tong on chuyen de cung va goc luong giac cong thuc luong giac

TỔNG ƠN CHUN ĐỀ CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 1) Các hệ thức lượng giác  sin x   cos x  • sin x  cos x     cos x   sin x  2 • 1   tan x  tan x  1 cos x cos x • 1   cot x  cot x  1 sin x sin x • tan x.cot x   cot x  tan x • sin x  cos x   sin x cos x ; sin x  cos x   3sin x cos x • sin x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x  ; sin x  cos3 x   sin x  cos x 1  sin x.cos x  2) Dấu hàm số lượng giác Góc I Góc II Góc III Góc IV sin x cos x         tan x     cot x     3) Mối quan hệ cung lượng giác đặc biệt ▪ Cung đối nhau:    cos     cos  sin      sin  tan      tan  cot      cot  ▪ Cung bù nhau:     cos       cos  sin      sin  tan       tan  Trang cot       cot  ▪ Cung  :      cos       cos  sin       sin  tan      tan  cot      cot       ▪ Cung phụ nhau:        cos      sin  2    sin      cos  2    tan      cot  2    cot      tan  2  4) Công thức cộng ▪ cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b ▪ cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b ▪ sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a ▪ sin  a  b   sin a cos b  sin b cos a ▪ tan  a  b   tan a  tan b  tan a tan b ▪ tan  a  b   tan a  tan b  tan a tan b 5) Cơng thức góc nhân đôi, nhân ba    sin 2  sin  cos   ▪ Cơng thức góc nhân đôi:  cos 2  cos   sin   cos     sin     tan 2  tan    tan   Trang    sin 3  3sin   3sin    ▪ Cơng thức góc nhân ba:  cos 3  4cos   3cos     tan 3  3tan   tan     tan  6) Công thức hạ bậc hai, bậc ba   sin    cos 2  ▪ Công thức hạ bậc hai:    cos 2  cos      sin   3sin   sin    ▪ Công thức hạ bậc ba:    cos   3cos   cos 3   7) Cơng thức biến đổi tích sang tổng ngược lại   cos a cos b   cos  a  b   cos  a  b     2    ▪ Cơng thức biến đổi tích thành tổng:  sin a sin b   cos  a  b   cos  a  b      sin a cos b   sin  a  b   sin  a  b     2  ▪ Công thức biến đổi tổng thành tích: cos u  cos v  cos uv uv cos 2 cos u  cos v  2 sin uv u v sin 2 sin u  sin v  2sin uv u v cos 2 sin u  sin v  cos uv uv sin 2 II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính giá trị hàm lượng giác lại cung x sau: a) sin x   ;0  x  c) tan x  ;   x  3 b) cos x    ;  x d) cot x   3 ;  x  2 2 Lời giải: Trang a) Từ sin x  Do  x   2 1  cos x   sin x     cos x   3 9  cos x   cos x  2   tan x  sin x     cos x 2 Từ ta được:    cot x   2  tan x  b) Từ cos x    sin x   cos x     sin x   5 5 Do   x    sin   sin x    tan x  sin x    cos x Từ ta    cot x   2  tan x c) Từ tan x   cot x  1  tan x   tan x  sin x   sin x  cos x     cos x Ta có     sin x  cos2 x   5cos x     cos x       sin x     sin x        cos x     5   sin x  2    3  sin x   Do   x     cos x   cos x  1   d) cot x   1  tan x   2 cot x   tan x  sin x  2  sin x  2cos x     cos x Ta có:    5cos x   sin x  cos x     cos x       sin x     sin x         cos x    5   sin x  2    3  sin x   Do  x  2   cos x    cos x    Ví dụ Tính giá trị hàm số lượng giác  a) sin x  ;  x  b) cot x   ;   x0 Trang c) tan x  cot x  ;  x   3 d) cos x   ;   x  Lời giải: a) Ta có: sin x   cos x   sin x  b) Ta có: cot x    tan x  1  cot x d) Ta có: cos x    1 1   sin x    ; cos x  cot x  cot x   tan x   cot x  tan x c) tan x  cot x   tan x  Khi sin x  ; tan x  ; cot x  ; cos x  2  sin x    cos2 x   ; cot x    tan x   6 Ví dụ Tính giá trị hàm số lượng giác a) tan x  cot x   3 ;  x  b) tan x    ;  x Lời giải: a) Ta có: tan x  cot x    