy: 4 (45) + 3  (-135) Kết quả: A = r = 1cm → vmax = A.ω = 10cm/s → Đáp án: A Câu 5 (ĐH2007) Hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là x1 = 4sin(πt - π/6)(cm) và x2 = 4sin(πt - π/2) (cm) Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là:

A 4 3cm B 2 2cm C 2 7cm D 2 3cm

Giải: Với hàm sin, việc tính toán cũng tương tự

Nhập vào máy: 4 (-30) + 4  (-90)

Kết quả: A = r = 6,93cm = 4 3cm → Đáp án: A

c Các bài toán về điện xoay chiều

Lưu ý về cơ sở của phương pháp: Trong biểu diễn với điện xoay chiều

Quy ước nhập:

Các đại lượng trong điện

xoay chiều

Biểu diễn dưới dạng số phức

ZL – Phần ảo dương ZLi

ZC – Phần ảo âm - ZCi

u = U0cos(ωt + φ)(V ) U0 ( φ)

Các công thức tính: Do có thể nhầm với dòng điện i nên, i trong số phức được thay bằng j

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

+ Tổng trở: Z = R + ZLj - ZCj

Kết quả: Z = r ; φ cho biết độ lệch pha của điện áp so với dòng điện

Kết quả: I0 = r ; φi là pha ban đầu của dòng điện

+ Biểu thức uc: uL = i.(ZLj); uC = i.(-ZCj)

Kết quả: U0C = r ; φ là pha ban đầu của điện áp hai đầu C

Ví dụ:

Bài tập: Cho đoạn mạch xoay chiều như hình vẽ Biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch có biểu thức: u = 100 2 cos(100t)(V)

Cho biết L = 0,5/ (H), C = 10–4/ (F), r = 10(), R = 40()

1 Tính tổng trở và viết biểu thức dòng điện tức thời trong mạch

2 Lập biểu thức điện áp hai đầu cuộn dây, biểu thức điện áp hai đầu đoạn mạch AM

Giải:

Cảm kháng: ZL = ωL = 50Ω; Dung kháng ZC = 1

C

 = 100Ω

1 Tổng trở: Z = (r + R) + ZLj – ZCj = 50 2  (-450)

→ Kết quả: Tổng trở 50 2 Ω; độ lệch pha của u/i: -π/4

U

r R Z j Z j





→ Vậy: i = 2cos(100πt + π/4)(A)

2 Biểu thức ucd: ucd = i.Zcd = (2  45)x(10 + 50j) = 102  123,70 = 2,4rad

→ Vậy: ucd = 102cos(100πt + 2,4)(V)

Biểu thức hai đầu đoạn mạch AM:

UAM = i.ZAM = (2  45)x(40 - 100j) = 215,4  123,70 = -0,4rad

→ Vậy: ucd = 215,4cos(100πt - 0,4)(V) Bài tập trắc nghiệm

Câu 1.(TN 2007) Một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L = 1/π (H) mắc nối tiếp với điện trở thuần R = 100Ω Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều

u = 100 2 cos100πt (V) Biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là:

Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

A icos(100t / 2)( ).A B i 2 cos(100t / 6)( ).A

C i 2 cos(100t / 4)( ).A D icos(100t / 4)( ).A

Giải: Tính ZL = 100Ω; Ta có: i = u

Z

Nhập vào máy: (100 2 )  0:(100+100j) = 1  (-45 = -π/4) Kết quả: icos(100t / 4)( ).A → Đáp án: D

Câu 2.(TN 2008).Cường độ dòng điện chạy qua tụ điện có biểu thức i = 10 2 cos100πt(A)

Biết tụ điện có C 250F



 Hiệu điện thế giữa hai bản của tụ điện có biểu thức là:

A u200 2 cos(100t / 2)( )V B u100 2 cos(100t / 2)( )V

C u400 2 cos(100t / 2)( )V D u300 2 cos(100t / 2)( )V

Giải: Tính ZC = 40Ω

Nhập vào máy: (10 2 )  0x(-40j) = 565,69  (- 90) = 400 2  (- π/2) Kết quả: uoC = 400 2 cos(100πt – π/2)V → Đáp án: C

Câu 3 (ĐH 2009) Đặt điện áp xoay chiều vào hai đầu đoạn mạch có R, L, C mắc nối tiếp

Biết R = 10, cuộn cảm thuần có L = 1

10 (H), tụ điện có C =

3 10

2

 (F) và điện áp giữa hai đầu cuộn cảm là u L 20 2 cos(100t / 2) (V) Biểu thức điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là:

A u40 cos(100t / 4) (V) B u40 2 cos(100t / 4) (V)

C u40 cos(100t / 4) (V) D u 40 2 cos(100t / 4) (V)

Giải: Tính: ZL = 10Ω; ZC = 20Ω

Ta có: u = i.Z = L.

