Phân tích ứng xử của tấm nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển với phương bất kỳ sử dụng phương pháp mmpm (multi layer moving plate method)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐINH PHƯỚC ĐẠT PHÂN TÍCH ỨNG XỬ CỦA TẤM NHIỀU LỚP CHỊU TẢI TRỌNG DI CHUYỂN VỚI PHƯƠNG BẤT KỲ SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP MMPM (MULTI-LAYER MOVING PLATE METHOD) Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã số ngành: 8580201 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng năm 2022 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn: PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân Cán chấm nhận xét 1: TS Khổng Trọng Toàn Cán chấm nhận xét 2: TS Nguyễn Thái Bình Luận văn thạc sĩ bảo vệ Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày 15 tháng năm 2021 Thành phần Hội đồng đánh giá Luận văn thạc sĩ gồm: PGS TS Hồ Đức Duy (Chủ tịch) TS Thái Sơn (Thư ký) TS Khổng Trọng Toàn (Phản biện 1) TS Nguyễn Thái Bình (Phản biện 2) TS Lê Thanh Cường (Ủy viên) CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: ĐINH PHƯỚC ĐẠT MSHV: 1970475 Ngày, tháng, năm sinh: 10/03/1996 Nơi sinh: Lâm Đồng Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng Mã ngành: 8580201 I TÊN ĐỀ TÀI: Phân tích ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển vớ phương sử dụng phương pháp MMPM - Analysis of multi-player plate structure under a moving load with an arbitrary trajectory by MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG Thiết lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng ma trận cản cho phần tử kết cấu sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động với phương Phát triển thuật tốn, lập phương trình tính tốn chương trình Matlab để giải hệ phương trình động tổng thể toán Kiểm tra độ tin chương trình tính cách so sánh kết chương trình với kết phương pháp khác Tiến hành thực ví dụ số nhằm khảo sát ảnh hưởng nhân tố quan trọng đến ứng xử kết cấu tấm, từ rút kết luận kiến nghị III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 14/02/2022 IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 10/06/2022 V HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân Tp HCM, ngày 10 tháng 06 năm 2022 CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO PGS.TS Lương Văn Hải TS Cao Tấn Ngọc Thân TRƯỞNG KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG i LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài gắn bó ngơi trường Đại học Bách Khoa Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, tơi trải qua nhiều kỷ niệm với nhiều cung bậc cảm xúc ngày tháng sinh viên tươi đẹp qn, ngày hơm nay, tơi trở lại để tiếp tục đường học vấn nhiệm vụ khác, thực hồn thành tốt nghiệp khóa Cao học ngành Kỹ thuật Xây dựng Chắc chắn khơng có giúp đỡ người, Luận văn khó hồn thành thời hạn Vì vậy, muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến người hỗ trợ suốt trình thực Tơi xin chân thành cảm ơn PGS TS Lương Văn Hải Thầy đưa định hướng để hình thành nên ý tưởng đề tài, phương pháp giải vấn đề quan trọng q trình nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Cao Tấn Ngọc Thân, người giúp đỡ nhiều trình viết phát triển chương trình tính tốn cho Luận văn Tơi cảm kích biết ơn Thầy ln sẵn sàng giải đáp vướng mắc tơi q trình thực Luận văn Tôi xin cảm ơn quý Thầy Cô công tác trường Đại học Bách Khoa Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh truyền dạy kiến thức q giá cho tơi, móng cho phát triển nghiên cứu khoa học nghiệp tơi sau Luận văn hồn thành thời gian quy định, nhiên tránh khỏi thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ góp ý dẫn thêm để tơi bổ sung kiến thức hồn thiện thân Xin trân trọng cảm ơn Tp HCM, ngày 10 tháng 06 năm 2022 Đinh Phước Đạt