cot x   tan x    tan x 3 tan2 x  2tan x    tan x   3 1 ; sin x     cos x    2 tan x  cot x b) Ta có: tan x    cot x   3 tan x sin x  1  cot x   cos x   2 Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) A   cos x  sin x  cos x b) B   sin x.cos x  cos x cos x Lời giải: a) Ta có: A   cos x 1  cos x 1      0 2 sin x  cos x  cos x  cos x  cos x  cos x b)Ta có: B   sin x.cos x sin x  cos x  sin x cos x  cos x  cos x cos x  tan x    sin x  cos x   tan x Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) A   cos x  cos x   cos x  cos x b) B   cot x.sin x  Lời giải: Trang a) A    cos x  cos x  cos x  1  cos x  2 cos x  2 cot x,   sin x  1      cot x,  1  sin x    cos x  cos x sin x  cos x  b) B   cot x sin x    cos x   sin x  Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau a) tan x  sin x  tan x sin x c)  b) sin x  cos x  cos x  sin x  cos x  1  sin x d) tan x tan y  tan x  tan y sin x cos x   sin x cos x  cot x  tan x cot x  cot y Lời giải: 2 sin x sin x  sin x cos x sin x 1  cos x  a) tan x  sin x   sin x    tan x sin x cos x cos x cos2 x 2 b) Áp dụng cơng thức góc nhân đôi ta được: x x 2sin cos  2sin sin x  cos x  2  sin x  cos x  2sin x cos x  2sin 2 x sin x  cos x  sin x  x x   cos  sin 2 2    2 , 1 x x x x  x x  2sin  cos  sin  cos  sin 2 2 2 x x x x  sin cos  sin cos x 2  2 ,  2  Mặt khác x x  sin x  x x cos  sin sin  cos   2 2  cos Từ 1   suy điều phải chứng minh c) Ta có:   1 sin x cos x sin x cos x sin x cos x   1   1  cos x sin x  cot x  tan x sin x  cos x sin x  cos x 1 1 sin x cos x  sin x  cos x   sin x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos3 x  1 sin x  cos x sin x  cos x   1  sin x cos x   sin x cos x  đpcm sin x sin y sin x cos y  sin y cos x  tan x  tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d)     tan x tan y  đpcm cot x  cot y cos x  cos y sin x cos y  sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y Ví dụ Rút gọn biểu thức sau A cos x  cos x cot x sin x  sin x tan x cos x  sin x 1  sin x  1  sin x  B 1  sin x  cos x  1  sin x  cos x  sin x C  1  cot x  sin3 x  1  tan x  cos3 x  sin x cos x Trang D  sin x  4cos2 x  cos4 x  4sin x Lời giải: 2 cos2 x cos x  sin x  cos x  cos x  cos x cos x  cos2 x cot x cos4 x sin x  sin x    cot x • A 2 sin x sin x  sin x tan x sin x sin x  cos x  sin x  sin x  sin x cos x cos2 x • Xét cos x  sin x 1  sin x   sin x  sin x 1  sin x   1  sin x  cos x  1  sin x  cos x 1  sin x   sin x  cos x 1  sin x 1  sin x  2sin x   1  sin x   cos x 1  sin x   B 2cos x 1  sin x  1  sin x 1  sin x   sin x    cos x 2cos x  sin x cos x cos x • C  1  cot x  sin3 x  1  tan x  cos3 x  sin x cos x  cos x     sin x    sin x  cos3 x  sin x cos x     cos x  sin x      sin x  cos x  cos x sin x  cos x sin x  sin x cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  sin x cos x   cos x sin x  sin x  cos x   sin x cos x   sin x  cos x 1  sin x cos x   sin x cos x  sin x  cos x  1  sin x  cos x  sin x cos x • D  sin x  4cos x  cos4 x  4sin x  1  cos x   cos x  2cos x   sin x  2sin x    cos 2 1  sin x   cos x  x  1   sin 2 x  1  sin x  sin x  cos x   Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: a)  sin x   cot x  cos x b) 1  sin x 1  cos x   1  sin x  cos x  Lời giải: a) Ta có  sin x  sin x sin x  cos x     cot x 2  cos x sin x sin x x  sin 2x   2sin x  2sin x cos x  2cos x b) Ta có VP  1  sin x  cos x   cos  1  1  sin x 1  cos x   VT Suy