chuyen de hinh hoc khong gian toan 12 le quang xe

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TẤT THÀNH – GV: LÊ QUANG XE – ĐT: 0967.003.131 TỐN 12 TỐN π Chun àïì π π π π π π HÌNH HỌC KHƠNG GIAN π π π π π π S π π π π π π π π C π π B π C π π π π TL LƯU HÀNH NỘI BỘ O M π π A B CHƯƠNG MỤC LỤC MỤC LỤC CHƯƠNG ĐA DIỆN §1 – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A Tóm tắt lý thuyết B Ví dụ minh họa C Bài tập rèn luyện 12 Dạng 1.Mở đầu khối đa diện 12 Dạng 2.Thể tích khối lăng trụ đứng 22 Dạng 3.Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy 55 Dạng 4.Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 89 Dạng 5.Thể tích khối chóp 121 Dạng 6.Thể tích khối tứ diện đặc biệt 151 Dạng 7.Tỉ số thể tích 197 Dạng 8.Các tốn thể tích chọn lọc 244 Dạng 9.Bài tốn góc - khoảng cách 284 Dạng 10.Cực trị khối đa diện 325 CHƯƠNG KHỐI TRỊN XOAY 344 §1 – 344 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU A Tóm tắt lý thuyết 344 B Ví dụ 346 C Bài tập rèn luyện 348 Dạng 1.Các yếu tố liên quan đến khối nón, Khối trụ 348 Dạng 2.Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp đa diện 370 Dạng 3.Cực trị toán thực tế khối tròn xoay 381 Lê Quang Xe i SĐT: 0967.003.131 MỤC LỤC Lê Quang Xe ii SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG ĐA DIỆN ĐA DIỆN § THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Một số định nghĩa cần nhớ Định nghĩa 1.1 ○ Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành ○ Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy ○ Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy ○ Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành ○ Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Hình hộp đứng có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật ○ Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật ○ Hình lập phương hình hộp chữ nhật có đáy mặt bên hình vng Hình lập phương có mặt hình vng ○ Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh Thể tích khối đa diện a) Cơng thức thể tích khối chóp V = Sh Trong đó: S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN S h A B H D C Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao ta phải xác định vị trí chân đường cao đáy ○ Chóp có cạnh bên vng góc với đáy, chiều cao cạnh bên ○ Chóp có hai mặt bên vng góc đáy, đường cao giao tuyến hai mặt bên vng góc đáy ○ Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc với đáy ○ Chóp có chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy ○ Chóp có hình chiếu vng góc đỉnh xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy, đường cao từ đỉnh tới hình chiếu b) Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V = Bh Trong đó: B diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ ○ Thể tích khối hình chữ nhật: V = a.b.c Trong a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật ○ Thể tích khối lập phương: V = a3 Trong a độ dài cạnh hình lập phương Tỉ số thể tích Cho khối chóp S.ABC A , B , C điểm tùy ý thuộc SA, SB, SC, ta