Đáp án đề ôn tập môn đại số học kỳ 2 hệ đại trà năm học 2020 2021

Trọng tâm thi kết thúc học kỳ hệ đại trà năm học 2020–2021 (Ngày thi 28/06/2021) Bài thi gồm câu, câu điểm Vấn đề 1: Các phép toán ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo ma trận cấp hai chứa tham số m Vấn đề 2: Tìm hạng ma trận cấp 4×4; biện luận hạng ma trận cấp 4×4 chứa tham số vị trí Vấn đề 3: Giải hệ phương trình 3×3 phương pháp ma trận nghịch đảo; Phương pháp định thức Vấn đề 4: Cho W 4.1 Chứng minh W khơng gian  tìm hệ sinh W 4.2 Chứng minh W không gian  Vấn đề 5: Họ vectơ độc lập tuyến tính; tìm hạng họ vectơ Vấn đề 6: W┴ , ⁴; không gian nghiệm hệ Vấn đề 7: Cho A ma trận cấp 3×3 Tìm đa thức đặc trưng giá trị riêng A Hướng dẫn Bài thi gồm câu, câu điểm Vấn đề 1: Các phép toán ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo ma trận cấp hai chứa tham số m HD: Các phép toán ma trận gồm cộng, trừ, nhân hai ma trận, nhân số với ma trận, chuyển vị, nghịch đảo, … a b a b a  b  a  b b  b  a a  A   11 12  , B   11 12   AB   11 12   11 12  , BA   11 12   11 12   a21 a22   b21 b22   a21 a22   b21 b22   b21 b22   a21 a22   m (14  b)  1 14  b  1 1 i j A CT  A    , C  (cij )n , cij  (1) det Mij det A m  3(14  b)  3 1  m  3 a a a  a  a A   11 12  = bảng số khác với det A  det  11 12   11  a21 a22   a21 a22  a21 (Sinh viên cần ký hiệu cho đúng! Sai điểm) a12 a22  số cụ thể Vấn đề 2: Tìm hạng ma trận cấp 4×4; biện luận hạng ma trận cấp 4×4 chứa tham số vị trí HD: Phương pháp 1: Dùng biến đổi sơ cấp đưa ma trận cần tính hạng dạng bậc thang đếm số hàng khác không ma trận bậc thang 1  A  2 3  1  A  2 3  1  A  2 3  1 7  2 h1 h 2h     0 3 h1 h 3 h 0   1 7  2 h1 h 2h     0 3 h1 h 3 h 0   1 7  2 h1 h 2h     0 3 h1 h 3 h 0   3 6 3 6 3 6 1   2 h 2 h 3h  6    0 0 12   1   2 h 2 h 3h  6    0 2 h  h 3 h 0 12   1   h1 h 3h  6    0 0 12   3 0 3 7  6   rankA  (đúng)  7    rankA  (sai!)  7  6   rankA  (sai!) 3  Phương pháp 2: Sử dụng định nghĩa hạng: (hạng ma trận cấp cao định thức ma trận khác khơng) Nếu A ma trận vng cấp n có định lý det A   rankA  n  det A   rankA  n  1 7   A  2   det A    rankA  3 9   1  A chứa ma trận cấp   3   rankA   thoûa 2  Vaäy,  rankA  tức rankA  Vấn đề 3: Giải hệ phương trình 3×3 phương pháp ma trận nghịch đảo; Phương pháp định thức  a11 x  a12 y  a13 z  b1  Cho hệ phương trình a21 x  a22 y  a23 z  b2 a x  a y  a z  b 32 33  31 (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:  a11  Cho phương trình ma trận AX = b, biết A   a21  a31  a12 a22 a32 x  b1  a13       a23  , X   y  , b   b2  ) z  b3  a33      a) Giải hệ phương