Phân tích ứng xử động của tấm nindlin chịu tác dụng của hệ khối lượng lò xo cản di chuyển sử dụng phương pháp phần tử chuyển động mem

Gi i thi uăs ăl c v đ tài lu năv n

t v n đ

Theo nghiên cứu phát triển kinh tế - xã hội của đất nước, việc xây dựng các tuyến đường giao thông và mở rộng các sân bay đang là điều cấp thiết Để tạo ra các kết cấu hạ tầng đồng bộ, cần có những nghiên cứu chuyên sâu về kết cấu hạ tầng đồng bộ.

Nghiên cứu đươc thực hiện để phân tích ngưỡng của các tác động môi trường trong nhiều loại tình huống khác nhau như môi trường tập trung, môi trường phân bố, môi trường điều hòa và môi trường hãm Tuy nhiên, một số kết cấu vẫn gặp vấn đề sau khi thi công Nguyên nhân có thể do điều kiện thi công không tốt hoặc do chúng ta chưa lựa chọn mô hình nghiên cứu phù hợp với thực tế.

Hình 1.3: K t c u m t đ ng d n sân bay b h h ng

Trong những năm gần đây, phương pháp phần tử chuyển động (Moving Element Method - MEM) đã phát triển mạnh mẽ và nổi bật hơn so với các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn MEM mang lại những ưu điểm vượt trội, đặc biệt trong việc xử lý các vấn đề động lực học phức tạp.

(Finite Element Method – FEM) trong nh ng bài toán có xét nh h ng c a s chuy n đ ng c a các v t th

Việc phân tích ngữ cảnh của các bài toán động và bài toán tầm trên nhiều loại nền tảng khác nhau đang được chú trọng trong di chuyển, sử dụng phương pháp MEM Nghiên cứu này ngày càng có tính thực tiễn cao hơn, với mục tiêu làm rõ ảnh hưởng của các thông số trong hệ thống đến chuyển động bên trên đối với ngữ cảnh của các bài toán cụ thể.

1.1.3 Tình hình nghiên c u và t ng quan tài li u

Phân tích động lực của các kết cấu dưới tác động của môi trường di động đã được nghiên cứu rộng rãi trên toàn thế giới Fang và Cheung (1984) đề xuất phương pháp dự đoán phân tích dao động của các tấm mỏng với điều kiện biên phức tạp Puckett và Lang (1986) đã nghiên cứu phân tích dao động của tấm liên kết dưới dạng dầm và cột Kim và Reosset (1998) đã khảo sát động lực của tấm trên nền đơn giản dưới tác động của tải trọng là hàng số và tải trọng điều hòa di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) nghiên cứu tính động lực của tấm trên nền đơn giản chịu tải trọng tĩnh, tải trọng chuyển động đều và chuyển động có giá trị Kim (2004) đã phân tích động lực của tấm trên nền đơn giản và nền hai thông số dưới tác động động thời của tải trọng nén và tải trọng di động Sun (2005) đã xây dựng lý thuyết giải tích cho bài toán tấm mỏng Kirchhoff trên nền đơn giản chịu tác động của tải trọng tĩnh trung tâm điều hòa và tải trọng động điều hòa di chuyển.

Các công trình nghiên cứu hiện đang áp dụng phương pháp giải tích để giải các phương trình vi phân chuyển động của đất Phương pháp này cho phép nghiệm chính xác, nhưng trong các bài toán phức tạp, việc tìm ra lời giải cho bài toán là rất khó khăn Do đó, phương pháp giải tích vẫn được sử dụng trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, trong đó có phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Yoshida và Weaver (1971) đã khảo sát ứng xử của đất có biên tại dưới tác động của tải trọng di chuyển bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Nghiên cứu của C Ng S (1987) đã phân tích ngữ nghĩa của tâm phong chủ tác động của nhiều loại tài nguyên khác nhau sử dụng phương pháp FEM Trong các nghiên cứu này, ngữ cảnh của tâm được định hình dựa trên giá trị và tính chất ban đầu của tài nguyên được khảo sát.

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ nhất định Khi tài trịng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác, cần cập nhật lại các ma trận kết cấu và tài trịng có thể bị thay đổi bởi toán Điều này là một nhược điểm lớn của FEM Để khắc phục các nhược điểm của FEM, phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đã được đề xuất và ứng dụng rộng rãi.

Phương pháp MEM đã được phát triển để giải quyết bài toán phân tích ngẫu nhiên của tàu cao tốc trong các nghiên cứu của Xu và cộng sự (2009), áp dụng lý thuyết tĩnh Kirchhoff và mô hình nền Winkler Tran và cộng sự (2014-2017) tiếp tục mở rộng phương pháp này, áp dụng cho nhiều trường hợp khác nhau của tàu cao tốc Đến năm 2018, Dai và cộng sự đã tiến hành phân tích ngẫu nhiên cho tàu cao tốc với nhiều mô hình nền khác nhau, khẳng định tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp MEM trong lĩnh vực này.

Trong những năm gần đây, Việt Nam đã áp dụng phương pháp MEM để phân tích ứng xử của đất, mang lại nhiều kết quả đáng tin cậy Nghiên cứu của Cao và các cộng sự (2015) đã sử dụng phương pháp Mindlin trên nền Pastenak để phân tích chuyển động của đất Tiếp theo, Cao và cộng sự (2016) đã áp dụng phương pháp Mindlin trên nền đơn giản để điều hòa chuyển động sử dụng phương pháp phân tích chuyển động Ngoài ra, trong cùng năm, nhóm nghiên cứu cũng đã xây dựng phương pháp tính toán cho bài toán phân tích ứng xử của đất trên nền nhiều lớp Đến năm 2017, Cao và các cộng sự đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D cho mô hình 3D trong phân tích tàu cao tốc.

L ng vƠ c ng s (2018) [23] đư phơn tích ng x t nh vƠ đ ng c a t m Mindlin trên n n đƠn nh t s d ng ph ng pháp MEM Cao vƠ c ng s (2018) [24] đư s d ng

Năm phương pháp MEM đã được phát triển để phân tích động học của vật liệu composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển Gần đây, Lương và cộng sự (2020) đã thực hiện phân tích ứng suất của tấm biến đổi chức năng (FGM) trên nền Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển.

1.1.4 M t s luơnăv nănghiênăc u ng x c a t măMindlinăđưăth c hi n

H c viên Võ HoƠng Nhi: “Phân tích đ ng l c h c t m Mindlin trên n n đàn nh t ch u t i tr ng di đ ng s d ng ph n t 2-D chuy n đ ng”.

H c viên Lê V n T : “Phân tích đ ng t m Mindlin trên n n đàn nh t ch u t i tr ng hãm”.

H c viên Tr n Trung Hi u: “Ph ng pháp MPMM trong phân tích đ ng l c h c k t c u t m Mindlin ch u t i tr ng đi u hòa di đ ng”.

H c viên Nguy n Trí Trung: “Ph ng pháp ph n t chuy n đ ng trong phân tích đ ng l c h c t m Mindlin trên n n đàn nh t ch u t i tr ng đi u hòa di đ ng”.

Học viên Phan Huy Cường cho rằng phương pháp BEM-MEM trong phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin có thể thay đổi nhiệt độ và tải trọng di động Nội dung chung của các đề tài nghiên cứu là ứng xử của tấm Mindlin khi chịu một lực tác động lên tấm Tuy nhiên, trong thực tế, các phương tiện giao thông truyền xuyên qua một đường thông qua các hệ thống treo, và các hệ thống treo này hoạt động như một lò xo – cần Do đó, cần xem xét đúng thực tế truyền tải của các phương tiện giao thông xuyên kết cấu tấm, trong luận văn này học viên đã xem xét đến ảnh hưởng của hệ khối lượng – lò xo – cần.

1.1.5 M cătiêu,ăđ iăt ng và ph m vi nghiên c u

Chương trình Matlab được phát triển để tính toán chuyển vị của tâm Mindlin chịu tác động từ hệ thống lò xo trong bài toán liên quan đến chuyển động bằng phương pháp MEM.

Tình hình nghiên c u và t ng quan tài li u

Phân tích ngẫu nhiên của các cấu trúc động được nghiên cứu rộng rãi trên thế giới Fang và Cheung (1984) đã đề xuất phương pháp dưới đây để phân tích dao động của hệ thống với điều kiện biên phức tạp Puckett và Lang (1986) đã nghiên cứu phân tích dao động của hệ liên tục trên dầm và cột Kim và Reosset (1998) đã khảo sát ngẫu nhiên của dầm đơn chịu tác động của tải trọng là hàng số và tải trọng điều hòa di chuyển Huang và Thambiratnam (2001-2002) đã nghiên cứu tính ngẫu nhiên và động của dầm trên nền đơn chịu tải trọng tĩnh, tải trọng di động đầu và tải trọng có giá trị Kim (2004) đã phân tích ngẫu nhiên của dầm trên nền đơn và nền hai thông số chịu tác động động thời của tải trọng nén và tải trọng di động Sun (2005) đã xây dựng lý thuyết giải tích cho bài toán tải trọng Kirchhoff trên nền đơn chịu tác động của tải trọng tĩnh trung tâm điều hòa và tải trọng di động điều hòa di chuyển.

Các công trình nghiên cứu hiện nay áp dụng phương pháp giải tích để giải phương trình vi phân chuyển động của đất Phương pháp này có thể cho nghiệm chính xác, nhưng trong các bài toán phức tạp, việc tìm ra lời giải cho bài toán trở nên rất khó khăn Do đó, phương pháp giải tích bị hạn chế trong nghiên cứu phân tích động học của các kết cấu phức tạp trong thực tế Với sự phát triển của công nghệ máy tính, nhiều nhà nghiên cứu đã sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán động lực học kết cấu, điển hình là phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Yoshida và Weaver (1971) đã khảo sát ứng xử của đất có biên tần dưới tác động của tải trọng di chuyển và khôi phục chuyển động bằng phương pháp phần tử hữu hạn.

Nghiên cứu của c ng s (1987) [7] đã phân tích ngữ động của tấm phẳng chịu tác động từ nhiều loại tải trọng khác nhau sử dụng phương pháp FEM Trong các nghiên cứu này, ngữ động của tấm được đánh giá dựa trên gia tốc và vận tốc ban đầu của tải trọng được khảo sát.

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), tất cả các ma trận kết cấu được thực hiện trên một hệ tọa độ xác định Khi tải trọng di chuyển từ phần tử này sang phần tử khác, cần cập nhật lại các ma trận kết cấu và tải trọng có thể bị thay đổi bởi toán Điều này là một nhược điểm lớn của FEM Để khắc phục các nhược điểm trên của FEM, phương pháp phần tử chuyển động (MEM) đã được đề xuất và ứng dụng rộng rãi.

