KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thoả mãn hai tính chất:
• Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.
• Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của chúng hai đa giác.
Mỗi đa giác như thế gọi là một mặt của hình đa diện.
2 Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn luôn thuộc(H).
4 Khối đa diện đều là một khối đa diện có tính chất sau đây
• Mỗi mặt của nó là một đa giác đều pcạnh.
• Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúngqmặt.
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều{p;q}. c Định lí 1.1 Chỉ có năm loại khối đa diện đều Đó là các loại{3; 3},{4; 3},{5; 3}và{3; 5}.
Tham khảo hình biểu diễn của năm loại khối đa diện.
Khối tứ diện đều Khối lập phương
Khối bát diện đều Khối mười hai mặt đều Khối hai mươi mặt đều
Một số kết quả quan trọng về khối đa diện lồi a) Cho một khối tứ diện đều, ta có
+ Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều.
Các trung điểm của các cạnh của một khối bát diện đều tạo thành các đỉnh của khối này Tâm của các mặt khối lập phương tương ứng với các đỉnh của khối bát diện đều Ngược lại, tâm của các mặt của khối bát diện đều lại là các đỉnh của hình lập phương Hai đỉnh đối diện của khối bát diện đều không nằm trên cùng một cạnh, và đoạn thẳng nối chúng được gọi là đường chéo của khối.
+ Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
+ Ba đường chéo đôi một vuông góc.
+ Ba đường chéo bằng nhau. Đa diện đều cạnha Đỉnh Cạnh Mặt Thể tíchV Bán kính mặt cầu ngoại tiếp
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Câu 1 Hình đa diện trong hình vẽ có bao nhiêu mặt?
Câu 2 Cho một hình đa diện Tìm khẳng địnhsaitrong các khẳng định sau?
A Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt B Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.
C Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh D Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt.
Câu 3 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàođúng?
A Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau.
B Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau.
C Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh.
D Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau.
Câu 4 Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Câu 5 Trong các vật thể sau, vật thể nào là hình đa diện?
Câu 6 Hình nào dưới đây không phải là một khối đa diện?
Câu 7 Vật thể nào trong các vật thể sau không phải là khối đa diện?
Câu 8 Cho các hình vẽ sau
Hỏi trong bốn hình trên có bao nhiêu hình đa diện?
Câu 9 Hình nào sau đây không phải là hình đa diện?
A B C D Câu 10 Cho các hình vẽ sau
Hỏi trong bốn hình trên có bao nhiêu đa diện lồi?
Câu 11 Chọn từ thích hợp điền vào chỗ chấm để được một mệnh đề đúng: “Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất cạnh”.
Câu 12 Chọn từ thích hợp điền vào chỗ chấm để được một mệnh đề đúng.
Số các đỉnh hoặc số các mặt của bất kỳ hình đa diện nào cũng
A lớn hơn hoặc bằng4 B lớn hơn4.
C lớn hơn hoặc bằng5 D lớn hơn5.
Câu 13 Số các cạnh của hình đa diện luôn luôn
A Lớn hơn6 B Lớn hơn hoặc bằng6.
C Lớn hơn7 D Lớn hơn hoặc bằng8.
Câu 14 Một hình đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt M và số cạnhCcủa đa diện đó thỏa mãn điều kiện nào sau đây.
Câu 15 Một hình đa diện có các mặt là các tam giác thì số mặt M và số canhCcủa đa diện đó thỏa mãn điều kiện nào sau đây?
Câu 16 Cho một hình đa diện Tìm khẳng địnhsaitrong các khẳng định sau?
A Mỗi đỉnh là đinh chung của ít nhất ba cạnh B Mỗi đỉnh là đỉnh chung của ít nhất ba mặt.
C Mỗi cạnh là cạnh chung của ít nhất ba mặt D Mỗi mặt có ít nhất ba cạnh.
Câu 17 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nàođúng?
A Số cạnh của một hình đa diện luôn nhỏ hơn số mặt của hình đa diện ấy.
B Số cạnh của một hình đa diện luôn lớn hơn số mặt của hình đa diện ấy.
C Số cạnh của 1 hình đa diện luôn bằng số mặt của hình đa diện ấy.
D Số cạnh của 1 hình đa diện luôn nhỏ hơn hoặc bằng số mặt của hình đa diện ấy.
Câu 18 Trong không gian chỉ có 5 loại khối đa diện đều như hình vẽ bên dưới.
Hỏi mệnh đề nào sau đâyđúng?
A Mọi khối đa diện đều có số mặt là những số chia hết cho 4.
B Khối lập phương và khối bát diện đều có cùng số cạnh.
C Khối tứ diện đều và khối bát diện đều có 1 tâm đối xứng.
D Khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều có cùng số đỉnh.
Câu 19 Khối lập phương là khối đa diện đều loại nào?
Câu 20 Số đỉnh của một hình bát diện đều là bao nhiêu?
A Sáu B Tám C Mười D Mười hai.
Câu 21 Số cạnh của một hình bát diện đều là bao nhiêu?
Câu 22 Hình bát diện đều có số đỉnh, số cạnh, số mặt tương ứng là bao nhiêu?
Câu 23 Số đỉnh của khối hình mười hai mặt đều là bao nhiêu?
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi.
Câu 24 Số cạnh của hình mười hai mặt đều là bao nhiêu?
A Mười hai B Mười sáu C Hai mươi D Ba mươi.
Câu 25 Khối đa diện đều loại{4; 3}có số đỉnh là bao nhiêu?
Câu 26 Hình đa diện đều12mặt thuộc loại{p,q} Hãy tínhp−q.
A p−q=−2 B p−q=1 C p−q=2 D p−q=−1. Câu 27 Khối đa diện đều loại{3; 4}có số cạnh là bao nhiêu?
Câu 29 Có bao nhiêu loại khối đa diện đều?
Câu 30 Khối mười hai mặt đều thuộc loại nào sau đây?
THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Công thức tính thể tích khối chóp
3ãS đỏy ãd đỉnh; mặt phẳng đỏy
Xác định diện tích đáy
1 Diện tích tam giác thường
• a,b,clà độ dài ba cạnh của tam giác.
• h a là chiều cao xuất phát từ đỉnhA.
• R,rlần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp.
2 Diện tích tam giác đặc biệt
2×(tích hai cạnh góc vuông) Stam giác vuông cân= (cạnh huyền) 2
4 ⇒ Chiều cao tam giác đều= (cạnh)×√
3 Diện tích hình chữ nhật
Shình chữ nhật=dài×rộng S hình vuông =(cạnh) 2 Đường chéo hình vuông=cạnh×√
S hình thang = (đáy lớn + đáy bé)×chiều cao
⇒Diện tích hình bình hành: S hbh = đường cao×cạnh đáy tương ứng.
= tích hai cạnh liên tiếp×sin góc kẹp.
5 Diện tích tứ giác có 2 đường chéo vuông góc
2 ⇒Diện tích hình thoi:S hình thoi = Tích hai đường chéo
Xác định chiều cao a) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:
Chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABC có cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy, tức SA⊥(ABC) thì chiều cao của hình chóp làSA A
C S b) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAB)vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) thì chiều cao của hình chóp là SH là chiều cao của
S c) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy:
Chiều cao của hình chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD), thì chiều cao của hình chóp làSA.
DS d) Hình chóp đều: Chiều cao của hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm của đáy.
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm của hai đường chéo hình vuông
ABCD thì có đường cao làSO.
Hình chóp có các cạnh bên đồng đều hoặc các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau, trong đó chân đường cao của hình chóp là tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Ví dụ:Hình chópS.ABCD có các cạnh bên bằnga, Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCDthì có đường cao làSO.
5 tính chất cần nhớ về hình chóp đều
• Đáy là đa giác đều(hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông).
Chân đường cao của hình chóp tam giác đều trùng với trọng tâm G, trong khi chân đường cao của hình chóp tứ giác đều trùng với tâm O của hình vuông.
• Các mặt bên là những tam giác cân và bằng nhau.
• Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy đều bằng nhau.
• Góc giữa các mặt bên và mặt đáy đều bằng nhau.
O M Ôn tập kiến thức hình học phẳng
6 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giácABCvuông tạiA, cóAH là đường cao,AMlà trung tuyến Khi đó:
BC = đối huyền;cosABC‘ = AB
BC = kề huyền;tanABC‘= AC
7 Hệ thức lượng trong tam giác thường
Cho tam giácABCvà đặt AB=c,BC=a,CA=b Gọi Rlà bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
• Định lý hàm số sin: a sinA= b sinB = c sinC =2R.