ii TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ Luận văn tập trung phân tích ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển với phương sử dụng phương pháp MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) Chương trình tính tốn Luận văn phát triển để phân tích cách tổng quát ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển Cùng với phát triển nhân loại nhu cầu di chuyển vận chuyển hàng hóa ngày tăng, có nhiều nhà khoa học giới quan tâm đến nghiên cứu hệ thống đường băng đường cao tốc Hiện nay, nhiều công nghệ tiên tiến áp dụng vào kỹ thuật xây dựng hệ thống đường giới Việt Nam Các nghiên cứu trước thường mơ hình kết cấu lớp đàn hồi hay đàn nhớt,… nhiên xét đến mức độ tương tác lớp nền, đường cao tốc thường cấu tạo bao gồm nhiều lớp nên mức độ ảnh hưởng qua lại lẫn đáng kể Do đó, phát triển Luận văn mơ xác kết cấu nhiều lớp có xét đến tương tác lớp Ngoài ra, ý tưởng Luận văn nhằm mục đích phát triển phương pháp MMPM lên tổng quát cách xét đến tải trọng di chuyển theo phương Phương pháp MMPM cách giải ngược lại phương pháp FEM, phần tử nhiều lớp di động tải trọng đứng yên Cách thiết lập ma trận khối lượng, ma trận độ cứng ma trận cản cho hệ kết cấu nhiều lớp ma trận tổng thể cho toán động lực học dày trình bày Chương Ngồi ra, tương tác qua lại với đất khảo sát trình bày yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến vận hành an toàn mặt đường Các kết phân tích số triển khai nhằm nghiên cứu ảnh hưởng yếu tố quan trọng đến ứng xử dày, ví dụ vận tốc, độ dày, liên kết với nhau, độ cứng hệ số cản đất Các kết nghiên cứu hy vọng tài liệu tham khảo hữu ích nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho công việc thiết kế, thi công bảo dưỡng hệ thống mặt đường iii ABSTRACT This thesis focuses on analyzing the behavior of multi-layer plates under moving loads with tributary direction using MMPM (Multi-Layer Moving Plate Method) The calculation program in this thesis was developed to analyze in a more general way the behavior of multi-layer plates subjected to moving loads Along with the development of mankind, the demand for moving and transporting goods is increasing, so many scientists around the world are interested in studying the runway and highway system Currently, many advanced technologies have been applied to road construction techniques in the world as well as in Vietnam Previous researches usually only model the structure of a single-layer elastic or viscous-elastic foundation, etc., but rarely consider to the level of interaction between the sublayers, because highway foundations are often composed of many layers The degree of mutual influence is remarkable Therefore, the development of the thesis is to more accurately simulate the multilayer plate structure and take into account the interaction between the layers In addition, the new idea of the thesis is to develop the MMPM to be more general by taking into account the load moving in tributary direction The MMPM method is the reverse of the FEM method, where the laminated sheet element is mobile and the load is stationary The way to set up the mass matrices, stiffness matrix and drag matrix for multi-layer sheet structure system and the master matrix for the dynamics problem of thick plate is presented in Chapter In addition, the similarity Interaction between slabs and between slabs and ground is also investigated and presented as this is one of the important factors affecting the safe operation of the pavement The results of numerical analysis will be developed to investigate the influence of important factors on the behavior of thick plates, such as velocity, thickness, bond between plates, stiffness and coefficients ground barrier The research results