trình phương pháp ma trận nghịch đảo  a11 a12   a21 a22  a31 a32  a13   x   b1   x   a11 a12        a23   y    b2    y    a21 a22 a33   z   b3   z   a31 a32 a13   a23  a33  1  b1    1  b2  ( AX  b  X  A b)  b3    b) Giải hệ phương trình phương pháp định thức det A3 det A1 det A2 x ,y  ,z  det A det A det A  a11 a12 a13   b1 a12 a13   a11 b1      A   a21 a22 a23  , A1   b2 a22 a23  , A2   a21 b2  a31 a32 a33   b3 a32 a33   a31 b3      (sinh viên thể dùng máy tính để tính định thức này)  a11 a13    a23  , A3   a21  a31 a33   a12 a22 a32 b1   b2  b3  Vấn đề 4: Cho W 4.1 Chứng minh W khơng gian  tìm hệ sinh W HD: + Dùng định lý liên quan đến tổ hợp tuyến tính : Tập tổ hợp tuyến tính họ vectơ V không gian vectơ V W  (2 x  3y  z,5 x  y  7z,3 x  y  13z) : x , y, z   Laáy v  W : v  (2 x  3y  z,5 x  y  7z,3 x  y  13z)  (2 x ,5 x ,3x )  (3y ,  y , 4 y )  (6 z,7z,13z)  x (2,5,3)  y(3, 1, 4)  z(6,7,13)  v  xu1  yu2  zu2 , u1  (2,5,3), u2  (3, 1, 4), u3  (6,7,13) Vậy, W không gian vecto hệ sinh W u1  (2,5,3), u2  (3, 1, 4), u3  (6,7,13) + Nếu đề cho W nghiệm hệ phương trình giải hệ phương trình biểu diễn cơng thức tính nghiệm theo tham số Biểu diễn vecto nghiệm thành tổ hợp tuyến tính giống cách làm phía để tìm hệ sinh Định lý: Nghiệm hệ phương trình không gian vectơ n 4.2 Chứng minh W không gian  HD: W không gian V với a, b  W , k  a  b  W , ka  W Để chứng W khơng gian V Cách 1: Ta tìm W hai vectơ a, b  W khơng thỏa mãn a  b  W (thỏa a  b  W ) Cách 2: Ta tìm W hai vectơ a  W , k  không thỏa mãn ka  W (thỏa ka  W )   1)W  ( x , y, z) : x  yz  Laáy v1  (1,1,1), v2  (6,2,18)  W , ta coù: v  v1  v2  (7,3,19) Kieåm tra 72  49,3  19  57  72   19  v  v1  v2  W Vaäy, W không gian   2)W  ( x , y, z) : x  y  z  Laáy v1  (2,1,3)  W , k   3 ta coù: kv  (6,3,9) Kieåm tra 62  36,3   12     kv  W Vậy, W không gian Chú ý: + Thơng thường khơng gian vecto nghiệm hệ phương trình truyến tính + Nghiệm hệ phương trình khơng tuyến tính hệ tuyến tính mà khơng khơng phải không gian vec tơ n Vấn đề 5: Họ vectơ độc lập tuyến tính; tìm hạng họ vectơ HD: Họ vectơ S độc lập tuyến tính rankS = |S| = số phần tử S Do đó, để kiểm tra S độc lập tuyến tính hay khơng ta cần tìm hạng S, rankS Để tìm rankS, ta lập ma trận A mà hàng A chứa đựng hệ số vectơ thuộc, tìm hạng A cách đưa dạng bậc thang Khi đó, rankS = rankA = số hàng khác khơng ma trận bậc thang Kiểm tra S  (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9) có độc lập tuyến tính hay không?  Kiểm tra S  x   x  7,2 x  x  8,3 x  x  có độc lập tuyến tính hay không?  