• Định lý hàm số cos:
• Công thức trung tuyến:AM 2 = AB 2 +AC 2
S 4 ABC ÅAH AB ã2 ÅHK BC ã2
• Định lý Menelaus: Cho tam giácABC Các điểm
D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳngBC,
CA, AB Khi đó: D, E, F thẳng hàng ⇔ FA
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
p Dạng 2.1 Thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
L Ví dụ 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B=3 và chiều caoh=4 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
L Ví dụ 2 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáyB=6và chiều caoh=2. Thể tích của khối chóp đã cho bằng:
. . h* Thể tích khối chóp đã cho bằng:
L Ví dụ 4 (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha, cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy vàSA=a√
2 Tính thể tíchV của khối chóp S.ABCD
L Ví dụ 5 Cho hình chópS.ABCcó tam giácABCvuông tạiA,AB=a,AC*.SAvuông góc với mặt phẳng đáy(ABC)vàSA=a√
3 Tính thể tíchV của khối chópS.ABC.
L Ví dụ 6 Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều cạnh2a Cạnh bênSAvuông góc với đáy vàSA=a√
3 Tớnh thể tớchV của khối chúpSãABC.
L Ví dụ 7 Cho khối chópS.ABCcóSAvuông góc với (ABC), đáyABClà tam giác vuông cân tạiA,BC*, góc giữaSBvà(ABC)là30 ◦ Tính thể tích khối chópS.ABC.
L Ví dụ 8 Thể tích khối chóp có độ dài đường cao bằng 6, diện tích đáy bằng 8 là
8 Tớnh thể tớchV của khối chúpSãABC.
L Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABC cóAB=6,BC=8,AC Cạnh bên SA vuông góc với đỏy vàSA=4-Tớnh thể tớchV của khối chúpSãABC.
L Ví dụ 11 Cho hình chópS.ABC có cạnh bênSAvuông góc với mặt đáy,SA=a√
3,BC* Thể tớch khối chúpSãABCbằng?
L Vớ dụ 12 Cho khối chúpSãABCcú đỏyABClà tam giỏc đều cạnh2a Cạnh bờnSAvuụng góc với đáy vàSA=a√
3 Tớnh thể tớchV, của khối chúpSãABC.
L Vớ dụ 13 Cho khối chúpSãABCcú ba cạnhSA,SB,SCcựng cú độ dài bằngavà vuụng gúc với nhau từng đôi một Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 14 Cho khối chóp tam giácS.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng chứa mặt đáy, cạnhSC*√
L Ví dụ 15 Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC) Tam giác ABC vuông tại C, AB=a√
5 Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 16 Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tại B, cạnhSAvuông góc với đáy vàAB=a,SA* Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 17 Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnhAB=a, BC*, chiều caoSA=a√
6 Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 18 Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA =4, AB= 6, BC và
CA=8 Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 19 Cho tứ diệnABCD cóADvuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết đáy ABCvuông tạiBvàAD=5,AB=5,BC Thể tích của tứ diệnABCD
L Ví dụ 20 Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, cạnhAB=a,BC=a√
3,SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc giữaSCvà(ABC)bằng60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABC bằng
L Ví dụ 21 Cho hình chópS.ABCcó SA⊥(ABC), tam giácABC vuông tạiB, AB=a, AC a√
3 Biết góc giữaSBvà(ABC)bằng30 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác vuông tại A, SB vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh AB có độ dài a, và góc ACB là 30 độ Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
L Ví dụ 23 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a, SA⊥(ABC). Góc giữa cạnh bênSBvà(ABC)bằng45 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 24 Cho hình chópS.ABCcó chiều cao bằnga, AB=a,BC=a√
3, ABC‘ ` ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
L Ví dụ 25 Cho hình chópS.ABCcóSA⊥(ABC),SA=a,AB=a,AC*,BAC‘0 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
⊥ góc giữaSBvà(ABC)bằng60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác có độ dài ba cạnh làABZ,
BC,ACz,SA⊥(ABC), góc giữaSBvà mặt phẳng(ABC)bằng45 ◦
Thể tích khối chópS.ABCbằng
Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều có cạnh bằnga,SA⊥
(ABC), góc giữa hai mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng60 ◦ Thể tích khối chópS.ABCbằng
Tứ diện SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, với độ dài đường cao AH của tam giác ABC bằng a Điểm S nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC, và góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 độ Từ các thông tin này, thể tích của khối tứ diện SABC có thể được tính toán.
L Ví dụ 30 Tính thể tích khối chópS.ABCDcóSA⊥(ABCD), đáy là hình vuông cạnha,SB a√
L Vớ dụ 31 Cho hỡnh chúp tứ giỏcSãABCDcú đỏyABCDlà hỡnh vuụng cạnha, cạnh bờn SA vuông góc với mặt đáy vàSA=a√
2 Tính thể tíchV của khối chópS.ABCD
L Ví dụ 32 Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáyABCD là hình vuông cạnh a√
SAvuông góc với mặt đáy vàSC=a√
5 Tính thể tíchV của khối chópS.ABCD
L Ví dụ 33 Cho hình chóp tứ giácS.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông, cạnh bênSA vuông góc với mặt đáy vàSA=a√
2 Tớnh thể tớchV của khối chúpSãABCD
Cho khối chópS.ABCD có thể tích bằng 4√
3 , đáyABCD là hình vuông có cạnh bằng2a Chiều cao của khối chópS.ABCD bằng
Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥
(ABCD), AB = 3a, AD = 2a, SB = 5a Thể tích khối chóp
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằnga, SA⊥(ABCD), SC=a√
3 Thể tích khối chópS.ABCD bằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA⊥(ABCD),
3 Biết tam giác SBD là tam giác đều Thể tích khối chópS.ABCDbằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA ⊥(ABCD),
2 Biết tam giác SBD là tam giác đều Thể tích khối chópS.ABCDbằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥
(ABCD), SC tạo với đáy một góc 45 ◦ Thể tích khối chóp
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB2a,BC=a,SA⊥(ABCD),SCtạo với đáy một góc30 ◦ Thể tích khối chópS.ABCDbằng
Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vớiAB a,BC=a√
3,SA⊥(ABCD),SCtạo với(SAB)một góc30 ◦ Thể tích khối chópS.ABCDbằng
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
SA⊥(ABCD), SC tạo với (SAD) một góc 30 ◦ Thể tích khối chópS.ABCDbằng
Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB* và AD = a Đỉnh S chiếu xuống mặt phẳng đáy (ABCD) tại trung điểm H của AB, với góc tạo bởi SC và mặt phẳng đáy là 45 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức phù hợp.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với cạnh dài 2a, trong đó cạnh SB vuông góc với đáy và mặt phẳng (SAD) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính toán dựa trên các thông số này.
L Ví dụ 45 Cho khối chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật,AB=a,AD=a√
3,SAvuông góc với đáy và mặt phẳng(SBC)tạo với mặt phẳng đáy một góc60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCD bằng
L Ví dụ 46 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnhavàSA⊥(ABCD) Góc giữa(SCD)và(ABCD)bằng60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với tâm O và cạnh b bằng a Đỉnh S chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABCD) tại trung điểm của cạnh OC Góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) là 60 độ Thể tích của hình chóp S.ABCD được tính bằng công thức phù hợp với các thông số trên.
L Ví dụ 48 Cho hình chópS.ABCD có đáy là hình chữ nhật,SA⊥(ABCD), AC*BJ.
Biết góc giữa(SBD)và(ABCD)bằng30 ◦ Thể tích khối chópS.ABCbằng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với các mặt (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy Mặt (SC) tạo với đáy một góc 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức phù hợp với các thông số trên.
! Hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì chiều cao là giao tuyến của hai mặt bên.
L Ví dụ 50 Cho khối chópS.ABCcó đáy ABClà tam giác đều cạnha Hai mặt bên(SAB)và (SAC)cùng vuông góc với đáy BiếtSC=a√
3, thể tích khối chóp bằng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với cạnh dài 3 và hai mặt (SAB) cùng (SAD) vuông góc với đáy Góc giữa cạnh SC và mặt đáy là 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức phù hợp với các thông số đã cho.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AC = Z Hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy, trong khi cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính dựa trên các thông số này.
L Ví dụ 53 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật cóAB=a,AD=a√
3,SA vuông góc với đáy và(SBC)tạo với đáy một góc bằng60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, với hai mặt bên SAB và SAD vuông góc với đáy Góc giữa các mặt bên SBC và đáy ABCD là 30 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính dựa trên các thông số này.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với các cạnh AB = a và AD, đồng thời góc BAD là một góc vuông Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cũng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính dựa trên các thông số này.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạn, với hai mặt SAC và SAB vuông góc với đáy Góc giữa mặt SCD và đáy ABCD là 60 độ Để tính thể tích của khối chóp này, bạn cần áp dụng công thức phù hợp.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD, với hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABD Cạnh SD tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 độ Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính dựa trên các thông số này.