có: Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG ĐA DIỆN S C B A A B C SA SB SC VS.A B C (hay gọi công thức Simson) = · · VS.ABC SA SB SC Phương pháp áp dụng khối chóp khơng xác định chiều cao cách dễ dàng Công thức tỉ số thể tích: khối chóp cần tính phần nhỏ khối chóp lớn cần ý đến số điều kiện sau: ○ Hai khối chóp phải chung đỉnh ○ Đáy hai khối chóp phải tam giác ○ Các điểm tương ứng nằm cạnh tương ứng Định lý Menelaus: Cho tam giác ABC, điểm D, E, F nằm đường thẳng BC, CA, AB Khi D, E, F thẳng hàng F A DB EC · · =1 F B DC EA A F E D B C Một số cơng thức tính nhanh thể tích tỷ số thể tích khối chóp khối lăng trụ √ a3 ○ Công thức 1: Thể tích tứ diện cạnh a VS.ABC = 12 ○ Cơng thức 2: Với tứ diện ABCD có AB = a, AC = b, AD = c đôi vng góc thể tích VABCD = abc ○ Công thức 3: Với tứ diện √ ABCD có AB = CD = a, BC = AD = b, AC = BD = c thể tích VABCD = (a2 + b2 − c2 ) (b2 + c2 − a2 ) (a2 + c2 − b2 ) 12 Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN ’ = α, CSA ’ = β, ○ Công thức 4: Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, BSC ’ = γ thể tích VS.ABC = abc + cos α cos β cos γ − cos2 α − cos2 β − cos2 γ ASB ○ Công thức 5: Mặt phẳng cắt cạnh khối lăng trụ tam giác ABC.A B C M , AM BN CP x+y+z VABC.A B C N , P cho = x, = y, = z ta có VABC.M N P = AA BB CC ○ Công thức 6: Mặt phẳng cắt cạnh khối hộp ABCD.A B C D M , N , P , Q AM BN CP DQ x+y+z+t cho VABCD.A B C D = x, = y, = z, = t ta có VABCD.M N P Q = AA BB CC DD x + z = y + t D C O A B Q P I M N D C O A B ○ Công thức 7: Mặt phẳng cắt cạnh khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình SM SN SP SQ hành M , N , P , Q cho = x, = y, = z, = t ta có cơng thức SAã SB SC SD Å 1 1 xyzt 1 1 + + + VS.ABCD + = + sau VS.M N P Q = x y z t x z y t S N M Q I P A B O C D B VÍ DỤ MINH HỌA ǥ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 45◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 A B 12 √ a3 C √ a3 D ɓ Lời giải Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG ĐA DIỆN S A C H I J B Kẻ SH ⊥ BC (SAC) ⊥ (ABC) nên SH⊥ (ABC) Gọi I, J hình chiếu H AB BC Suy SJ ⊥ AB, SJ ⊥ BC ‘ = SJH ’ = 45◦ Theo giả thiết SIH Ta có ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI = HJ nên BH đường phân giác ∆ABC từ suy H trung điểm AC HI = HJ = SH = a3 a ⇒ VSABC = SABC · SH = 12 Chọn đáp án A ǥ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D, đáy nhỏ √ hình thang CD, cạnh bên SC = a 15 Tam giác SAD tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy hình chóp Gọi H trung điểm cạnh AD, khoảng cách từ B √ tới mặt phẳng (SHC) 6a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD? √ √ √ √ A V = 24 6a3 B V = 6a3 C V = 12 6a3 D V = 6a3 ɓ Lời giải S A B H D   (SAD) ∩ (ABCD) = AD C F ⇒ SH ⊥ (ABCD) SH ⊥ AD, SH ⊂ (SAD) Ta có SH = Lê Quang Xe √ √ SD2 − DH = a SĐT: 0967.003.131 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN √ √ SC − SH = 3a √ √ CD = HC − HD2 = a 11 HC = Ta có  BF ⊥ BC √ ⇒ BF ⊥ (SHC) nên d (B, (SHC)) = BF = 6a BF ⊥ SH √ √ √ SHBC = BF · HC = · 3a · 6a = 2a2 2 Đặt AB = x nên a AH · AB = · x 2 √ a2 11 SCDH = DH · DC = 2 Ä √ ä (CD + AB) AD = a 11 + x a SABCD = √ Ä √ √ ä a2 11 SAHB = SABCD − SCDH − SBHC ⇔ DH · DC = ⇔ x = 12 − 11 a 2 Ä √ Ä √ √ ä ä √ SABCD = a 11 + 12 − 11 a a = 12 2a √ √ 1 √ Vậy VS.ABCD = SH · SABCD = · a · 12 2a2 = 6a3 3 Chọn đáp án D SAHB = ’ = BSC ’ = CSA ’ = 60◦ SA = 2, SB = 3, ǥ Ví dụ Cho khối chóp S.ABC có góc ASB SC = Thể tích khối chóp S.ABC √ √ A B √ C 2 √ D ɓ Lời giải S C A O M B C B Gọi B SB cho SB = SB C SC cho SC = SC Khi SA = SB = SC = ⇒ S.AB C khối tứ diện Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG ĐA DIỆN √ √ 3 √ = ⇒ AO = AM = Ta có: AM = 3 √ √ √ Nên SO = SA2 − AO2 = SAB C = 3 √ 2 VS.ABC SA SB SC mà = · · = ⇒ VS.ABC = 3VS.AB C = Khi VS.AB C = SAB C · SO = 3 VS.AB C SA SB SC √ 2 Cách khác: Áp dụng công»thức SA · SB · SC ’ − cos2 BSC ’ − cos2 CSB ’ + cos ASB ’ cos BSC ’ cos CSB ’ = · − cos2 ASB VS.ABC = √ 2 Chọn đáp án C ǥ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có AB = 5cm, BC = 6cm, CA = 7cm Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60◦ Gọi AD, BE, CF đường phân giác tam giác ABC với D ∈ BC, E ∈ AC, F ∈ AB Thể tích S.DEF gần với số sau đây? A 3, 7cm3 B 3, 4cm3 C 2, 9cm3 D 4, 1cm3 ɓ Lời giải S A E I F C D H B Vì mặt phẳng (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy góc 60◦ hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S tâm I đường trịn nội tiếp tam giác ABC AB + BC + CA = √ √ S Ta có SABC = p (p − AB) (p − BC) (p − AC) = 6 r = = p √ Suy chiều cao hình chóp h = r · tan 60◦ = 2 BA EA Vì BE phân giác góc B nên ta có = EC BC FA CA DB AB Tương tự = , = FB CB DC AC SAEF AE AF AB AC Khi = · = · SABC AC AB AB + BC AC + BC Gọi p nửa chu vi tam giác ABC p = Lê Quang Xe SĐT: 0967.003.131 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU Câu 21 Một “cù”gồm hai khối : khối trụ H1 khối nón H2 hình bên Chiều cao bán kính khối trụ h1 , r1 chiều cao bán kính đáy khối nón h2 , r2 thỏa mãn h1 = h2 , 3 r1 = r2 Biết thể tích tồn khối 30 cm , thể tích khối H1 30 cm3 A cm3 B cm3 C 15 cm3 D 13 ɓ Lời giải 1 Ta có: h1 = h2 ⇔ h2 = 3h1 , r1 = r2 ⇔ r2 = 2r1 Thể tích khối trụ H1 V1 = πr12 h1 1 Thể tích khối nón H2 V2 = πr22 h2 = π(2r1 )2 3h1 = 4πr12 h1 = 4V1 3 Thể tích toàn khối V = V1 + V2 ⇔ 30 = V1 + 4V1 ⇔ 30 = 5V1 ⇔ V1 = Vậy thể tích khối H1 cm3 Chọn đáp án A Câu 22 Một nhà máy sản xuất bột trẻ em cần thiết kê bao bì cho loại sản phẩm dạng khối trụ tích dm3 Hỏi phải thiết kế hộp đựng với diện tích tồn phần để tiết kiệm nguyên vật liệu √ √ A 2π dm2 B 4π dm2 √ C 3 π dm2 √ D 3 2π dm2 ɓ Lời giải Giả sử hộp trụ có bán kính đáy r, chiều cao h Theo giả thiết có V = πr2 h = ⇒ h = πr Để tiết kiệm nguyên vật liệu diện tích tồn phần phải nhỏ √ 1 Stp = Sxq + S2đáy = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + = 2πr2 + + ≥ 3 2π r r r 1 Dấu “ = ” đạt 2πr = ⇔ r = √ ≈ 0,54 dm ⇒ h ≈ 1,084 dm r 2π Do phải thiết kế khối trụ có bán kính đáy 0,54 dm chiều cao 