cac dang bai toan dem

CHỦ ĐỀ CÁC DẠNG BÀI TOÁN ĐẾM I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM DẠNG 1: BÀI TỐN ĐẾM SỐ CĨ YẾU TỐ CHIA HẾT Phương pháp giải: Một số dấu hiệu chia hết cần lưu ý:  Số n chia hết cho chữ số tận 0, 2, 4, 6, Ví dụ: 24; 508…  Số n chia hết cho tổng chữ số chia hết cho Ví dụ: 126; 540…  Số n chia hết cho chữ số tận phải chia hết cho Ví dụ: 116; 544…  Số n chia hết cho chữ số tận Ví dụ: 80, 205…  Số n chia hết cho đồng thời chia hết cho  Số n chia hết cho chữ số cuối phải chia hết cho  Số n chia hết cho tổng chữ số chia hết cho  Số n chia hết cho 10 chữ số tận  Số n chia hết cho 12 đồng thời chia hết cho  Số n chia hết cho 15 đồng thời chia hết cho  Số n chia hết cho 20 hai chữ số tận 00; 20; 40; 60 80  Số n chia hết cho 25 hai chữ số tận 25; 50; 75; 00 Ví dụ Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8 a) Lập số lẻ có chữ số từ A b) Lập số chẵn có chữ số khác từ A Lời giải: a) Gọi số lẻ có chữ số lập từ dãy abcde Ta có cách chọn e (vì số lập số lẻ), với cách chọn e có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Do có tổng cộng 4.8.9.9.9  23328 số thỏa mãn b) Gọi số chẵn có chữ số lập từ dãy abcde (các chữ số đôi khác nhau)  TH1: e  chọn a,b,c,d xếp có A94 cách có: A94  3024 số  TH2: e  2; 4; 6;8 có cách chọn, chọn a có cách chọn, chọn số b,c,e xếp có tổng cộng A73 cách Do có 4.7 A73  5880 Do có: 8904 số chẵn lập từ tập Ví dụ Chọn tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5 a) Lập số có chữ số chia hết cho từ A b) Lập số chẵn có chữ số khác chia hết cho từ A Lời giải: Trang a) Gọi số có chữ số chia hết cho lập từ A có dạng abcd Ta có: chọn a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn d có cách chọn Khi có 5.6.6.2  360 số thỏa mãn YCBT b) Gọi số thỏa mãn YC abcd (các chữ số đôi khác nhau) Số có chữ số chia hết có tổng chữ số số chia hết cho Mặt khác số số chẵn phải có số chẵn số Các số thỏa mãn là:  0;1; 2;3 ;  0;1;3;5  ;  0;3; 4;5  ; 1; 2; 4;5   TH1: Xét số 0,1,2,3 +) Xét d  có A33  số +) Xét d  có: 2.2  số Vậy có 10 số thỏa mãn  TH2: Xét số 0,1,3,5 d  có A33  số thỏa mãn  TH3: Xét số 0,3,4,5 có 10 số thỏa mãn TH1  TH4: Xét số 1,2,4,5 có 2.3.2.1  12 số thỏa mãn Vậy tổng cộng có: 38 số thỏa mãn YCBT Ví dụ Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập được: a) Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đơi b) Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đơi c) Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi Lời giải: a) Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc abc  Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c  có 5.4.3  60 số  Với số abc abc ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c  có 4.4.3  48 số abc 48 số abc Vậy có: 60  48  48  156 số chẵn b) Số chia hết cho gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5  Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b  có 5.4  20 số  Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b  có 4.4  16 số Vậy có: 20  16 số cần tìm c) Gọi abc số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi a, b, c là: 0, 4,5 , 1, 3,5 , 2,3, 4  Khi a, b, c  0, 4,5 số phải tìm : 405, 450, 504,540  có số  Khi a, b, c  1,3,5 hay 2,3, 4 số phải tìm hốn vị phần tử  có 3!  