1 7 1 1     2 h1 h 2h   2 h 2 h 3h   A  2     3 6     3 6  3 h1 h 3 h 3 9  6 12  0 0         rankS  rankA    S  S không độc lập tuyến tính (S phụ thuộc tuyến tính) Trình bày sai: Kiểm tra S  (1,4,7),(2,5,8),(3,6,9) có độc lập tuyến tính hay không?  Kiểm tra S  x   x  7,2 x  x  8,3 x  x  có độc lập tuyến tính hay không? 1 7   S  2  ?,det S ? (cách đặt tên có vấn đề nghiêm troïng) 3 9    Vấn đề 6: W┴ , ⁴; không gian nghiệm hệ HD: W┴ không gian bù trực giao W W┴ tập hợp vectơ vng góc với tất vectơ W Định lý: W┴ tập hợp vectơ vng góc với tất vectơ hệ sinh W + Đề cho sẵn hệ sinh W + Đề khơng cho hệ sinh W -> sinh viên phải tìm hệ sinh W (Nếu đề cho W nghiệm hệ phương trình giải hệ phương trình biểu diễn cơng thức tính nghiệm theo tham số Biểu diễn vecto nghiệm thành tổ hợp tuyến tính giống cách làm phía để tìm hệ sinh.) Vấn đề 7: Cho A ma trận cấp 3×3 Tìm đa thức đặc trưng giá trị riêng A HD: + Đa thức đặc trưng A P(x) = det(A – xI) = – x3 + Tr(A).x2 – (c11 + c22 + c33)x + detA P(x) = det(A – xI) = – x3 + Tr(A).x2 + (1 + det(A – I) – Tr(A) – detA)x + detA + Giá trị riêng A nghiệm phương trình đặc trưng: P(x) = (Sinh viên dùng máy tính casio giải phương trình này) Đề ơn tập thi HKII môn đại số năm 2020 – 2021 a b  a m  1 Câu 1: Cho A   ,B   2  m  13  a  b   b4  m  a) Tính detA theo m Tìm điều kiện m để A khả nghịch tính A–1 theo m b) Tính BTA – AT theo m Trong a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên Câu 2: Cho a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên 1  a) Tìm hạng ma trận A   3  4 9  10  11  10 12   1 0    2 a  b   b) Biện luận theo m hạng ma trận B  0 m     1 0 1  c) Biện luận theo m hạng ma trận C   1  0 0 1   15  a  m   1 b    x  4y  z   Câu 3: Cho hệ phương trình 2 x  y  3z  4 x  21y  22 z   (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:  1 x 4       Cho phương trình ma trận AX = b, biết A    , X   y  , b  2  )  21 22  z  5       a) Giải hệ phương trình phương pháp ma trận nghịch đảo b) Giải hệ phương trình phương pháp định thức Câu 4.1: Trong không gian , cho W  (a  2b  c, a  c,2a  b  c) : a, b, c   a) Chứng minh W khơng gian vectơ 3 Tìm hệ sinh cho W b) Tìm số chiều sở W Câu 4.2: Cho W = {(x1, x2, x3)3: x1 – x2 + 2x3 = 0} 3 a) Chứng minh W không gian vectơ 3 Tìm số chiều sở cho W b) Tìm W  Tìm số chiều sở W T   Câu 4.3: Chứng minh W  u  ( x , y, z) : x  y a  z b1 khơng gian vector 3, a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên Câu 5.1:   a) Tìm giá trị tham số m để S1  u1  (1,2, m  1); u2  (0, 3,5); u3  (0,4, m  2) độc lập tuyến tính 3   b) Tìm m để họ vectơ S2  (1,2, 1,1);(3,5,1,2);(4, m  1,0,3) độc