đpcm Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau a)  4sin x cos2 x  sin x  cos x    sin x  cos x  b) sin x  cos x  cos x  tan x cos x  sin x  sin x Trang Lời giải:  4sin x cos x a) VT   sin x  cos x    sin x  cos x   sin x cos x 1  sin x cos x   sin x  cos x   sin x  cos x  1  sin x cos x     2sin x cos x  sin x  cos x  sin x cos x  sin x  cos x    sin x  cos x   VP Suy đpcm 2 2 sin x  cos2 x  cos4 x sin x  cos x 1  cos x  sin x  cos2 x sin x   b) VT  cos2 x  sin x  sin x cos2 x  sin x 1  sin x  cos2 x  sin x cos x  sin x 1  cos2 x  cos2 x 1  sin x   sin x  tan x  VP Suy đpcm cos x Ví dụ 10 Chứng minh đẳng thức sau a) tan x sin x   cos x sin x cot x b) sin x  cos x   sin x  cos x  Lời giải: a) VT  tan x sin x  sin x    cos x  VP sin x cot x cos x b) VT  sin x  cos2 x   2sin x cos2 x  sin x  cos x     VP 6 2 2 2 sin x  cos x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   Ví dụ 11 Chứng minh đẳng thức sau a) sin x  cos x  cos x   cos x sin x  cos x  b)   tan x  cot x sin x.cos x Lời giải: a) Ta có sin x  cos x  cos x   sin x  cos x  cos x   cos x 1  cos x   cos x sin x  cos x  Nhận xét: sin x  cos2 x  2cos x   2cos x  2cos2 x  2cos x 1  cos x  Suy đpcm b) VP   tan x  cot x    sin  x  cos2 x  2 sin x.cos x  sin x cos x sin x cos x  sin x  cos x   cos x sin x sin x.cos x  VT  đpcm sin x.cos2 x Ví dụ 12 Chứng minh đẳng thức sau a) sin x  cos x   6 sin x  cos x  cos x  b) cos x  sin x  cos x    sin x Lời giải: Trang a) Ta có: VT  sin x  cos x  sin x  3cos x   sin x  cos x  3cos x   sin x  cos x 3  3sin x cos x  sin x  cos x   3cos x  1  cos x   3cos x   sin x  3cos x  4cos x  cos x      VP 3sin x cos x  3cos x 3cos x  3cos x 1  cos x  6cos x  3cos x b) Ta có: cos x  sin x  cos x   cos x 1  sin x   1  sin x 1  sin x    sin x Ví dụ 13 Chứng minh đẳng thức sau: a) A  cot x   tan x  cot x  b) B  cos x  sin x  sin x cos x  3sin x Lời giải: a) A  cot x  cos x cos x  sin x cos x  sin x      1 tan x  cot x  sin x  cos x cos x  sin x sin x  cos x b) B  cos x  sin x  sin x cos x  3sin x  cos x  1  cos x   cos x   cos x   cos x  1  cos x  cos x    cos x  1  cos x   Ví dụ 14 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x ? a) A  tan x  sin x cot x 2 cot x  cos x b) B  sin x tan x  sin x  tan x  3cos x  sin x  tan x  sin x  cos a) A   cot x  cot x  cos x cos x   sin 2 Lời giải:   1 sin x sin x cos x x  cot x  1  cos x cos x sin x  1 x  b) B  sin x tan x  sin x  tan x  3cos x  tan x  sin x  1  sin x  cos x  sin x   tan x cos x   sin x   sin x   sin x  Ví dụ 15 Tính giá trị biểu thức a) A  cos x  cos x.sin x  sin x , với sin x  cos x b) B   cos x  sin x 12  ,với cos x    x    cos x 13 c) C  sin x  sin x cos x  cos x , với sin x  cos x tan x  tan x  Lời giải:   2 cos x  cos x.sin x  sin x  tan x  tan x  tan x    1  4   a) A   1 tan x  sin x  cos x Trang   cos x   12  144  13  cos x   b) Ta có:  169  sin x   B    13 25   x   sin x   c) C  sin x  sin x cos x  cos x sin x  sin x.cos x  cos x  sin x  cos x sin x  cos x C  tan x  tan x  11  tan x  Ví dụ 16 Chứng minh đẳng thức sau a) sin x  cos x  cos x  cos 2 1  cos x    1  cot x   cos1 x  1 x b)   tan x  Lời giải: a) Ta có: sin x  cos4 x  cos2 x 1  cos2 x   sin x  cos x  cos x  2 sin x  1  cot x  cos1 x  1 2 b) Ta có:    tan x  = sin x cos x  sin x cos x Ví dụ 17 Rút gọn biểu thức sau:    3   x  cot  2  x   tan   x 2     3   5   x cos  x  3  cot   x b) B  sin      a) A  sin  x     cos  c) C  2sin 2550 cos  188   