Đáp án đề thi kết thúc học phần Đại Số Thời gian: 90 phút (28/06/2021) Mã đề thi: 110 Trong câu sau: a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên Yêu cầu Sinh viên thay số a, b tương ứng tiến hành giải 2 1 m 0 m Câu 1: Cho A 1 , B 2 1 , C 15 a a b 2 14 b 1 Thực phép toán sau theo tham số m: (A – B)C; AC + BC Lời giải: 1 m 1 m am 15m 1 m A B 3 2 42 3a 1 A B C a b 2 12 b a 2b 12 3a b 30 1 m 15 a 2m AC 2 29 2a , BC 13 a a b 14 b 30 2a ab m m 15 a AC BC 2 16 a a 16 a b 30 Câu 2: Biện luận theo tham số m hạng ma trận sau: 1 A 1 1 m a b a Lời giải Cách 1: 1 1 h h A 1 0 2 1 b a h h h 1 b a 1 a a m m 0 3 1 1 ba h h h h h h 0 1 2b a 0 2b 2a m 3 4 Nếu m ≠ 2a – 2b rankA = Nếu m = 2a – 2b rankA = Cách 2: Ta có: detA = 2a – 2b – m + Nếu detA ≠ m ≠ 2a – 2b rankA = + Nếu detA = m = 2a – 2b rankB < 1 Vì ma trận A chứa ma trận cấp ba M (tạo từ ba hàng 1,2,3 ba cột 1 0 1,2,3) có định thức khác không detM = –2 nên rankA Do đó, rankA = Câu 3: Trong 4 cho họ vector sau: S u1 (1,0,1, b a); u2 (0,2, 1, b); u3 (1,2,1, 2) a) Chứng minh họ vector S độc lập tuyến tính b) Vector x = (0,0,–1,2 + 2b – a) có thuộc khơng gian 4 sinh họ vector S khơng? Vì sao? Lời giải 1 b a b a) Đặt A 1 1 2 1 Cách 1: Vì A chứa ma trận cấp ba M 1 (tạo từ ba hàng 1,2,3 ba cột 1 1,2,3) có định thức khác khơng detM = nên rankA Mặt khác, rankA Do đó, rankS = rankA = = |S| hay S độc lập tuyến tính Cách 2: 1 1 ba ba h h h h h h A 1 b b 2 a b 0 2 a 2b 3 3 Suy rankS = rankA = = |S| hay S độc lập tuyến tính b) x = (0,0,–1,2 + 2b – a) thuộc không gian 4 Cách 1: Bởi ba 1 b 2 0 0 1 2b a Cách 2: Bởi x = u1 + u2 – u3 Câu 4: Trong 3 cho họ vector sau: S v1 (m,2,1); u2 (0, m,1); u3 (m,1, b a) a) Tìm điều kiện tham số m để họ vector S sở 3 b) Với m = 2, tìm tọa độ (v)S, biết v = (35 – a – b, a, b – 15) Lời giải m a) S sở 3 m m 1 0 ba (a b 1)m m m m a b 1 b) Với m = 2, 2 x 2z 35 a b (v)S = (x, y, z) 2 x y z a x y ( b a) z b 15 2a 2b 73a 65b 95 x 2a 2b 4a 2ab 2b2 67a 69b y 2a 2b 100 3a 4b z 2a 2b 2a (v)S = 2b 73a 65b 95,4a 2ab b2 67a 69b 5, 200 a 8b 2(2a 2b 3) 1 b ab Câu 5: Cho ma trận A m 0 1 1 a) Tìm đa thức đặc trưng PA(x) = det(A – xI) theo tham số m b) Tìm giá trị m để x = giá trị riêng A Tìm tất giá trị riêng lại A Lời giải a) Đa thức đặc trưng A PA ( x ) det( A xI ) x x 1 2b a b x a b b m b) x = giá trị riêng A P(2) = m = Khi đó, P( x ) ( x 2) x a b 2b Các giá trị riêng lại A a b 2b 1 b a b b ab ...Câu 2: Biện luận theo tham số m hạng ma trận sau: 1 A 1 1 m a b a Lời giải Cách 1: 1 1 h h... cho họ vector sau: S v1 (m,2,1); u2 (0, m,1); u3 (m,1, b a) a) Tìm điều kiện tham số m để họ vector S sở 3 b) Với m = 2, tìm tọa độ (v)S, biết v = (35 – a – b, a, b – 15) Lời giải... 5: Cho ma trận A m 0 1 1 a) Tìm đa thức đặc trưng PA(x) = det(A – xI) theo tham số m b) Tìm giá trị m để x = giá trị riêng A Tìm tất giá trị riêng cịn lại A Lời giải a) Đa thức