lập tuyến tính 4 Câu 5.2: Tìm hạng họ vectơ S sau 4 S  (1,4,0,3);(7, 8, 4, 3);(2,1,1,0);(1,13,1,9)  Câu 6: Cho W  ( x1 , x2 , x3 , x4 )   : x1  3x2  x3  x4  0,2 x1  x2  x3  3x4     Tìm W Tìm số chiều sở W  4   Câu 7.1: Cho ma trận A  2   1   a) Tìm tất giá trị riêng A b) Gọi 1  2  3 ba giá trị riêng A Tìm tất tham số m   1  m3 giá trị riêng ma trận A Câu 7.2: Cho a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên  1 a    Cho ma trận A   b  1 m 0   a) Tìm đa thức đặc trưng A b) Tìm m để x = giá trị riêng A Tìm tất giá trị riêng thực lại A (nếu có) Đáp án đề ơn tập thi HKII mơn đại số năm 2020 – 2021 a b  a m  1 Câu 1: Cho A   ,B    13  a  b   2  m b4  m  a) Tính detA theo m Tìm điều kiện m để A khả nghịch tính A–1 theo m b) Tính BTA – AT theo m Trong a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên Lời giải: a) detA = –(|a – 13| + 1)m + ab + |a – 13| + a + A khả nghịch  detA ≠  m ≠ A1  ab  a  13  a  a  13  1 C T , cij = (–1) i+jdetMij det A  b 1  m  1   a   a  13  m  ab  a  13  a    a  13  Suy A 1       a  13  m  a2  ab  a  13  BTA =   a  13  m  b  a  b) Ta có:   (a  2b  1)m  a  b    b   b 1 m  b       a 13  a  1 AT =   b    m  Do đó,    a  13  m  a2  ab  a  a  13  (a  2b  1)m  13  a  a  b  1  BTA – AT =   a  13 m  b  a  b   b 1 m  b   b 1      Câu 2: Cho a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên 1  a) Tìm hạng ma trận A   3  4 9  10  11  10 12  Lời giải: 1  2 3  4 1 9   2 h  h h   10  3 h  h h  2 4 5 8   4 h  h  h  4 8 12 16  11    10 12   6 12 18 24  2 3 4 1  1      2 4 5 8 3 h  h h  2 4 5 8 2 h  h  h     3 h  h  h  0 2   0 2       0 3  0 0 0  3 4 Vậy rankA = 10  1 0    2 a  b   b) Biện luận theo m hạng ma trận B  0 m     1 0 Lời giải: Cách 1:  1  1  1  0 0       2 a  b  c c  2 a  b  h  h  2 a  b   B   0 m 0 1 0  m 0        0 m 1 0 1 0  1  1 0 0      2 a  b  h  h h  2 ab  h  h h      h  h h 0  0 2ab 0      m ab 2m  1 0 0  1  0   2 ab  ( a  b ) h  (2  a  b ) h  h     0 2ab    (2  a  b)m  1   0 3 3 4 3 4 4 Nếu (2  a  b)m  1   m   rankB = 2ab Nếu (2  a  b)m  1   m   rankB = 2ab Cách 2: Ta có: detB = (2  a  b)m  + Nếu detB ≠  m ≠  rankB = (= cấp ma trận B) 2ab + Nếu detB =  m =  rankB < 2ab 11  1    Vì ma trận B chứa ma trận cấp ba M   2 a  b  (tạo từ ba hàng 1,2,4 ba 1   cột 1,2,4) có định thức khác khơng detM = + a + b nên rankA  Do đó, rankB = Nhận xét: + Cách 2.1: Sinh viên thay m =  vào ma trận cho dùng biến đổi sơ cấp 2ab tìm hạng + Cách 2.2: Tìm ma trận B có cấp cao mà định thức khác không 1  c) Biện luận theo m hạng ma trận C   1  0 giải để luyện tập) 0 1   15  a  (dành cho sinh