L

u Z Z

Nhập vào máy: (20 2 ) (π/2)x(10 + 10j - 20j):(10j) = 40  (-0,785=-π/4) Kết quả: u = 40cos(100πt - π/4)→ Đáp án: A

II Phương pháp giải bài toán vật lí dùng tích phân

1 Hướng dẫn dùng với máy tính cầm tay Casio fx 570MS:

Máy tính cầm tay Casio fx 570MS thực hiện các phép tính đạo hàm bậc nhất, vi phân bậc nhất và tích phân một lớp một cách dễ dàng Có thể áp dụng cho các bài toán Vật lí liên quan đến các biến như: Vận tốc, gia tốc … Việc dùng máy tính cầm tay sẽ đưa chúng ta đến kết quả bằng số cuối cùng chứ không đưa ra công thức tổng quát

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

Cách bấm máy khi tính đạo hàm và tích phân:

- Đạo hàm: d/dx(hàm số, a) giá trị ứng với x0 = a Cách nhập: Shift d/dx <hàm số> , <giá trị của biến số> =

<Hàm số> được viết dưới dạng một biến X, ta có thể dùng các phép tính có thể ở trong máy và phím Anpha X để lập hàm số

- Tích phân: (hàm số, cận dưới, cận trên) Cách nhập: dx <hàm số> , < cận dưới>,<cận trên > =

<Hàm số> được viết dưới dạng một biến X, ta có thể dùng các phép tính có thể ở trong máy và phím Anpha X để lập hàm số

Lưu ý: Dạng toán này thường được bồi dưỡng cho học sinh giỏi đi thi giải toán bằng máy tính Casio Áp dụng cho các bài toán tính vận tốc trung bình, công của quá trình nhiệt …

2 Áp dụng:

a Dùng đạo hàm

Bài 1: Một chất điểm chuyển động theo phương trình x = 3t2 – 4t + 2 (x đo bằng

m, t đo bằng s) Hãy tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 10s

Giải:

Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của toạ độ theo thời gian: v = x’

Nhập vào máy: SHIFT dx3ALPHA X x2 - 4ALPHA X + 2 ) , 10 ) =

→ Trong máy có dạng: d/dx(3X2 – 4X + 2,10) Kết quả: 56m/s

Bài 2: Một chất điểm dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(2πt + π/3)(cm)(t tính bằng s) Hãy tính vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0,5s

Giải:

Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của toạ độ theo thời gian: v = x’

Nhập vào máy: d/dx(4cos(2πX + π/3,0.5) Kết quả: 21,77cm/s = 4π 3 cm/s

b Dùng tích phân

Cơ sở để giải các bài toán: Biết toạ phương trình vận tốc, xác định toạ độ ở thời điểm t

Năm học 2010-2011 Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

2

1

t

dx

dt

Bài 1: Một xe ôtô đang chuyển động với vận tốc 36km/h thì hãm phanh, xe chuyển động chậm dần với gia tốc có độ lớn 2m/s2 Hãy tính quãng đường mà xe đi được trong giây thứ ba tính từ lúc xe bắt đầu hãm phanh

Giải:

a Ta có vận tốc của xe: v = 10 - 2t = dx dx (10 2 )t dt

Vậy: Quãng đường xe đi trong giây thứ ba(từ giây thứ 2 đến giây thứ 3) là:

3

2(10 2 )

s  t dt

Nhập vào máy: (10 2 , 2,3) X

Kết quả: 5m

Bài 2: (Giải toán bằng máy tính 2009_QG) Từ độ cao h = 30m so với mặt đất, một vật được ném theo phương ngang với tốc độ v 0 = 15m/s Bỏ qua mọi ma sát Hãy tính tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian t = 2s đầu tiên

Giải: Lấy g =10m/s 2

Ta có: v x = v 0 ; v y = gt → v = v02 (gt)2 dx x v02 (gt dt)2

dt

Vậy: Quãng đường vật rơi trong 2s đầu tiên: s = 2 2 2

0 15 (10 )t dt



→ Tốc độ trung bình của vật trong 2s đầu tiên:

2

0 15 (10 )

2

t dt s

v t



  

Nhập vào máy: ( (152 (10 ) ), 0, 2) : 2X 2

Kết quả: 18,6795m/s Bài 3: (Giải toán bằng máy tính 2010_QG) Cho

mạch điện như hình Nguồn điện có suất điện động E = 6V,

điện trở trong r = 0,5Ω, cuộn thuần cảm có L= 0,5H, điện trở

R = 4,7Ω Ban đầu khoá k mở, sau đó đóng khoá k

Sáng kiến kinh nghiệm Vật lí

a Tìm cường độ dòng điện cực đại I0 trong mạch

b Xác định khoảng thời gian kể từ lúc đóng khoá k đến lúc dòng điện trong mạch đạt giá trị 0,65I0

Giải:

a Dòng điện đạt cực đại khi dòng điện trong mạch ổn định Cuộn cảm L không ảnh hưởng tới mạch điện Áp dụng định luận Ôm cho toàn mạch:

0

6

1,1538 0,5 4, 7

E

r R

b Khi k đóng, dòng điện tăng từ 0 đến I0 trong cuộn dây xuất hiện suất điện động tự

cảm: e = - Ldi

dt (chống lại sự tăng của i)

di

E L

dt



Vậy: Thời gian kể từ lúc đóng khoá k đến lúc dòng điện trong mạch đạt giá trị 0,65I0

0 0,65

I

L

E i r R





Nhập vào máy: (0.5 :(6 (0.5 4.7) ), 0, 0.65 1.1538)  X x

Kết quả: 0,1009s