Phương pháp MEM đã được phát triển để giải quyết bài toán phân tích ứng xử của các cấu trúc như tàu cao tốc trong nhiều trường hợp khác nhau Xu và cộng sự (2009) đã áp dụng phương pháp này cho bài toán dao động của các cấu trúc đơn giản chịu tác động của tải trọng di chuyển Trong nghiên cứu của họ, phương trình chuyển động được xây dựng dựa trên lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff và mô hình nền Winkler Tiếp theo, Tran và cộng sự (2014-2017) đã mở rộng ứng dụng của phương pháp MEM cho phân tích ứng xử của tàu cao tốc trong nhiều tình huống khác nhau Gần đây, Dai và cộng sự (2018) cũng đã thực hiện phân tích tương tự với nhiều mô hình nền khác nhau, khẳng định tính linh hoạt và hiệu quả của phương pháp MEM trong nghiên cứu cấu trúc.

Trong những năm gần đây, Việt Nam đã áp dụng phương pháp MEM để phân tích ứng suất của đất, đạt được nhiều kết quả đáng tin cậy Cao và cộng sự (2015) đã thực hiện phân tích ứng suất của đất theo mô hình Mindlin trên nền Pastenak, trong khi nghiên cứu của họ vào năm 2016 đã áp dụng mô hình Mindlin cho nền đơn giản dưới tác động điều hòa di động Cùng năm, họ cũng xây dựng phương pháp tính toán ứng suất cho bài toán phân tích ứng suất của đất trên nền nhiều lớp dưới tác động di chuyển Đến năm 2017, Cao và cộng sự đã phát triển phương pháp MEM từ mô hình 1D cho tàu cao tốc lên mô hình 3D cho tàu cao tốc.

L ng vƠ c ng s (2018) [23] đư phơn tích ng x t nh vƠ đ ng c a t m Mindlin trên n n đƠn nh t s d ng ph ng pháp MEM Cao vƠ c ng s (2018) [24] đư s d ng

Năm phương pháp MEM được áp dụng để phân tích động học của tấm composite trên nền Pasternak chịu tải trọng di chuyển Gần đây, Lương và cộng sự (2020) đã thực hiện phân tích ứng suất động cho tấm biến đổi chức năng (FGM) trên nền Pasternak chịu tải trọng điều hòa di chuyển.

Học viên Phan Huy Cường cho rằng phương pháp BEM-MEM trong phân tích ứng xử động của kết cấu tấm Mindlin là một sự thay đổi quan trọng trong việc đánh giá tính năng động Nội dung chính của các đề tài nghiên cứu này là ứng xử của tấm Mindlin khi chịu tải trọng tĩnh lên tấm Tuy nhiên, trong thực tế, các phương tiện giao thông thường xuyên di chuyển qua các hệ thống treo, những hệ thống này hoạt động như một hệ lò xo - đàn hồi Do đó, cần xem xét đúng thực trạng truyền tải của các phương tiện giao thông qua kết cấu tấm, trong đó học viên đã đề cập đến ảnh hưởng của hệ khí lò xo - đàn hồi.

Chương trình Matlab được phát triển để tính toán chuyển động của tâm Mindlin dưới tác động của hệ thống lò xo và các lực bên ngoài Phương pháp MEM được áp dụng nhằm đảm bảo độ chính xác trong việc mô phỏng chuyển động này.

M c tiêu, đ i t ng và ph m vi nghiên c u

Nghiên cứu về phương pháp MEM trong phân tích động học của vật liệu composite trên nền Pasternak đã được thực hiện, với trọng tâm là điều hòa di chuyển Đặc biệt, L ng vƠ c ng s (2020) đã tiến hành phân tích ảnh hưởng của biến đổi chức năng FGM trên nền Pasternak trong bối cảnh điều hòa di chuyển.

Học viên Phan Huy Cường đã áp dụng phương pháp BEM-MEM để phân tích ứng xử động của tấm Mindlin dưới tác động tải trọng tĩnh Nghiên cứu này tập trung vào ứng xử của tấm Mindlin khi chịu một lực tác động trực tiếp lên tấm Trong thực tế, các phương tiện giao thông thường di chuyển qua một hệ thống treo, mà hệ thống này hoạt động như một lò xo - cần Do đó, việc nghiên cứu chính xác sự truyền tải của các phương tiện giao thông qua kết cấu mặt đường là rất quan trọng, đồng thời cũng xem xét ảnh hưởng của khí tải lên lò xo - cần.

Chương trình Matlab được xây dựng để tính toán chuyển động của tâm Mindlin dưới tác dụng của hệ lò xo, nhằm phân tích sự di chuyển của khối lượng Phương pháp MEM được áp dụng để mô phỏng chính xác các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển động này.

Nghiên c u các tham s đ c tính các y u t khác nhau c a mô hình đ xu t

Tổng hợp và phân tích kết quả của các phương pháp khác nhau trong việc đánh giá tính tiêu chuẩn và độ tin cậy của phương pháp vỏ ngọc Mindlin khi chịu tác động của khí lỏng, lò xo và cần di chuyển.

1.1.5.2 i t ng nghiên c u i t ng nghiên c u là t m Mindlin đ t trên n n Pasternak ch u tác d ng c a h kh i l ng – lò xo – c n di chuy n v i v n t c cho tr c không đ i d c theo tr c x c a t m v i các thông s c a h kh i l ng – lò xo – c n, v t li u và h s n n đ c xác đnh

Trong ph m vi Lu n v n t t nghi p cao h c thì đ tài nghiên c u đ c th c hi n c p tr ng

Quá trình th c hi n t i tr ng H Bách Khoa – HQG Tp.HCM qua h ng d n c a gi ng viên ph trách và làm vi c t i nhà c a h c viên

Th i gian th c hi n vào h c kì I n m h c 2021-2022.

Gi i thi u c u trúc c a lu năv n

N i dung trong Lu n v n đ c trình bƠy nh sau:

Chương 1: Giới thiệu tổng quan về tác động của hệ khối lò xo đến chuyển động, tình hình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, cùng với mục tiêu định hướng và phạm vi nghiên cứu của đề tài.

Chương 2: Trình bày lý thuyết về mô hình Mindlin trên nền Pasternak, áp dụng phương pháp phân tích động cho hệ thống khối lò xo - cần di chuyển Nghiên cứu này tập trung vào tác động của hệ thống khối lò xo - cần di chuyển trong bối cảnh mô hình Mindlin trên nền Pasternak.

Ch ng 3: Trình bƠy n i dung vƠ ph ng pháp nghiên c u, thông s đ u vƠo, l u đ thu t toán vƠ ch ng trình Matlab.

Ch ng 4: Trình bày các bài toán s , phân tích, so sánh v i các nghiên c u khác và th o lu n v k t qu

Ch ng 5: a ra m t s k t lu n quan tr ng đ t đ c trong Lu n v n vƠ ki n ngh h ng phát tri n c a đ tƠi trong t ng lai.

Tài li u tham kh o: trích d n các tài li u liên quan ph c v cho m c đích nghiên c u c a đ tài

Ph l c: M t s đo n mã l p trình Matlab chính đ tính toán các ví d s trong Ch ng

CH NG 2 C ăS LÝ THUY T

Bài toán t m ch u t i tr ng di chuy n

Lý thuy t t m Mindlin

T m là một loại vật liệu phong phú, có chiều dày hẹp hơn so với kích thước hai cạnh còn lại Tùy theo tỉ số giữa bề dày t m và kích thước các cạnh, t m có thể được chia thành hai loại khác nhau.

 T m dày : tr ng thái ng su t ba tr c đ c tri n khai vƠ đ c đ nh ngh a v i b ph ng trình vi phơn đ y đ c a lý thuy t đƠn h i ba chi u T m dày có t l / 1/ 5 h B ;

 T m m ng : có ng su t màng r t nh so v i ng su t gây ra b i s u n do t i vuông góc v i t m gây ra khi t m có đ võng nh T m m ng có t l 1/ 5h B/ 1/ 80 vƠ đ võng w max h/ 4

Tuy nhiên, t m m ng có đ võng l n (w max h/ 4) thì ng su t do u n b nh h ng r t nhi u b i ng su t mƠng Khi đó, ph i tính toán v i lý thuy t t m có bi n d ng l n

Lý thuyết tấm mỏng Kirchhoff, hay còn gọi là lý thuyết tấm cứng, là lý thuyết tấm đơn giản nhất, không tính đến biến dạng do ứng suất cắt trong tấm, dẫn đến kết quả chuyển vị và biến dạng không chính xác đối với tấm có tỷ lệ chiều dài lớn hơn 20 Đối với các tấm này, lý thuyết tấm Mindlin (lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất) sẽ cho kết quả chính xác hơn vì có tính đến biến dạng do ứng suất cắt trong tấm Lý thuyết tấm Mindlin được xây dựng theo các giả thuyết nhất định.

 Các đo n th ng vuông góc v i m t trung gian c a t m tr c bi n d ng s v n th ng nh ng không nh t thi t là v n vuông góc v i m t trung hòa khi bi n d ng ;

 võng c a t m là nh , m t trung gian không b kéo và nén và là m t trung hòa c a t m khi bi n d ng ;

 B qua ng su t pháp vuông góc v i m t ph ng c a t m  z

Trong lý thuyết Mindlin, các đoan thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm ván thường không còn vuông góc trong quá trình biến dạng, dẫn đến sự thay đổi các góc vuông Sự biến dạng này xảy ra một cách đồng nhất, gây ra bề mặt cong của tấm Góc xoay tương ứng của mặt tấm gắn liền với hai phần khác nhau, phần thứ nhất do đặc tính vật liệu.

9 võng c a t m khi pháp tuy n v n còn vuông góc v i m t trung bình gây ra và ph n th hai là do bi n d ng tr t trung bình gây ra.

Bi n d ng c a t m và m i qu n h gi a ng su t và bi n d ng

Hình 2.1 mô tả t m Mindlin trên nền đàn hồi đơn giản Pasternak chịu tải trọng di chuyển T m Mindlin được xác định trên nền đàn hồi đơn giản Pasternak với chiều dài L, chiều rộng B, và chiều dày h, có các đặc trưng vật lý như mô đun đàn hồi E, trọng lượng riêng, và hệ số Poisson Nền chịu tải trọng di chuyển theo phương x qua tâm t m, như thể hiện trong hình Thành phần đàn hồi và thành phần đàn hồi đơn giản của nền được mô hình hóa bằng các lò xo và các khối lượng đặt trên bề mặt t m, liên kết với nhau qua các hệ số kwf và cf.

H tr c t a đ Oxyz đ c đ t v i m t ph ng Oxy trùng v i m t trung hòa c a t m và mô hình t m có mi n hình h c  R 2 và tr c z vuông góc v i m t ph ng t m G i

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các chuyển động theo ba phương x, y và z tại một điểm cụ thể, liên quan đến trung hòa của tầm ảnh hưởng Các biến số u(x, y), v(x, y) và w(x, y) thể hiện các chuyển động này, trong khi l và n là các thông số điều chỉnh Từ đó, chúng ta sẽ phân tích góc xoay của pháp tuyến quanh trục Ox và Oy, với quy trình được mô tả rõ ràng trong Hình 2.1.

Tr ng chuy n v t i m t đi m b t k thu c m t trung hòa c a t m Mindlin đ c cho b i :

Các thành ph n chuy n v u, v, và w t i m t đi m b t k trong t m theo ph ng x, y và z đ c bi u di n thông qua tr ng chuy n v t i đi m t ng ng thu c tr c trung hòa nh sau :

Trong đó, n u g i  xz và  yz l n l t là bi n d ng c t c a t m thì góc xoay c a m t trung hòa c a t m quanh tr c y và x l n l t đ c xác đ nh nh sau:

Bi n d ng c a t m và m i quan h gi a ng su t và bi n d ng

Tr ng bi n d ng c a m t đi m b t k trong t m theo lý thuy t t m Mindlin đ c xác đ nh nh sau:

 m - lƠ tr ng bi n d ng màng c a t m đ c xác d nh theo công th c :

 - lƠ đ cong c a t m đ c xác đ nh theo đông th c :

Ký hi u “,” – th hi n đ o hƠm đ i v i bi n là ký hi u đi li n sau

M i quan h gi a các thành ph n ng xu t và bi n d ng trong t m Mindlin tuân theo đnh lu t Hooke, đ c trình bƠy nh sau:

 Các h ng s v t li u đ c xác đ nh theo công th c :

Mô hình Pasternak, được biết đến là mô hình nền hai thông số, được phát triển từ mô hình Winkler bằng cách đề xuất thêm lớp kháng cự liên kết đánh giá các lò xo Phân tích mô hình Pasternak đã được thực hiện và trình bày trong các nghiên cứu được công bố trước đây (Atmane và cộng sự [32], Zenkour và Radwan [33]).

  2 - đ o hàm c p 2 theo ph ng x vƠ ph ng y đ c xác đ nh theo công th c :

 kwf – thông s n n th nh t (đ c ng theo ph ng đ ng n n Winkler;

 ksf – thông s n n th hai (đ c ng l p kháng c t c a n n Pasternak;

 w – chuy n v theo ph ng đ ng c a t m;

 w - v n t c c a chuy n v theo ph ng đ ng c a t m

Ph ng trình chuy n đ ng c a t m đ c thi t l p d a trên nguyên lý công o: “N u m t v t th tr ng thái cân b ng thì t ng công n i o b ng t ng công ngo i o đ i v i b t k chuy n v kh d ”.

 D m - ma tr n v t li u liên quan đ n bi n d ng mƠng đ c xác đ nh theo công th c :

 D mb - ma tr n v t li u k t h p bi n d ng màng và bi n d ng u n đ c xác đ nh theo công th c :

 D b - ma tr n v t li u bi n d ng u n đ c xác đ nh theo công th c :

 D s - ma tr n v t li u bi n d ng c t đ c xác đ nh theo công th c :

T ng công ngo i o c a t m Mindlin trên n n Pasternak g m: wf sf f k k c

 W E P - công ngo i o do t i tr ng ngoài tác d ng đ c xác đnh theo công th c :

 b- véc t t i tr ng tác d ng lên t m đ c xác đnh theo công th c :

 P – l c t p trung di chuy n d c theo tr c x qua trong tâm t m ;

 S –quưng đ ng di chuy n c a taie tr ng t i th i đi m t ;

 W E m - công ngo i o do l c quán tính đ c xác đnh theo công th c :

 u - véc t tr ng chuy n v đ c xác đnh theo công th c ;

 u- véc t gia t c c a tr ng chuy n v đ c xác đnh theo công th c ;

 m - ma tr n kh i l ng đ c xác đnh theo công th c :

T m Mindlin trên n n đàn nh t Pasternak

 - kh i l ng riêng trên đ n v th tích c a v t li u ;

 W E k wf - công ngo i o do l c đƠn h i c a n n đ c xác đnh theo công th c : wf T k

 W E k sf - công ngo i o do l c kháng c t c a n n đ c xác đnh theo công th c : sf T 2 k

 W E c f - công ngo i o do l c c n c a n n đ c xác đ nh theo công th c : f T c

Cân b ng công n i o và công ngo i o c a t m, ph ng trình chuy n đ ng c a t m đ c thi t l p nh sau:

T T T T wf sf f d d w k wd w k wd w c wd d

Ph ngăphápăMEMăchoăbƠiătoánăt m ch u t i tr ng di chuy n

Ph n t đ ng tham s

Trong phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), việc mô phỏng các hình dạng cong hoặc có biên phức tạp thường gặp khó khăn khi sử dụng phần tử một chiều hoặc các phần tử hai chiều dạng tam giác hay tứ giác, dẫn đến kết quả không chính xác Để khắc phục điều này, nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu và phát triển các phần tử có hình dạng hình học tự do, phù hợp với các biên lồi, lõm hoặc mặt cong.

15 ph n t nƠy đ c g i là ph n t có biên cong hay ph n t đ ng tham s (Izoparametric element)

Khái niệm phần tử tham số dựa trên cơ sở phép biến đổi mặt phẳng tĩnh được gọi là phần tử chuẩn (master element) trong hệ tọa độ O Thành phần này có dạng tùy ý trong tọa độ vuông góc Oxy Trong luận văn này, phần tử tam giác được nghiên cứu và ứng dụng.

9 nút (Quadrilateral nice-node element – Q9) thu c lo i đ ng tham s đ c s d ng đ mô hình hóa các bài toán t m

Hình 2.2: a) Ph n t Q9 trong h t a đ t ng th (x,y); b) Ph n t Q9 trong h t a đ t nhiên (,)

Các hàm n i suy Lagrange N i i (  1 9) c a ph n t Q9đ c cho b i công th c:

Vì ph n t đ ng tham s nên t a đ c a đi m b t k trong ph n t đ c xác đnh b i n i suy tuy n tính:

Trong đó: ( , )x y i i là t a đ c a nút th i i(  1 9) trong h t a đ t ng th Oxy

Các đ i l ng chuy n v đ c l p c a ph n t đ c n i suy theo các chuy n v nút t ng ng nh sau:

 u 0, i ,v 0, i ,w 0, i ,  x i , , y i , - l n l t là các thành ph n chuy n v t i nút i c a ph n t

 Ma tr n Jacobi cho phép bi n đ i t a đ đ c cho trong d ng nh sau :

 Quan h gi a đ o hàm c a các hàm d ng Ni trong h t a đ t nhiên O và các đ o hàm trong h t a đ t ng th Oxy l n l t là :

J (2 39) nh th c ma tr n Jacobi trong công th c tích phơn đ c chuy n đ i nh sau:

Công thức tích phân (2.42) có thể được giải bằng phương pháp giải tích, nhưng việc áp dụng cho các hàm phức tạp lại gặp nhiều khó khăn, đặc biệt khi biến thiên theo hướng đồng công Phương pháp cầu phương Gauss được sử dụng rộng rãi trong phương pháp phân tích hàm Công thức (2.40) được tính bằng phương pháp cầu phương Gauss trong một phương và có dạng như sau:

 w ,w i j - các tr ng s t ng ng ;

 n – s đi m Gauss s d ng trong phép c u ph ng.

B ng 2.1 trình bày t a đ và các tr ng s t ng ng c a các đi m Gauss

B ng 2.1: T a đ và tr ng s các đi m Gauss

S đi m Gauss n T aăđ đi m Gauss    i , j  Tr ng s w ,w i j

2.2.2 Bài toán t m Mindlin trên n năđƠnănh t Pasternak ch u t i tr ng di chuy n

T m đ c r i r c hóa thành Ne ph n t t giác 9 nút đ ng tham s (Q9) sao cho

  e và       ( ) i ( ) j , i j nh th hi n trên Hình 2.3

Hình 2.3: R i r c t m thành Ne ph n t và h t a đ chuy n đ ng (r,s)

Ph ng pháp ph n t chuy n đ ng (MEM) là s d ng h t a đ chuy n d ng (r,s) có g c t a đ đ c g n t i tr ng và chuy n đ ng cùng v n t c v i t i tr ng nh trên hình

4 M i quan h gi a h t a đ chuy n đ ng (r,s) và h t a đ c đnh (x, y) nh sau: r x S s y

Trong đó : S là quãng đ ng di chuy n c a t i tr ng t i th i đi m t c th i t

Khi t i tr ng chuy n đ ng v i v n t c ban đ u Vo và gia t c a thì m i qan h gi a hai h t a đ đ c vi t là :

M i quan h vi phân c a r theo t đ c xác đinh b i:

Trong đó: v(V 0 at) là v n t c c a t i tr ng t i th i đi m t

M i quan h c a tr ng chuy n v gi a h t a đ chuy n đ ng (r,s) và h t a đ c đnh (x, y) là:

S d ng phép bi n đ i t a đ , m i quan h vi phân gi a hai h tr c t a đ l n l t đ c vi t nh sau:

Ph ng trình vi phơn chuy n đ ng (2.27) c a ph n t t m đ c vi t trong h t a đ chuy n đ ng (r,s) nh sau:

T T T wf sf f drds r s r s r s r s v v a drds r r s r t w r s w r s w k wdrds w k wdrds w c v t r

Trong đó: b( , )r s lƠ véc t t i tr ng đ c bi n đ i sang h t a đ ( , )r s đ c xác đnh theo công th c:

Tr ng chuy n v u và chuy n v theo ph ng đ ng w t i m t đi m trong ph n t đ c n i suy t các thành ph n chuy n v nút c a ph n t l n l t đ c vi t là:

 N – ma tr n hàm d ng đ c xác đ nh b i công th c :

 N w–véc t hƠm d ng xác đnh b i công th c :

 d ( ) e - véc t chuy n v nút c a ph n t đ c xác đn b i công th c :

Các thành ph n bi n d ng màng, bi n d ng u n và bi n d ng c t c a ph n t đ c trình bày d ng ma tr n nh sau:

 B m – ma tr n gradient bi n d ng mƠng xác đnh b i công th c :

 B b – ma tr n gradient bi n d ng u n xác đnh b i công th c :

 B s – ma tr n gradient bi n d ng c t xác đnh b i công th c :

Thay công th c (2.60), (2.61), (2.65), (2.66) và (2.67) vào công th c (2.58) và th c hi n s p x p l i, ph ng trình chuy n đ ng c a ph n t t m đ c vi t nh sau:

Ph ng trình chuy n đ ng c a ph n t t m đ c vi t g n l i là:

 M ( ) e - ma tr n kh i l ng c a ph n t t m chuy n đ ng đ c xác đnh theo công th c :

 C ( ) e - ma tr n c n c a ph n t t m chuy n đ ng đ c xác đ nh theo công th c:

 K ( ) e - ma tr n đ c ng c a ph n t t m chuy n đ ng đ c xác đnh theo công th c :

0 0 det det det det det e e e e e e m mb b

 P - ( ) e véc t t i tr ng c a ph n t t m chuy n đ ng đ c xác đ nh theo công th c:

Trong tr ng h p t i tr ng chuy n đ ng đ u v i v n t c V = h ng s và gia t c a 0, ta có công th c (2.73) đ n (2.76) đ c vi t l i là:

0 0 det det det det e e e e e m mb b

Trong ph ng pháp MEM, do t i tr ng đ c gán t i nút c a l i chia ph n t nên véc t t i tr ng c a ph n t P là véc t ( ) e 0.