viên tự m   1 b    x  4y  z   Câu 3: Cho hệ phương trình 2 x  y  3z  4 x  21y  22 z   (Sinh viên lưu ý phát biểu tương tự:  1 x 4       Cho phương trình ma trận AX = b, biết A    , X   y  , b  2  )  21 22  z  5       a) Giải hệ phương trình phương pháp ma trận nghịch đảo b) Giải hệ phương trình phương pháp định thức Lời giải 1  x   1    427          a) Theo phương pháp ma trận nghịch đảo,  y         101  z   21 22   5  19          b) Theo phương pháp định thức x  A1 A  427, y  12 A2 A  101, z  A2 A  19 Ai ma trận có từ ma trận hệ số A cách thay cột thứ i vế phái hệ phương trình Câu 4.1: Trong không gian , cho W  (a  2b  c, a  c,2a  b  c) : a, b, c   a) Chứng minh W khơng gian vectơ 3 Tìm hệ sinh cho W b) Tìm số chiều sở W Lời giải: a) Ta có W  a(1,1,2)  b(2,0,1)  c(1, 1, 1) : a, b, c   = Span(S), S = u1  (1,1,2), u2  (2,0,1), u3  (1, 1, 1) Vậy W khơng gian vectơ 3 có hệ sinh S 1  1  1    2 h  h h    h  h h   b) 2    h  h h  2 3   2 3 1 1 1  2 3 0 0        1 3 3 Vậy dimW = 2, sở W v1  (1,1,2), v2  (0, 2, 3) Câu 4.2: Cho W = {(x1, x2, x3)3: x1 – x2 + 2x3 = 0} 3 a) Chứng minh W không gian vectơ 3 Tìm số chiều sở cho W b) Tìm W  Tìm số chiều sở W T Lời giải: a) Ta có x  ( x1 , x2 , x3 )  W  x1  x2  x3  x  ( x2  x3 , x2 , x3 )  x  x2 (1,1,0)  x3 (2,0,1) Vậy W không gian vectơ sinh u1  (1,1,0), u2  (2,0,1)  1  h  h h  1  A      2  0 1 2 13 Vậy dimW = rankA = Nhận xét: Ta giải thích W khơng gian vectơ W nghiệm hệ phương trình tuyến tính Việc giải hệ giúp ta tìm sở (cũng hệ sinh độc lập tuyến tính) số chiều W Do giải sau: Vì W nghiệm hệ phương trình tuyến tính x1  x2  x3  nên W không gian vectơ  x3  a   Ta có x  ( x1 , x2 , x3 )  W  x1  x2  x3    x2  b   x  b  2a  Do đó, W sinh sở u1  (1,1,0), u2  (2,0,1) dimW = b) Ta có: W  Span(S ) , với S  u1  (1,1,0), u2  (2,0,1)  v, u1  v  u1  x    Do đó, v  ( x , y, z)  W    v  u2 2 x  v, u2   y  z   z  a  a a  a a    y    ( x , y, z)   ,  , a   (1, 1,2) 2   a   x   Vậy W   a, a,2a  : a    Span(1, 1,2) dim W T W {(1,–1,2)} 14  = 1, đồng thời sở   Câu 4.3: Chứng minh W  u  ( x , y, z) : x  y a  z b1 khơng gian vector 3, a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên Lời giải: Lấy u1  (1,1,0), u2  (1,0,1)  W , ta có u  u1  u2  (2,1,1)  W 22 ≠ 1a + 1b+1 Vậy, W khơng ổn định với phép tốn cộng suy W không gian vector 3 Câu 5.1:   a) Tìm giá trị tham số m để S1  u1  (1,2, m  1); u2  (0, 3,5); u3  (0,4, m  2) độc lập tuyến tính 3   b) Tìm m để họ vectơ S2  (1,2, 1,1);(3,5,1,2);(4, m  1,0,3) độc lập tuyến tính 4 Lời giải: 1 m  14   3m  14   m   a) S1 độc lập tuyến tính  3 m2 1 1    2 