tan368 2cos 638  cos98 Lời giải:    3   x  cot  2  x   tan   x 2         sin x  sin x  cot x  tan     x   cot x  cot x     3   5        B  sin   x cos  x  3  cot   x  sin     x cos  x    2  cot  2   x b)               sin   x cos  x    cot   x   cos x   cos x    tan x   sin x cos x 2  2  a) A  sin  x     cos  c) C  2sin 2550 cos  188  sin  7.360  30  cos  180   8       tan 368 2cos 638  cos98 tan  360  8    cos  180  8   cos  90  8    Trang 10 A B C tan a D tan a         cos2     4  4  Câu 95 Rút gọn biểu thức M  cos  A M  sin 2 B M  cos 2 C M  cos2 D M  sin2 Câu 96 Mệnh đề sau mệnh đề sai?    4    4   A cos x  sin x  cos  x   B cos x  sin x  sin  x   C cos x  sin x  sin  x       4    4  D sin x  cos x  sin  x   Câu 97 Nếu  ,  ,  ba góc nhọn thỏa mãn tan     sin   cos  A        B        Câu 98 Nếu sin  cos      sin  với     A tan      2cot  Câu 99 Nếu       A Câu 100 Nếu B tan      2cot     k ,     D       3  l  k l  Z  C tan      tan  D tan      tan  cot   cot   cot  cot  cot  C B  ta n  C       D 3 tan  hai nghiệm phương trình x  px  q   q   giá trị biểu thức P  cos      p sin     cos      q sin     bằng: A B q Câu 101 Tìm giá trị lớn M p A M  1, m  5 C D p q giá trị nhỏ m biểu thức P  3sin x  B M  3, m     3 C M  2, m  2 D M  0, m  2  Câu 102 Cho biểu thức P  2sin  x    Mệnh đề sau đúng? A P  4, x  R B P  4, x  R    3 C P  0, x  R D P  2, x  R  Câu 103 Biểu thức P  sin  x    sin x có tất giá trị nguyên? A B Câu 104 Tìm giá trị lớn M A M  3, m  C D giá trị nhỏ m biểu thức P  sin x  cos x B M  2, m  C M  2, m  D M  3, m  Trang 28 Câu 105 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  sin x  3cos x Tính 2M  m A B D 130 C 1 2 Câu 106 Cho biểu thức P  cos x  sin x Mệnh đề sau đúng? A P  2, x  R D P  C P  2, x  R B P  1, x  R , x  R Câu 107 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m biểu thức P  sin x  cos x B M  2, m   A M  2, m  2 D M  1, m  C M  1, m  1 Câu 108 Tìm giá trị lớn M giá trị nhỏ m biểu thức P  sin x  cos x A M  2, m  B M  1, m  Câu 109 Tìm giá trị lớn A M  3, m  1 M C M  1, m  D M  ,m  giá trị nhỏ m biểu thức P   cos x B M  1, m  1 C M  2, m  2 D M  0, m  2    4  Câu 110 Tìm giá trị lớn biểu thức P  4sin x  sin  2x   A B 2 1 1 C Câu 111 Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB 22 D  , đáy lớn CD Biết AB  AD tan BDC  Tính giá trị cos B AD A 17 25 B  25 Câu 112 Cho bất đẳng thức A  C 25 D  17 25 17   cos B  4sin B    , A, B, C ba góc tam giác 4 64 cos A ABC Khẳng định là? A B  C  120  B B  C  130    120  C  AB   140  D  AB ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-A 3-C 4-A 5-D 6-D 7-C 8-D 9-B 10-A 11-B 12-D 13-D 14-C 15-A 16-C 17-C 18-B 19-C 20-A 21-C 22-A 23-A 24-C 25-B 26-D 27-D 28-B 29-D 30-A 31-C 32-C 33-B 34-B 35-D 36-C 37-C 38-A 39-C 40-C 41-C 42-D 43-D 44-A 45-B 46-C 47-C 48-A 49-D 50-C 51-D 52-B 53-A 54-B 55-C 56-B 57-D 58-D 59-A 60-D 61-D 62-B 63-A 64-D 65-D 66-B 67-B 68-B 69-C 70-A Trang 29 71-A 72-D 73-C 74-A 75-D 76-B 77-D 78-D 79-B 80-C 81-C 82-A 83-D 84-A 85-A 86-B 87-D 88-D 89-C 90-A 91-C 92-C 93-A 94-B 95-D 96-C 97-B 98-C 99-C 100-C 101-A 102-C 103-C 104-C 105-A 106-B 107-C 108-C 109-B 110-D 111- 112-  Câu 1: P  cos 4  2cos 2    2sin  Câu 2: Do  2  16  527         Chọn B 25  625   sin   3       P0  cos   Lại có: P   sin   cos     sin  cos    sin 2   P  Chọn A Câu 3: P  sin   cos    sin   cos    sin  cos    1    sin 2    2   sin  cos   2   Chọn C  3 Câu 4: P  sin      sin  