số Vậy có:    16 số cần tìm Trang Ví dụ Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, , 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789? Lời giải: Ta xét trường hợp sau: TH1: Chữ số hàng đơn vị 2, 4,  có cách chọn chữ số hàng đơn vị  Nếu chữ số hàng trăm nhỏ 7: Khi chọn chữ số hàng đơn vị, ta cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng đơn vị hàng trăm, ta có cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: 3.5.7  105 số  Nếu chữ số hàng trăm 7: Sau chọn chữ số hàng đơn vị, ta cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu 3.6  18 TH2: Chữ số hàng đơn vị 8:  Nếu chữ số hàng trăm nhỏ 7: có cách chọn chữ số hàng trăm Sau chọn chữ số hàng trăm, ta có cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: 6.7  42 số  Nếu chữ số hàng trăm 7: có cách chọn chữ số hàng chục  Số số thu là: số Vậy tất có: 105  18  42   171 số DẠNG 2: BÀI TỐN ĐẾM SỐ CĨ RÀNG BUỘC LỚN BÉ, SỐ LẦN XUẤT HIỆN CHỮ SỐ Ví dụ Cho chữ số: 0, 2, 4, 5, Từ chữ số lập số a) Có chữ số đơi khác lớn 226 b) Có chữ số đơi khác nhỏ 5133 Lời giải: a) Số cần lập có dạng abc  226 (trong a, b, c  0; 2; 4;5; 6 đôi khác nhau) TH1: Với a  b  4;5;6 có cách chọn suy c cịn cách chọn nên có 1.3.3  số TH2: Với a  4;5;6 có cách chọn b có cách chọn c cách chọn nên có 3.4.3  36 số Theo quy tắc cộng có  36  45 số b) Số cần lập có dạng abcd  5133 (trong a, b, c  0; 2; 4;5; 6 đôi khác nhau) TH1: Nếu a   b  c, d có cách chọn suy có 3.2  số TH2: Nếu a  2; 4 bcd có A 34 =24 cách chọn suy có 2.24  48 số Theo quy tắc cộng có  48  54 số Ví dụ Cho chữ số: 0, 2, 3, 5, 7, Từ chữ số lập số a) Có chữ số đơi khác nhỏ 6540 b) Có chữ số đôi khác lớn 2318 Lời giải: a) Số cần lập có dạng abcd  6540 (trong a,b,c,d  0; 2;3;5;7;8 đơi khác nhau) TH1:Nếu a  6, b   c, d  0, 2,3 nên cd có A32  Trang TH2:Nếu a  6; b  0, 2, 3 có cách chọn cd có A42  12 cách lập suy có 3.12  36 số TH3:Nếu a  2;3;5 có cách chọn bcd có A53  60 cách lập suy có 3.60  180 số Vậy theo quy tắc cộng có  36  180  222 số b) Số cần lập có dạng abcd  2318 (trong a, b, c, d  0, 2,3,5,7,8 đôi khác nhau) TH1: Nếu a  2, b   c  5, 6, 7 có cách chọn d có cách chọn suy có 3.3  số TH2: Nếu a  2, b  5, 6,7 có cách chọn cd có A42  12 cách chọn suy có 3.12  36 số TH3: Nếu a  3;5;7;8 suy bcd có A63  120 cách suy có 4.120  480 số Vậy theo quy tắc cộng có  36  480  525 số Ví dụ 3.Cho chữ số: 1, 2, 3, 5, 6,9 Từ chữ số lập số a) Có chữ số đôi khác lớn 308 b) Có chữ số đơi khác nhỏ 6256 Lời giải: a) Số lập có dạng abc  308 a, b, c  1, 2,3,5, 6, 9 đôi khác TH1: Nếu a  suy b, c  1, 2,5, 6,9 nên bc có A52 cách chọn TH2: Nếu a  5,6, 9 b, c  1, 2,5, 6,9 nên bc có A52 cách chọn Vậy có A52  A52  80 số b)Số lập có dạng abcd  6256 a, b, c, d  1, 2,3,5, 6, 9 đôi khác TH1: a  6, b  2, c   d  1,3 nên có số