Bài toán t m Mindlin trên n n đàn nh t Pasternak ch u t i tr ng di

Ghép n i các ma tr n ph n t vào ma tr n t ng th thì ph ng trình chuy n đ ng t ng quát c a t m Mindlin đ c vi t d i d ng quan thu c là:

 M - ma tr n kh i l ng t ng th c a t m t m;

 K - ma tr n đ c ng t ng th c a t m;

 P - véc t t i tr ng t ng th c a t m;

 d - véc t gia t c c a chuy n v t ng th c a t m

Trong bài toán phân tích ng x c a t m ch u tác d ng c a t i tr ng t nh thì ph ng trình (3.81) tr thành:

Kd P (2 82) i v i bƠi toán phơn tích dao đ ng, t n s dao đ ng t nhiên c a t m đ c xác đnh t bài toán tr riêng (Eignevalue Problen) c a ph ng trình:

Mô hình h kh i l ng ậ lò xo ậ c n

Hình 2.4: Mô hình h kh i l ng – lò xo – c n Áp d ng nguyên lỦ D’Alambert vi t ph ng trình cơn b ng cho kh i l ng m:

L c t ng tác gi a h kh i l ng – lò xo – c n và t m mindlin đ c xác đ nh theo công th c :

 u m - v n t c bi n thiên chuy n v đ ng c a kh i l ng;

 u m - gia t c biên thiên chuy n v đ ng c a kh i l ng;

 F c - l c t ng tác t i đi m ti p xúc gi a h t i tr ng và t m;

 w- chuy n v đ ng c a t m t i đi m t ng tác;

 w - v n t c c a chuy n v đ ng c a t m t i đi m t ng tác ;

 y t - chuy n v phát sinh do đ g gh c a b m t t m, đ c gi thuy t theo d ng hàm sin nh sau :

 y t - t c đ bi n thiên chuy n v phát sinh do đ g gh c a b m t t m.

Ph ngăphápăNewmark

Phương pháp Newmark là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết bài toán chuyển động Phương pháp này cho phép xác định giá trị tại thời điểm t+1 bằng cách sử dụng các giá trị khác nhau và biến thiên của giá trị trong từng bước.

27 th i gian Ph ng pháp Newmark có hai cách tìm nghi m: d ng gia t c và d ng chuy n v

Bằng cách sắp xếp biến thiên của giá trị tài sản trong mỗi bức thời gian, biểu thức của vận tốc và chuyển vị trong mỗi bức thời gian được suy ra thông qua các phép tích phân của phương trình vi phân gia tốc Giá trị của vận tốc và chuyển vị được đề xuất bởi các phương trình sau:

1 n n n t 2 t n t n d  d   d   d   d  (2 88) Trong đó: l n b c th i gian là t; giá tr gia t c t i các th i đi m t, t t t ng ng kí hi u ch s l n l t là n, n1đ c kí hi u l n l t là d , n d n 1

Thay hai ph ng trình (2.86), (2.87) vƠo ph ng trình chuy n đ ng đư đ c r i r c t i các th i đi m cu i b c th i gian, ch s là n  1nh sau:

K t qu thu đ c h ph ng trình đ i s tuy n tính v i n s là gia t c t i th i đi m cu i c a b c th i gian d n  1 có d ng:

V i M là kh eff i l ng hi u d ng và P là t i tr ng hi u d ng trong t eff ng b c th i gian, chúng đ c xác đ nh b i các bi u th c sau:

Giải hệ phương trình động tính (2.89), (2.90) và (2.91) thu được giá trị của gia tốc dần + 1 tại cuối bậc thời gian là n + 1 Thay giá trị gia tốc dần + 1 vào phương trình (2.86) và (2.87) suy ra được giá trị của vận tốc dần + 1 và chuyển vận dần + 1 tại thời điểm n + 1.

Phương pháp Newmark là một kỹ thuật hiệu quả trong việc giải phóng phương trình chuyển động mà không cần sử dụng cách nghịch đảo ma trận Thay vào đó, phương pháp này cho phép suy ra chuyển động thông qua việc áp dụng các giá trị trong ma trận Điều này giúp tối ưu hóa quá trình tính toán và mang lại kết quả chính xác trong việc tìm nghiệm cho phương trình chuyển động.

T hai ph ng trình trong (2.86) và (2.87), suy ra bi u th c c a gia t c d n  1 và v n t c d n  1 t i th i đi m cu i c a b c th i gian n  1theo các đ i l ng còn l i nh sau:

Thay hai phương trình trong (2.92) và (2.93) vào phương trình chuyển động được rút gọn từ các thời điểm cuối bậc thời gian n + 1 (2.88), kết quả thu được hợp phương trình đại số tuyến tính với n là chuyển vật tại điểm cuối bậc thời gian d n + 1 có dạng như sau:

K d   P (2 95) v i K eff lƠ đ c ng hi u d ng và P là t i tr ng hi u d ng trong t eff ng b c th i gian theo d ng chuy n v vƠ chúng đ c xác đnh b i các bi u th c d i đơy:

Giá trị của chuyển động dần dần được xác định thông qua các phương trình (2.92) và (2.93), từ đó suy ra giá trị của vân t c d n  1 và gia t c d n  1 Việc thay thế giá trị chuyển động d n  1 vào các phương trình này cho phép chúng ta tính toán chính xác giá trị cần thiết cho bước tiếp theo.

Ch ng 3: N i dung ph ng pháp nghiên c u

Thông s đ u vào và thu t toán s d ng

Thông s đ u vào

Bài toán xác định các dữ liệu cần thiết bao gồm thông số của hệ thống khí lỏng, lò xo, và các yếu tố liên quan đến chuyển động Các thông số kỹ thuật của mô hình Mindlin như trọng lượng riêng ρ, mô đun đàn hồi E, và hệ số Poisson ν cũng cần được xác định Ngoài ra, kích thước của hệ thống được biểu thị bằng các đại lượng (L, B, h) Các thông số liên quan đến đất nền như k_wf, k_sf cũng được liệt kê chi tiết trong các bảng 3.1 và 3.2.

B ng 3.1: T a đ và tr ng s các đi m Gauss Module đƠn h i (N/m 2 ) H s

Tr ng l ng riêng (kg/m 3 )

B ng 3.2: Thông s n n hai thông s Pasternak

Kh i l ng c ng lò xo H s c n V n t c

 Thi t l p các ma tr n kh i l ng M, các ma tr n đ c ng K, ma tr n c n C c a k t c u t m và n n b ng cách ghép n i ma tr n

 Xác đnh ma tr n t i tr ng tác d ng lên t m c n kh o sát Sau đó thi t l p ph ng trình chuy n đ ng và ch n b c th i gian  t

 Nh p đi u ki n ban đ u d , 0 d 0 và d 0  M  1  P 0  Cd 0  Kd 0 

 R i r c hóa vect t i tr ng theo bi n th i gian

Giới thiệu phương pháp tích phân Newmark trong việc giải bài toán chuyển động bề mặt, bài viết phân tích các kết quả và biểu đồ liên quan đến chuyển vị của tâm Mindlin trên nền Pasternak Qua đó, tác giả rút ra nhận xét và đánh giá về các yếu tố ảnh hưởng đến chuyển vị, nhằm cung cấp cái nhìn sâu sắc và tổng quan về vấn đề nghiên cứu.

Gi i bài toán theo d ng chuy n v

 Xác đnh ma tr n kh i l ng hi u d ng

 Tính vect t i tr ng hi u d ng t i th i đi m n  1

 Gi i h ph ng trình đ i s tuy n tính (2.89) đ tìm gia t c t i th i đi m n  1 là

 Tìm các giá tr v n t c và chuy n v t i th i đi m n  1 theo các ph ng trình (2.86) và (2.87).

Gi i bài toán theo d ng gia t c

 Xác đnh ma tr n đ c ng hi u d ng

 Tính vect t i tr ng hi u d ng t i th i đi mn  1

 Gi i h ph ng trình đ i s tuy n tính (2.94) đ tìm chuy n v t i th i đi m n  1 là d n 1

 Tìm các giá tr v n t c và gia t c t i th i đi m n  1theo các ph ng trình (2.92) và (2.93)

3.1.4 năđ nh và h i t c aăph ngăphápăNewmark

Nh đư đ c p trong m c 2.4, ph ng pháp Newmark v i 1

  4 còn g i lƠ ph ng pháp gia t c trung bình cho s n đ nh không đi u ki n vƠ đ chính xác t t

Ch ng 3: N i dung ph ng pháp nghiên c u

Do đó Lu n v n nƠy s d ng ph ng pháp Newmark gia t c trung bình v i 1

  4 đ gi i bài toán S h i t s đ c ti n hành ki m tra trong Lu n v n.

Trong Lu n v n nƠy s d ng ph ng pháp Newmark vƠ ngôn ng l p trình Matlab phiên b n (R2019a) đ tìm nghi m.

L uăđ thu t toán

Ch ng 4: K t qu phân tích s

CH NG 4 K T QU PHÂN TÍCH S

Bài viết trình bày kết quả phân tích sức chịu tải của nền Pasternak dưới tác động của tải trọng lò xo và các chuyển động đầu bằng cách sử dụng phương pháp phần tử chuyển động (MEM) Nghiên cứu được thực hiện nhằm đạt được các mục tiêu chính như xác định khả năng chịu tải của nền, đánh giá ảnh hưởng của các yếu tố bên ngoài đến hiệu suất của nền, và cung cấp cơ sở dữ liệu cho các ứng dụng trong thiết kế công trình.

 Ki m ch ng đ tin c y c a ch ng trình khi tính toán v i bƠi toán t nh vƠ bƠi toán đ ng

 Kh o sát các thông s khác nhau nh h ng đ n chuy n v c a t m Mindlin nh kh i l ng, đ c ng, h s c n c a h t i tr ng, v n t c di chuy n c a h t i tr ng, thông s n n, chi u dày t m, ….

Ki m ch ngăch ngătrìnhăMatlab

Phơnătíchăđ ng l c h c t m Mindlin trên n n Pasternak ch u tác d ng c a

Bài toán 4: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi thay đ i

kh iăl ng m c a h t i tr ng

Trong bài toán này, nh h ng c a kh i l ng m c a h t i tr ng đ n ng x đ ng l c h c c a t m đ c xem xét trong 4 tr ng h p M1 = 0.5m, M2 = m = 200kg, M3 -0.0042 -0.0041 -0.0040 -0.0039 -0.0038 -0.0037

2m, M4 = 4m Chuy n v c a t m d c theo tr c c a t i tr ng di chuy n đ c th hi n trên Hình 4.5

Hình 4.5: Chuy n v c a t m khi kh i l ng m c a h t i tr ng thay đ i

B ng 4.12: Chuy n v đ ng t i tâm c a t m (đi m đ t t i tr ng) khi kh i l ng m c a h t i tr ng thay đ i x10 -3 mm

Thông s Kh i l ng m c a h t i tr ng (kg)

Hình 4.6: th th hi n m i quan h gi a chuy n v t i tâm t m v i kh i l ng m c a h t i tr ng

Hình 4.6 và B ng 4.12 cho thấy khi khối lượng của hệ thống thay đổi trong tổng dàn, chuyển động của vật thể cũng sẽ thay đổi Cụ thể, khi khối lượng của hệ thống tăng lên 8 lần, chuyển động của vật thể sẽ giảm xuống còn 3.534 lần Kết quả này cho thấy chuyển động của vật thể tuân theo phương trình y = Ax + B (với A, B là hằng số) khi tổng khối lượng của hệ thống ổn định Điều này cho thấy sự khác biệt so với các bài toán tìm chuyển động của vật thể trong nghiên cứu trước đây, nơi chuyển động của vật thể tuân theo phương trình y = Cx (với C là hằng số) khi tổng khối lượng có tác động Sự khác biệt này là do ảnh hưởng của độ cứng của lò xo k và hằng số cần thiết của khối lượng trong bài toán mà luôn được xem xét.