1,084 dm √ Vậy Stp = 3 2π dm3 Chọn đáp án D Câu 23 Hai hình nón có chiều cao dm, đặt hình vẽ bên Lúc đầu, hình nón chứa đầy nước hình nón khơng chứa nước Sau đó, nước chảy xuống hình nón thơng qua lỗ trống đỉnh hình nón Hãy tính chiều cao nước hình nón thời điểm mà chiều cao nước hình nón 1dm √ A Lê Quang Xe B √ C D 394 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRÒN XOAY ɓ Lời giải Gọi bán kính đáy hình nón r 2πr2 Thể tích nước khối nón phía sau chảy xuống nón thời điểm mà chiều cao r π· ·1 πr2 = nước hình nón 1dm 12 2πr2 πr2 7πr2 Thể tích nước nón phía sau nón chảy xuống − = 12 12 r h ⇔ Gọi chiều cao nước nón h, bán kính đáy nước nón r , = r rh r = Å ã2 rh π ·h √ π(r )2 h 7πr2 7πr2 Thể tích nước nón phía = ⇔ = ⇔ h = 12 12 Khi thể tích nước khối nón phía lúc ban đầu Chọn đáp án B Câu 24 Một khúc gỗ hình trụ có bán kính R bị cắt mặt phẳng B khơng song song với đáy ta thiết diện hình elip Khoảng cách từ điểm A đến mặt đáy 12 cm khoảng cách từ điểm B đến mặt đáy 20 cm Đặt khúc gỗ vào hình hộp chữ nhật có chiều cao A 20cm 12cm 20 cm chứa đầy nước cho đường tròn đáy khúc gỗ tiếp xúc với cạnh đáy hình hộp chữ nhật Sau đó, người ta đo lượng nước cịn lại hình hộp chữ nhật lít Tính bán kính khúc gỗ A R = 5,2 cm C R = 6,4 cm B R = 4,8 cm D R = 8,2 cm ɓ Lời giải Giả sử R có đơn vị m Ta có 2l = 0,002 (m3 ) Thể tích khối hộp 4R2Å· 0,2 = 0,8Rã2 (m3 ) 0,12 + 0,2 Thể tích khúc gỗ πR2 = 0,16πR2 (m3 ) Ta có 0,8R2 − 0,16πR2 = 0,002 ⇒ R ≈ 0,08201 (m) ⇒ R ≈ 8,2 cm Chọn đáp án D Câu 25 Một khối nón có bán kính đáy cm, chiều cao √ cm Một mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ chia khối nón làm phần Tính thể tích V phần nhỏ A V ≈ 1,42 cm3 B V ≈ 2,47 cm3 C V ≈ 1,53 cm3 D V ≈ 2,36 cm3 ɓ Lời giải Lê Quang Xe 395 SĐT: 0967.003.131 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU S ○ Cách Gọi mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ cắt khối nón theo thiết diện tam giác SM N hình vẽ Gọi I trung điểm M N Khi OI ⊥ M N SI ⊥ M N , suy ◦ ‘ góc mặt phẳng (SM N ) mặt đáy góc √ SIO = 60 SO = Xét tam giác SIO, ta có OI = = tan 60◦ ‘ tan SIO √ √ √ IN = ON − OI = 3, M N = 2IN = √ S OM N = · OI · M N = VS.OM N = · SO · S OM N = √ √ Vk/nón = · π · 22 · = π 3 √ ’ = IN = sin ION ON ’ = 60◦ , M ÷ ’ = 120◦ Suy ION ON = · ION M ◦ I 60 O N Gọi V thể tích cần tính √ Ta có V = Vk/nón − VS.OM N = π − ≈ 1,42 cm3 ○ Cách Gọi mặt phẳng qua đỉnh tạo với đáy góc 60◦ cắt khối nón theo thiết diện SM N Gọi I trung điểm M N Khi OI ⊥ M N SI ⊥ M N , suy góc mặt phẳng (SM N ) mặt đáy góc ‘ = 60◦ SIO √ SO Xét tam giác SIO, ta có OI = = = tan 60◦ ‘ tan SIO √ √ √ √ IN = ON − OI = ⇒ M N = 2IN = 3; S OM N = OI.M N = √ IN ’= ’ = 60◦ , M ÷ ’ = 120◦ Ta có sin ION = , suy ION ON = · ION ON Gọi SV diện tích hình viên phấn tạo dây M N cung nhỏ M N 4π √ Ta có SV = πR2 − S OM N = − 3 √ Thể tích phần nhỏ cần tính V = SO · SV = π − ≈ 1,42 cm3 Chọn đáp án A Lê Quang Xe 396 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRÒN XOAY