TH2: a  6, b  2, c  1,3  d có cách chọn nêm có 2.3  số TH3: a  6, b   cd có A42 cách chọn nên có A42  12 số TH4: a  1, 2,3,5 bcd có A53 cách chọn nên có A53  240 số Theo quy tắc cộng có   12  240  260 số Ví dụ Cho chữ số: 0,1, 2,5, 6,8 Từ số lập số a) Có chữ số đơi khác khơng bé 2019 b) Có chữ số đôi khác không lớn 5008 Lời giải: a) Số cần lập có dạng abcd  2019 a, b, c, d  0,1, 2,5, 6,8 đôi khác TH1: a  2, b   c  5, 6,8 suy d có cách chọn suy 3.3  số TH2: a  2, b  1,5, 6,8 có cách chọn suy cd có A42  12 cách lập nên có 4.12  48 số TH3: a  5, 6,8 bcd có A53  60 cách lập nên có 3.60  180 số Theo quy tắc cộng có  48  180  237 số Trang b) Số cần lập có dạng abcd  5008 a, b, c, d  0,1, 2,5, 6,8 đôi khác TH1: a  (không tồn số thỏa mãn) TH2:Với a  1, 2 suy bcd có A53  60 cách lập nên có 2.60  120 số Vậy có 120 số Ví dụ Cho chữ số:0,2,4,5,6,9 Từ chữ số lập số a) Có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số b) Có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số Lời giải: a) Xét số có chữ số dạng abc  a   lập từ số có 5.5.4  100 số Xét số có chữ số lập từ số khơng có mặt chữ số có: 4.4.3  48 số Suy có 100  48  52 số có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số b) Xét số có chữ số dạng abcd  a   lập từ số có 5.5.4.3  300 số Xét số có chữ số lập từ số khơng có mặt chữ số có: 4.4.3.2  96 số Suy có 300  96  204 số có chữ số đơi khác ln có mặt chữ số Ví dụ Cho chữ số:0,1,2,5,6,8 Từ chữ số lập số a) Có chữ số đôi khác ,là số chẵn có mặt chữ số b) Có chữ số đơi khác nhau,là số lẻ ln có mặt chữ số Lời giải: a) Xét số có chữ số khác dạng abc số chẵn ln có mặt chữ số TH1: Với c  số cịn số số thuộc tập 1, 2, 6,8 có cách chọn, xếp a, b suy có 4.2!  số lập TH2: Với c  2;6;8 có cách chọn +) Với a  b có cách chọn nên có 3.4  12 số +) Với b  a  nên a có cách chọn nên có 3.3  số Vậy có tổng cộng  12   29 số b) Số cần lập có dạng abcd số lẻ ln có mặt chữ số Chọn d  1,5 có cách chọn TH1: Nếu a  bc có A42  12 cách lập nên có 2.12  24 số TH2: Nếu b  a có cách chọn c có cách chọn nên có 3.3  số TH3: Nếu c  hoàn toàn tương tự trường hợp ta có số thỏa mãn Vậy có tổng cộng 24    42 số thỏa mãn Ví dụ Cho chữ số 0,1,3,4,5,7 Từ chữ số lập số a) Có chữ số đơi khác nhau,ln có mặt chữ số chia hết cho b) Có chữ số đơi khác nhau, số chẵn ln có mặt chữ số Lời giải: Trang a) Xét số có chữ số dạng abc chia hết cho TH1: Nếu c  ab có A52  20 cách chọn suy có 20 số TH2: Nếu c  a  1;3; 4; 7 có cách chọn b có cách chọn suy có 4.4  16 số Do có 36 số Xét số có chữ số dạng abc chia hết cho khơng có mặt chữ số TH1: Nếu c  ab có A42  cách chọn suy có số TH2: Nếu c  a  1; 4;7 có cách chọn b có cách chọn suy có 3.3  số Do có   15 số Vậy có 36  15  21 số thỏa mãn yêu cầu toán b)Xét số có chữ số khác dạng abcd số chẵn TH1: Nếu d  abc có A53 cách chọn nên có 60 số TH2: Nếu d  a  nên có cách chọn, bc có A42 cách chọn suy có A42  48 số Vậy có 60  48  108 số Xét số có chữ số khác dạng abcd số chẵn khơng có mặt chữ số TH1: Nếu d  abc có A43 cách chọn nên có 24 