L Ví dụ 58 Cho hình chópS.ABCcóAB=a,AC*,BAC‘0 ◦ vàSA⊥(ABC) Biết mặt phẳng(SBC)và(ABC)bằng60 ◦ Thể tích khối chópSABCbằng
L Ví dụ 59 Cho tứ diệnABCDcóAB,AC,ADđôi một vuông góc với nhau vàAB=a,AC=b,
AD=c Thể tích khối tư diệnABCDbằng
L Ví dụ 60 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA= 2a,
OB:,OCJ Thể tích khối tứ diệnOABCbằng
. p Dạng 2.2 Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Cho hình chóp S.ABC với đáy là tam giác cân tại A và AB = a, góc BAC = 0° Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Thể tích của khối chóp này được tính dựa trên các thông số đã cho.
Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với cạnh a, trong đó mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức cụ thể cho hình chóp có đáy là hình vuông và mặt bên là tam giác đều.
Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều với cạnh dài 2a, và tam giác SAB cũng là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABC được tính bằng công thức phù hợp với hình dạng và kích thước của nó.
L Ví dụ 4 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha, tam giácSABcân tạiS và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy,SA* Thể tích khối chópS.ABCDbằng
L Ví dụ 5 Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiAvàAB=a√
2. Tam giácSBCcó diện tích bằng2a 2 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chópS.ABCbằng
SABcân tại Svà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳngSC tạo với đáy một góc
60 ◦ Khi đó thể tích khối chópS.ABCDbằng
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1
Câu 1 (Mã 101- 2022) Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABCcó diện tích bằng 10.
Thể tích khối chóp S.ABCbằng
Câu 2 (Mã 103- 2022) Cho khối chópS.ABCcó chiều cao bằng5, đáyABCcó diện tích bằng6 Thể tích khối chópS.ABCbằng
Câu 3 (Mã 103- 2022) Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt làV 1 ,V 2 Tỉ sốV 1
Câu 4 (Mã 105 2017) Cho khối chópS.ABCcóSAvuông góc với đáy,SA=4,AB=6,BCvà
CA=8 Tính thể tíchV của khối chópS.ABC.
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy vàSA=√
2a Tính thể tích khối chópS.ABCD.
3 Câu 6 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019).
Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều cạnha BiếtSA⊥(ABC)vàSA=a√
3 Tính thể tích khối chópS.ABC.
4 Câu 7 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019).
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng (ABC),
SC=a Thể tích khối chópS.ABCbằng
12 Câu 8 (THPT An Lão Hải Phòng 2019).
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) biết đáy ABC là tam giác vuông tại B và
AD,AB,BC$ Tính thể tích của tứ diệnABCD.
3 Câu 9 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019).
Cho hình chópS.ABCcó cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy(ABC) BiếtSA=a, tam giácABC là tam giác vuông cân tạiA,AB* Tính theoathể tíchV của khối chópS.ABC.
3 D V * 3 Câu 10 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB a,AC*,SA⊥(ABC)vàSA=a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
3 Câu 11 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB: và
ADJ Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng(ABCD)vàSA=a√
2 Thể tích của khối chópS.ABCD bằng
Câu 12 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng
Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, với độ dài cạnh AB là a và cạnh bên SA vuông góc với đáy Để tính thể tích V của khối chóp này, ta sử dụng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABC được tính theo công thức diện tích tam giác, và chiều cao là độ dài cạnh SA.
6. Câu 14 (Bạc Liêu - Ninh Bình 2019).
Cho hình chópS.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA=a, SA vuông góc với mặt phẳng(ABC) Thể tích của khối chópS.ABCbằng
Cho tứ diệnOABC cóOA,OB,OC đôi một vuông góc và OA=OB=OC=a Khi đó thể tích của tứ diệnOABClà
2. Câu 16 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy là a 2 √
3, cạnh bên SA vuông góc với đáy,SA=a Tính thể tích khối chópS.ABCtheoa.
2 Câu 17 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuôngABCDcạnh a, cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy vàSA=a√
2 Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
3 Câu 18 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằnga,SA⊥(ABC),SA: Thể tíchV của khối chópS.ABCDlà:
3a 3 D V * 3 Câu 19 (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnha Biết
3 Thể tích của khối chópS.ABCDlà:
4. Câu 20 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định nào sau đây làsai?
A Thể tích của khối chóp có diện tích đáyBvà chiều caohlàV = 1
B Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáyBvà chiều caohlàV =Bh.
C Thể tích của một khối hộp chữ nhật bằng tích ba kính thước của nó.
D Thể tích của khối chóp có diện tích đáyBvà chiều caohlàV ;h.
Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy BiếtSA*,BC: Tính thể tích củaS.ABClà
Câu 22 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với
ABJ, BC=a, cạnh bênSD*và SDvuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chópS.ABCD bằng
3a 3 Câu 23 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích của khối chópS.ABCcóSAlà đường cao, đáy là tam giác
Để tính thể tích V của khối chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB*, ta cần lưu ý rằng tam giác SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao.
3 Câu 25 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha√
2, tam giác SACvuông tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bênSAtạo với đáy góc60 ◦ Tính thể tíchVcủa khối chópS.ABCD.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông với cạnh dài 2a, trong đó mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Để tính thể tích của khối chóp S.ABCD, cần áp dụng công thức thể tích cho hình chóp với đáy là hình vuông và chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy.
Để tính thể tích khối chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tam giác SAB cân tại S nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta sử dụng công thức thể tích khối chóp Thể tích V của khối chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a^2, và chiều cao là khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD.
3 Câu 28 Cho hình chópS.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tạiC, tam giácSABđều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theoathể tích của khối chóp Biết rằngAB=a√
Để tính thể tích của hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh 6 và mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta sử dụng công thức tính thể tích khối chóp Thể tích V của hình chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là 6^2 = 36, và chiều cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD cần được xác định.
Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chópS.ABCD có đáyABCDlà hình vuông cạnh a,SA a√
2 , tam giácSACvuông tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với(ABCD) Tính theoathể tíchV của khối chópS.ABCD.
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A với cạnh AB = a và góc BAC = 0° Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Để tính thể tích V của khối chóp S.ABC, ta cần áp dụng công thức thể tích chóp dựa trên diện tích đáy và chiều cao của chóp.
8. Câu 32 Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnh bằng 2a Tam giácSABcân tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chópS.ABCDbằng 4a 3
3 Gọiα là góc giữaSCvà mặt đáy, tínhtanα.
5 Câu 33 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chópS.ABCcó đáy ABClà tam giác vuông tạiA Hình chiếu củaSlên mặt phẳng (ABC)là trung điểmH củaBC, AB=a,AC=a√
2 Thể tích của khối chópS.ABCbằng
6 Câu 34 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích của khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằngalà
2 Câu 35 (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác đềuS.ABCcó cạnh đáy bằng avà cạnh bên bằng2a. Tính thể tíchV của khối chópS.ABC.
Hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, với góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là 45 độ, sẽ có thể tích được tính bằng công thức Để tìm thể tích khối chóp này, chúng ta cần áp dụng công thức V = (1/3) * S_b * h, trong đó S_b là diện tích đáy và h là chiều cao Với các thông số đã cho, thể tích khối chóp sẽ được xác định một cách chính xác.
36 Câu 37 (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a Thể tích của khối chóp đã cho bằng
3 Câu 38 (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga,cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tíchV của khối chóp đã cho.
6 Câu 39 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng2a cạnh bên bằnga√
5 Thể tích của khối chóp đã cho bằng
3 3 Câu 40 (THPT Lương Tài Số 2 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằnga√
6, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng60 0 Tính thể tích V của khối chóp S.ABC?
Hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều với độ dài cạnh đáy bằng a và góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60° Để tính thể tích của khối chóp này, ta áp dụng công thức thể tích cho hình chóp, từ đó xác định giá trị cụ thể dựa trên các thông số đã cho.
4 Câu 42 (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp đềuS.ABCDcó chiều cao bằnga√
2và độ dài cạnh bên bằnga√
6 Thể tích khối chópS.ABCDbằng:
3 Câu 43 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác đều cạnh đáy bằnga, cạnh bên bằng 2 lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp.
4 Câu 44 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng3.
Câu 45 Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích
Vcủa khối chóp đã cho.
6 Câu 46 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp đềuS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnh a Cạnh bênSAtạo với đáy góc60 0 Tính thể tích khốiSBCD.
12 Câu 47 Cho khối chóp đềuS.ABCDcó cạnh đáy làa, các mặt bên tạo với đáy một góc60 ◦ Tính thể tích khối chóp đó.
3 Câu 48 Cho khối chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằnga BiếtASC‘ ◦ , tính thể tíchV của khối chóp đó.
12 Câu 49 Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng
60 ◦ Thể tích khối chópS.ABCDlà
Câu 50 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác đềuS.ABCcó cạnh đáy làavà mặt bên tạo với đáy góc45 ◦ Tính theoathể tích khối chópS.ABC.