Câu 26 Một tạ tập tay gồm ba khối trụ (H1 ), (H2 ), (H3 ) gắn liền h1 h2 h3 có bán kính chiều cao tương ứng r1 , h1 , r2 , h2 , r3 , h3 thỏa mãn r1 = r3 , h1 = h3 ; r2 = r1 Biết thể tích toàn tạ 60π chiều dài tạ Thể tích khối trụ (H2 ) bằng? 16 (9 − 2h1 ) 60 (9 − 2h1 ) A π B π 4h1 + 4h1 + 46 (9 − 2h1 ) 36 (9 − 2h1 ) C π D π 4h1 + 4h1 + ɓ Lời giải Chiều dài tạ l = h1 + h2 + h3 = 2h1 + h2 = ⇒ h2 = − 2h1 Thể tích tạ V = V(H1 ) + V(H2 ) + V(H3 ) = πr1 h1 + πr2 h2 + πr3 h3 = 2πr1 h1 + πr2 h2 = 60π ⇒ 2r1 h1 + r2 h2 = 60 ⇔ 6r2 h1 + r2 (9 − 2h1 ) = 60 Thể tích V(H2 ) ⇔ r2 (9 + 4h1 ) = 60 60 ⇔ r2 = + 4h1 60 60 (9 − 2h1 ) = πr2 h2 = π (9 − 2h1 ) = π + 4h1 + 4h1 Chọn đáp án B Câu 27 Một bình đựng nước dạng hình nón đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích nước tràn ngồi 18π dm3 Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước Tính thể tích nước cịn lại bình A 9π dm3 B 27π dm3 C 6π dm3 D 24π dm3 ɓ Lời giải Lê Quang Xe 397 SĐT: 0967.003.131 MẶT NĨN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU Vì nửa khối cầu chìm nước nên thể tích khối cầu gấp lần thể tích nước tràn ngồi Gọi bán kính khối cầu R Khi πR3 = 36π ⇔ R3 = 27 Xét tam giác ABC có AC chiều cao bình nước nên C B C B H H AC = 2R A 1 = + CH CA2 CB 1 ⇔ = + R 4R CB 2 4R ⇔ CB = 1 4R2 8π Thể tích khối nón Vn = π · CB · AC = π · · 2R = · R3 = 24π dm3 3 Vậy thể tích nước cịn lại bình: 24π − 18π = 6π dm3 A Trong tam giác ABC có Chọn đáp án C Câu 28 Một ly nước hình trụ có chiều cao 20 cm bán kính đáy cm Bạn Nam đổ nước vào ly mực nước cách đáy ly 17 cm dừng lại Sau đó, Nam lấy viên đá lạnh hình cầu có bán kính cm thả vào ly nước Bạn Nam cần dùng viên đá để nước trào khỏi ly? A B C D ɓ Lời giải Ta tích phần khơng chứa nước V1 = 3.π.42 = 48π Như để nước trào ngồi số bi thả vào cốc có 20cm tổng thể tích lớn 48π 17cm Gọi n số viên bi tối thiểu thả vào cốc tổng 32πn thể tích n viên bi V2 = n · π · 23 = 3 32πn Theo > 48π ⇔ n > Vậy n = 2cm 4cm Chọn đáp án B Câu 29 Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn gần với giá trị sau đây? A 170 B 260 C 294 D 208 ɓ Lời giải Lê Quang Xe 398 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRỊN XOAY Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường S sinh hình nón ta thu thiết diện parabol Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ, suy E tồn đường kính AB ⊥ KH, tam giác SAB, KE ∥ SA, E ∈ SB Suy Parabol nhận KE làm trục B hình vẽ thiết diện thỏa yêu cầu x toán OK Đặt BK = x H A Trong tam giác ABH có HK = BK · AK = x(24 − x) Trong tam giác SAB có BK BK 5x KE = ⇔ KE = · SA ⇔ KE = SA BA BA Thiết diện thu parabol có diện tích S = KH · KE 16 16 25x2 100 10 √ Ta có S = KH · KE = · x(24 − x) = · (24x3 − x4 ) ⇒ S = · 24x3 − x4 36 81 Đặt f (x) = 24x3 − x4 , với < x < 24  x=0 Ta có f (x) = 72x2 − 4x3 Suy f (x) = ⇔  x = 18 Bảng biến thiên: x f (x) 18 + 24 − 34992 f (x) Vậy thiết diện có diện tích lớn 10 √ 34992 ≈ 207,8 cm2 Chọn đáp án D Câu 30 ’ = 60◦ Phân giác góc ASB ’ cắt SA Cho tam