2  2   sin 2  2sin  cos  Mặt khác       cos   cos    sin    cos    25 3 24 Suy P   Chọn A 5 25 Câu 5: P    sin 2  cos 2 1  cos 2   sin 2 2cos2   2sin  cos    sin   cos  sin   cos  sin   cos  2cos  sin   cos  sin   cos  Do      2cos 2 nên cos  cos    sin   5  cos   P Chọn D 3 3 16 Câu 6: Ta có: sin         sin    cos    sin   5 25 Do     3  cos    cos       sin   cos  Khi P  sin      sin  cos  cos  sin  6 6 2   3 3    Chọn D 5 10 Trang 30 Câu 7: Do 3 144 12    2 nên sin   , mặt khác sin    cos    sin   169 13 12 sin 2 2sin  cos  13 13  120 Chọn C Lại có: P     52 cos 2 119 cos       13     cos      cos      5  1     P         Chọn D Câu 8: cos 2       6  6  1  2sin     sin      Câu 9: Do 3    2  sin   , lại có sin    cos     16 16   3   21  , P  cos      cos   sin    Chọn B 4 3  Suy sin    Câu 10: Do     Do sin   Câu 11: Do    tan   1 3  Chọn A  tan   , P  tan        tan      Suy sin 2   3 16  sin   , lại có sin    cos     25 25     2    sin 2  , lại có sin 2   cos 2   16  25 25     , P  cos  2    cos 2 cos  sin 2 sin   cos 2  sin 2  4 4        Chọn B  5  10 Câu 12: P  sin  Mặt khác     cos 3 1   sin 2  sin     2sin  cos   sin    sin   cos   1 2 2 3 3  sin    sin     cos   3  4  39   1  Chọn D   50 Do P  Câu 13:  5       cot       cot         cot       tan   2     2   tan   tan      = -3 Chọn D  Khi đó: P  tan       1 4   tan  tan Trang 31 2sin  cos  sin  cos  cot  30 15 sin  Câu 14: P  sin 2  Chọn C     2 2 2 113 sin   cos  sin   cos   cot   15 sin   Câu 15: P  tan Mặt khác  2  cot    sin  cos  cos sin   sin   sin      sin   , mà  cot    cos2  cos    2  sin  sin  1  sin   19 sin  Suy sin    P  19 Chọn A 19  3    3  ; 2     ; Câu 16: Ta có:        Suy P  sin    sin     2    1  cos      2        , ta có:  cos  P   sin  cos    sin cos   sin  2 2 2    16  cot     sin     cot  25 Lại có tan     3  4 1 ;2   sin    sin    P2   P   Chọn C 5   Mà    sin 2 sin 2 tan  sin   cos    tan 2  Câu 17: P  cos 4  2cos 2 2cos 2  tan   cos2   sin     tan    10 Chọn C    tan  Câu 18: Cho góc  thỏa mãn tan   cot   sin   A P  25 B P   HD: Do tan   nên cot  ta n  25 Câu 19: Ta có  C P  25 D P   25 cot  dấu Mặt khác tan   cot    tan   , sin   Khi cos     sin    Tính P  sin 2   cos   4  P  sin 2  2sin  cos   Chọn B 25      cos   Trang 32 Mặt khác sin   cos       cos    cos    cos   cos   Suy cos    24 Chọn C  sin    P  sin 2  sin  cos   5 25                     Câu 20: P  sin     sin       sin  cos  cos  sin   sin  cos  cos  sin  6 6 6    1       sin   cos    sin   cos    sin   cos      1  sin       2 4  5     27   11      Chọn A 100  25  100 Câu 21: Ta có cos a  cos a  sin a  cos a    sin a Chọn C  21  21 21 Câu 22: cos     cos  cos  sin  sin   sin   cos     4   3  21  2  Lại có : cos     sin          cos    Chọn A   10  5  sin  3 tan  3 1  tan   tan    Chọn A cos  cos  Câu 23: P    sin   tan   tan   tan   tan   2 cos  cos  Câu 24: Ta có sin  a  b   sin a cos b  cos a sin b Mà cos a    cos a   Suy sin  a  b   12 ; sin b   cos b  13 5 12 33    Chọn C 13 13 65 Câu 25: Ta có cos      cos  cos   sin  sin  Mà cos     cos    Suy cos       Câu 26: P  12 ; sin    cos   13 12 16    Chọn B 13 13 65 1   cos  a  b  a  b   cos  a  b  a  b    cos a  cos 2b  2  1  Lại có cos 2a  cos a        ; cos 2b  cos b     3    1    4  7 119 Vậy P        Chọn D 2 8 144 Câu 27: Ta có P  cos   a  b   cos  a  b   Trang 33 Lại có cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b   sin a  sin2 