Bài toán 5: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi thay đ i đ c ng lò xo k c a h t i tr ng

đ c ng lò xo k c a h t i tr ng

Trong bài toán này, nh h ng c a đ c ng lò xo k c a h t i tr ng đ n ng x đ ng l c h c c a t m đ c xem xét trong 4 tr ng h p K1 = 2.0x10 6 N/m, K2 = 4.0x10 6 N/m,

Kh i l ng m (kg) y=Ax+B (Lu n v n) y=Cx

B ng 4.13: Chuy n v t i tâm c a t m khi đ c ng lò xo k c a h t i tr ng thay đ i x10 -3 mm

Thông s c ng lò xo k c a h t i tr ng (x10 6 N/m)

Hình 4.7: Chuy n v t i tâm t m khi đ c ng lò xo k c a h t i tr ng thay đ i

Hình 4.8: Chuy n v c a kh i l ng m khi đ c ng lò xo k c a h t i tr ng thay đ i

Ch uy n v t i t ơm t m (m m ) c ng lò xo k (x10 6 N/m)

Ch uy n v c a kh i l ng m (m m ) c ng lò xo k (x10 6 N/m)

Hình 4.7 và B ng 4.13 cho thấy khi đè c ng lò xo k c a h t i tr ng t ng d n, chuyển động của t m c ng t ng d n có thể xảy ra Cụ thể, khi đè c ng lò xo k c a h t i tr ng t ng 8 lần, chuyển động đạt l n nh t tại tâm t m t ng 3.128 lần Chứng t r ng l c t ng tác tác d ng xu ng t m t ng d n khi đè c ng lò xo k t ng d n, điều này phù hợp với biểu thức xác định l c t ng tác (2.85), l c t ng tác t l thu n v i đè c ng lò xo k c a h t i tr ng.

Khi đè cồng của lò xo tăng lên, chuyển động của khối lượng tại trọng giẩm dần Điều này phù hợp với phản ứng động của khối lượng, khi lò xo càng cứng thì độ biến dạng của lò xo càng nhỏ, dẫn đến chuyển động của khối lượng càng nhẹ nhàng.

Bài toán 6: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi thay đ i

Trong bài toán này, các tr ng h p C1 = c = 3.7x10 3 N.s/m, C2 = 4c, C3 = 16c, C4 32c đ c s d ng đ kh o sát s nh h ng c a h s c n c c a h t i tr ng đ n ng x c a t m Chuy n v c a t m d c theo tr c c a t i tr ng di chuy n đ c th hi n trên Hình 4.9

B ng 4.14: Chuy n v t i tâm c a t m khi h s c n c c a h t i tr ng thay đ i x10 -3 mm

Hình 4.9 và B ng 4.14 cho thấy khi hệ số cần cẩu tại trạng thái tĩnh dần tăng lên, chuyển động của tàu mỏ cũng tăng theo Cụ thể, khi hệ số cần cẩu tại trạng thái tĩnh đạt 32, chuyển động sẽ là lớn nhất tại tâm tàu mỏ là 2.266 lần Chúng tôi nhận thấy rằng lực tác động xu hướng tàu mỏ khi hệ số cần cẩu tại trạng thái tĩnh tăng dần là phù hợp với biểu thức xác định lực tác động (2.85), lực tác động tỷ lệ thuận với hệ số cần cẩu tại trạng thái tĩnh.

Hình 4.9: Chuy n v tâm t m khi h s c n c c a h t i tr ng thay đ i

4.2.5 Bài toán 7: Kh o sát nhăh ng v n t c c a h t i tr ng V đ n ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin

Bài toán ti p theo, nh h ng c a v n t c V c a h t i tr ng đ n ng x c a t m đ c xét đ n trong các tr ng h p v n t c V thay đ i 10m/s, 20m/s, 30m/s và 40m/s H s c n n n cf = 1x10 4 Ns/m 3 B ng 4.15 trình bày giá chuy n v t i tâm t m khi thay đ i v n t c V

B ng 4.15: So sánh chuy n v c a t m khi v n t c V thay đ i x10 -3 mm

K t qu th hi n trong B ng 4.15, chuy n v c a t m t ng khi vơn t c c a t i tr ng t ng C th , chuy n v t i tâm t m t ng t 4.568x10 -3 mm đ n 8.188x10 -3 mm (t ng

Khi vận tốc của hạt trong môi trường tăng từ 10m/s đến 40m/s, điều này có thể được giải thích như sau: khi hạt trong môi trường chuyển động nhanh, lực tác động lên hạt sẽ gia tăng, dẫn đến sự chuyển động của hạt trong môi trường cũng trở nên mạnh mẽ hơn.

Hình 4.10: Chuy n v c a t m khi v n t c V c a h t i tr ng thay đ i

4.2.6 Bài toán 8: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi chi u dày t m h thayăđ i

Trong bài toán này, nh h ng c a chi u dày t m đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c xem xét trong 6 tr ng h p h1=0.05m, h2=0.1m, h3=0.2m, h4=0.3m, h5=0.4m và h6=0.5m B ng 4.16 trình bày giá tr chuy n v t i tâm t m khi chi u dày t m thay đ i t 0.05m đ n 0.5m

B ng 4.16: So sánh chuy n v c a t m khi chi u dày t m h thay đ i

Chi u dƠy h (m) Chuy n v (x10 -3 mm) Chênh l ch so v i h1 (%) h1=0.05 -0.0336 0 h2=0.1 -0.0208 -38.95 h3=0.2 -0.0118 -65.73 h4=0.3 -0.0077 -77.77 h5=0.4 -0.0055 -84.24 h6=0.5 -0.0041 -88.13

Kết quả trong Bảng 4.16 cho thấy rằng khi chiều dày tấm tăng từ 0.05m đến 0.5m, chuyển vị và gia tốc giảm 88.13% Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi chiều dày tấm tăng, điều này chứng tỏ rằng chuyển vị của tấm sàn giảm đáng kể.

Hình 4.11: Chuy n v l n nh t c a t m ng v i các giá tr chi u dày h thay đ i

Khi chiều dày của tấm nhỏ (0.05-0.2m), chiều dày tấm ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị, với việc chuyển vị giảm 2.85 lần khi chiều dày tấm tăng từ 0.05m lên 0.2m Tuy nhiên, khi chiều dày của tấm lớn hơn 0.2m, ảnh hưởng của chiều dày tấm đến chuyển vị giảm dần Điều này chứng tỏ rằng khi chiều dày tấm lớn mà tải trọng tác động lên tấm có giá trị không đổi, thì việc tăng chiều dày tấm lên cũng không làm thay đổi chuyển vị một cách đáng kể Do đó, bài toán tối ưu chiều dày tấm rất quan trọng nhằm tránh lãng phí.

4.2.7 Bài toán 9: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi h s đ c ng k wf c a n n thayăđ i

Trong bài toán này, nh h ng c a đ c ng n n đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c xem xét trong 4 tr ng h p Kwf1 = kwf = 1x10 7 N/m 3 , Kwf2 = 2kwf, Kwf3 = 4kwf,

Kwf4 = 6kwf và Kwf5 = 8kwf B ng 4.17 và Hình 4.12 th hi n chuy n v l n nh t c a t m khi thay đ i giá tr c a đ c ng n n

B ng 4.17: So sánh chuy n v c a t m khi h s đ c ng n n kwf thay đ i x10 -3 mm

Th ng s c ng n n kwf (m/s) kwf 2kwf 4kwf 6kwf 8kwf

Hình 4.12: Chuy n v l n nh t c a t m ng v i các giá tr đ c ng n n kwfthay đ i

Từ bảng 4.15 và hình 4.12, có thể thấy rằng khi hệ số đầm nén tăng lên, chuyển vị giằng giảm đi, cụ thể là khi hệ số đầm nén tăng từ 8 lên 1.64 lần Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của các kết cấu tường, do đó, để giảm lún cho kết cấu một cách hiệu quả, cần gia cường nền móng một cách đồng bộ.

4.2.8 Bài toán 10: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi h s kháng c t k sf c a n n thayăđ i kh o sát nh h ng c a h s kháng c t đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m, ti n hành th c hi n bài toán v i các tr ng h p ksf 1 = 1x10 5 N/m, ksf 2 = 1x10 6 N/m, ksf 3

= 1x10 7 N/m, ksf 4 = 1x10 8 N/m và ksf 5 = 1x10 9 N/m Chuy n v c a t m d c theo tr c

Ch uy n v t i t ơm t m (m m ) c ng c a n n k wf (x10 7 N/m 3 )

48 c a l c di chuy n đ c th hi n trên Hình 4.13 t ng ng chuy n v t i gi a t m và các h s kháng c t c a n n t ng t 1x10 5 N/m đ n 1x10 9 N/m

B ng 4.18: So sánh chuy n v t i tâm t m khi h s kháng c t ksf thay đ i x10 -3 mm

Th ng s H s kháng c t c a n n ksf (N/m) ksf1 ksf2 ksf3 ksf4 ksf5

Hình 4.13: Chuy n v t i tâm t m ng v i các giá tr h s kháng c t ksfthay đ i

Khi hệ số kháng cự tĩnh tăng từ 1x10^5 N/m đến 1x10^9 N/m, chuyển vị tâm giảm xuống còn 1.297 lần Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu của tấm, do đó để giảm lún cho kết cấu một cách đáng kể, cần phải gia tăng hệ số kháng cự tĩnh Hình 4.13 cũng cho thấy rằng hệ số kháng cự tĩnh của nền có ảnh hưởng lớn đến chuyển vị của tấm khi giá trị hệ số kháng cự tĩnh đạt đến giá trị giới hạn của nền (ksf ≥ ksf).

4.2.9 Bài toán 11: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi biênăđ g gh c a b m t t măthayăđ i

Trong bài toán này, nh h ng c a biên đ g gh c a b m t t m đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c th c hi n thông qua kh o sát bài toán l n l t các giá tr biên đ g gh c a b m t t m y01 = 0.1mm, y02 = 0.3mm, y03 = 0.5mm và y04 = 0.7mm

Hình 4.14: Chuy n v t i tâm t m khi biên đ g gh y0 c a b m t t m thay đ i

Khi biên độ giao động của bẫy từ tăng từ 0.1mm đến 0.7mm, chuyển động vật lý tại tâm bẫy từ cũng tăng đáng kể, từ 2.59 x10^-3 mm lên 4.90 x10^-3 mm, tương ứng với mức tăng 1.89 lần Điều này phù hợp với biểu thức xác định lực tác động, cho thấy mối quan hệ giữa lực tác động và biên độ giao động của bẫy từ.