giác SAB vuông A, ASB I Vẽ nửa đường trịn tâm I, bán kính IA Cho miền tam giác SAB nửa hình trịn quay xung quanh trục SA tạo nên khối trịn xoay thể tích tương ứng V1 , V2 Khẳng định sau đúng? A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = 3V2 D V1 = V2 ɓ Lời giải Lê Quang Xe 399 SĐT: 0967.003.131 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU √ ’ = x Đặt AB = x (x > 0) Tam giác SAB vuông A ⇒ SA = AB · tan ABS “ ⇒ IBA ‘ = 30◦ ⇒ IA = AB · tan 30◦ = √x IB phân giác góc B Quay miền tam giác SAB quanh SA ta khối nón có chiều cao SA, bán kính đáy AB √ √ πx 1 ⇒ V1 = π · AB · SA = π · x2 · x = 3 Quay nửa hình trịn tâm I quanh SA ta khối cầu tâm I bán kính IA √ 4 x3 4πx3 3 ⇒ V2 = π · IA = π · √ = 3 27 3 V1 9 = hay V1 = V2 V2 4 Chọn đáp án D Suy Câu 31 cm Một trục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường 23 tròn đáy cm, chiều dài lăn 23 cm Sau lăn trọn 10 vịng trục B 1150π cm2 C 862,5π cm2 D 5230π cm2 A 2300π cm2 cm lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích ɓ Lời giải Khi lăn trọn vịng trục lăn tạo tường phẳng lớp sơn có diện tích diện tích xung quanh trục lăn S = 2πRh = 2π · · 23 = 115π cm2 Vậy sau lăn trọn 10 vịng trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích 10S = 1150π cm2 Chọn đáp án B Câu 32 Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng gấp 1,5 lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng h Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tính tỉ số cho chi phí vật liệu sản xuất r thùng nhỏ nhất? √ h h √ h h A B C D = = = = r r r r ɓ Lời giải Gọi giá vật liệu làm mặt xung quanh x, (x > 0) Suy giá vật liệu làm đáy nắp 1,5x Tổng chi phí vật liệu sản xuất thùng   … Å ã Å ã 2V V V V V 3V T = 3xπr2 + 2xπ = πx 3r2 + = πx 3r2 + + ≥ πx πx · · = 3πx πx πx πx πx πx π2 Dấu "=" xảy V πr2 h h = 3r2 ⇔ = 3r2 ⇔ h = 3r ⇔ = πx πr r Chọn đáp án C Lê Quang Xe 400 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRÒN XOAY Câu 33 Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có 0.5 cm chiều dài bồn m, có bán kính đáy m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5 m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn A 23,562 m2 C 6,319 m2 B 12,637 m2 D 11,781 m2 ɓ Lời giải y Gắn hệ trục tọa độ Oxy vào đáy hình trụ hình vẽ Ta có H trung điểm OB nên AOB tam giác ’ = 60◦ AOC ’ = 120◦ nên hình quạt chứa cung Suy AOB ˜ có diện tích S = πr2 = π nhỏ AC 3 Khi diện tích phần tơ đậm hình vẽ √ √ π π S1 = S − SOAC = − · 0,5 · = − 3 Ç √ å π Và thể tích dầu rút V1 = h · S1 = − Thể tích bồn chứa dầu hình trụ V = πr2 h = 5π Ç Thể tích dầu cịn lại bồn V2 = V − V1 = 5π − A Bx O C √ √ å 10π π − = + ≈ 12,637 m3 4 Cách khác: Có thể tính diện tích phần tơ đậm tích phân √ − x2 dx Chọn đáp án B Câu 34 Từ tơn hình chữ nhật có kích thước m ×40 m, người ta làm hai thùng nước hình trụ có chiều cao m, cách cắt tôn thành hai nhau, gị thành mặt xung quanh thùng Tổng thể tích hai thùng hình trụ A 1000π m3 Lê Quang Xe B 2000π m3 C 401 2000 m π D 1000 m π