số TH2: Nếu d  a  nên có cách chọn, bc có A32 cách chọn suy A32  18 số Vậy có 24  18  42 số Do có 108  42  66 số có chữ số đôi khác nhau, số chẵn ln có mặt chữ số Ví dụ Cho chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số lập số a) Có chữ số đơi khác nhau, ln có mặt chữ số chia hết cho b) Có chữ số đơi khác nhau, ln có mặt chữ số 2, Lời giải: a) Số cần lập có dạng abc  a  b  c  3 Do số ln có mặt chữ số nên  a, b, c    6, 0, 3 ,  6,1,  ,  6, 2,  Bộ số  6, 0, 3 lập 2.2.1  số Các  6,1,   6, 2,  lập 3!  số Do có  6.2  16 số thỏa mãn yêu cầu b) Số có chữ số đôi khác dạng abcd Các số thỏa mãn yêu cầu  2;3;0;1 ,  2;3;0;  ,  2;3; 0;  ,  2;3;1;  ,  2;3;1;6   2;3; 4;6  Các số  2;3; 0;1 ,  2;3; 0;  ,  2;3;0;  có 3.3.2.1  18 số Các số  2;3;1;  ,  2;3;1;6   2;3; 4;6  có 4!  24 số Vậy có tổng cộng 18.3  24.3  126 số Ví dụ Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, Từ chữ số lập số Trang a) Có chữ số đôi khác nhau, số lẻ khơng có mặt chữ số b) Có chữ số đơi khác nhau, ln có mặt chữ số 1, Lời giải: a) Số cần lập có dạng abc a, b, c  1, 2,3,5, 6 Số cần lập số lẻ nên c  1;3;5 có cách chọn, a, b có cách chọn Do có tổng cộng 3.4.3  36 số b) Chọn thêm số từ tập 2;3; 4;5 có C42  cách chọn Từ số chọn thêm số 1, ta lập 4!  24 số có chữ số Do có C42 24  144 số Ví dụ 10 Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 Lập số tự nhiên có chữ số khơng chia hết cho 5, đó: a) Các chữ số trùng b) Các chữ số phải khác Lời giải: Gọi số cần lập abcde a) Ta có e có cách chọn, a có cách chọn, số b, c, d có 10 cách chọn Do có tổng cộng 8.9.10.10.10  72000 số thỏa mãn b) Ta có e có cách chọn, với cách chọn e có cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Vậy có 8.8.8.7.6  21504 số thỏa mãn Ví dụ 11 Cho tập hợp A  1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Lập số tự nhiên có chữ số khác đó: a) Tích chữ số số lẻ b) Tích chữ số chia hết cho 10 Lời giải: Gọi số cần lập abc a) Bộ số có tích chữ số số lẻ là: 1;3;5  ; 1;3;  , 1;3;9  ;  3;5;7  ;  3;5;9  ;  5;7;9  Do có tổng cộng: 6.3!  36 số b) Tích chữ số chia hết cho 10 phải có mặt chữ số số chia hết cho  TH1: số có số chẵn có: C42 3!  36 số  TH2: số có chữ số chẵn có: C41 C41 3!  96 số Do có tổng số 36  96  132 số Ví dụ 12 Cho tập hợp A  1; 2;3; 4;5; 6 Lập số tự nhiên lẻ có chữ số khác thỏa mãn: a) Không bắt đầu 456 b) Số tận không Trang Lời giải: Số lập có dạng abcdef a) Số số lẻ có chữ số khác là: 3.5.5.4.3.2  1800 số Số số lẻ có chữ số khác bắt đầu 456 là: 1.2.3.2  số Do có tổng cộng 1800   1794 số thỏa mãn b) Số số lẻ có chữ số khác có tận số là: 1.5.5.4.3.2  600 số Do có 1800  600  1200 số thỏa mãn Ví dụ 13 Từ chữ số 0; 4; 5; 7; lập số tự nhiên: a) Là số lẻ, có chữ số nhỏ 5000 b) Lớn 3000 chữ số đôi khác Lời giải: a) Số lập có dạng abcd Có cách chọn d  5;7 Khi có cách chọn a  4, b có cách chọn c có cách chọn Do có 2.1.5.5  50 số b) Chọn a có cách chọn, với cách chọn a có cách chọn b, cách chọn c cách chọn d Do có 4.4.3.2  96 số Ví dụ 14 Có số tự nhiên gồm chữ số cho: a) Chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần b) Chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số cịn lại có mặt khơng q lần Lời giải: a) Trường hợp chữ số 0, chọn vị trí cho số vị trí cho số khác ta có A53 A82 cách Trường hợp có chữ số ta A63 A83 cách suy có A63 A83  A53 A82  36960 b) Trường hợp chữ số 0, chọn vị trí cho số 3; vị trí cho số vị trí cịn lại cho số khác ta có A62 A43 số Trường hợp chữ số ta có A52 A33 số, dẫn đến có A62 A43  A53 A33  5640 số Ví dụ 15 Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5; 6 Lập số tự nhiên có chữ số khác cho: a) Số có tổng chữ số b) Số có tổng chữ số hàng chục hàng trăm Lời giải: a) Các khả xảy để tổng gồm  0;1;  ;  0; 2;3 Tính số đầu ta có 3!.2 cách, riêng trường hợp số đầu ta có 2!2! cách, suy có số b) Các khả xảy gồm  5;0; a  , (4;1; a), 1; 4; a  ,  3; 2; a  ,  2;3; a  Từng trường hợp số a có 5; 5; 5; 5; cách nên tổng cộng thu 25 số Ví dụ 16 Cho tập hợp A  1; 2;3; 4;5; 6; 7;8;9 Lập số tự nhiên có chữ số khác Trang cho: a) Số có tổng chữ số b) Số có tổng chữ số lớn 235 Lời giải: a) Các khả xảy để tổng gồm có  0;1;  ,  0; 2;6  ,  0;3;5  , 1; 2;5  , 1;3;  Tổng khả 3!.4, trường hợp chữ số đầu ta có 2! 2! 2! nên thu 18 số b) Khả 23a 24a a khơng tồn tại, ta thu 251 260 Xét khả 3ab ta có  a; b    0;5 , 1;  Xét khả 4ab ta có  a; b   1;3 Xét khả 5ab ta có  a; b    0;3 , 1;  Xét khả 6ab ta có  a; b    2;0  7ab ta có  a; b   1;  Thực hoán vị khả ta 2!.7 tức 14 số Ví dụ 17 Từ chữ số 0, 1, 2, 5, 6, 7, lập số có bốn chữ số khác thỏa mãn a) Số khơng có tận b) Số chia hết cho Lời giải: Gọi số có chữ số khác abcd  a   a) Do d  nên ta chia làm trường hợp sau: TH1: d  suy có: 6.5.4  120 số thỏa mãn TH2: Với d  1; 2;5; 7;8 có cách chọn d, có cách chọn a, cách chọn b cách chọn c có 5.5.5.4  500 số Theo quy tắc cộng có 120  500  620 số b) Số chia hết d  0;5 TH1: d  suy có: 6.5.4  120 số thỏa mãn TH2: d  suy có: 5.5.4  100 số thỏa mãn Theo quy tắc cộng có 120  100  220 số Ví dụ 18 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số có bốn chữ số khác phải có chữ số 2? Lời giải: Số có chữ số có dạng abcd  a   Có 7.7.6.5  1470 số có chữ số lập từ số Có 6.6.5.4  720 số có chữ số khơng có mặt chữ số lập từ chữ số Do có 1470  720  750 số có chữ số khác ln có mặt chữ số Ví dụ 19 Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Có thể lập số có chữ số khác cho Trang a) Ln có mặt chữ số b) Số tạo thành nhỏ 4000 Lời giải: a) Số có chữ số có dạng abcd  a   Có 7.7.6.5  1470 số có chữ số lập từ số Có 6.6.5.4  720 số có chữ số khơng có mặt chữ số lập từ chữ số Do có 1470  720  750 số có chữ số khác ln có mặt chữ số b) Số tạo thành nhỏ 4000 nên a  1; 2;3 có cách chọn, số b, c, d có 7, 6, cách chọn nên theo quy tắc nhân có 3.7.6.5  630 số Ví dụ 20 Có số tự nhiên lẻ có năm chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước Lời giải: Số cần lập có dạng a1a2 a3 a4 a5 a5 lẻ a1  a1  a2  a3  a4  a5 Rõ ràng a5  TH1: a5  có số 12345 TH2: Nếu a5  a1 , a2 , a3 , a4  1, 2,3, 4,5, 6 