4.1.1 Bài toán 12: Kh o sát nhăh ng c aăb c sóng g gh c a b m t t m và v n t c c a h t i tr ng đ i v i ng x đ ng l c h c c a kh iăl ng m c a h t i tr ng

Bài toán này nghiên cứu ảnh hưởng của bậc sóng gió đến động lực học của hệ thống, cụ thể là việc xác định hệ số khuếch đại động (Dynamic Amplification Factor - DAF) khi thay đổi bậc sóng gió từ 0.1m đến 4m Nghiên cứu được thực hiện trong ba trường hợp với vận tốc gió lần lượt là 50m/s, 70m/s và 90m/s Hệ thống được khảo sát có lò xo với hệ số k = 1x10^7 N/m.

H s đ ng DAF c a l c t ng tác lƠ t s gi a l c t ng tác đ ng l n nh t và l c tác đ ng t nh Trong bƠy toán nƠy h s đ ng DAF đ c xác đnh theo công th c:

Hình 4.15: H s đ ng DAF khi thay đ i b c sóng g gh b m t t m ng v i ba tr ng h p v n t c c a h t i tr ng

Hình 4.15 thể hiện giá trị chuyển động của khối lượng m khi thay đổi bậc sóng gió từ 0.1m đến 4m tương ứng với 3 trường hợp vận tốc đang xét Kết quả cho thấy, giá trị chuyển động của khối lượng m tăng đáng kể tại các giá trị bậc sóng gió của bề mặt từ 1.5m, 2.0m, 2.5m với ba trường hợp vận tốc của hệ tại trường 50m/s, 70m/s, 90m/s Hiện tượng này được giải thích là do hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tần số của lực tác động tiến gần tới tần số dao động tự nhiên của hệ thống.

T n s dao đ ng t nhiên c a h t i tr ng:

B ng 4.19: T n s dao đ ng khi h chuy n đ ng v i v n t c V vƠ b c sóng g gh t c a b m t t m (Hz):

Tần số cộng hưởng của hệ thống chịu tác động bởi sóng gió biển thay đổi theo chiều cao sóng Cụ thể, khi chiều cao sóng đạt 1.5m, 2.0m và 2.5m trong ba trường hợp vận tốc gió 50m/s, 70m/s và 90m/s, tần số cộng hưởng lần lượt là 33.3Hz, 35Hz và 36Hz Những tần số này gần với tần số dao động tự nhiên của hệ thống là 35.58Hz, dẫn đến hiện tượng cộng hưởng xảy ra.

Bài toán 8: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi chi u dày

Trong bài toán này, nh h ng c a chi u dày t m đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c xem xét trong 6 tr ng h p h1=0.05m, h2=0.1m, h3=0.2m, h4=0.3m, h5=0.4m và h6=0.5m B ng 4.16 trình bày giá tr chuy n v t i tâm t m khi chi u dày t m thay đ i t 0.05m đ n 0.5m

B ng 4.16: So sánh chuy n v c a t m khi chi u dày t m h thay đ i

Chi u dƠy h (m) Chuy n v (x10 -3 mm) Chênh l ch so v i h1 (%) h1=0.05 -0.0336 0 h2=0.1 -0.0208 -38.95 h3=0.2 -0.0118 -65.73 h4=0.3 -0.0077 -77.77 h5=0.4 -0.0055 -84.24 h6=0.5 -0.0041 -88.13

Kết quả nghiên cứu trong Bảng 4.16 cho thấy, khi chiều dày tấm ngăn tăng từ 0.05m đến 0.5m, chuyển vị và gia tốc giảm 88.13% Điều này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu khi chiều dày tấm ngăn tăng, cho thấy chuyển vị của tấm ngăn giảm đáng kể.

Hình 4.11: Chuy n v l n nh t c a t m ng v i các giá tr chi u dày h thay đ i

Khi chiều dày của tấm nhỏ (0.05-0.2m), chiều dày tấm ảnh hưởng đáng kể đến chuyển vị, với việc chuyển vị gia tăng gấp 2.85 lần khi chiều dày tấm tăng từ 0.05m đến 0.2m Tuy nhiên, khi chiều dày tấm lớn hơn 0.2m, ảnh hưởng của chiều dày tấm đến chuyển vị giảm dần Điều này cho thấy rằng khi chiều dày tấm lớn, tác động lên tấm có giá trị không đổi, dù chiều dày tấm có tăng lên Do đó, việc tối ưu chiều dày tấm là rất quan trọng nhằm tránh lãng phí.

Bài toán 9: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi h s đ

Trong bài toán này, nh h ng c a đ c ng n n đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c xem xét trong 4 tr ng h p Kwf1 = kwf = 1x10 7 N/m 3 , Kwf2 = 2kwf, Kwf3 = 4kwf,

Kwf4 = 6kwf và Kwf5 = 8kwf B ng 4.17 và Hình 4.12 th hi n chuy n v l n nh t c a t m khi thay đ i giá tr c a đ c ng n n

B ng 4.17: So sánh chuy n v c a t m khi h s đ c ng n n kwf thay đ i x10 -3 mm

Th ng s c ng n n kwf (m/s) kwf 2kwf 4kwf 6kwf 8kwf

Hình 4.12: Chuy n v l n nh t c a t m ng v i các giá tr đ c ng n n kwfthay đ i

Kết quả được trình bày trong Bảng 4.15 và Hình 4.12 cho thấy rằng khi hàm số được điều chỉnh, sự chuyển biến của giá trị m dần tăng lên Cụ thể, khi k tăng lên 8 lần, giá trị m cũng tăng lên 1.64 lần Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu, do đó, để giảm lún cho kết cấu, cần phải gia cố nền đất một cách hiệu quả.

Bài toán 10: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi h s kháng c t ksf c a n n thay đ i

kháng c t k sf c a n n thayăđ i kh o sát nh h ng c a h s kháng c t đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m, ti n hành th c hi n bài toán v i các tr ng h p ksf 1 = 1x10 5 N/m, ksf 2 = 1x10 6 N/m, ksf 3

= 1x10 7 N/m, ksf 4 = 1x10 8 N/m và ksf 5 = 1x10 9 N/m Chuy n v c a t m d c theo tr c

Ch uy n v t i t ơm t m (m m ) c ng c a n n k wf (x10 7 N/m 3 )

48 c a l c di chuy n đ c th hi n trên Hình 4.13 t ng ng chuy n v t i gi a t m và các h s kháng c t c a n n t ng t 1x10 5 N/m đ n 1x10 9 N/m

B ng 4.18: So sánh chuy n v t i tâm t m khi h s kháng c t ksf thay đ i x10 -3 mm

Th ng s H s kháng c t c a n n ksf (N/m) ksf1 ksf2 ksf3 ksf4 ksf5

Hình 4.13: Chuy n v t i tâm t m ng v i các giá tr h s kháng c t ksfthay đ i

Khi hệ số kháng cắt tăng từ 1x10^5 N/m lên 1x10^9 N/m, chuyển vị tâm giảm 1.297 lần Kết quả này hoàn toàn phù hợp với tính chất vật lý của kết cấu của tấm, cho thấy để giảm lún cho kết cấu một cách hiệu quả, cần gia cường hệ số kháng cắt Hình 4.13 cũng minh họa rằng hệ số kháng cắt của nền có ảnh hưởng lớn đến chuyển vị của tấm, đặc biệt khi giá trị hệ số kháng cắt đạt đến giá trị giới hạn của nền (ksf ≥ ksf).

Bài toán 11: Kh o sát ng x đ ng l c h c c a t m Mindlin khi biên đ

Trong bài toán này, nh h ng c a biên đ g gh c a b m t t m đ n ng x đ ng l c h c c a k t c u t m đ c th c hi n thông qua kh o sát bài toán l n l t các giá tr biên đ g gh c a b m t t m y01 = 0.1mm, y02 = 0.3mm, y03 = 0.5mm và y04 = 0.7mm

Hình 4.14: Chuy n v t i tâm t m khi biên đ g gh y0 c a b m t t m thay đ i

Hình 4.14 cho thấy rằng khi biên độ dao động của bẫy từ tăng lên, chuyển động vật lý tại tâm bẫy cũng gia tăng Cụ thể, khi biên độ dao động của bẫy từ thay đổi từ 0.1mm đến 0.7mm, chuyển động vật lý tại tâm bẫy tăng từ 2.59 x10^-3 mm đến 4.90 x10^-3 mm, tương đương với sự gia tăng 1.89 lần Điều này phù hợp với biểu thức xác định lực tác động (2.85), cho thấy mối liên hệ giữa lực tác động và biên độ dao động của bẫy từ.

4.1.1 Bài toán 12: Kh o sát nhăh ng c aăb c sóng g gh c a b m t t m và v n t c c a h t i tr ng đ i v i ng x đ ng l c h c c a kh iăl ng m c a h t i tr ng

Trong bài toán này, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của bức sóng giao động đến mạch một tấm mỏng và vận tốc của hệ thống trong điều kiện môi trường khác nhau Cụ thể, chúng tôi khảo sát hệ số khuếch đại động (Dynamic Amplification Factor – DAF) khi thay đổi bức sóng giao động từ 0.1m đến 4m và kiểm tra trong ba trường hợp vận tốc 50m/s, 70m/s và 90m/s Hệ số cứng của lò xo được sử dụng là k=1x10^7 N/m.

H s đ ng DAF c a l c t ng tác lƠ t s gi a l c t ng tác đ ng l n nh t và l c tác đ ng t nh Trong bƠy toán nƠy h s đ ng DAF đ c xác đnh theo công th c:

Hình 4.15: H s đ ng DAF khi thay đ i b c sóng g gh b m t t m ng v i ba tr ng h p v n t c c a h t i tr ng

Hình 4.15 thể hiện giá trị chuyển vận của khí lỏng khi thay đổi bậc sóng gió từ 0.1m đến 4m tương ứng với 3 trường hợp vận tốc đang xét Kết quả cho thấy, giá trị chuyển vận của khí lỏng tại các bậc sóng gió của bề mặt tĩnh là 1.5m, 2.0m, 2.5m tương ứng với ba trường hợp vận tốc của hệ thống là 50m/s, 70m/s, 90m/s Hiện tượng này được giải thích là do hiện tượng cộng hưởng xảy ra khi tác động tĩnh vào tần số dao động tự nhiên của hệ thống.