can hopefully be one of the useful references to facilitate the design, construction and maintenance of the pavement system iv LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng việc tơi thực hướng dẫn PGS TS Lương Văn Hải Các kết Luận văn thật chưa công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm công việc thực Tp HCM, ngày 10 tháng 06 năm 2022 Đinh Phước Đạt v MỤC LỤC NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ i LỜI CẢM ƠN i TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ .ii LỜI CAM ĐOAN iv MỤC LỤC v DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vi DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU viii MỘT SỐ KÝ HIỆU VIẾT TẮT ix CHƯƠNG TỔNG QUAN 1.1 Giới thiệu 1.2 Tình hình nghiên cứu tính cấp thiết đề tài 1.3 Mục tiêu hướng nghiên cứu 1.4 Cấu trúc Luận văn CHƯƠNG CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1 Bài toán nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển 2.2 Phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MMPM 10 2.3 Phần tử đẳng tham số 16 2.4 Phương pháp Newmark 20 2.5 Lưu đồ tính tốn 22 CHƯƠNG KẾT QUẢ PHÂN TÍCH SỐ 23 3.1 Kiểm chứng chương trình Matlab 25 3.2 Phân tích ứng xử nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển theo phương 30 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 47 4.1 Kết luận 47 4.2 Kiến nghị 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 PHỤ LỤC 52 LÝ LỊCH TRÍCH NGANG 61 vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Mơ hình cố định tải trọng di chuyển (FEM) Hình 1.2 Mơ hình tải trọng cố định phần tử di chuyển (MEM) Hình 2.1 Mơ hình nhiều lớp đàn hồi Hình 2.2 Tấm nhiều lớp hệ tọa độ chuyển động 10 Hình 2.3 Phần tử tứ giác nút, lớp 10 Hình 2.4 Phần tử tứ giác Q9 hệ tọa độ địa phương 17 Hình 2.5 Phần tử tứ giác Q9 hệ tọa độ tự nhiên 17 Hình 2.6 Lưu đồ tính tốn 22 Hình 3.1 Chuyển vị lớn chịu tác dụng tải trọng tĩnh 25 Hình 3.2 Chuyển vị bên dọc theo trục x với vận tốc V = m/s 28 Hình 3.3 Chuyển vị phía dọc theo trục x với vận tốc V = m/s 28 Hình 3.4 Chuyển vị bên dọc theo trục x với vận tốc V = 40 m/s 29 Hình 3.5 Chuyển vị phía dọc theo trục x với vận tốc V = 40 m/s 29 Hình 3.6 Chuyển vị lớn thay đổi bước thời gian t 30 Hình 3.7 Trường chuyển vị thay đổi góc  32 Hình 3.8 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi góc  32 Hình 3.9 Phối cảnh 3D chuyển vị vận tốc tải trọng thay đổi (mm) 33 Hình 3.10 Trường chuyển vị 2D vận tốc tải trọng thay đổi (mm) 34 Hình 3.11 Chuyển vị thay đổi tỉ lệ chiều dày (mm) 35 Hình 3.12 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi tỉ lệ chiều dày 35 Hình 3.13 Chuyển vị thay đổi tỉ lệ chiều dày (mm) 36 Hình 3.14 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi tỉ lệ chiều dày 36 Hình 3.15 Chuyển vị lớn thay đổi tỉ lệ chiều dày 37 Hình 3.16 Chuyển vị thay đổi tỉ lệ độ cứng (mm) 38 Hình 3.17 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi tỉ lệ độ cứng 38 Hình 3.18 Chuyển vị thay đổi tỉ lệ độ cứng (mm) 39 vii Hình 3.19 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi tỉ lệ độ cứng 39 Hình 3.20 Chuyển vị lớn thay đổi tỉ lệ độ cứng 40 Hình 3.21 Chuyển vị thay đổi hệ số cản (mm) 41 Hình 3.22 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi hệ số cản 41 Hình 3.23 Chuyển vị thay đổi hệ số cản (mm) 42 Hình 3.24 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi hệ số cản 42 Hình 3.25 Chuyển vị lớn thay đổi hệ số cản 43 Hình 3.26 Chuyển vị thay đổi module đàn hồi (mm) 44 Hình 3.27 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi module đàn hồi 44 Hình 3.28 Chuyển vị thay đổi module đàn hồi (mm) 45 Hình 3.29 Chuyển vị dọc theo trục x thay đổi module đàn hồi 45 Hình 3.30 Chuyển vị lớn thay đổi module đàn hồi 46 Kết luận kiến nghị 47 CHƯƠNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn sử dụng phương pháp phần tử nhiều lớp chuyển động MPMM để phân tích ứng xử kết cấu nhiều lớp chịu tải trọng di động theo phương Luận văn mơ hình hóa xác kết cấu nhiều lớp xét đến tương tác lớp, đồng thời tải trọng di chuyển phân tích theo phương tổng quát so với việc tải trọng di chuyển theo phương Luận văn phân tích ảnh hưởng thông số quan trọng hệ số độ cứng, module đàn hồi, hệ số cản lớp liên kết hai Ảnh hưởng góc chuyển động, vận tốc tải trọng di chuyển, độ dày kết cấu xem xét phân tích Các mơ hình tính tốn dựa lý thuyết dày Mindlin sử dụng tích phân Newmark – phương pháp gia tốc trung bình toàn miền thời gian Các kết số so sánh với kết phần mềm SAP2000 kết công bố nhằm thể độ tin cậy chương trình tính tốn Qua kết phân tích số đạt trình bày Chương 3, tác giả rút số kết luận quan trọng kiến nghị hướng phát triển đề tài tương lai sau 4.1 Kết luận Mơ hình tính tốn mơ cách tổng quát kết cấu nhiều lớp chịu tải trọng di chuyển theo phương hướng di chuyển tải trọng thể góc  Trong đó, ma trận hàm dạng, ma trận khối lượng, ma trận độ cứng, ma trận cản, phát triển cách tổng quát Đồng thời, mơ hình thể rõ phức tạp tốn khảo sát thơng qua việc mơ phần tử tứ giác nút, lớp nút bậc tự Phương pháp MMPM có độ tin cậy cao việc phân tích tĩnh động cho kết cấu nhiều lớp Các kết thu được kiểm chứng với phần Kết luận kiến nghị 48 mềm SAP2000 Chương trình tính tốn kiểm chứng so sánh kết với cơng trình cơng bố Ảnh hưởng thông số đến ứng xử nhiều lớp hướng di chuyển tải trọng, vận tốc tải trọng, độ dày kết cấu, hệ số độ cứng, hệ số cản, module đàn hồi xem xét phân tích Chương Hướng di chuyển tải trọng không tác động đến giá trị chuyển vị, nhiên vận tốc làm cho chuyển vị tăng tải trọng di chuyển với tốc độ chậm Các hệ số chiều dày, độ cứng, độ cản, module đàn hồi nhìn chung có tác dụng làm hạn chế chuyển vị ta tăng giá trị chúng lên Mặc dù thế, hiệu phương pháp khác nhau, cần tính tốn kỹ lưỡng để đưa giải pháp tối ưu nhằm tiết kiệm vật liệu trình thiết kế thi công Để giảm chuyển vị cho kết cấu nhiều lớp nên tăng thơng số vật liệu liên quan đến kết cấu bên với tỉ lệ phù hợp so với kết cấu bên để đạt hiệu tối ưu, tránh gây lãng phí 4.2 Kiến nghị Mặc dù Luận văn đạt số kết định trình bày số vấn đề chưa nghiên cứu cần phát triển thêm tương lai, bao gồm:  Khối lượng vật di chuyển  Vận tốc thay đổi theo thời gian  Quỹ đạo chuyển động cong  Tải trọng phân bố Tài liệu tham khảo 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] X S Cheng, “Dynamic response of plates on elastic foundations due to moving load,” Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol 8, no 4, pp 355–365, Apr 1987 [2] L Sun, “Dynamic response of Kirchhoff plate on viscoelastic foundation to harmonic circular loads,” Journal of Applied Mechanics, vol 70, pp 595–600, Jul 2003 [3] S M Kim, “Buckling and vibration of plate on elastic foundation subjected to in-plane compression and moving loads,” International Journal of Solids and Structures, vol 4, pp 5647–5661, Jan 2004 [4] S M Kim and J M Roesset, “Moving loads on a plate on elastic foundation,” Journal of Engineering Mechanics, vol 124, no 9, pp 1010–1017, Jan 1998 [5] Y Xiang, C M Wang and S Kitipornchai, “Exact vibration solution for initially stressed Mindlin plates on pasternak foundations,” International Journal of Mechanical Sciences, vol 36, no 4, pp 311–316, Feb 1994 [6] K M Liew, J B Han, Z M Xiao and H Du, “Differential quadrature method for Mindlin plates on winkler foundations,” International Journal of Mechanical Sciences, vol 38, no 4, pp 405–421, Mar 1996 [7] K Al-Hosani, S Fadhil and A El-Zafrany, “Fundamental solution and boundary element analysis of thick plates on winkler foundation,” Journal