chọn số ta số thỏa mãn yêu cầu nên trường hợp có C64 số TH3: Nếu a5  a1 , a2 , a3 , a4  1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8 chọn số ta số thỏa mãn yêu cầu nên trường hợp có C84 Vậy theo quy tắc cộng có  C64  C84  86 số Ví dụ 21 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, a) Có thể lập số chẵn có năm chữ số khác nhau? b) Có thể lập số lẻ có ba chữ số khác nhỏ 400? Lời giải: a) Số cần lập có dạng abcde  a   , số cần lập số chẵn nên e số chẵn  TH1: e  có 6.5.4.3  360 cách lập số abcd  TH2: e  2; 4;6 có 5.5.4.3  300 cách lập số abcd nên có 3.300  900 số Theo quy tắc cộng có 360  900  1260 số b) Số cần lập có dạng abc  a    TH1: Nếu a   c  1;3;5 b có cách chọn nên trường hợp có 3.5  15 số  TH2: Nếu a  1;3  c  1;3;5 \ a b có cách chọn nên trường hợp có 2.2.5  20 số Vậy theo quy tắc cộng có 15  20  35 số Ví dụ 22 Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? Trang 10 gt Do số tam giác vng n  2n     n  2n    112  n  Chọn C Ví dụ 12 Cho đa giác có 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên đỉnh đa giác đều, số tam giác tạo thành tam giác vuông vuông cân bao nhiêu? Lời giải:  Số tam giác vuông: n  2n    10.18  180  Số tam giác vuông cân: Cứ cách chọn đường kính có tam giác cân (2 điểm tạo nên tam giác cân giao điểm đường thẳng qua tam vng góc với đường kính chọn với đường trịn) Do có 10.2 tam giác vuông cân  Số tam giác vuông không vng cân là: 180  20  160 Ví dụ 13 Cho đa giác có 15 đỉnh Số tam giác có đỉnh chọn 15 đỉnh đa giác có đặc điểm tam giác cân tam giác bao nhiêu? Lời giải:  Đánh số đỉnh đa giác A1; A2 ; A15  Cố định đỉnh, giả sử đỉnh A1 , có tam giác cân nhận A1 làm đỉnh A1 A2 A15 ; A1 A3 A14 ; A1 A4 A13 ; A1 A5 A12 ; A1 A8 A9 (cách nhớ tổng số đỉnh lại 17), dễ thấy có tam giác Hốn vị đỉnh số tam giác cân 15.7  105  Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác 15  tam giác  Tuy nhiên, tam giác cân xác định có tam giác đều, tam giác cân đỉnh nên tam giác đếm lần Do số tam giác thỏa mãn yêu cầu toán 105  15  90 Chú ý: Qua tốn ta mở rộng sau: Cho đa giác có 3n đỉnh (n số lẻ) - Số tam giác cân có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác 3n 3n  - Số tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác n - Số tam giác cân khơng có đỉnh lấy từ đỉnh đa giác 3n 3n  n Ví dụ 14 Cho đa giác 100 đỉnh nội tiếp đường tròn Số tam giác tù tạo thành từ 100 đỉnh đa giác A 44100 B 58800 C 78400 D 117600 Lời giải: Cách 1: Đánh số đỉnh A1 , A2 , , A100 Xét đường chéo A1 A51 đa giác đường kính đường trịn ngoại tiếp đa giác chia đường tròn làm hai phần, phần có 49 điểm: từ A2 đến A50 A52 đến A100 Trang 26 Khi đó, tam giác có dạng A1 Ai A j tam giác tù Ai Aj nằm nửa đường trịn  Chọn nửa đường trịn: có cách chọn  Chọn hai điểm Ai , Aj hai điểm tùy ý lấy từ 49 điểm A2 , A3 , , A50 có C492  1176 cách chọn Giả sử Ai nằm A1 Aj tam giác A1 Ai A j tù đỉnh Ai Mà Aj Ai A1  A1 Ai Aj nên kết bị lặp hai lần  Có 100 cách chọn đỉnh Vậy số tam giác tù 2.1176.100  117600 Chọn D Cách 2: Áp