SĐT: 0967.003.131 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU ɓ Lời giải Hai khối trụ tích nên tổng thể tích hai lần thể tích khối trụ 20 10 Do AE = AB = 20 m chu vi mặt đáy, suy bán kính đáy R = = m 2π π 100 m , chiều cao khối trụ AD = m Diện tích mặt đáy S = πR2 = π 500 Suy thể tích khối trụ V = S · h = m π 1000 Vậy tổng thể tích m π Chọn đáp án D Câu 35 Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu phần ba chiều cao phễu Hỏi bịt miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao nước bao nhiêu? Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,5 cm B 0,216 cm C 0,3 cm D 0,188 cm ɓ Lời giải Gọi h = 15 cm chiều cao phễu V thể tích phễu hình nón Ký hiệu h1 = h = cm chiều cao V1 thể tích lượng nước phễu Gọi h2 , V2 chiều cao thể tích phần khơng h h h2 h1 gian trống Å phễu ã3 lật ngược phễuÅ lại.ã3 V h2 Ta có V1 = V = , V2 = V 27 h V1 = V − V2 Khi … Å ã3 Å ã3 Å ã3 √ h2 h2 h2 3 V = V − V2 ⇔ V =V − V ⇔ =1− ⇔ = 1− ⇔ h2 = 26 h 27 15 15 27 √ Vậy chiều cao nước lật ngược phễu lại h − h2 = 15 − 26 ≈ 0,188 cm Chọn đáp án D Câu 36 Lê Quang Xe 402 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRÒN XOAY Từ thép phẳng hình chữ nhật, người ta muốn A B D C làm thùng đựng dầu hình trụ cách cắt hai hình trịn hình chữ nhật sau 3h hàn kín lại, hình vẽ Hai hình trịn làm hai mặt đáy, hình chữ nhật làm thành mặt xung quanh h thùng đựng dầu Biết thùng đựng dầu tích 50,24 lít Tính diện tích thép hình chữ nhật ban đầu? A 1,8062 m2 B 2,2012 m2 C 1,5072 m2 D 1,2064 m2 ɓ Lời giải Gọi thép hình chữ nhật ban đầu ABCD, r bán kính hình trịn đáy Diện tích hình chữ nhật ABCD S = AB · AB Ta có 3h = 4r + h ⇔ h = 2r Thể tích khối trụ V = πr2 h = 3,14 · r2 · 2r = 6,28r Theo V = 50,24 ⇔ 50,24 = 6,28r3 ⇔ r3 = ⇔ r = Do r = dm = 0,2 m ⇒ AD = 3h = 6r = 1,2 m; AB = 2πr = 1, 256 m Vậy S = 1,2 · 1,256 = 1,5072 m2 Chọn đáp án C Câu 37 Người ta xếp ba viên bi có bán kính √ vào lọ hình trụ cho viên bi tiếp xúc với hai đáy lọ hình trụ viên bi đôi tiếp xúc tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ Tính bán kính đáy √ lọ hình trụ √ √ √ 3+2 A + B C D + ɓ Lời giải √ Gọi O1 , O2 , O3 tâm ba viên bi r1 = r2 = r3 = bán kính ba viên bi Theo giả thiết ba đường trịn lớn ba viên bi đơi tiếp xúc với nhau, ba điểm O1 , √ O2 , O3 tạo thành tam giác cạnh √ √ √ Gọi O trọng tâm tam giác O1 O2 O3 OO1 = OO2 = OO3 = · · = + 3 Cũng theo giả thiết ba viên bi tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ điểm nằm đường trịn đường trịn đáy lọ hình trụ Vậy bán kính đáy lọ hình trụ OM = OO3 + O3 M = + √ Chọn đáp án D Câu 38 Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ tích V , nhà thiết kế đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon sữa bị nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ V diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy bao nhiêu?