b  sin a.sin b  1 74 P Chọn D 18  tan   tan   Câu 28: tan             Chọn B  tan  tan  1 1 5 24  Câu 29: sin a  cos a   sin a    sin a    sin a  sin a    sin a  25 5  2 4 tan a   24 Chọn D  Suy cos a  sin a    tan a   tan 2a  2 5  tan a 4 1   3 tan  a  b   tan  a  b  11 Câu 30: tan  a   tan   a  b    a  b   Chọn A   tan  a  b  tan  a  b  27 Câu 31: Do    Câu 32: Do             ;    sin      Chọn C 2             cot      2   Mặt khác tan      tan   Chọn C  3        tan      cot    2  Câu 33: Ta có tan  Mặt khác     3  cot   Chọn B         tan      cos     tan      sin    tan     sin  cos    2  Câu 34: Ta có M  cos   Do       cos    M  Chọn B   cos  Câu 35: Ta có M  sin     cot      cos  cot   sin  2  Mặt khác     3  sin    M  Chọn D Câu 36: cos 180      cos   cos2 180     cos2  Do sin   cos2  180     Chọn C Câu 37: ta n  có nghĩa cos       k  Chọn C Trang 34 Câu 38: tan  cot    sin  cos    sin 2   2  k     k Chọn A       cos            k     3     Câu 39: Biểu thức P xác định       k  Chọn C      sin            k     6    Câu 40: Ta có sin150  sin30 nên sin60  sin150 , cos30  cos60 tan 45  tan60 cot 60  cot 240 Khẳng định C Chọn C Câu 41: Do tan   k   tan   tan  2017     tan  Chọn C           Câu 42: A  cos      sin      cos      sin      sin   sin   Chọn D 2 Câu 43: S  sin x.sin x  cos x   cos x   sin x  cos2 x  Chọn D Câu 44: P  sin     cos        sin     cos    sin  cos           cos      cos .cos       cos .sin      sin  cos  2  2  2  Lại có Q  sin  Do P  Q  Chọn A        3   x    cos  8  x   Câu 45: sin   x   sin 10  x     cos      2      2   2   cos x  sin x      cos  x   cos   x    sin x  cos x    cos x  sin x         sin x  cos x   Chọn B  2 2 2  x      cot   x   1  cot x   1  cot x    cot x     Câu 46: P    tan    1  cot x   Chọn C sin x Câu 47: tan    Mặt khác  1 25  tan   1  2 144 cos  cos       tan    tan    Chọn C 12  sin   Câu 48: Do 180    270    cos   Mặt khác tan    1 1  cos     cos   2 cos   tan  5 Trang 35 Khi sin   tan  cos     cos   sin    Chọn A 5 Câu 49: Ta có 90    180  cos   Mặt khác cos    sin   16 4 cos  4  cos    cot    25 sin  Khẳng định D Chọn D Câu 50: Ta có 0    90  sin   Mặt khác  cot   Câu 51: Do  1 16  sin     sin   Chọn C 2 sin   cot  25      cos    cos     sin   4 sin  3 12 Chọn D  P cos  25 Suy tan   1 Câu 52: Ta có sin         sin     sin   3 Mặt khác       cos    cos     sin   2  7    cos      tan      cot    2 Chọn B sin    2  Khi P  tan  Câu 53: Do   Do tan   Câu 54: Ta có Do tan       sin   suy sin     cos   4 4 3 sin  4 3    Chọn A , cot   suy P    cos       sin   suy sin    cos   sin   suy P  tan   tan    cos     4  tan   1  tan    Chọn B    Câu 55: Ta có tan           k    k Do 4         2      P  cos      sin   cos      sin   Chọn C 6 6    Câu 56: Ta có       cos   Mặt khác cos     cos     sin   tan  cos   5  tan  25 Trang 36 16  sin   cos  25 31 Do P    Chọn B sin   cos  11  25 3sin   cos  3sin   2cos  tan   cos  Câu 57: P     Chọn D 5cos   7sin  5cos   sin   tan  19 cos  3sin   cos  3sin   cos   cot  sin  Câu 58: P     13 Chọn D 2sin   5cos  2sin   5cos   5cot  sin  Câu 59: Chia tử số mẫu số cho cos  ta P tan   tan   2.4  3.2  Chọn A   5.4  13 tan   Câu 60: Chia tử số mẫu số cho cos  ta 1   tan   3tan   P    Chọn D 19  tan  5 Câu 61: P  sin   cos    sin   cos   sin   cos    sin   cos    cos  Lại có: cos   1 12   P  1  Chọn D 26 13  tan  26 Câu 62: sin   cos   25 25  (sin   cos  )    sin  cos   