b) S2 độc lập tuyến tính  rankS2 = |S2|  rankB = 3, với B    m  3    1 1  1 1 1 1      3h  h h    h  h h   B   3   1    1 1  4 h  h  h  1  m  1  1 m  7 0 0 m  6       c2 c4 2 3 Khi đó, rankB =  m – ≠  m ≠ Vậy, giá trị m cần tìm thỏa mãn m ≠ 15 3 Câu 5.2: Tìm hạng họ vectơ S sau 4 S  (1,4,0,3);(7, 8, 4, 3);(2,1,1,0);(1,13,1,9) Lời giải:  3 1 3   7 h  h  h   h  h h  8 4 3   36 4 24   h  h h  2 0 1 0 6     9 6  13 0 1 3    h  h h  36   24  Vậy rankS =    h  h h   0 0   0 0 0 1 3 4  4 Câu 6: Cho W  ( x1 , x2 , x3 , x4 )   : x1  3x2  x3  x4  0,2 x1  x2  x3  3x4   Tìm W  Tìm số chiều sở W  Lời giải:  x1 Ta có: x  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  W   2 x1  x2  x2  x3   x3 x4  x4    x3  a    x4  b    10b b b    x  a  10b  ( x1 , x2 , x3 , x4 )   a  , a  , a, b   a(1,1,1,0)  (10,1,0,1) 7     b  x2  a   Vậy, W  Span(S ) , với S  u1  (1,1,1,0), u2  (10,1,0,1) v  u1  v, u1   Do đó, v  ( x1 , x2 , x3 , x4 )  W     v, u2  v  u2 16  x1  a     x1  x2  x3  x  b     x4  10 x1  x2  x3  a  b  x  10a  b   v  ( x1 , x2 , x3 , x4 )   a, b, a  b, 10a  b   a(1,1, 10,0)  b(0,1, 1, 1) Vậy, W    a, b, a  b, 10a  b  : a, b   , dim W T = 2, sở W T v1  (1,1, 10,0), v2  (0,1, 1, 1)  4   Câu 7.1: Cho ma trận A  2   1   a) Tìm tất giá trị riêng A b) Gọi 1  2  3 ba giá trị riêng A Tìm tất tham số m   1  m3 giá trị riêng ma trận A Lời giải: a) PA ( x )  det( A  xI )   x  x  13 x  15 PA ( x )   x = x = –3 x = b) Ta có: 1  3  2   3  hay   1  m3  3  5m Do đó,  giá trị riêng ma trận A   = –3  =  =  m = m = 4/5 =0.8 m = 8/5 = 1.6 17 Câu 7.2: Cho a ngày sinh, b tháng sinh sinh viên  1 a    Cho ma trận A   b  1 m 0   a) Tìm đa thức đặc trưng A b) Tìm m để x = giá trị riêng A Tìm tất giá trị riêng thực cịn lại A (nếu có) Lời giải a) Đa thức đặc trưng A P( x )  det( A  xI )   x  (1  m) x  m(ab  a  1) b) x = giá trị riêng A  P(2) =  8  2(1  m)  m(ab  a  1)   m =  x    abx Khi đó, P( x )   ab  a   2abx  ax  3ab  2ax  x  3a  x   ab  a  (Sinh viên tự giải tiếp đơn giản dùng máy casio để tìm giá trị nghiệm thực cịn lại có) 18 ... b  b  a a  A   11 12  , B   11 12   AB   11 12   11 12  , BA   11 12   11 12   a21 a 22   b21 b 22   a21 a 22   b21 b 22   b21 b 22   a21 a 22   m (14  b)  1 14... a a  a  a A   11 12  = bảng số khác với det A  det  11 12   11  a21 a 22   a21 a 22  a21 (Sinh viên cần ký hiệu cho đúng! Sai điểm) a 12 a 22  số cụ thể Vấn đề 2: Tìm hạng ma trận cấp... A3 det A1 det A2 x ,y  ,z  det A det A det A  a11 a 12 a13   b1 a 12 a13   a11 b1      A   a21 a 22 a23  , A1   b2 a 22 a23  , A2   a21 b2  a31 a 32 a33   b3 a 32 a33   a31