Khối chóp có đáy hình thoi cạn với cạnh bên bằng nhau và tạo với đáy góc 45 độ có thể tính được thể tích Để xác định thể tích khối chóp này, ta cần áp dụng công thức tính thể tích khối chóp và các thông số liên quan đến đáy và chiều cao của khối chóp.
√2a 3 Câu 52 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện đều có tất cả các cạnh bằnga
12a 3 D 6a 3 Câu 53 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng60 ◦ Thể tích khối chóp là
3 Câu 54 Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có cạnh đáy bằng2a, cạnh bên tạo với đáy một góc60 ◦ Thể tích khối chópS.ABClà
Câu 55 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác đềuS.ABCDcó cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng3a Tính thể tíchV của khối chóp đã cho.
3 Câu 56 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng
2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều có chiều cao là147m, cạnh đáy là230m Thể tích của nó là
Hình đa diện trong hình có mấy mặt?
Câu 58 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
A 3mặt phẳng B 4mặt phẳng C 6mặt phẳng D 9mặt phẳng.
Câu 59 Cho hình chóp tứ giácS.ABCDcó đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy vàSA=a√
2 Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
3 của hình chóp đã cho.
Câu 61 Cho khối chópS.ABCcó thể tíchV, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng các cạnh đáy lên3lần thì thể tích khối chóp thu được là
Câu 62 Cho khối chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, AB=a,AC =a√
5 Thể tích khối chópS.ABCbằng
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A với cạnh AB = a và góc BAC = 0° Tam giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
Câu 64 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, SA⊥(ABCD), SC tạo với(SAB)một góc30 ◦ Thể tích khối chópS.ABCDbằng
3 Câu 65 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha SA⊥(ABCD), SD tạo với mặt(SAB) một góc30 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
3 Câu 66 Cho khối chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhậtAB=a,AD=a√
3,SA⊥(ABCD)và mặt phẳng(SBC)tạo với đáy một góc60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
3. Câu 67 Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a Thể tích của khối chópS.ABCbằng
4 Câu 68 Tính thể tíchV của khối tứ diện đều cạnha.
12 D V =a 3 Câu 69 Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằnga, cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Thể tích của khối chóp đã cho bằng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông có cạnh dài 3 cm Cạnh bên của chóp tạo với mặt đáy một góc 60 độ Tính thể tích (cm³) của khối chóp này.
2 Câu 71 Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiBvàAB* Tam giácSABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của khối chópS.ABCbằng
3 Câu 72 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB*, AD=a√
SABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích của hình chópS.ABCDbằng
3 Câu 73 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật, mặt bên SADlà tam giác vuông tại
S Hình chiếu vuông góc củaS trên mặt đáy là điểm H thuộc cạnh AD sao choHA=3HD Biết rằng
3vàSCtạo với đáy một góc bằng30 ◦ Tính theoathể tíchV của khối chópS.ABCD.
9 Câu 74 Cho hình chópS.ABCDcó đường thẳngSAvuông góc với mặt phẳng(ABCD), đáyABCDlà hình thang vuông tạiAvàB, cóAB=a,AD*,BC=a BiếtSA=a√
2 Tính thể tích của khối chóp
Cho tứ diện OABC với các cạnh OA, OB, OC, OD vuông góc với nhau và OA = OB = OC Gọi M là trung điểm của cạnh BC Ta cần xác định góc giữa hai đường thẳng OM và AB.
Câu 76 Cho hình chópS.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB=a và SB* Góc giữa đường thẳngSBvà mặt phẳng đáy bằng
Câu 77 Cho hình lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 Góc giữa hai mặt phẳng(A 0 B 0 CD)và (ABC 0 D 0 )bằng
Câu 78 Cho hình chópS.ABC có đáy là tam giác vuông cân tạiC, BC=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy vàSA=a Khoảng cách từAđến mặt phẳng(SBC)bằng
Cho hình lập phương ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên).
Khoảng cách giữa hai đường thẳngBDvàA 0 C 0 bằng
Câu 80 Xét khối tứ diệnABCDcó cạnhAB=x, các cạnh còn lại đều bằng2√
3 Tìmxđể thể tích khối tứ diệnABCDđạt giá trị lớn nhất.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
Câu 1 (THPT chuyên Quang Trung - Bình Phước).
Số mặt phẳng đối xứng của khối tứ diện đều là
Câu 2 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương).
Cho khối chóp tam giác đều Nếu tăng cạnh đáy lên hai lần và giảm chiều cao đi bốn lần thì thể tích của khối chóp đó sẽ
A không thay đổi B tăng lên hai lần C giảm đi ba lần D giảm đi hai lần.
Câu 3 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ - Số 487).
Cho tứ diệnO.ABCcó các cạnhOA, OB,OCđôi một vuông góc với nhau BiếtOA,m,OB vàOClm Thể tích của khối tứ diệnO.ABCbằng
Câu 4 (THPT chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An).
Cho hình chópS.ABCcóSAvuông góc với đáy Tam giácABCvuông cân tạiB, biếtSA* Thể tích khối chópS.ABCbằng
3a 3 Câu 5 (THPT chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định).
ChoS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnhA BiếtSA⊥(ABCD)vàSC=a√
2 Câu 6 (THPT Quảng Xương - Thanh Hóa).
Cho khối chópS.ABCcó đáyABClà tam giác đều cạnhavà hai mặt bên(SAB),(SAC)cùng vuông góc với đáy BiếtSC=a√
3 Thể tích khối chópS.ABCbằng
2 Câu 7 Cho hình chópS.ABCD cóABCDlà hình vuông cạnha Tam giácSABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng(ABCD) Thể tích của khối chópS.ABCDbằng
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnha, với mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác SAB là tam giác vuông cân tại đỉnh S Thể tích của khối chóp S.ABC được tính dựa trên các yếu tố này.
Câu 9 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình thang vuông tạiAvà B, AB= 1
Tam giácSABđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Thể tích khối chópS.ACDbằng
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = b Tam giác SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Đường thẳng SC tạo với đáy một góc 60 độ Do đó, thể tích của khối chóp S.ABCD được tính theo công thức phù hợp với các yếu tố trên.
6 Câu 11 Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình chữ nhật vớiAB=a, BC=a√
3 Cạnh bênSA vuông góc với đáy và đường thẳngSC tạo với mặt phẳng (SAB)một góc 30 ◦ Thể tích của khối chóp
3 Câu 12 Cho hình chópS.ABCcó đáyABClà tam giác vuông cân tạiBvớiAC=a BiếtSAvuông góc với đáyABCvàSBtạo với đáy một góc60 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCbằng
4 Câu 14 Cho hình chóp tứ giác đều tất cả các cạnh bằng2a Tính thể tích của khối chóp.
3 Câu 15 Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằnga√
3, góc tạo bởi cạnh bên và đáy bằng 60 ◦ Thể tích của khối chóp đó bằng bao nhiêu?
12. Câu 16 Hình chóp tam giác đềuS.ABCcó cạnh đáy làavà mặt bên tạo với đáy góc60 ◦ Tính theoa thể tích khối chópS.ABC.
4 Câu 17 Cho hình chóp đều S.ABCD có AC*, góc giữa mặt phẳng(SCD)và (ABCD) bằng45 ◦
Tính thể tích của khối chópS.ABCD.
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, với mặt bên SAD là tam giác đều có cạnh 2a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy (ABCD) cần được xác định.
(ABCD)là30 ◦ Thể tích của khối chópS.ABCDlà:
Câu 19 Cho tứ diệnSABCcóSA,SB,SCđôi một vuông góc vàAB\m,BC=√
34 cm Thể tích khối tứ diệnSABCbằng
Câu 20 Cho hình chópS.ABCDcó tất cả các cạnh bằnga GọiMlà trung điểm củaSD Tang của góc giữa đường thẳngBMvà mặt phẳng(ABCD)bằng
3. Câu 21 Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác đều cạnh4√
2cm, cạnh bênSC vuông góc với đáy vàSC,m GọiM,Nlà trung điểm củaABvàBC Góc giữa đường thẳngSNvớiCM bằng
Câu 22 Cho tứ diệnS.ABC có các cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc vàSA=SB=SC=1 Tính cosα, trong đóα là góc giữa(SBC)và(ABC).
Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, với cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Độ dài cạnh AB là a và cạnh SA cũng có độ dài a Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC) cần được xác định.
Câu 24 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình vuông cạnha,SA=a√
3và vuông góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từAđến mặt phẳng(SBC)bằng
Để tạo ra một mô hình kim tự tháp Ai Cập từ một tấm bìa hình vuông có cạnh 50 cm, người ta cắt bỏ 4 tam giác cân bằng nhau với cạnh đáy bằng cạnh của hình vuông Sau đó, các tam giác này được gấp lên và ghép lại để hình thành một hình chóp tứ giác đều Để đạt được thể tích lớn nhất cho mô hình, cạnh đáy của hình chóp cần phải được xác định chính xác.
