chuyen de vecto va cac phep toan toan 10 ket noi tri thuc voi cuoc song diep tuan

MỤC LỤC CHƯƠNG IV VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1 ĐỊNH NGHĨA VECTƠ A Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………………1 B Phân dạng, tập minh họa câu hỏi trắc nghiệm…………………………………………… Dạng Xác định vectơ, phương, hướng, độ dài…………………………………………… Dạng Chứng minh hai vectơ nhau…………………… …………………………………… TỔNG, HIỆU CỦA HAI VECTƠ A Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………… 18 B Phân dạng, tập minh họa câu hỏi trắc nghiệm………….……………………………….19 Dạng Xác định độ dài tổng, hiệu hai vec tơ… ……………………….………………… 19 Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ……… ………….………………………………… ……….28 Dạng Bài toán thực tế-Ứng dụng Vật Lý…….……….………………………………… ……….45 TÍCH CỦA MỘT VECTƠ VỚI MỘT SỐ A Lý thuyết………………………………………………………………………………………………………….48 B Phân dạng, tập minh họa câu hỏi trắc nghiệm……………………………….………….50 Dạng Dựng tính độ dài vectơ chứa tích vectơ.…………… ……………………….50 Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ…………………………………………………….… ………57 Dạng Xác định vị trí điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ………… …………………… 70 Dạng Phân tích vectơ theo hai vectơ không phương……………….… …….79 Dạng Chứng minh hai điểm trùng nhau, hai tam giác có trọng tâm.……….…90 Dạng Tìm tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện vectơ cho trước……………….……….…96 Dạng Xác định tính chất hình biết đẳng thức vectơ…………………… 101 Dạng Chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị liên quan đến độ dài vectơ… 105 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………… 108 B Phân dạng, tập minh họa câu hỏi trắc nghiệm…………………………….………… 112 Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ độ dài đại số vectơ ( O, i ) … 112 Dạng Tìm tọa độ điểm, vectơ ( Oxy ) …………………………… ……….….…… 115 Dạng Tính tọa độ tổng, hiệu tích điểm vectơ ( Oxy ) … 120 Dạng Tính tọa độ điểm hình ( Oxy ) ………………………………….… 127 Dạng Sự phương hai vectơ ( Oxy ) ……………………………………….……137 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 146 A Lý thuyết……………………………………………………………………………………………………… 146 B Phân dạng, tập minh họa câu hỏi trắc nghiệm…………………………….………… 148 Dạng Xác định góc hai vectơ ……………………………………………………………… 148 Dạng Biểu thức tọa độ tích vơ hướng … …………………………… ……….….…….153 Dạng Xác định biểu thức tích vơ hướng, góc hai véctơ………………… … 171 Dạng Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức tích vơ hướng, tính độ dài… 183 Dạng Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng…………………… ……………….193 Dạng Điều kiện để hai véctơ vng góc ………………… ………………… ………………201 Dạng Tìm giá trị lớn nhỏ nhất…………………… ………………… ………………204 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam VÉC TƠ VÀ CÁC PHÉP TỐN §BÀI Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ ĐỊNH NGHĨA VÉC TƠ VÀ TỔNG HIỆU HAI VÉC TƠ A LÍ THUYẾT I Định nghĩa: Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đoạn thẳng rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối Vectơ có điểm đầu (gốc) A , điểm cuối (ngọn) B ta kí hiệu : AB Hướng từ gốc đến gọi hướng véctơ Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài véc tơ AB , kí hiệu AB Vậy AB = AB Ví dụ hình vẽ bên vectơ AB có Điểm gốc A Điểm B Phương (giá) đường thẳng AB Hướng từ A đến B Độ dài ( môđun) AB Nhận xét: Vectơ cịn kí hiệu là: a, b, x, y, B A Vectơ – khơng, kí hiệu = AA = BB FF vectơ có : ① Điểm đầu điểm cuối trùng ② Độ dài ③ Hướng II Hai vectơ phương, hướng Giá vec tơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ Hai vectơ phương hai vectơ có giá song song trùng (chúng nằm đường thẳng nằm hai đường thẳng song song) Ví dụ ⋆ Từ hình vẽ ta thấy hai véctơ AB CD có giá nằm đường thẳng(trùng) nên chúng phương ⋆ Từ hình vẽ ta thấy hai véctơ QP MN có giá song song nên chúng phương Nhận xét: AB phương với CD AB CD bốn điểm A, B, C , D thẳng hàng Hướng hai véc tơ : Hai vectơ phương hướng ngược hướng Ví dụ 3: Ở hình vẽ hai vectơ AB CD hướng EF HG ngược hướng Đặc biệt: vectơ – không hướng với véc tơ Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Hai vectơ Hai vectơ gọi chúng hướng độ dài  AB, DC cung huong Kí hiệu: AB = DC    AB = DC Véc tơ hướng với véc tơ có độ lớn Hai vectơ gọi đối chúng ngược hướng độ dài A B D C A B  AB, CD nguoc huong D Kí hiệu: AB = −CD    AB = CD B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA Dạng XÁC ĐỊNH MỘT VÉC TƠ, PHƯƠNG, HƯỚNG, ĐỘ DÀI C Phương pháp Để xác định vectơ ta cần điểm A B Cứ hai điểm A B ta xác định hai véc tơ đối AB BA Nhận xét: n điểm phân biệt có n ( n − 1) véctơ khác véctơ-khơng tạo thành từ điểm Sự phương, hướng hai vectơ ta áp dụng theo định nghĩa Dựa vào tính chất hình học hình cho biết để tính độ dài vectơ  Tính chất hình bình hành, hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình thang, hình tam giác…  Áp dụng định lý Pytago, hệ thức lượng… Bài tập minh họa Bài tập Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh tứ giác Lời giải Bài tập Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB a) Xác định vectơ khác vectơ - khơng phương với MN có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho b) Xác định vectơ khác vectơ - không hướng với AB có điểm đầu điểm cuối lấy điểm cho c) Vẽ vectơ vectơ NP mà có điểm đầu A, B Lời giải (Hình 1.4) Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Bài tập Cho hình vng ABCD tâm O cạnh a Gọi M trung điểm AB , N điểm đối xứng với C qua D Hãy tính độ dài vectơ sau MD , MN Lời giải (hình 1.5) Bài tập Chứng minh ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng hai véc tơ AB, AC phương Lời giải Bài tập vận dụng Bài Cho ngũ giác ABCDE Có vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh ngũ giác Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Bài Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D, O a) Bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB Lời giải Bài Cho ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng a) Khi hai vectơ AB AC hướng ? b) Khi hai vectơ AB AC ngược hướng ? Lời giải Bài Cho bốn điểm A, B, C , D phân biệt a) Nếu AB = BC có nhận xét ba điểm A, B, C b) Nếu AB = DC có nhận xét bốn điểm A, B, C , D Lời giải Bài Cho hình thoi ABCD có tâm O Hãy cho biết khẳng định sau ? a) AB = BC b) AB = DC c) OA = −OC d) OB = OA e) AB = BC f) OA = BD Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Bài Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy tìm vectơ khác vectơ-khơng có điểm đầu, điểm cuối đỉnh lục giác tâm O cho a) Bằng với AB b) Ngược hướng với OC Lời giải Bài Cho hình vng ABCD cạnh a , tâm O M trung điểm AB Tính độ dài vectơ AB, AC, OA, OM , OA + OB Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Bài Cho tam giác ABC cạnh a G trọng tâm Gọi I trung điểm AG Tính độ dài vectơ AB, AG, BI Lời giải Bài Cho trước hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp điểm M thoả mãn MA = MB Lời giải Câu hỏi trắc nghiệm Mức độ Nhận biết Câu Vectơ có điểm đầu D , điểm cuối E kí hiệu là: A DE B DE C ED D DE Lời giải Câu Cho tam giác ABC , xác định vectơ khác vectơ điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C ? A B C D Lời giải Câu Cho tứ giác ABCD Có vectơ khác vectơ khơng có điểm đầu cuối đỉnh tứ giác? A B C D 12 Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Câu Mệnh đề sau đúng? A Có vectơ phương với vectơ B Có hai vectơ có phương với vectơ C Có vơ số vectơ phương với vectơ D Khơng có vectơ phương với vectơ Lời giải Câu Véctơ có điểm đầu A , điểm cuối B kí hiệu A AB B AB C BA D AB Lời giải Câu Xét mệnh đề sau (I): Véc tơ – khơng véc tơ có độ dài (II): Véc tơ – không véc tơ có nhiều phương A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) (II) D (I) (II) sai Lời giải Câu Cho ba điểm A , B , C phân biệt Có tất véctơ khác véctơ – khơng có điểm đầu, điểm cuối hai điểm ba điểm A , B , C ? A B C D Lời giải Câu Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau đây: A hướng với vectơ C AA = B phương với vectơ D AB  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Véc Tơ-Định nghĩa Vectơ Câu Cho ba điểm A, B, C phân biệt Khi đó: A Điều kiện cần đủ để A, B, C thẳng hàng AB phương với AC B Điều kiện đủ để A, B, C thẳng hàng với M , MA phương với AB C Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng với M , MA phương với AB D Điều kiện cần để A, B, C thẳng hàng AB = AC Lời giải Câu 10 Gọi M , N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Hỏi cặp vectơ sau hướng? A MN CB B AB MB C MA MB D AN CA Lời giải Câu 11 Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ khác vectơ khơng, phương với OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác là: A B C D Lời giải Dạng CHỨNG MINH HAI VÉC TƠ BẰNG NHAU Phương pháp Để chứng minh hai vectơ ta chứng minh Chúng có độ dài hướng Hoặc dựa vào nhận xét tứ giác ABCD hình bình hành AB = DC AD = BC Bài tập minh họa Bài tập Cho tứ giác ABCD Gọi M , N , P, Q trung điểm AB, BC , CD, DA Chứng minh MN = QP Lời giải (hình 1.6) Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ DẠNG Chứng minh đẳng thức tích vơ hướng độ dài đoạn thẳng Phương pháp Nếu đẳng thức chứa bình phương độ dài đoạn thẳng ta chuyển vectơ nhờ đẳng thức AB = AB Sử dụng tính chất tích vơ hướng, quy tắc phép toán vectơ Sử dụng đẳng thức vectơ tích vơ hướng Các ví dụ minh họa  Ví dụ 30 Chứng minh ( a) a + b ) 2 ( b) a − b = a + b + 2a.b ) 2 ( )( ) 2 = a + b − 2a.b c) a + b a − b = a − b Lời giải ( ) ( ) 2 2 1 a + b − a − b  = a + b − a − b      Lời giải  Ví dụ 31 Chứng minh a.b =  Ví dụ 32 Cho I trung điểm đoạn thẳng AB M điểm tùy ý Chứng minh : MA.MB = IM − IA2 Lời giải 193 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 33 Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh rằng: DA.BC + DB.CA + DC AB = (*) Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Lời giải  Ví dụ 34 Cho nửa đường trịn đường kính AB Có AC BD hai dây thuộc nửa đường tròn cắt E Chứng minh : AE AC + BE.BD = AB Lời giải (hình 2.4)  Ví dụ 35 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c I tâm đường tròn nội tiếp Chứng minh aIA2 + bIB + cIC = abc Lời giải 194 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 36 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE , CF AD BC AD + CA.BE + AB.CF = Lời giải Chứng minh rằng:  Ví dụ 37 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O M điểm Chứng minh rằng: a) MA.MC = MB.MD b) MA2 + MB.MD = 2MA.MO Lời giải  Ví dụ 38 Cho tam giác ABC có trực tâm H , M trung điểm BC Chứng minh MH MA = BC Lời giải  Ví dụ 39 Cho tam giác ABC có trọng tâm G BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh rằng: GA2 + GB + GC = a + b + c Lời giải ( ) 195 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 40 Cho bốn điểm A, B, C , D thỏa mãn AC.DB = Chứng minh AB + CD = BC + DA2 Lời giải  Ví dụ 41 Cho tam giác ABC có ba đường cao AA, BB, CC  Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh A ' M BC + B ' N CA + C ' P AB = Lời giải  Ví dụ 42 Cho hình bình hành ABCD Gọi M điểm tùy ý Chứng minh rằng: MA.MC − MB.MD = BA.BC Lời giải  Ví dụ 43 Cho hai điểm M , N nắm đường trịn đường kính AB = R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN a) Chứng minh: AM AI = AB AI , BN BI = BA.BI b) Tính AM AI + BN BI theo R Lời giải 196 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 44 Cho tam giác ABC , M điểm cạnh BC không trùng với B C Gọi a, b, c độ dài cạnh BC , CA, AB Chứng minh rằng: AM = b BM + c 2CM + ( b + c − a ) BM CM Lời giải  Ví dụ 45 Cho lục giác ABCDEF có AB vng góc với EF hai tam giác ACE BDF có trọng tâm Chứng minh AB + EF = CD Lời giải  Ví dụ 46 Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn ( O ) M điểm nằm đường tròn ( O ) Chứng minh MA2 + MB + MC = 2a Lời giải  Ví dụ 47 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn ( O; R ) MN đường kính đường tròn ( O; R ) a) Chứng minh MA2 + MB + MC + MD = 8R b) Chứng minh MA4 + MB + MC + MD = NA4 + NB + NC + ND Lời giải 197 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 48 Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB AD + BA.BC + CB.CD + DC.DA = tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải  Ví dụ 49 Cho lục giác A1 A2 A3 A4 A5 A6 tâm I đường tròn ( O; R ) chứa I Các tia IAi , i = 1,6 cắt ( O; R ) Bi ( i = 1,6 ) Chứng minh IB12 + IB22 + IB32 + IB42 + IB52 + IB62 = 6R2 Lời giải  Ví dụ 50 Tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh a) MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC với M điểm b) a + b2 + c  R 198 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ Lời giải  Ví dụ 51 Cho tam giác ABC ABC có BAC  900 , BC = a, CA = b, AB = c M điểm nằm tam giác ABC nằm đường đường trịn đường kính BC Gọi x, y, z theo thứ tự diện tích tam giác MBC , MCA, MAB yz   Chứng minh ( x − y + z ) c + ( x − z + y ) b =  x + y + z + a x   Lời giải Bài tập rèn Luyện  Bài tập 21 Cho tam giác ABC Chứng minh với điểm M tùy ý ta có MA.BC + MB.CA + MC AB = Lời giải 199 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Bài tập 22 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE , CF Chứng minh BC AD + CA.BE + AB.CF = Lời giải  Bài tập 23 Cho O trung điểm đoạn thẳng AB M điểm tùy ý Chứng minh MA.MB = MO − OA2 Lời giải  Bài tập 24 Cho hai điểm M , N nằm đường trịn đường kính AB = R Gọi I giao điểm hai đường thẳng AM BN Chứng minh a) AM AI = AB AI , BN BI = BA.BI b) AM AI + BN BI = R Lời giải  Bài tập 25 Cho tam giác ABC Gọi B trực tâm tam giác M trung điểm cạnh BC Chứng minh MH MA = BC Lời giải 200 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Bài tập 26 Cho tam giác ABC có trọng tâm O Chứng minh với diểm M có 1 MG = ( MA2 + MB + MC ) = ( AB + BC + CA2 ) Lời giải DẠNG Điều kiện để hai véc tơ Vng góc Phương pháp Điều kiện a ⊥ b  a.b = Điều kiện AB ⊥ CD  AB.CD = Lưu ý chọn gốc, chọn hệ sở để biểu diễn chứng minh vng góc Các ví dụ minh họa  Ví dụ 52 Cho tam giác ABC Chứng minh góc A vng  BA.BC = AB Lời giải  Ví dụ 53 Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh DA.BC + DB.CA + DC AB = Từ suy cách chứng minh định lí “Ba đường cao tam giác đồng quy” Lời giải 201 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 54 Cho tam giác ABC vuông A Trên hai cạnh AB AC lấy hai điểm B ' C ' cho AB AB ' = AC AC ' Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM ⊥ B ' C ' Lời giải  Ví dụ 55 Cho tam giác ABC có góc nhọn A Vẽ bên ngồi tam giác ABC tam giác cân đỉnh A ABD ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM vng góc với DE Lời giải  Ví dụ 56 Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a AD = a Gọi K trung điểm cạnh AD Chứng minh BK vng góc với AC Lời giải 202 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 57 Cho tam giác ABC vuông cân A Gọi H trung điểm cạnh BC , D hình chiếu vng góc H cạnh AC , M trung điểm đoạn HD Chứng minh AM vng góc với BD Lời giải  Ví dụ 58 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD vng góc với cắt M Gọi P trung điểm cạnh AD Chứng minh MP vng góc với BC MA.MC = MB.MD Lời giải  Ví dụ 59 Cho tứ giác ABCD Chứng minh a) AB + CD = BC + AD + 2CA.BD b) AC ⊥ BD  AB + CD = BC + AD Lời giải  Ví dụ 60 Cho hình vng ABCD , điểm M nằm đoạn thẳng AC cho AM = AC Gọi N trung điểm đoạn thẳng DC Chứng minh BMN tam giác vuông cân Lời giải 203 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 61 Cho tam giác ABC cạnh 3a Lấy M , N , P cạnh BC , CA, AB cho BM = a , CN = 2a , AP = x Tìm x để AM ⊥ PN Lời giải DẠNG Gía Trị Lớn Nhất Gía Trị Nhỏ Nhất Phương pháp Cho I điểm cố định, M thay đổi MI  nên MI bé M  I Cho I điểm cố định, M thay đổi đường thẳng d MI bé M hình chiếu I lên đường thẳng d Một số bất đẳng thức đánh giá từ bình phương vơ hướng đặc biệt: ( a  b) (  0, i + j + k )  Các ví dụ minh họa  Ví dụ 62 Cho tam giác ABC với trọng tâm G a) Chứng minh với điểm M ta có MA2 + MB + MC = 3MG + GA2 + GB + GC b) Với giá trị điểm M tổng MA2 + MB + MC có giá trị bé giá trị bao nhiêu? Lời giải 204 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 63 Cho đoạn AB = 4a Với điểm M tùy ý, tìm giá trị bé tổng 3MA2 + MB Nếu điểm M tùy ý thuộc đưởng thẳng d kết nào? Lời giải  Ví dụ 64 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c, điểm M tùy ý, tìm giá trị bé f ( M ) = MA.MB + MB.MC + MC.MA Lời giải  Ví dụ 65 Cho vectơ a, b Chứng minh a.b  a b Lời giải  Ví dụ 66 Cho tam giác ABC Chứng minh cos A + cos B + cos C  205 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương II-Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ Lời giải  Ví dụ 67 Cho tam giác ABC Chứng minh cos A + cos B + cos 2C  − Lời giải  Ví dụ 68 Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, CA = b, AB = c Chứng minh với điểm M a.MA2 + b.MB + c.MC  abc Lời giải  Ví dụ 69 Cho tam giác ABC Chứng minh với số x, y, z  x + y + z  ( xy cos C + yz cos A + zx cos B ) Lời giải 206 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Bài Tích Vơ Hướng Của Hai Véc Tơ  Ví dụ 70 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh AC + BD  AD + BC + AB.CD Lời giải 207 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880