of Computer & Structures, vol 70, pp 325–336, Apr 1999 [8] M H Huang and D P Thambiratnam, “Deflection response of plate on winkler foundation to moving accelerated loads,” Engineering Structures ,vol 23, pp 1134–1141, Jun 2001 [9] Y Xing, B Liu, “Closed form solutions for free vibrations of rectangular Mindlin plates,” Journal of Acta Mechanica Sinica, vol 25, pp 689–698, Sep 2009 Tài liệu tham khảo [10] 50 M Li, T Quian, Y Zhong and H Zong, “Dynamic response of rectangular plate subjected to moving load with variable velocity,” Journal of Engineering Mechanics, vol 4, no.1, pp 1943–7889, Mar 2013 [11] C G Koh, G H Chiew and C C Lim, “A numerical method for moving load on continuum,” Journal of Sound and Vibration, vol 300, no 4, pp 126–138, Feb 2007 [12] K K Ang, M T Tran and V H Luong, “Track vibrations during accelerating and decelerating phases of high-speed rails,” presented at The Thirteenth East Asia-Pacific Conference on Structural Engineering and Construction EASEC– 13, Sapporo, Japan, 2013 [13] K K Ang, D Jian, M T Tran and V H Luong, “Analysis of high-speed rail accounting for jumping wheel phenomenon,” International Journal of Computational Methods, vol 11, no 3, Aug 2014 [14] M T Tran, K K Ang and V H Luong, “Dynamic analysis of high-speed rail system on two-parameter elastic damped foundation,” presented at International Conference on Advanced Computing and Applications ACOMP, Ho Chi Minh City, Vietnam, 2013 [15] X Lei and J Wang, “Dynamic analysis of the train and slab track coupling system with finite elements in a moving frame of reference,” Journal of Vibration and Control, Mar 2013 DOI: 10.1177/1077546313480540 [16] W T Xu, J H Lin, Y H Zhang, D Kennedy and F.W Williams, “2D moving element method for random vibration analysis of vehicles on Kirchhoff plate with Kelvin foundation,” Latin American Journal of Solids and Structures, vol 6, pp 169–183, Oct 2009 [17] Đ D Minh, “Phân tích động lực học kết cấu dày nhiều lớp chịu tải trọng động sử dụng phương pháp MPMM (Multi-Layer Plate Moving Methode),” Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, 2016 Tài liệu tham khảo [18] 51 V H Nhi, “Phân tích động lực học Mindlin đàn nhớt chịu tải trọng di động sử dụng phần tử 2-D chuyển động,” Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, 2014 [19] N T N Kiều, “Phân tích ứng xử động kết cấu dầm hai thông số chịu tải trọng động có xét đến ảnh hưởng lực dọc,” Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, 2016 [20] N V Quí, “Phân tích động lực học chịu tải trọng chuyển động với vận tốc không sử dụng phương pháp MEM cải tiến,” Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, 2017 [21] N Đ Phú, “Phân tích ứng xử kết cấu chịu tải di chuyển biến thiên tuần hoàn theo thời gian sử dụng phương pháp BEM-MEM,” Luận văn thạc sỹ, Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG TP.HCM, 2020 Phụ lục 52 PHỤ LỤC Một số đoạn mã lập trình Matlab clear all clc format long % Multi-layer plate parameters % First plate LxT=20;% length of x direction (m) LyT=20;% length of y direction (m) nxT=20;% (columns) number of element along x direction nyT=20;% (rows) number of element along y direction lxT=LxT/nxT;% side length of x direction lyT=LyT/nyT;% side length of y direction % Second plate LxB=20;% length of x direction (m) LyB=20;% length of y direction (m) nxB=nxT;% (columns) number of element along x direction nyB=nyT;% (rows) number of element along y direction lxB=LxB/nxB;% side length of x direction lyB=LyB/nyB;% side length of y direction ndof=3;% numder of DOFs per node nnel=9;% number of nodes per element nelT=nxT*nyT;% total element of the first plate nelB=nxB*nyB;% total element of the second plate nel=nelT+nelB;% total