21 C 22 D 23 A 24 A 25 C § 3 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Hình lăng trụ đứng là một loại hình lăng trụ có các mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy, tạo thành các mặt bên là hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều là loại hình lăng trụ đứng với đáy là một đa giác đều Chiều cao của hình lăng trụ đứng và đều chính là các cạnh bên của nó.
• Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng có 2 đáy là hình chữ nhật, cặp mặt đối diện là những hình hình chữ nhật bằng nhau.
• Hình lập phương là hình lăng trụ đều có 6 mặt là hình vuông bằng nhau.
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ
* Cụng thức:V lăng trụ =S đỏy ã Chiều cao =Bãh.
• Lăng trụ đứng có đáy là tam giác.
• Thể tích khối lập phươngV =a 3 a
• Lăng trụ đứng có đáy là tứ giác.
• Thể tích khối hộp chữ nhậtV c. a b c
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP p Dạng 3.4 Thể tích khối lập phương – Hình hộp chữ nhật
L Ví dụ 1 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi, biếtAA 0 J,AC 2a,BD=a Thể tíchV của khối lăng trụ là
L Ví dụ 2 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a,AD=a√
5(tham khảo hình vẽ) Tính theoathể tíchV của khối lăng trụ đã cho.
L Ví dụ 3 Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 150 Thể tích khối lập phương bằng
L Ví dụ 4 Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96 cm 2 Thể tích khối lập phương bằng
L Ví dụ 5 Thể tích khối lập phương bằng 27thì tổng diện tích các mặt của hình lập phương bằng
L Ví dụ 6 Thể tích của khối lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đường chéoAC 0 ằng
L Ví dụ 7 Thể tích của khối lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đường chéoB 0 D=a√
L Ví dụ 8 Thể tích của khối lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đường chéoA 0 Clm bằng
L Ví dụ 9 Cho hình hộp chữ nhậtABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóAB,m,AD 0 |m Thể tích của khối hộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 bằng
L Ví dụ 11 Cho hình hộp đứngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình vuông, cạnh bênAA 0 :và đường chéoAC 0 Z Thể tích của khối hộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 bằng
L Ví dụ 12 Cho hình lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có diện tích tam giácACD 0 bằng√
3a 2 Thể tích của hình lập phương đã cho bằng
L Ví dụ 13 Cho hình lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có diện tích tam giácB 0 ACbằng2√
3a 2 Thể tích của hình lập phương đã cho bằng
L Ví dụ 14 Hình lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóAD 0 :thì thể tích bằng
L Ví dụ 15 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cóAB=a, AD=a√
5 Thể tích của khối hộp đã cho bằng
Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm, thể tích của nó sẽ tăng thêm 98 cm³ Do đó, độ dài cạnh ban đầu của hình lập phương là một giá trị cần xác định dựa trên sự thay đổi này.
Khi độ dài cạnh của hình lập phương tăng thêm 2 cm, thể tích của nó sẽ tăng thêm 152 cm³ Do đó, độ dài cạnh ban đầu của hình lập phương là một giá trị quan trọng cần xác định.
L Ví dụ 18 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có diện tích các mặt ABCD, BCC 0 B 0 , CDD 0 C 0 lần lượt là2a 2 ,3a 2 ,6a 2 Thể tích khối hộp chữ nhậtABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 bằng
Cho hình hộp chữ nhật với diện tích ba mặt lần lượt là 60cm², 72cm² và 81cm² Hãy xác định thể tích khối hình hộp chữ nhật này và tìm giá trị gần nhất với thể tích tính được.
L Ví dụ 20 Một hình hộp chữ nhật có diện tích ba mặt bằng20cm 2 ,28cm 2 ,35cm 2 Thể tích của hình hộp chữ nhật đó bằng
L Ví dụ 21 Khối hộp chữ nhật có độ dài các đường chéo của các mặt lần lượt là√
10,√ 13 thì thể tích của khối hộp chữ nhật đó bằng
Ví dụ 22: Tính thể tích V của khối có 4 mặt là tam giác cân bằng nhau và 4 mặt còn lại là hình chữ nhật, với đáy cũng là hình chữ nhật Các kích thước được cho theo cùng một đơn vị đo như hình vẽ bên.
. p Dạng 3.5 Thể tích khối lăng trụ đứng tam giác
L Vớ dụ 1 Cho hỡnh lăng trụ đứng ABCãA 0 B 0 C 0 cú tam giỏc ABC vuụng tại A,AB 0 a,AC* Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
L Vớ dụ 2 Cho hỡnh lăng trụ tam giỏc đềuABCãAB 0 C 0 cúAB*,AA 0 =a√
3 Tính thể tíchV của khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 theoa.
L Vớ dụ 3 Cho hỡnh lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cú đỏyABClà tam giỏc vuụng tạiA, biếtAB=a,
AC*vàA 0 B: Tớnh thể tớch của khối lăng trụABCãA 0 B 0 C 0
L Vớ dụ 4 Cho lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cúAB=a,AC*,BAC0 ◦ , biếtC 0 Ahợp với đáy một góc45 ◦ Thể tích của khối lăng trụ là
L Ví dụ 5 Thể tích của khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằngabằng
L Ví dụ 6 Cho lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABClà tam giác vuông tạiB, BAC‘ ` ◦ , AB=a vàAA=a√
3 Tính thể tích khối lăng trụ.
L Ví dụ 7 Cho lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC * và góc
ABC‘0 ◦ Biết cạnh bên của lăng trụ bằng2a√
3 Tính thể tích khối lăng trụ.
L Ví dụ 8 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnha√
3và A 0 B: Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 9 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABC là tam giác vuông cân tạiC, AB*,
AC=a,BC 0 * Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 10 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABC là tam giác vuông cân tạiA,BC*,
A 0 B: Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 11 Nếu khối lăng trụ đứng có đáy là hình vuông cạnh2avà đường chéo mặt bên bằng 4athì khối lăng trụ đó có thể tích bằng
L Ví dụ 12 Cho khối lăng trụ đứng tam giácABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là một tam giác vuông cân tại
A,AC*, góc giữaAC 0 và mặt phẳng(ABC)bằng30 ◦ Thể tích khối lăng trụ bằng
Hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông với cạnh AC=a Góc giữa cạnh BC 0 và mặt phẳng (ABC) là 45° Thể tích của khối lăng trụ này được tính dựa trên các thông số đã cho.
L Ví dụ 14 Lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là một tam giác vuông cân tại A, AC AB=a√
5,A 0 Btạo với mặt đáy lăng trụ góc60 ◦ Thể tích khối lăng trụ bằng
Lăng trụ đứng tam giác ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân tại B với cạnh BA = a Góc giữa mặt phẳng đáy ABC và mặt phẳng A 0 B h là 60 độ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 được tính dựa trên các thông số này.
L Ví dụ 16 Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABClà một tam giác đều cạnh2a, góc giữa mặt phẳng(A 0 BC)và mặt phẳng(ABC)bằng60 ◦ Thể tích khối lăngABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 17 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân tạiB,AC=a√
2, biết góc giữa(A 0 BC)và đáy bằng60 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 18 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnha Mặt phẳng(AB 0 C 0 ) tạo với mặt đáy góc60 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a và
2 Mặt phẳng(A 0 BC)hợp với đáy(ABC)góc30 ◦ Thể tích của khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 20 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A,
2, góc giữa mặt phẳng(AB 0 C 0 )và mặt phẳng(ABC)bằng60 ◦ Thể tích của khối lăng trụ bằng
L Ví dụ 21 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABClà tam giác vuông tạiAvàAB=a. Góc giữa hai đường thẳngAC 0 vàBA 0 bằng60 ◦ Thể tích của khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 với cạnh BC = 2a và góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A 0 BC) bằng 60° Diện tích tam giác A 0 BC là 2a² Tính thể tích của khối lăng trụ này.
L Ví dụ 23 Cho khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác cânABCvớiAB=a, gócBAC‘0 ◦ ,(AB 0 C 0 )tạo với đáy một góc30 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 24 Tính theo a thể tích của khối lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnha, gócBAD‘ ` ◦ và cạnh bênAA 0 =a.
Lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy ABCD là hình thoi, với góc BAD' là 30 độ và AB 0 tạo với đáy (ABCD) một góc 30 độ Thể tích của khối lăng trụ này được tính theo công thức cụ thể.
Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnha với góc nhọn 60 độ và đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của hình hộp Thể tích của khối hộp này được tính dựa trên các thông số đã cho.
Lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy hình bình hành, với các đường chéo DB 0 và AC 0 tạo với đáy các góc 45° và 30° Chiều cao của lăng trụ là a và góc BAD là θ° Thể tích của khối lăng trụ này được tính theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
Hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông tại A với AC = a và góc ACB = 60° Đường thẳng BC 0 tạo với mặt phẳng (ACC 0 A 0) một góc 30° Thể tích của khối lăng trụ này được tính toán dựa trên các thông số đã cho.