16 16 25 1  Suy P  sin  cos   16 Chọn B 32 Câu 63: P  sin   cos   (sin   cos  )  sin   sin  cos   cos    (sin   cos  )(1  sin  cos  ) Lại có: (sin   cos  )   sin  cos    Mặt khác sin   cos    sin   cos   24 49  25 25 7  12  91  P      Chọn A 5  25  125  (sin   cos  )   sin  cos  Câu 64: Ta có   (sin   cos  )   sin  cos   Do (sin   cos  )  (sin   cos  )   (sin   cos  )  Trang 37 Mặt khác      sin   cos   P  sin   cos    P   Chọn D  (sin   cos  )   sin  cos  Câu 65: Ta có:   (sin   cos  )   sin  cos   Do (sin  cos)  (sin  cos)   (sin  cos)   m 2 2 Do P | sin   cos  |  m Chọn D Câu 66: P  tan Câu 67: P  tan   cot2   (tan  cot )2  2tan.cot     Chọn B   cot3   (tan  cot )3  3tan.cot (tan  cot )  53  3.5  110 Chọn B  sin  cos    2 Câu 68: P  tan   cot   (tan   cot  )  tan   cot      cos  sin     sin   cos2    2   2  (sin  cos  )2  sin  cos   Mặt khác sin   cos   1 1  (sin   cos  )2    2sin  cos    sin  cos   2 Suy P  16   14 Chọn B  (tan   cot  )  tan    cot  Câu 69: Ta có   (tan   cot  )  tan    cot   (tan  cot )2  (tan  cot  )2   P2 1   P2  Chọn C Mặt khác  tan          P0 P   cot    Câu 70: Ta có sin   cos   cos    2sin    sin     sin    8sin   sin   Suy sin        sin     13sin   8sin       sin     13 Do sin    sin    Chọn A 13 x x x sin x  cos x  1 sin cos  sin x   2  Câu 71: A   tan Chọn A   x x x x 2 cos  cos cos  cos  1 2 2  Trang 38 Câu 72: A  sin  cos  cos   sin    sin  cos   cos   sin   A 1 sin 2 cos 2  sin 4 Chọn D Câu 73: A   cos   cos 2 cos   cos  cos     cot  Chọn C sin 2  sin  sin   cos   sin  sin  Câu 74: Ta có: sin a   sin a  sin Câu 75: Ta có: (sin x  cos x )   a   a   2sin    cos    Chọn A  4  4  1   sin x   sin x   Chọn D 4 Câu 76: cos( a  b)  cos a cos b  sin a sin b Chọn B Câu 77: Ta có cos(   )  cos  cos   sin  sin  Lại có cos     sin    Vậy cos(   )   12 ;sin    cos   13 12 16 Chọn D   13 13 65 Câu 78: Ta có sin (2018 )  cos (2018 )   Khẳng định D sai Chọn D 2 Câu 79: M  (sin x  cos x)  (sin x  cos x) 2    sin x  sin x cos x  cos x  sin x  sin x cos x  cos x  sin x  cos x  Chọn B Câu 80: M  sin x sin y sin x cos y  sin y cos x sin( x  y ) Chọn C    cos x cos y cos x cos y cos x cos y Câu 81: sin x  cos x   sin x  cos x   sin x cos x   1 1 (2 sin x cos x)   sin 2 x 2  cos x Chọn C (1  cos x )  4 Câu 82: sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x   sin x  cos x   cos x Chọn A    Câu 83: M  sin x  cos6 x  sin x  cos x  3sin x cos2 x sin x  cos2 x    3sin x cos x   sin 2 x Chọn D Câu 84: Ta có cos3x.cos x    a Câu 85: cos      2 (cos x  cos x) Chọn A      cos   a   cos   (a ) 2   2    sin(a)   sin a Chọn A 2 2 Câu 86: M  sin( y  x )  sin y cos x  cos y sin x  sin y cos x  cos y sin x sin x  sin y sin x sin y sin x sin y sin x sin y Trang 39  cos x cos y   cot x  cot y Chọn B sin x sin y Câu 87: M  cos x  cos x  cos x  (cos x  cos x)  cos x  cos x cos x  cos x  cos x(2 cos x  1) Chọn D Câu 88: M  sin x  sin x cos x sin x   2sin x Chọn D cos x cos x  Câu 89: A   cos x 2 cos x  cos x   cos x  (cos x  cos x )  cos x  cos x  A  cos x  cos x   cos x  cos x cos x cos x (cos x  cos x )   cos x Chọn C cos x  cos x cos x  cos x sin  cos   tan   cot  Câu 90: A   cos 2  cos  sin   cos 2 sin  cos  tan   cot   cos  sin  sin   cos   cos   cos 2  sin   cos   cos 2  Chọn A  sin sin   cos  sin  cos  Câu 91: A   sin 2 (sin 2  cos 2 )  tan 2 Chọn C cos 2 (cos 2  sin 2 ) Câu 92: A     sin 4  cos 4  cos 4  sin 4 sin 2  sin 2 cos 2    