element of the multi-layer plate nnodeT=(2*nxT+1)*(2*nyT+1);% total number of nodes in the first plate nnodeB=(2*nxB+1)*(2*nyB+1);% total number of nodes in the second plate nnode=nnodeT+nnodeB;% total number of nodes in the multi-layer plate edofT=nnel*ndof;% DOFs per the first plate's element edofB=nnel*ndof;% DOFs per the second plate's element edof=edofT+edofB;% DOFs per the multi-layer plate's element sdofT=nnodeT*ndof;% total of the first plate DOFs sdofB=nnodeB*ndof;% total of the first plate DOFs sdof=sdofT+sdofB; % total of the multi-layer plate DOFs kapa=5/6; % shear correction factor % First plate ETmodule=1.7e9;% Young's modulus (N/m2) nuyT=0.35;% poison's ratio roT=2440;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tT=0.2;% thickness of the plate (m) GT=ETmodule/2/(1+nuyT); % flexural rigidity of the plate DT=ETmodule*tT^3/12/(1-nuyT^2); % shear modulus % Second plate EBmodule=1.5e9;% Young's modulus (N/m2) nuyB=0.25;% poison's ratio roB=2300;% mass per unit volume of the plate (kg/m3) tB=0.2;% thickness of the plate (m) GB=EBmodule/2/(1+nuyB); % flexural rigidity of the plate DB=EBmodule*tB^3/12/(1-nuyB^2); % shear modulus % Load parameters -f=5000;% load (N) vo=0;% initial velocity of load(m/s) v=20;% velocity of load(m/s) Phụ lục 53 a=0;% acceleration (m/s2) theta=45; % inclination compared to x-axis (degree) theta_rad=theta*pi/180; % inclination compared to x-axis (radian) vox=vo*cos(theta_rad); % innitial velocity of load in x-axis (m/s) voy=vo*sin(theta_rad); % innitial velocity of load in y-axis (m/s) vx=v*cos(theta_rad); % velocity of load in x-axis (m/s) vy=v*sin(theta_rad); % velocity of load in y-axis (m/s) % Parameters % First plate kT=9.5e5; %(N/m3) cT=1.0e5; %(N.s/m3) % Second plate kB=8.5e5; %(N/m3) cB=2.5e5; %(N.s/m3) % Matrix containing the density of the material and thickness -% First plate mT=roT*[tT 0; tT^3/12 0; 0 tT^3/12]; % Second plate mB=roB*[tB 0; tB^3/12 0; 0 tB^3/12]; % Material matrix related to bending deformation and shear deformation % First plate DbT=ETmodule*tT^3/12/(1-nuyT^2)*[1 nuyT 0; nuyT 0; 0 (1-nuyT)/2]; DsT=ETmodule*tT*kapa/2/(1+nuyT)*[1 0; 1]; % Second plate DbB=EBmodule*tB^3/12/(1-nuyB^2)*[1 nuyB 0; nuyB 0; 0 (1-nuyB)/2]; DsB=EBmodule*tB*kapa/2/(1+nuyB)*[1 0; 1]; % Newmark tolerance -tole=10^(-6); % tolerance to=2.1;% total analysis time (s) deltat=0.1;% time step % Mindlin Plate meshing -[gcoordT,eleT]=mesh2d_rectq9T(LyT,nxT,nyT,lxT,lyT); % First plate [gcoordB,eleB]=mesh2d_rectq9B(LyB,nxB,nyB,lxB,lyB); % Second plate % Sampling points and weights nglx=3; ngly=3;% 3x3 Gauss-Legendre quadrature nglxy=nglx*ngly;% number of sampling points per element [point2,weight2]=memglqd2(nglx,ngly); % Loop for the total number of elements -% First plate for iel=1:nelT for i=1:4 nd_cornerT(i)=eleT(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xcT(i)=gcoordT(nd_cornerT(i),1); % extract x value of the node ycT(i)=gcoordT(nd_cornerT(i),2); % extract y value of the node end xcoordT=[xcT (xcT(1)+xcT(2))/2 (xcT(2)+xcT(3))/2 (xcT(3)+xcT(4))/2 (xcT(4)+xcT(1))/2 (xcT(1)+xcT(2)+xcT(3)+xcT(4))/4]; Phụ lục 54 ycoordT=[ycT (ycT(1)+ycT(2))/2 (ycT(2)+ycT(3))/2 (ycT(3)+ycT(4))/2 (ycT(4)+ycT(1))/2 (ycT(1)+ycT(2)+ycT(3)+ycT(4))/4]; end % Second plate for iel=1:nelB for i=1:4 nd_cornerB(i)=eleB(iel,i); % extract connected node for (iel)-th element xcB(i)=gcoordB(nd_cornerB(i),1); % extract x value of the node ycB(i)=gcoordB(nd_cornerB(i),2); % extract y value of the node end xcoordB=[xcB (xcB(1)+xcB(2))/2 (xcB(2)+xcB(3))/2 (xcB(3)+xcB(4))/2 (xcB(4)+xcB(1))/2 (xcB(1)+xcB(2)+xcB(3)+xcB(4))/4]; ycoordB=[ycB (ycB(1)+ycB(2))/2 (ycB(2)+ycB(3))/2 (ycB(3)+ycB(4))/2 (ycB(4)+ycB(1))/2 (ycB(1)+ycB(2)+ycB(3)+ycB(4))/4]; end