T n s dao đ ng t nhiên c a h t i tr ng:

B ng 4.19: T n s dao đ ng khi h chuy n đ ng v i v n t c V vƠ b c sóng g gh t c a b m t t m (Hz):

Bảng 4.19 cho thấy tần số dao động của tác động khi bị sóng gió tác động lên bề mặt tấm thay đổi theo ba trạng thái hợp với vận tốc cắt của hệ thống Tần số dao động của tác động khi bị sóng gió với chiều cao 1.5m, 2.0m và 2.5m tương ứng với vận tốc 50m/s, 70m/s và 90m/s lần lượt là 33.3Hz, 35Hz và 36Hz Những tần số này gần nhất với tần số dao động tự nhiên của hệ thống là 35.58Hz, dẫn đến hiện tượng cộng hưởng xảy ra.

Bài toán 12: Kh o sát nh h ng c a b c sóng g gh c a b m t t m và v n t c c a h t i tr ng đ i v i ng x đ ng l c h c c a kh i l ng m c a h

CH NG 5 K T LU N VÀ KI N NGH

Bài viết trình bày phương pháp phân tích động MEM để nghiên cứu sự tương tác giữa nền đất và cấu trúc công trình, dựa trên lý thuyết của Mindlin áp dụng cho nền Pasternak Nghiên cứu tập trung vào các thông số quan trọng như khối lượng, độ cứng của lò xo và hệ số cản, cùng với các yếu tố như hệ số kháng cắt và hệ số cản nền, nhằm mô tả chi tiết chuyển động của nền đất Các mô hình tính toán được phân tích bằng phương pháp Newmark theo miền thời gian, với kết quả được kiểm chứng và so sánh với các tài liệu tham khảo khác.

T các k t qu s thu đ c vƠ trình bƠy trong ch ng 4, h c viên rút ra m t s k t lu n quan tr ng và ki n ngh h ng phát tri n c a đ tƠi trong t ng lai.

K t lu n

Mô hình đ ngh đư ph n ánh đúng s làm vi c h p lý k t c u t m Mindlin trên n n pasternak ch u tác d ng c a h kh i l ng – lò xo – c n di chuy n Mô hình này đảm bảo độ tin cậy, chính xác và xu h ng hợp lý trong việc xác định ứng xử của kết cấu một đ ng khi chịu tác động của các phương tiện giao thông di chuyển bên trên.

2 Thông qua vi c phân tích bƠi toán t nh vƠ bƠi toán đ ng, các k t qu cho th y l i gi i c a ph ng pháp MEM lƠ hoƠn toƠn tin c y

Các thông số của hệ thống khí lò xo có ảnh hưởng đáng kể đến chuyển động của vật Sự chênh lệch trong chuyển động của vật khi xét đến ảnh hưởng của hệ khí lò xo cần được phân tích kỹ lưỡng, và điều này có thể được thể hiện qua các bài toán khảo sát.

Các thông số chịu dày tấm, vật chất tại trống, hệ số nén, đặc tính của khối lượng, đặc tính lò xo và hệ số cản của hệ thống ảnh hưởng đáng kể đến các yếu tố như độ dày tấm và các thông số nén Khi điều chỉnh các tham số này, chuyển vị của tấm có thể giảm, trong khi độ dày tấm và các thông số nén sẽ ảnh hưởng đến chuyển vị giãn Ngoài ra, khi tiến hành khảo sát xác định của khối lượng trong hệ khối lượng – lò xo – cản, cần xem xét đến hiện tượng cộng hưởng.

Ki n ngh

M c dù Lu n v n đư đ t đ c m t s k t qu nh t đ nh nh đư trình bƠy trên nh ng v n còn m t s v n đ ch a đ c khám phá và c n đ c nghiên c u thêm trong t ng lai bao g m các v n đ :

 Trong lu n v n s d ng mô hình 1 h kh i l ng – lò xo – c n, có th m r ng bài toán xét đ n mô hình 2 ho c nhi u h kh i l ng – lò xo – c n đ kh o sát ng x c a t m Mindlin

 Bên c nh đó, vi c xem xét h h kh i l ng – lò xo – c n di chuy n có gia t c (v n t c thay đ i) c ng lƠ m t h ng nghiên c u c n đ c khai thác.

Xu t b n

Bài viết của Tr n Minh Thi và Tr ng Tr ng C n, “Phân tích ng x đ ng c a t m Mindlin ch u tác d ng c a h kh i l ng – lò xo – c n di chuy n s d ng ph ng pháp ph n t chuy n đ ng,” đăng trên Tạp chí Ngành Xây dựng, trang 78-89, tháng 5&6-2022, trình bày phương pháp phân tích tác động của tải trọng động lên hệ thống kết cấu, sử dụng mô hình Mindlin để nghiên cứu hiệu ứng của các yếu tố như lò xo và chuyển động Bài viết đóng góp vào việc hiểu rõ hơn về ứng xử của vật liệu và cấu trúc dưới tác động của tải trọng động.

[1] S C Fan and Y K Cheung, “Flexural free vibrations of rectangular plates with complex support conditions,” Jourmal of Sound and Vibration, vol 93, no 1, pp 81-94, 1984

[2] J A Puckett and G J Lang, “Compound strip method for free vibration analysis of continuous plates,” Journal of Engineering Mechanics, vol 112, no 12, pp 1375-1389, 1986

[3] S M Kim and J Roesset, “Moving loads on a plate on elastic foundation,” Journal of Engineering Mechanics, vol 124, pp 1010-1017, 1998

[4] S M Kim, “Buckling and vibration of a plate on elastic foundation subjected to in-plate compression and moving loads,” International Journal of Solids and Structures, vol 41, pp 5647-5661, 2004

[5] L Sun, “Dynamic of plate generated by Moving Harmonic Loads,” Journal of Applied Mechanics, vol 72, pp 772-777, 2005

[6] D M Yoshida and W Weaver, “Finite element analysis of beams and plates with moving load,” International Association for Bridge and Structural Engineering, vol 31, pp 179-195, 1971

[7] J S Wu, M L Lee and T S Lai, “The dynamic analysis of a flat plate under a moving load by fitnite element method,” International Journal for Numerrical Methods in Engineering, vol 124, pp 1010-1017, 1987

[8] C G Koh, P P Size and T T Deng, “Numerical and analytical methods for in- plane dynamic response of annular disk,” International Journal of Solids and Structures, vol 43, pp 112-131, 2006

[9] C G Koh, J S Ong, D H Chua and J Feng, “Moving element method for train- track dynamics,” International Journal for Numerrical Methods in Engineering, vol 56, pp 1549-1567, 2003

[10] W T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F W Williams, “2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with

Kelvin foundation,” Latin American Journal of Solids and Structures, vol 6, pp 169-183, 2009

[11] M T Tran, K K Ang and V H Luong, “Vertical dynamic response of non – uniform motion of high-speed rails,” Journal of Sound and Vibration, vol 333, pp 5427-544, 2014

[12] M T Tran, K K Ang and V H Luong and J Dai, “High- speed trains subject to abrupt braking,” Vehicle System Dynamics: International Journal of Vehicle Mechanics and Mobility, vol 54, no 12, pp 1715-1735, 2016

In their 2017 study published in the Journal of Rail and Rapid Transit, Tran, Ang, and Luong investigate the dynamic response of high-speed rails under heavy braking conditions The research, documented in volume 231, issue 6, pages 701-716, provides valuable insights into the mechanical behavior of rail systems during braking events, highlighting the importance of understanding these dynamics for safety and performance optimization in rail transport.

[14] M T Tran, K K Ang and V H Luong “Multiple-reailcar high speed train subject to braking,” International Journal of Structural Stability and Dynamics, vol 17, no 07, pp 1750071, 2017

[15] M T Tran, K K Ang and V H Luong “Vertical dynamic response of high-speed rails during sudden deceleration,” International Journal of Compulational Methods, vol 14, no 01, pp 1750014, 2017

[16] J Dai, K K Ang, M T Tran, V H Luong and D Jiang “Moving element analysis of discretely supported high-speed rail system,” Journal of Rail and Rapid Transit, vol 232, no 03, pp 783-797, 2018

[17] J Dai, K K Ang, D Jiang, V H Luong and M T Tran “Dynamic response of high-speed train-track system due to unsupported sleepers,” International Journal of Structural Stability and Dynamics, vol 18 No 10, pp 1850122, 2018

[18] J Dai, K K Ang, D Jiang, V H Luong and M T Tran “Out-of-plane responses of overspeeding high-speed trai on curved track,” International Journal of Structural Stability and Dynamics, vol 18, no 11, pp 1850132, 2018

[19] T N T Cao, V H L ng và T P Nguy n, “Phân tích ng x đ ng c a t m Mindlin trên n n Pasternak ch u t i tr ng di đ ng s d ng ph ng pháp ph n t chuy n đ ng,” T p chí Xây d ng, vol 10, pp 113-118, 2015

[20] C T Nguyen, H N Vo, V H Luong and T N T Cao, “Dynamic response of Mindlin plates resting on the viscoelatic foundation subjected to moving harmonic load using moving element method,” Journal of Construction, vol 7, pp 111-117,

The study by Cao et al (2020) presents the Moving Multi-Layer Plate Method for the dynamic analysis of pavement structures under moving loads Published in the Journal of Science Ho Chi Minh City Open University, this research addresses the complexities of pavement response to dynamic forces, enhancing understanding and modeling of pavement behavior in real-world scenarios The findings, detailed in volume 20, issue 4, pages 3-13, contribute valuable insights for engineers and researchers focused on pavement design and analysis.

[22] T N T Cao, J N Reddy, K K Ang, V H L ng, M T Tran and J Dai,

“Dynamic analysis of three-dimensional high-speed train-track model using moving element method,” Adavances in Structural Engingeering, vol 21, no 6, pp 862-876, 2017

In their 2018 study published in the International Journal of Structural Stability and Dynamics, Luong et al conducted a comprehensive analysis of Mindlin plates supported by a viscoelastic foundation The research utilized the moving element method to perform both static and dynamic evaluations, highlighting the effectiveness of this approach in understanding the behavior of such structural systems.

[24] T N T Cao, V H L ng, H N Vo, X V Nguyen, V N Bui, M T Tran and

K K Ang “A moving element method for dynamic analysis of composite plate resting on a Pasternak foundation subjected to a moving load,” International Journal of Computational Method, vol.15, no 3, pp 1850124-1-1850124-19,

The study by Luong et al (2020) presents a moving element method for the dynamic analysis of functionally graded plates supported by a Pasternak foundation and subjected to moving harmonic loads Published in the International Journal of Structural Stability and Dynamics, this research contributes to understanding the behavior of advanced materials under dynamic conditions, highlighting the significance of accurately modeling the interactions between the plates and the foundation.

[26] Q T Chu Ph ng pháp ph n t h u h n, Nhà xu t b n khoa h c và k thu t,

[27] C G Koh, J S Y Ong, D K H Chua and J Feng, “Moving element method for train-track dynamics,” International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol 56, pp 1549-1567, 2003

[28] L ng V n H i, Tr n Minh Thi và Cao T n Ng c Thân, Ph ng pháp ph n t chuy n đ ng Nhà xu t b n xây d ng, 2020

[29] A Nikkhoo, S Asili, S Sadigh and I H H Karegar, “A low computational cost method for vibration analysis of rectangular plates subjected to moving sprung masses,” Advances in Computational Design, vol 4, no 3, pp 307-326, 2019

[30] J L Humar and A M Kashif, “Dynamic response of bridges under travelling loads,” Canadian Journal of Civil Engineering, vol 20, 1993

[31] M H Huang and D Thambiratam, “Dynamic response of plates on elastic foundtaton to moving loads,” Journal of Civil Engineering Mechanics, vol 128, no.9, pp 1016-1022, 2002

In their 2010 study published in the International Journal of Mechanics and Materials in Design, Atmane et al explore the free vibration analysis of functionally graded plates supported by Winkler-Pasternak elastic foundations The authors introduce a novel shear deformation theory to enhance the understanding of vibrational behavior in these advanced materials Their findings contribute valuable insights into the mechanics of functionally graded structures, which are increasingly relevant in engineering applications.