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 với cạnh BC* Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A 0 BC) là 60° Diện tích tam giác A 0 BC là 2a² Thể tích của khối lăng trụ này được tính dựa trên các thông số đã cho.
Hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác cân với cạnh AB và AC bằng a, với góc BAC bằng 0 độ Góc giữa mặt phẳng (A 0 BC 0) và đáy là 60 độ Thể tích của khối lăng trụ này được tính dựa trên các thông số đã cho.
L Ví dụ 31 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh
AB=a Biết rằng góc giữa mặt phẳng (ACC 0 ) và (AB 0 C 0 ) bằng 60 ◦ Thể tích khối lăng trụB 0 ACC 0 A 0 bằng
L Ví dụ 32 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng4, diện tích tam giác
A 0 BCbằng8 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 33 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng2, diện tích tam giác
A 0 BCbằng3 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 34 Cho lăng trụ đều ABC.A 0 B 0 C 0 Biết rằng góc giữa(A 0 BC)và (ABC)bằng30 ◦ , tam giácA 0 BCcó diện tích bằng 8 Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 35 Thể tích của khối lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 cóAC 0 Zvà đáy là tam giác đều cạnh4abằng
L Ví dụ 36 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B 0 C 0 có diện tích đáy bằng a 2 √
(A 0 BC)hợp với mặt phẳng đáy một góc60 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 37 Cho lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy bằngavà khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằng4a Thể tích của lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 38 Cho lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằngavà góc giữa đường thẳng
A 0 Cvà mặt phẳng đáy bằng60 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 39 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có AB=a, đường thằngAB 0 tạo vói mặt phằng(BCC 0 B 0 )một góc30 ◦ Thế tích của khối lăng trụ đã cho bằng
L Ví dụ 40 Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 cóAB*, góc giữa đường thẳngA 0 C và mặt phẳng(ABC)bằng45 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 41 Cho hình lăng trụ tứ giác đềuABCD.A 0 B 0 B 0 D 0 có cạnh đáy bằnga, Biết đường chéo của mặt bên bằnga√
3 Thể tích khối lăng trụABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 bằng
L Ví dụ 42 Cho khối lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằnga√
2và mỗi mặt bên có diện tích bằng4a 2 Thể tích khối lăng trụ đó bằng
L Ví dụ 43 Cho lăng trụ đều ABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng 2a, diện tích xung quanh bằng
3a 2 Thể tích của khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
L Ví dụ 44 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A 0 B 0 B 0 D 0 có cạnh đáy 4√
3 (m), Biết mặt phẳng(D 0 BC)hợp với đáy một góc60 ◦ Thể tích khối lăng trụABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 bằng
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Cõu 1 (Mó 103- 2022) Cho khối lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cú đỏyABC là tam giỏc vuụng cõn tại
A, cạnh bênAA 0 *, góc giữa hai mặt phẳng(A 0 BC)và(ABC)bằng30 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
9a 3 Cõu 2 (Mó 104- 2022) Cho khối lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cú đỏyABC là tam giỏc vuụng cõn tại
A, cạnh bênAA 0 *, góc giữa hai mặt phẳng(A 0 BC)và(ABC)bằng60 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3a 3 D 24a 3 Cõu 3 (Mó 101- 2022) Cho khối lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cú đỏyABC là tam giỏc vuụng cõn tại
A,AB* Góc giữa đường thẳngBC 0 và mặt phẳng(ACC 0 A 0 )bằng30 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Cõu 4 (Mó 102- 2022) Cho khối lăng trụ đứngABCãA 0 B 0 C 0 cú đỏyABC là tam giỏc vuụng cõn tại
A, AB=a Góc giữa đường thẳng BC 0 và mặt phẳng(ACC 0 A 0 )bằng30 ◦ Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 5 (Mã 102- 2022) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy3a 2 và chiều cao2a Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 6 (Mã 103- 2021- Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy BZ 2 và chiều cao là h=a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC với cạnh bên bằng 4a và góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC) bằng 30° Thể tích của khối lăng trụ này được tính theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
9 a 3 Câu 8 (Mã 104- 2021- Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B* 2 và chiều caoh=a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng? 1
Khối lăng trụ tam giác đều ABC với các đỉnh A0, B0, C0 có cạnh bằng 2a và góc giữa hai mặt phẳng (A0BC) và (ABC) là 60° Thể tích của khối lăng trụ này được xác định theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
27 a 3 Câu 10 (Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy và có chiều caohlà
Câu 11 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh bằng 6 Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
Câu 12 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2).
Thể tích khối lập phương cạnh2bằng
Câu 13 (ã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có 3 kích thước3; 4; 5 Thể tích của khối hộp đã cho bằng?
Câu 14 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáyB=3và chiều caoh=2 Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 15 (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnha và chiều cao bằng4a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3a 3 tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 17 (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa 2019).
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằnga 2 √
3, khoảng cách giữa hai đáy của lăng trụ bằnga√
6 Tính thể tíchV của khối lăng trụ
4 Câu 18 (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnhavàAA 0 2a Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3 Câu 19 (Đề Minh Họa 2017) Tính thể tíchVcủa khối lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , biếtAC 0 =a√
3a 3 Câu 20 (SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 cóB 0 C:, đáyABClà tam giác vuông cân tạiBvàAC=a√
2 Tính thể tíchVcủa khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0
2. Câu 21 Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABClà tam giác vuông tạiA, biếtAB=a,AC* vàA 0 B: Tính thể tích của khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0
Câu 22 (Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáyABCDlà hình chữ nhật,AB=a,
5(tham khảo hình vẽ) Tính theoathể tíchV của khối lăng trụ đã cho.
3 Câu 23 Lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng 3 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng:
2 Câu 24 (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích của khối lập phương cạnh2abằng
Khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều với cạnh a và chiều cao AA' = √2a Để tính thể tích của khối lăng trụ này, ta áp dụng công thức V = Diện tích đáy × Chiều cao Diện tích đáy là diện tích tam giác đều, được tính bằng (√3/4) * a², và chiều cao là √2a Thể tích khối lăng trụ sẽ là V = (√3/4) * a² * √2a.
12 Câu 26 (Đề Tham Khảo 2017) Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằnga.
Câu 27 (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có BB 0 =a, đáyABC là tam giác vuông cân tạiBvàAC=a√
2 Tính thể tíchV của khối lăng trụ đã cho.
Khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy là tam giác đều với cạnh dài 2a và chiều cao là AA0 Để tính thể tích của khối lăng trụ này, ta áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ, trong đó thể tích sẽ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.
Câu 29 (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnhavàAA 0 √3a Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng.
2 Câu 30 (THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác vuông cân tạiB,AB=avàA 0 B=a√
3 Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 là
2 Câu 31 Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáy là tam giác đều cạnha,A 0 Btạo với mặt phẳng đáy một góc60 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
8 Câu 32 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , đáy là hình thang vuông tại A và D, có AB 2CD,ADa√
2,AA 0 * Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 33 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 biết
Câu 34 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi, biếtAA 0 J,AC*,BD=a Thể tíchV của khối lăng trụ là
Hình hộp đứng có một mặt là hình vuông với diện tích 3a² Để tính thể tích của khối hộp này, cần xác định chiều cao và diện tích đáy Với diện tích đáy là 3a², thể tích khối hộp sẽ được tính bằng công thức: thể tích = diện tích đáy x chiều cao.
Câu 36 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối hộp chữ nhậtABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , biếtAB=a;BC*;AC 0 a√
21 Tính thể tíchV của khối hộp đó?
3a 3 D 8a 3 Câu 37 (THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo bằng6thì có thể tích là
Câu 39 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài3a, đáy là hình thoi cạnh avà có một góc60 ◦ Khi đó thể tích khối hộp là
2 Câu 40 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 cóBB 0 =a, đáyABClà tam giác vuông cân tạiB,AC=a√
2 Tính thể tích lăng trụ
2. Câu 41 (THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 , cóABCDlà hình vuông cạnh 2a, cạnhAC 0 *√
3.Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
Câu 42 Cho lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 có đáyABClà tam giác vuông cân tạiAvớiBC=avà mặt bên
AA 0 B 0 Blà hình vuông Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
12a 3 Câu 43 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằnga Thể tích khối lăng trụ đó bằng
12 Câu 44 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B 0 C 0 có AB*,AA 0 =a√
3. Tính thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0
Câu 45 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B’C’ cóAB*,AA 0 =a√
3 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’.