K1T=zeros(edof,edof); K1B=zeros(edof,edof); KT=zeros(edof,edof); KB=zeros(edof,edof); MT=zeros(edof,edof); MB=zeros(edof,edof); CT=zeros(edof,edof); CB=zeros(edof,edof); % Numerical integration -for intx=1:nglx x=point2(intx,1); % sampling point in x-axis wtx=weight2(intx,1); % weight in x-axis for inty=1:ngly y=point2(inty,2); % sampling point in y-axis wty=weight2(inty,2) ; % weight in y-axis [N,dNdr,dNds,d2Ndr2,d2Ndrds,d2Ndsdr,d2Nds2]=memisoq9(x,y); % Compute shape functions and derivatives at sampling point [jacob2T]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordT,ycoordT); % compute Jacobian of the first plate [jacob2B]=memjacob2(nnel,dNdr,dNds,xcoordB,ycoordB); % compute Jacobian of the second plate detjacobT=det(jacob2T); % determinant of Jacobian of the first plate detjacobB=det(jacob2B); % determinant of Jacobian of the second plate invjacobT=jacob2T\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the first plate invjacobB=jacob2B\eye(2,2); % inverse of Jacobian matrix of the second plate [dNTdx,dNTdy,d2NTdx2,d2NTdxdy,d2NTdydx,d2NTdy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds, d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobT);%derivatures in physic coordinate of the first plate [dNBdx,dNBdy,d2NBdx2,d2NBdxdy,d2NBdydx,d2NBdy2]=memderiv2(nnel,dNdr,dNds, d2Ndr2,d2Nds2,d2Ndrds,d2Ndsdr,invjacobB);%derivatures in physic coordinate of the second plate [BbT,BsT,NwT,dNwTdr,dNwTds,NT,dNTdr,dNTds,d2NTdr2,d2NTds2,d2NTdrds,d2NTds dr]=memkine2dT(dNTdx,dNTdy,d2NTdx2,d2NTdxdy,d2NTdydx,d2NTdy2,N); [BbB,BsB,NwB,dNwBdr,dNwBds,NB,dNBdr,dNBds,d2NBdr2,d2NBds2,d2NBdrds,d2NBds dr]=memkine2dB(dNBdx,dNBdy,d2NBdx2,d2NBdxdy,d2NBdydx,d2NBdy2,N); Phụ lục 55 K1T=K1T+(BbT'*DbT*BbT+BsT'*DsT*BsT+vox^2*NT'*mT*d2NTdr2+voy^2*NT'*mT*d2NT ds2+2*vox*voy*NT'*mT*d2NTdrds+kT*NwT'*NwT-kT*NwT'*NwB-cT*vox*NwT'*dNwTdrcT*voy*NwT'*dNwTds+cT*vox*NwT'*dNwBdr+cT*voy*NwT'*dNwBds)*wtx*wty*detjaco bT;% element stiffness matrix of the first plate at initial time K1B=K1B+(BbB'*DbB*BbB+BsB'*DsB*BsB+vox^2*NB'*mB*d2NBdr2+voy^2*NB'*mB*d2NB ds2+2*vox*voy*NB'*mB*d2NBdrds+kB*NwB'*NwBkT*NwB'*NwT+kT*NwB'*NwB+cT*vox*NwB'*dNwTdr+cT*voy*NwB'*dNwTdscT*vox*NwB'*dNwBdr-cT*voy*NwB'*dNwBds-cB*vox*NwB'*dNwBdrcB*voy*NwB'*dNwBds)*wtx*wty*detjacobB; % element stiffness matrix of the second plate at initial time KT=KT+(BbT'*DbT*BbT+BsT'*DsT*BsT+vx^2*NT'*mT*d2NTdr2+vy^2*NT'*mT*d2NTds2+ 2*vx*vy*NT'*mT*d2NTdrds+kT*NwT'*NwT-kT*NwT'*NwB-cT*vx*NwT'*dNwTdrcT*vy*NwT'*dNwTds+cT*vx*NwT'*dNwBdr+cT*vy*NwT'*dNwBds)*wtx*wty*detjacobT; % element stiffness matrix of the first plate KB=KB+(BbB'*DbB*BbB+BsB'*DsB*BsB+vx^2*NB'*mB*d2NBdr2+vy^2*NB'*mB*d2NBds2+ 2*vx*vy*NB'*mB*d2NBdrds+kB*NwB'*NwBkT*NwB'*NwT+kT*NwB'*NwB+cT*vx*NwB'*dNwTdr+cT*vy*NwB'*dNwTdscT*vx*NwB'*dNwBdr-cT*vy*NwB'*dNwBds-cB*vx*NwB'*dNwBdrcB*vy*NwB'*dNwBds)*wtx*wty*detjacobB; % element stiffness matrix of the second plate MT=MT+(NT'*mT*NT)*wtx*wty*detjacobT; % element mass matrix of the first plate MB=MB+(NB'*mB*NB)*wtx*wty*detjacobB; % element mass matrix of the second plate CT=CT+(-2*vx*NT'*mT*dNTdr-2*vy*NT'*mT*dNTds+cT*NwT'*NwTcT*NwT'*NwB)*wtx*wty*detjacobT; % element damping matrix of the first plate CB=CB+(-2*vx*NB'*mB*dNBdr-2*vy*NB'*mB*dNBds+cB*NwB'*NwBcT*NwB'*NwT+cT*NwB'*NwB)*wtx*wty*detjacobB; % element damping matrix of the second plate end end K1=K1T+K1B; % element stiffness matrix of the multi-layer plate at initial time K=KT+KB; % element stiffness matrix of the multi-layer plate M=MT+MB; % element mass matrix of the multi-layer plate C=CT+CB;% element damping matrix of the multi-layer plate % Stiffness, mass, damping matrix of the multi-layer plate KOS1=zeros(sdof,sdof); KOS=zeros(sdof,sdof); MOS=zeros(sdof,sdof); COS=zeros(sdof,sdof); for