dụng công thức giải nhanh ta có n.C n2  100.C492  117600 Ví dụ 15 Cho đa giác có 20 đỉnh Có tứ giác tạo thành mà có đỉnh đỉnh đa giác có cạnh chung với đa giác? Lời giải: n  20 Áp dụng công thức giải nhanh: n Cn2   n      2100 Chọn B Ví dụ 16 Cho đa giác có 20 cạnh Có hình chữ nhật tạo thành khơng phải hình vng, có đỉnh đỉnh đa giác cho? Lời giải:  Số hình chữ nhật tạo thành (bao gồm hình vng) C102  45  Số hình vng tạo thành 20 5 Vậy số hình chữ nhật thỏa mãn u cầu tốn 45   40 Chọn B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết việc cơng bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi có kết có thể? A 94109040 B 94109400 C 94104900 D 94410900 Câu Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết việc cơng bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi có kết biết người giữ vé số 47 giải nhất? A 944109 B 941409 C 941094 D 941049 Trang 27 Câu Trong hội cuối năm quan, ban tổ chức phát 100 vé xổ số đánh từ đến 100 cho 100 người Xổ số có giải: giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Kết việc cơng bố trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư Hỏi có kết biết người giữ vé số 47 trúng bốn giải? A 3766437 B 3764637 C 3764367 D 3764376 Câu Một túi đựng bi trắng, bi xanh Lấy viên bi từ túi Hỏi có bao nhêu cách lấy mà viên bi lấy có đủ màu A 300 B 310 C 320 D 330 Câu Một nhóm học sinh có bạn nam bạn nữ Hỏi có cách chọn học sinh có nam nữ? A 455 B C 456 D 462 Câu Để chào mừng kỷ niệm thành lập Đồn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trường tổ chức cho học sinh cắm trại Lớp 10A có 19 học sinh nam vầ 16 học sinh nữ Giáo viên cần chọn học sinh để trang trí trại Hỏi có cách chọn học sinh cho có học sinh nữ? Biết học sinh lớp có khả trang trí A C195 B C355  C195 C C355  C165 D C165 Câu Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn lượt, thắng điểm, hòa điểm, thua điểm Kết thúc giải đấu, tổng cộng điểm số tất 10 đội 130 Hỏi có trận hịa? A B C D Câu Một lớp học có 40 học sinh, có 25 nam 15 nữ Giáo viên cần chọn học sinh tham gia vệ sinh cơng cộng tồn trường.Hỏi có cách chọn học sinh có nhiều học sinh nam? A 2625 B 455 C 2300 D 3080 Câu Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10.Hỏi có cách chọn học sinh số học sinh giỏi cho khối có học sinh? A 85 B 58 C 508 D 805 Câu 10 Đội học sinh giỏi cấp trường môn tiếng Anh trường THPT X theo khối sau: khối 10 có học sinh, khối 11 có học sinh khối 12 có học sinh Nhà trường cần chọn đội tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh Tính số cách lập đội tuyển cho có học sinh khối có nhiều học sinh khối 10? A 50 B 500 C 502 D 501 Câu 11 Đội văn nghệ nhà trường gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B,và học sinh lớp 12C Cần chọn ngẫu nhiên học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn lễ bế giảng Hỏi có cách chọn cho lớp có học sinh chọn có học sinh lớp 12A? A 80 B 78 C 76 D 98 Trang 28 Câu 12 Một hộp đựng viên bi màu đỏ, viên bi vàng viên bi màu xanh Hỏi có cách lấy viên bi số