4. Câu 46 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có đáy là hình thoi cạnh a,BD=a√
3vàAA 0 J(minh họa như hình bên) Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
3 Câu 47 Cho hình lăng trụ đứng có đáyABClà tam giác vuông cân tạiA,BC=a√
2,A 0 Btạo với đáy một góc bằng60 0 Thể tích của khối lăng trụ bằng
Để tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A0B0C0 với đáy là tam giác vuông tại A, ta biết rằng AC* tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30° Khối lăng trụ này có đáy là tam giác vuông, do đó, thể tích có thể được xác định bằng công thức V = diện tích đáy x chiều cao Diện tích đáy tam giác vuông ABC có thể được tính dựa trên độ dài các cạnh, và chiều cao của lăng trụ là độ dài AC* Từ đó, ta có thể tính toán được thể tích khối lăng trụ ABC.A0B0C0 một cách chính xác.
Lăng trụ đứng tam giác ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, với chiều dài các cạnh BA và BC bằng a Điểm A0 tạo với mặt phẳng ABC một góc 60 độ Tính toán thể tích của khối lăng trụ này sẽ dựa trên các thông số đã cho.
2. Câu 50 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 cóAB=a,góc giữa đường thẳngA 0 Cvà mặt phẳng(ABC)bằng45 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
6 Câu 51 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 cóABJ, góc giữa đường thẳngA 0 Cvà mặt phẳng(ABC)bằng45 ◦ Thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0 bằng
Để tính thể tích V của khối lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 với đáy ABC là tam giác cân có độ dài cạnh AB = AC = a và góc BAC = 60°, chúng ta cần xác định diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ Diện tích đáy tam giác cân được tính bằng công thức S = (a^2 * √3) / 4 Chiều cao của lăng trụ được xác định từ góc tạo bởi mặt phẳng (AB0C0) với đáy là 60°, dẫn đến chiều cao h = a * √3 / 2 Cuối cùng, thể tích V sẽ được tính bằng công thức V = S * h.
4 Câu 53 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ đềuABC.A 0 B 0 C 0 Biết rằng góc giữa(A 0 BC)và (ABC) là30 ◦ , tam giácA 0 BCcó diện tích bằng8 Tính thể tích khối lăng trụABC.A 0 B 0 C 0
Câu 54 (THPT Thiệu Hóa - Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A 0 B 0 C 0 có diện tích đáy bằng a 2 √
4 Mặt phẳng (A 0 BC) hợp với mặt phẳng đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ
8 Câu 55 (Hội 8 trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác đềuABC.A 0 B 0 C 0 có cạnh đáy bằng avàAB 0 vuông góc vớiBC 0 Tính thể tíchV của khối lăng trụ đã cho.
53 A 54 A 55 B § 4 TỈ SỐ VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
• Cho khối chópS.ABC Trên các đường thẳngSA,SB,SClần lượt lấy các điểmA 0 ,B 0 ,C 0 khácS Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích
• Ngoài những cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành nhũng đa diện nhỏ mà dễ tính toán Sau đó cộng lại.
• Ta thường dùng tỉ số thể tích khi điểm chia đoạn theo tỉ lệ.
Tỉ số không áp dụng cho khối chóp có đáy là hình lục giác trở lên (n ≥ 4) Để sử dụng công thức tỉ số cho các khối chóp này, cần chia chúng thành nhiều khối chóp có đáy là tam giác và sau đó cộng các tỉ số lại với nhau.
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP p Dạng 4.7 TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP
L Ví dụ 1 Cho hình chópS.ABCcóA 0 ,B 0 lần lượt là trung điểm củaSA,SB GọiV 1 ,V 2 lần lượt là thể tích của khối chópS.A 0 B 0 CvàS.ABC Tỉ sốV 1
L Ví dụ 2 Cho khối chópO.ABC Trên ba cạnhOA,OB, OClần lượt lấy ba điểmA 0 ,B 0 ,C 0 sao cho2OA 0 =OA,4OB 0 =OB,3OC 0 =OC Tỉ số V O.A 0 B 0 C 0
L Ví dụ 3 Hình chópS.ABC cóM, N,P lần lượt là trung điểm củaSA, SB, SC GọiV 1 là thể tích khốiMNP.ABCvàV 2 là thể tích khốiS.ABC Tỉ số V 1
L Ví dụ 4 Cho khối tứ diện đềuABCD có cạnh bằng a GọiB 0 ,C 0 lần lượt là trung điểm của các cạnhABvàAC Thể tích của khối tứ diệnAB 0 C 0 Dbằng
L Ví dụ 5 Cho hình chópS.ABC cóSA⊥(ABC), tam giácABCvuông cân tạiB, AC*và
SA=a GọiMlà trung điểm cạnhSB Thể tích khối chópS.AMCbằng
L Ví dụ 6 Cho hình chópS.ABCcóSA,SB,SCđôi một vuông góc vàSA=SB=SC=a Gọi
B 0 ,C 0 lần lượt là hình chiếu vuông góc củaStrênAB,AC Thể tích của khối chópS.AB 0 C 0 bằng
L Ví dụ 7 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành và có thể tích bằng1 Trên cạnhSC, lấy điểmEsao choSE.C Thể tích của khối tứ diệnSEBDbằng
Hình chóp S.ABC có các mặt (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy, trong đó cạnh bên SB tạo với đáy một góc 60 độ Đáy ABC là một tam giác vuông cân tại B với độ dài cạnh BA bằng a Gọi M và N là trung điểm của SB và SC, thể tích của khối đa diện ABMNC được tính như thế nào?
L Ví dụ 9 Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA, BC, BD đôi một vuông góc với nhau và có
BA:,BC* GọiMvàNlần lượt là trung điểm củaABvàAD Thể tích của khối chóp C.BDNMbằng
Cho hình chóp S.ABC có thể tích V, với G là trọng tâm tam giác SBC Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A và G, song song với cạnh BC, cắt các cạnh SB và SC tại các điểm M và N Thể tích của khối chóp S.AMN được tính dựa trên các yếu tố này.
L Ví dụ 11 Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giácABCvuông cân ởB,AC=a√
Khối chóp S.AB₀C₀ có thể tích được tính dựa trên tam giác SBC, với trọng tâm G và mặt phẳng ABC Mặt phẳng này đi qua hai điểm A và G, đồng thời song song với cạnh BC, cắt các đoạn SB và SC tại các điểm B₀ và C₀.
L Ví dụ 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân ở B, AC =a√
Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC, và mặt phẳng (α) đi qua AG, song song với BC, chia khối chóp thành hai phần Đặt V là thể tích của khối đa diện không chứa đỉnh S.
L Ví dụ 13 Cho tứ diệnABCD có thể tích bằngV và Glà trọng tâm của tam giác BCD, Mlà trung điểm củaCD Thể tíchV 0 của khối chópA.GMCbằng
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V, lấy điểm A0 trên cạnh SA sao cho SA = 3SA0 Mặt phẳng đi qua A0 và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD tại các điểm B0, C0, D0 Thể tích khối chóp S.A0B0C0D0 được tính dựa trên các yếu tố này.
L Ví dụ 15 Cho hình chópS.ABCD Gọi A 0 , B 0 ,C 0 , D 0 theo thứ tự là trung điểm củaSA, SB,
SC,SD Tỉ số thể tích của hai khối chópS.A 0 B 0 C 0 D 0 vàS.ABCDbằng
Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành, gọi M và N là trung điểm của các cạnh SB và SC Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng 3, do đó, thể tích của khối chóp S.AMNDB sẽ được tính dựa trên vị trí của các điểm M và N.
L Ví dụ 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 0 B 0 C 0 Gọi M là trung điểm cạnh AA 0 Tỉ số
L Ví dụ 18 Cho hình lăng trụ đứngABC.A 0 B 0 C 0 Tỉ số V ABB 0 C 0
L Ví dụ 19 Cho hình lập phươngABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 cạnh a GọiE và E 0 lần lượt là trung điểm
CD,A 0 B 0 Thể tích của khối đa diệnABEDD 0 A 0 E 0 bằng
L Ví dụ 20 Cho hình lăng trụ ABC.A 0 B 0 C 0 có thể tích bằng 48cm 3 Gọi M, N, P, lần lượt là trung điểm các cạnhCC 0 ,BC,B 0 C 0 Thể tích của khối chópA 0 MNPbằng
L Ví dụ 21 Cho hình hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có thể tích bằng 16cm 3 Gọi M, N, K, lần lượt là trung điểm các cạnhBC,CD,D 0 A 0 Thể tích của khối chópAMNKbằng
L Ví dụ 22 Cho khối hộp ABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 có thể tích bằng2018 Gọi M là trung điểm cạnh
AB Mặt phẳng(MB 0 D 0 )chia khối hộpABCD.A 0 B 0 C 0 D 0 thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnhA.
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
Khi xoay hình chữ nhật ABCD quanh trục AB, ta tạo ra một mặt trụ Đường gấp khúc ADCB sẽ hình thành nên hình trụ, và kết quả là hình trụ cùng với phần không gian bên trong nó tạo thành một khối trụ hoàn chỉnh.