sin 4  cos 4  cos 4  sin 4 cos 2  sin 2 cos 2 sin 2  sin   sin  cos  sin 2  sin   (2 sin  cos  )   sin 2  sin   sin 2  sin  sin 2  4sin   sin 2  4sin  cos2    sin  4sin   cos2   sin  Câu 93: A      4sin  4sin  cos2   4cos  4sin   tan    Chọn C 4cos  sin 2  sin  sin  cos   sin  sin  (2 cos   1) sin      tan  Chọn A  cos 2  cos  cos  (2 cos   1) cos  cos   cos   sin a  cos 2a 2sin a  sin a sin a(2sin a  1)    tan a  Chọn B Câu 94: A  sin 2a  cos a 2sin a cos a  cos a cos a(2sin a  1)     Câu 95: M  cos      cos     4  4        cos   2   cos   2  2   2   2     1       cos   2   cos   2    (  sin 2  sin 2 )   sin 2 Chọn D  2  2   Trang 40  Câu 96: Ta có sin x  cos x  sin  x          ;cos x  sin x  cos  x   Chọn C 4 4                Chọn B 2  Câu 97: tan(   ).sin   cos   tan(   )  cot   tan  Câu 98: sin  cos(   )  sin   1 sin(2   )  sin   sin  2  sin(2   )  3sin   sin(2   )  sin    cos(   ).sin   sin(   ).cos   [sin(2   )  sin  ] sin(   ) sin   cos(   ) cos  Vậy sin  cos(   )  sin   tan(   )  tan  Chọn C         2tan(   ) 2  Câu 99: cot   cot   2cot   cot   cot   1 tan   tan  cot   cot   cot   cot    tan  tan  cot  cot    cos  , cot     cos  cot   Chọn C cos  cot   Câu 100: tan( a   )  Lại có P  tan   tan  p ( hệ thức Vi-et)   tan  tan   q P   p.tan(   )  q.tan (   ) cos (   )  p.tan(   )  q.tan (   )   tan (   ) Câu 101: Có  sin x     p p2   q (1  q)2  Chọn C p2 1 (1  q)2  p P2     P  suy M  1, m  5 Chọn A   2P    P  Chọn C Câu 102: Ta có  sin  x       3  Câu 103: P  sin x  cos   cos x  sin   sin x   sin x  cos x 2              2 Lại có   sin x  cos x           sin x  cos x   P               Do  1 P  mà P    P  {1; 0;1} Chọn C Câu 104: Ta có P   cos x  cos x    cos x  cos x  P  2 2 Trang 41 M  Lại có 1  cos x     P     P    Chọn C m  Câu 105: Ta có : P   cos x  3cos x   cos x  cos x   P  M  2M  m2  Chọn A Lại có 1  cos x      P    P     m  Câu 106: sin x  cos x   sin x  cos x   sin x.cos x   sin 2 x Suy sin 2 x   P  [0;1]    P    P  Chọn B Câu 107: P  sin x  cos x   sin x  cos x  sin x  cos x    cos x  [  1;1] Chọn C  Câu 108: P  sin x    cos x   sin 3 2  x  cos x sin x  sin x.cos x  cos4 x  1  4P  sin x  cos x  sin 2 x   sin 2 x  sin 2 x   sin 2 x  sin 2 x  4 Lại có sin 2x [0;1] nên  Câu 109: | cos x | Câu 110: P  4  4P 1    P   M  1; m  Chọn C 4 1 P 1 P  [0,1]       P  Chọn B 2   cos 2x   sin x  cos 2x   sin 2x  cos 2x   sin  2x   4            Lại có sin  x      sin  x      Pmax   Chọn D 4  (so le trong)  tan BDC   tan  ABD  BDC Câu 111: Ta có  ABD   Đặt  ABD    BA D    2  cos  BAD  cos(  2 )   cos 2 Lại có tan   16 Chọn B  cos     cos 2  cos    25  tan  25 Câu 112: Ta có cos A   cos A.cos A 1  cos A    cos A  cos A  1 4 64 cos A 64 cos A 64 cos A 1 1      cos A   4 4 64cos A 64cos A 64 Lại có 2cos2B  4sin B  2sin B  4sin B   2(sin B 1)   Suy cos A  17 17   cos B  4sin B       0 64 cos A 4 Dấu xảy cos A  ; sin B   A  60 ; B  90 Chọn A Trang 42 ...cot       cot  ▪ Cung  :      cos       cos  sin       sin  tan      tan  cot      cot       ▪ Cung phụ nhau:        cos... u  sin v  cos uv uv sin 2 II HỆ THỐNG VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ Tính giá trị hàm lượng giác lại cung x sau: a) sin x   ;0  x  c) tan x  ;   x  3 b) cos x    ;  x d) cot x   3... sin     sin     6  6  11 100 C P  25 D P  10 11 Câu 21 Cho góc lượng giác  Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A cos 2   sin  B cos 2  cos   sin  C cos 2   cos