i=1:nyT for j=1:nxT ie=nxT*(i-1)+j; ele(ie,1)=2*ie-1+(i-1)*(nxT+1)*2; ele(ie,2)=2*ie+1+(i-1)*(nxT+1)*2; ele(ie,3)=2*ie-1+(i+1)*(nxT+1)*2; ele(ie,4)=2*ie-3+(i+1)*(nxT+1)*2; ele(ie,5)=2*ie+(i-1)*(nxT+1)*2; ele(ie,6)=2*ie+(i)*(nxT+1)*2; ele(ie,7)=2*ie-2+(i+1)*(nxT+1)*2; ele(ie,8)=2*ie-2+(i)*(nxT+1)*2; ele(ie,9)=2*ie-1+(i)*(nxT+1)*2; Phụ lục 56 ele(ie,10)=2*ie-1+(i-1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,11)=2*ie+1+(i-1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,12)=2*ie-1+(i+1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,13)=2*ie-3+(i+1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,14)=2*ie+(i-1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,15)=2*ie+(i)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,16)=2*ie-2+(i+1)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,17)=2*ie-2+(i)*(nxT+1)*2+nnodeT; ele(ie,18)=2*ie-1+(i)*(nxT+1)*2+nnodeT; ix=memindexosm(ele(ie,:),nnel,ndof); [KOS1]=hpsystemmatrix(KOS1,K1,ix); [KOS,MOS,COS]=hpmatrix(KOS,MOS,COS,K,M,C,ix); end end % Load vector -FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line of the plate STEP=0; FOS1=zeros(sdof,1); FOS1(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,1)=-f; % load's position at the middle of the center line of the first plate % Boudary condition -option='C-C-C-C';% maping to infinity for clamped edge % First plate [ bcdofT ] = boundary_condition_T( nxT,nyT,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofT ); % Second plate [ bcdofB ] = boundary_condition_B( nxB,nyB,option ); [ KOS1, FOS1 ] = apply_condition( KOS1,FOS1,bcdofB ); % Displacement at initial time yini1=KOS1\FOS1; y=zeros(sdof,to/deltat); y1d=zeros(sdof,to/deltat); y2d=zeros(sdof,to/deltat); yini=zeros(sdof,1);% the initial displacement of the system for i=1:sdof yini(i)=yini1(i); end y(:,1)=yini; % : denotes an entire row or column % Newmark constant beta=1/4; alpha=1/2; a0=1/(beta*deltat^2); a1=alpha/(beta*deltat); a2=1/(beta*deltat); a3=1/(2*beta)-1; a4=alpha/beta-1; a5=deltat/2*(alpha/beta-2); a6=deltat*(1-alpha); a7=alpha*deltat; tt=0:deltat:to-deltat; h=0; step=0; for i=1:(to-deltat)/deltat fprintf('STEP=%d/%d',i,(to-deltat)/deltat); y(:,i+1)=y(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i); y2d(:,i+1)=y2d(:,i); Phụ lục 57 h=h+deltat; for j=1:10000000 d1=y(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1); d2=y1d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1); d3=y2d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1); d4=y(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1); d5=y1d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1); d6=y2d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1); FOS=zeros(sdof,1); FOS(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,1)=-f; %load's position at the middle of the center line KK=KOS+a0*MOS+a1*COS; FF=FOS+MOS*(a0*y(:,i)+a2*y1d(:,i)+a3*y2d(:,i))+COS*(a1*y(:,i)+a4*y1d(:,i) +a5*y2d(:,i)); [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofT );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity [ KK, FF ] = apply_condition( KK,FF,bcdofB );% apply boundary for clamped edge mapping to infinity y(:,i+1)=KK\FF; y2d(:,i+1)=a0*(y(:,i+1)-y(:,i))-a2*y1d(:,i)-a3*y2d(:,i); y1d(:,i+1)=y1d(:,i)+a6*y2d(:,i)+a7*y2d(:,i+1); e1=abs((y(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1)-d1)/d1); e2=abs((y1d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1)-d2)/d2); e3=abs((y2d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1)-2,i+1)-d3)/d3); e4=abs((y(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1)-d4)/d4); e5=abs((y1d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1)-d5)/d5); e6=abs((y2d(3*((2*nxT+1)*nyT+nxT+1+nnodeT)-2,i+1)-d6)/d6); step=step+1; if e1