A comprehensive study conducted by A M Zenkour and A F Radwan, published in the Archives of Civil and Mechanical Engineering, explores the behavior of functionally graded plates supported by a Winkler-Pasternak foundation The research employs hyperbolic shear deformation theory to analyze various boundary conditions, providing valuable insights into the structural performance of these plates The findings, detailed in volume 18, issue 2, pages 645-658, contribute significantly to the understanding of advanced material applications in civil engineering.

Ch ngătrìnhăchínhătrongăbƠiătoánăphơnătíchă ng x đ ng c a t m Mindlin trên n n Pasternak ch u tác d ng c a h kh iăl ng ậ lò xo ậ c n di chuy n clear all close all clc format long

The article discusses the parameters for a two-dimensional finite element model, detailing the dimensions and configurations of the mesh The length in the y-direction is represented by Ly, while the number of elements along the x and y directions is indicated by nx and ny, respectively The side lengths for each direction are calculated as lx = Lx/nx and ly = Ly/ny The model includes three degrees of freedom (DOFs) per node, with a total of nine nodes per element The total number of elements is given by nel = nx * ny, and the overall node count is calculated as nnode = (2 * nx + 1) * (2 * ny + 1) Each element has edof = nnel * ndof DOFs, leading to a total of sdof = nnode * ndof DOFs for the plates Additionally, the article mentions a central point's coordinates with yo set at 0.5 mm and a wavelength lamda of 1 meter.

%Mindlin plate parameters - Emodule=3.1*10^10;%N/m2 Young's modulus nuy=0.25;%poison's ratio ro$40;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) t=0.3;% thickness of the plate (m) kapa=5/6; %shear correction factor

G=Emodule/2/(1+nuy); %flexural rigidity of the plate

%Load parameters - g; vo=0;% initial velocity of load(m/s) v ;% velocity of load(m/s) a=0;%acceleration m10; f=m1*g;%load c1=0; %Ns/m k1=0; %Ns/m

%Foundation parameters - kf7; %(N/m3) kg=0;%(N/m) cf=0;%(N.s/m3)

%Newmark tolerance - tole^(-6); %tolerance to=1;%total analysis time (s) deltat=0.0025;%time step

%Matrix containing the density of the material and thickness - m=ro*[t 0 0;

%Material matrix related to bending deformation and shear deformation - Db=Emodule*t^3/12/(1-nuy^2)*[1 nuy 0; nuy 1 0;

%Mindlin Plate meshing -[gcoord,ele]=mesh2d_rectq9(Ly,nx,ny,lx,ly);

%Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;%3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;%number of sampling points per element

[point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly);

The code snippet iterates through a total number of elements, extracting the connected nodes for each element It retrieves the x and y coordinates of these nodes from a global coordinate array The x-coordinates are stored in an array, and the midpoints between specific nodes are calculated to enhance the representation of the element's geometry.

(xc(4)+xc(1))/2 (xc(1)+xc(2)+xc(3)+xc(4))/4]; ycoord=[yc (yc(1)+yc(2))/2 (yc(2)+yc(3))/2 (yc(3)+yc(4))/2

(yc(4)+yc(1))/2 (yc(1)+yc(2)+yc(3)+yc(4))/4]; end

The process of numerical integration involves iterating through sampling points along the x-axis and y-axis For each point along the x-axis, denoted by `intx`, the corresponding weight is retrieved, while for each point along the y-axis, represented by `inty`, its weight is also obtained This method ensures accurate calculations by utilizing designated weights for each sampling point in the integration process.

[N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); %Compute shape functions and derivatives at sampling point

[jacob2]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoord,ycoord); % compute Jacobian detjacob(jacob2); % determinant of Jacobian invjacob=jacob2\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix

[dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds,d2Ndr2,d 2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacob);%derivatures in physic coordinate

[Bb,Bs,Nw, dNwdr, dNwds, d2Nwdr2, d2Nwds2, N, dNdr, d2Ndr2]=memkine2d(dNdx,dNdy,d2Ndx2,d2Ndxdy,d2Ndydx,d2Ndy2,N);

The element stiffness matrix at the initial time is calculated using the formula K1=K1+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bs+vo^2*N'*m*d2Ndr2-a*N'*m*dNdr-cf*vo*Nw'*dNwdr+kf*Nw'*Nw-kg*Nw'*d2Nwdr2-kg*Nw'*d2Nwds2)*wtx*wty*detjacob This equation integrates various factors, including stiffness contributions from different components and their interactions, ensuring a comprehensive representation of the system's mechanical behavior.

K=K+(Bb'*Db*Bb+Bs'*Ds*Bs+v^2*N'*m*d2Ndr2-a*N'*m*dNdr- cf*v*Nw'*dNwdr+kf*Nw'*Nw-kg*Nw'*d2Nwdr2-kg*Nw'*d2Nwds2)*wtx*wty*detjacob;% element stiffness matrix

M=M+(N'*m*N)*wtx*wty*detjacob;% element mass matrix

C=C+(-2*v*N'*m*dNdr+cf*Nw'*Nw)*wtx*wty*detjacob;% element damping matrix end end

%Stiffness, mass, damping matrix of plate - KOS1=zeros(sdof+1,sdof+1);

KOS1(sdof+1,sdof+1)=k1; %ghep noi phuong trinh chuyen dong

KOS1(sdof+1,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)=-k1;%ghep noi phuong trinh chuyen dong KOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)=k1;%ghep noi luc tuong tac

KOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,sdof+1)=-k1;%ghep noi luc tuong tac

KOS(sdof+1,sdof+1)=k1;%ghep noi phuong trinh chuyen dong

KOS(sdof+1,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)=-k1;%ghep noi phuong trinh chuyen dong KOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)=k1;%ghep noi luc tuong tac

KOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,sdof+1)=-k1;%ghep noi luc tuong tac

MOS(sdof+1,sdof+1)=m1; %ghep noi phuong trinh chuyen dong

COS(sdof+1,sdof+1) %ghep noi phuong trinh chuyen dong

COS(sdof+1,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)=-c1;%ghep noi phuong trinh chuyen dong COS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2)%ghep noi luc tuong tac

The code initializes a matrix for interaction forces, calculating element indices based on the dimensions of the grid defined by variables `nx` and `ny` It iterates through each element in the grid, assigning values to the `ele` array that represent the connectivity of nodes in a finite element model Each index is computed using a formula that accounts for the element's position in the grid, ensuring accurate mapping of nodes for subsequent analysis The function `memindexos` is then called to retrieve the memory indices corresponding to the calculated element connectivity, facilitating efficient data handling in the simulation.

[KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); end end

%Load vector - FOS=zeros(sdof+1,1);

FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=0; %load's position at the middle of the center line of the plate

%FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 1/4 of the center line of the plate

%FOS(3*((2*nx+1)*ny+3*nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 3/4 of the center line of the plate

FOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=0; %load's position at the middle of the center line of the plate

%FOS1(3*((2*nx+1)*ny+nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 1/4 of the center line of the plate

%FOS1(3*((2*nx+1)*ny+3*nx/2+1)-2,1)=-f; %load's position at 3/4 of the center line of the plate

%Boudary condition - option='F-SS-F-SS';%maping to infinity for 4 clamped edge

[ bcdof ] = boundary_condition( nx,ny,option );

[ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdof );

The initial displacement of the system is defined by the equation yini1=KOS1\FOS1 The program initializes arrays for displacement and velocity over a specified time duration, with dimensions based on the system's degrees of freedom (sdof) A zero array is created to store the initial displacement values, which are then assigned to the first column of the displacement matrix.

In the given code, various parameters are initialized, including alpha, a0, a1, a2, a3, a4, a5, a6, and a7, which are crucial for the computational process A time vector 'tt' is created to iterate through the simulation steps, while a loop runs for a specified duration, updating the state variables 'y', 'y1d', and 'y2d' at each time step The program calculates specific values 'd1' through 'd6' based on the current state, which are essential for further computations within the simulation This structured approach ensures accurate modeling and iterative updates throughout the simulation process.

FOS(3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2,1)=-k1*yo/1000*sin(2*pi*v*h/lamda)- c1*yo/1000*2*pi*v/lamda*cos(2*pi*v*h/lamda);

%-f*sin(pi*v*h/Lx); %load's position at the middle of the center line of the plate with changeable intensity

In this computational procedure, boundary conditions are applied using the function àpply_condition(KK, FF, bcdof)`, which facilitates the mapping of four clamped edges to infinity The next state of the variable `y` is calculated with the equation `y(:,i+1)=KK\FF`, while the evolution of `y2d` is determined by the relationship involving `y1d` and `y2d` parameters The update for `y1d` incorporates contributions from `y2d` at the current and next time steps Error metrics è1s`, è11s`, è2s`, è22s`, è3s`, and è33s` are computed to monitor convergence, with each metric normalized against respective tolerances `d1`, `d2`, `d3`, `d4`, `d5`, and `d6` The loop iterates until all error metrics fall below a specified tolerance level, ensuring the stability and accuracy of the computational model.

STEP=STEP+1 end y; midpoint=3*((2*nx+1)*ny+nx+1)-2;

%Plot 2D displacement in the middle of the plate - hh=figure('color',[1 1 1]); i = 1;

U=y(:,i); point = (2*nx+1)*ny+1:(2*nx+1)*(ny+1); point_dof = 3*point - 2; deflec_full = U(1:3:end); deflected_center_line = U(point_dof); ttt=0:lx/2:Lx; th=plot(ttt,deflected_center_line,

Ch ngătrìnhăchínhătrongăbƠiătoánăphơnătíchăt nh. clear all close all clc format long

Tiêu đề	Phân Tích Ứng Xử Động Của Tấm Mindlin Chịu Tác Dụng Của Hệ Khối Lượng Lò Xo Cản Di Chuyển Sử Dụng Phương Pháp Phần Tử Chuyển Động - Mem
Tác giả	Trần Minh Thi
Người hướng dẫn	TS. Trần Minh Thi, TS. Nguyễn Thái Bình – Thư Ký, TS. Không Trương Toàn – Phản biện 1, TS. Thái Sơn – Phản biện 2, TS. Lê Thanh Cường - Ủy viên
Trường học	Đại Học Bách Khoa
Chuyên ngành	Kỹ Thuật Xây Dựng
Thể loại	Luận Văn
Năm xuất bản	2022
Thành phố	Thành Phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	83
Dung lượng	1,87 MB