2 Các đại lượng cần nhớ rà bán kính đáy; ơ ư là đường sinh; hlà đường cao; ® ¯ Chú ýh=l.
3 Công thức tính ơ Diện tớch xung quanh:S xq =2πrl;
Diện tích đáy:S đ =πr 2 ; đ Diện tớch toàn phần:S tp =S xq +2ãS đ ; ¯ Thể tớch:V =S đ ãh=πr 2 h.
B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP p Dạng 2.13 Xác định các yếu tố cơ bản của hình trụ, khối trụ
L Ví dụ 1 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình trụ có bán kính đáyr=4và độ dài đường sinh l=3 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
L Ví dụ 3 Cho khối trụ có bán kínhr=3và chiều caoh=4 Thể tích khối trụ đã cho bằng
L Ví dụ 4 Cho khối trụ có bán kính đáyr=4và chiều caoh=3 Thể tích của khối trụ đã cho bằng
L Ví dụ 5 Cho hình trụ có diện tích xung quang bằng 8πa 2 và bán kính đáy bằng a Độ dài đường sinh của hình trụ bằng:
L Ví dụ 6 Tinh diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáyavà đường caoa√
L Ví dụ 7 Một hình trụ có bán kính đáya, có thiết diện qua trục là một hình vuông Tính theo adiện tích xung quanh của hình trụ.
L Ví dụ 8 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông, diện tích mỗi mặt đáy bằng
Tính diện tích xung quanh hình trụ đó.
L Ví dụ 9 Tính thể tíchV của khối trụ có bán kính đáy và chiều cao đều bằng2.
L Ví dụ 10 Một hình trụ có bán kính đáyr\m, chiều cao h=7 cm Tính diện tích xung quanh của hình trụ.
L Ví dụ 11 Hình trụ có diện tích xung quanh bằng3πa 2 và bán kính đáy bằnga Chiều cao của hình trụ đã cho bằng
Một khối trụ có thể tích 25π Khi chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần mà bán kính đáy không thay đổi, hình trụ mới sẽ có diện tích xung quanh bằng 25π Từ đó, chúng ta cần tính bán kính đáy r của hình trụ ban đầu.
Trục lăn sơn nước có hình dạng hình trụ với đường kính đáy 5cm và chiều dài 23cm Khi lăn trục này 15 vòng mà không chồng lên nhau, nó tạo ra một hình có diện tích trên sân phẳng.
Một khối trụ có thể tích 25π Khi chiều cao của hình trụ tăng lên năm lần và bán kính đáy giữ nguyên, hình trụ mới có diện tích xung quanh là 25π Từ đó, cần tính bán kính đáy r của hình trụ ban đầu.
Khối đồ chơi bao gồm một hình trụ (T) và một hình nón (N), trong đó hình nón có bán kính đáy r2 gấp đôi bán kính đáy r1 của hình trụ và chiều cao h1 của hình trụ gấp đôi chiều cao h2 của hình nón Biết rằng thể tích của hình nón (N) là 20 cm³, chúng ta cần tính thể tích tổng thể của khối đồ chơi.
Bác An muốn xây dựng một bể nước hình trụ có thể tích 16π m³ Để tối ưu hóa nguyên vật liệu, cần tính toán bán kính đáy của hình trụ sao cho lượng vật liệu sử dụng là ít nhất.
. p Dạng 2.14 Xoay hình phẳng quanh trục tạo khối trụ
Trong bài toán minh họa năm 2017, cho hình chữ nhật ABCD với chiều dài AB=1 và chiều cao AD=2 Gọi M và N là trung điểm của AD và BC Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh trục MN, ta tạo ra một hình trụ Nhiệm vụ là tính diện tích toàn phần S_t_p của hình trụ này.
L Ví dụ 2 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Cho hình chữ nhật ABCD có AB 2BC* Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳngABCDquanh trụcAD
Trong bài toán này, chúng ta xem xét hình chữ nhật ABCD với chiều dài AB = 1 và chiều rộng AD = 2 Điểm M và N được xác định là trung điểm của các cạnh AD và BC Khi quay hình chữ nhật quanh trục MN, chúng ta tạo ra một hình trụ Nhiệm vụ là tính diện tích toàn phần S tp của hình trụ này.
L Ví dụ 4 Cho hình chữ nhậtABCDcóAB+C* Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳngABCDquanh trụcAD.
L Ví dụ 5 Cho hình chữ nhậtABCDcóAB=a,AD* Thể tích của khối trụ tạo thành khi quay hình chữ nhậtABCDquanh cạnhABbằng
Trong không gian, hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = 1 và chiều cao AD = 2 Khi gọi M và N là trung điểm của AB và CD, việc quay hình chữ nhật này quanh trục MN sẽ tạo ra một hình trụ.
Tính thể tíchV của khối trụ tạo bởi hình trụ đó
L Ví dụ 7 Cho hình chữ nhậtABCDcóAB=1;AD=2 GọiM,N lần lượt là trung điểm của
AD,BC Quay hình chữ nhật xung quanh trụcMNta được một khối trụ Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
Ví dụ 8 ABCD a; hình trụ khi quay đường gấp khúcBCDAquanh trụcAB.
L Ví dụ 9 Cho hình vuôngABCDcó cạnh bằng a, khi quay hình vuông đó xung quanh trụcAB ta được một hình trụ Tính diện tích xung quanh của hình trụ đó.
L Ví dụ 10 Quay hình vuôngABCDcó cạnh bằng4quanh trục là đường thẳng chứa cạnhMN
(M,N lần lượt là trung điểm của AB,CD) được hình trụ Diện tích xung quanh của hình trụ đó bằng
L Ví dụ 11 Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB Biết
2avàACB‘E 0 Diện tích toàn phần của hình trụ(T)bằng
Cho lục giác đềuABCDEFcó cạnh bằng4 Quay lục giác đều đó quanh đường thẳngAD Tính thể tíchV của khối tròn xoay được sinh ra.
D p Dạng 2.15 Thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng cho trước
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng 3, khi cắt hình trụ này bằng một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ được xác định dựa trên thông tin đã cho.
Để tính diện tích toàn phần của khối trụ, ta bắt đầu với thông tin rằng khi cắt khối trụ bằng một mặt phẳng qua trục của nó, chúng ta thu được một hình vuông với cạnh dài 3a Diện tích toàn phần của khối trụ được tính bằng công thức A = 2πrh + 2πr², trong đó r là bán kính đáy và h là chiều cao Với cạnh hình vuông là 3a, ta có thể xác định bán kính và chiều cao để tính toán diện tích toàn phần một cách chính xác.
Một hình trụ có bán kính đáy 2cm và thiết diện qua trục là hình vuông Diện tích xung quanh của hình trụ này được tính theo công thức phù hợp với các thông số đã cho.
Để tính diện tích toàn phần của hình trụ, ta biết rằng khi cắt hình trụ bằng một mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một hình vuông với cạnh dài 3a Diện tích toàn phần của hình trụ được tính bằng công thức S = 2πrh + 2πr², trong đó r là bán kính và h là chiều cao Với thông tin từ thiết diện, ta có thể xác định bán kính và chiều cao của hình trụ để tính diện tích toàn phần một cách chính xác.
L Ví dụ 5 Bán kính đáy hình trụ bằng4cm, chiều cao bằng6cm Độ dài đường chéo của thiết diện qua trục bằng
L Ví dụ 6 Một hình trụ có bán kính đáy bằnga, chu vi thiết diện qua trục bằng 10a Thể tích của khối trụ đã cho bằng
L Ví dụ 7 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông và diện tích toàn phần bằng 64πa 2 Tính bán kính đáy của hình trụ.
Hình trụ có bán kính đáy 2cm và chiều cao 3cm, với một mặt phẳng song song với trục hình trụ Khoảng cách giữa mặt phẳng và trục hình trụ cần được xác định.
1cm Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng đó và mặt trụ.
Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằnga Một hình vuông
ABCD có AB,CD là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng
(ABCD)không vuông góc với đáy Diện tích hình vuông đó bằng
L Ví dụ 10 (Mã 102 - 2019) Cho hình trụ có chiều cao bằng4√
2 Cắt hình trụ đã cho bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng√
2, thiết diện thu được có diện tích bằng16 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
Hình trụ (T) được cắt bởi một mặt phẳng qua trục, tạo ra một hình chữ nhật có diện tích 30cm² và chu vi 26cm Chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính đáy của hình trụ Tính diện tích toàn phần của hình trụ (T).
L Ví dụ 12 Một hình trụ có bán kính đáy bằng50cm và có chiều cao là50cm Một đoạn thẳng
ABcó chiều dài là100cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy Tính khoảng cáchd từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ.
. p Dạng 2.16 Khối trụ ngoại tiếp, nội tiếp