… Vπ A r= Lê Quang Xe √ B r = 3V C r= 403 … V 2π D r= … V SĐT: 0967.003.131 MẶT NÓN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU ɓ Lời giải Ta có Sđáy = πr2 ; Sxq = 2πrh Thể tích khối trụ V = Sđáy · h ⇔ h = V V = Sđáy πr V V Ta có Stp = 2Sđáy + Sxq = 2πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πr · = 2πr2 + πr r V 2V Xét hàm số f (r) = 2πr + có f (r) = 4πr − r r … 2V V f (r) = ⇔ 4πr − = ⇔ r = r 2π … V Từ suy giá trị nhỏ hàm số đạt r = 2π … V Vậy r = diện tích tồn phần hình trụ đạt giá trị nhỏ 2π Chọn đáp án C Câu 39 Nam muốn xây bình chứa hình trụ tích 72 m3 Đáy làm bêtơng giá 100 nghìn đồng/m2 , thành làm tơn giá 90 nghìn đồng/m2 , nắp nhơm giá 140 nghìn đồng/m2 Vậy đáy hình trụ có bán kính để chi phí √ xây dựng thấp nhất? 3 A √ B √ C √ D √ m m m m 3 3 π π π π ɓ Lời giải Gọi bán kính đáy hình trụ R chiều cao h Do thể tích khối trụ 72 nên πR2 h = 72 ⇔ 72 h= πR2 72 44 Diện tích đáy πR2 Diện tích xung quanh 2πRh = 2πR · = πR R Chi phí làm bình 144 + 140 · πR2 R 12960 = 240πR2 + R … √ 6480 6480 6480 6480 = 240πR + + ≥ 240πR2 · · = 6480 π R R R R T = 100πR2 + 90 · Dấu xảy 240πR2 = 6480 6480 = ⇔R= √ R R π Chọn đáp án B Câu 40 Một cơng ty sản xuất loại cốc giấy hình nón khơng nắp tích 27 cm3 Với chiều cao h bán … kính đáy r Tìm r để …lượng giấy tiêu thụ … 36 38 6 A r= B r= C r= 2π 2π 2π D r= … 38 2π ɓ Lời giải Lê Quang Xe 404 SĐT: 0967.003.131 CHƯƠNG KHỐI TRỊN XOAY √ 34 Ta có V = πr2 h = 27 ⇒ h = Độ dài đường sinh l = h2 + r2 = πr Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ … 38 + r2 π r4 Diện tích xung quanh hình nón     8 3 + r2 = π + r4 = π π r π r2 … 38 38 Dấu “=” xảy = r ⇔ r = 2π r2 2π Chọn đáp án C   Sxq = πrl = πr   8 3 + 2 + r4 ≥ π 2 2π r 2π r 3 316 4π Câu 41 Cho hai mặt phẳng (P ) (Q) song song với cắt khối cầu tâm O bán kính R tạo thành hai hình trịn (C1 ) (C2 ) bán kính Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm hai hình trịn, đáy trùng với hình trịn cịn lại Biết diện tích xung quanh hình nón lớn nhất, thể tích khối trụ√có hai đáy hai hình trịn √ (C1 ) (C2 ) √ 3 4πR 2πR πR A B C 9 √ 4πR3 D ɓ Lời giải Gọi r, h, l bán kính đáy, chiều cao đường sinh hình nón I1 , I2 , O tâm hai đường tròn C1 , C2 mặt cầu h Vì hai đường trịn C1 , C2 có bán kính nên dễ dàng suy OI1 = OI2 = … … 2 √ h 3h Ta có r = R2 − ⇒ l = h2 + r2 = R2 + 4 Diện tích xung quanh hình nón     h 3h2 π » 2πR2 2 Sxq = πrl = π R − · R + = √ (12R2 − 3h2 ) (4R2 + 3h2 ) ≤ √ 4 3 2πR2 Sxq lớn √ √ 2R R Dấu "=" xảy 12R − 3h = 4R + 3h ⇔ h = √ ⇒ r = 3 Mà bán kính đáy chiều cao hình nón √ bán kính đáy chiều cao hình trụ 6R 2R 4πR Vậy thể tích hình trụ V = πr2 h = π · ·√ = 9 Chọn đáp án A 2 2 Câu 42 Cho hình nón có bán kính đáy chiều cao 6, khối trụ có bán kính đáy thay đổi nội tiếp khối nón cho Thể tích lớn khối trụ A 6π B 10π C 4π D 8π ɓ Lời giải Lê Quang Xe 405 SĐT: 0967.003.131 MẶT NĨN, MẶT TRỤ & MẶT CẦU Gọi bán kính khối trụ x (0 < x < 3), chiều cao khối trụ h = OO (0 < h < 6) Khi thể tích khối trụ V = πx2 h ON SO x 6−h = ⇔ = ⇔ h = − 2x OB SO Suy V = πx2 h = πx2 (6 − 2x) = π(6x2 − 2x3 ) Ta có SO N đồng dạng với SOB nên có Xét hàm f (x) = 6x2 − 2x3 , (0