viên bi đỏ lớn số viên bi vàng? A 654 B 275 C 462 D 357 Câu 13 Trong kho đèn trang trí cịn bóng đèn loại I, bóng đèn loại II, bóng đèn khác màu sắc hình dáng Lấy bóng đèn Hỏi có khả xảy số bóng đèn loại I nhiều số bóng đèn loại II? A 246 B 3480 C 3360 D 245 Câu 14 Trong hộp có cầu đỏ cầu xanh kích thước giống Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Hỏi có khả lấy số cầu đỏ nhiều số cầu xanh? A 245 B 3480 C 246 D 3360 Câu 15 Cho hai dãy ghế xếp sau: Dãy Ghế số Ghế số Ghế số Ghế số Dãy Ghế số Ghế số Ghế số Ghế số Xếp bạn nam bạn nữ vào hai dãy ghế Hai người gọi ngồi đối diện với ngồi hai dãy có số ghế Có xếp để bạn nam ngồi đối diện với bạn nữ? A 4!4!24 B 4!4! C 4!2 D 4!4!2 Câu 16 Một hộp có viên bi xanh, viên bi đỏ viên bi vàng Hỏi có cách chọn ngẫu nhiên viên bi cho có đủ ba màu? A 840 B 3843 C 2163 D 3003 Câu 17 Xếp bạn học sinh lớp A, bạn học sinh lớp B, bạn học sinh lớp C thành hàng dọc Số cách xếp cho hai bạn học sinh lớp không đứng liền A 72 B 120 C 186 D 160 Câu 18 Từ số tự nhiên 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên không chia hết cho gồm chữ số đôi khác nhau? A 120 B 54 C 72 D 69 Câu 19 Cho tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5;6 Từ A lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác nhỏ 4012? A 180 B 240 C 200 D 220 Câu 20 Với chữ số 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có năm chữ số đơi khác có hai chữ số 3, khơng đứng cạnh A 82 B 120 C 96 D 72 Câu 21 Có chữ số có chữ số khác khác mà số ln ln có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ? A 4!C41C51 B 3!C42C52 C 4!C42C52 D 3!C42C52 Trang 29 Câu 22 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, lập số tự nhiên chẵn có chữ số khác cho số có chứa hai chữ số 3, đồng thời hai chữ số đứng cạnh nhau? A 20 B 16 C 14 D 18 Câu 23 Lập số tự nhiên có 10 chữ số từ số cho khơng có số đứng cạnh nhau? A 54 B 51 C 59 D 55 Câu 24 Từ chữ số tập hợp A  0;1; 2;3; 4;5 lập số tự nhiên chẵn có năm chữ số chữ số đôi phân biệt? A 405 B 624 C 312 D 522 Câu 25 Có số tự nhiên có chữ số khác cho số có chữ số xuất hai lần, chữ số cịn lại xuất khơng q lần? A 3888 B 3672 C 1512 D 1944 Câu 26  Cho tập hợp S  1; 2;3; 4;5;6 Gọi M tập hợp số tự nhiên có chữ số đơi khác lấy từ S cho tổng chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm lớn tổng chữ số hàng cịn lại đơn vị Tính tổng T phần tử tập hợp M A T  11.003.984 B T  36.011.952 C T  12.003.984 D T  18.005.967 Câu 27 Biển số xe máy tỉnh K gồm dòng Dòng thứ 68XY, X 24 chữ cái, Y 20 chữ số Dòng thứ abc.de, a, b, c, d, e chữ số Biển số xe cho đẹp dòng thứ có tổng chữ số tận có chữ số giống Hỏi có cách chọn biển số biển đẹp để đem bán đấu giá? A 71994000 B 4663440 C 143988000 D 12000 Câu 28  Có số tự nhiên có chữ số abcde thỏa mãn a  b  c  d  e a  b  c  d  e? A 30240 B 15120 C 3279 D 3280 Câu 29 Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt là? A 10 B 20 C 18 D 22 Câu 30 Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt A 50 B 100 C 120 D 45 C 35 D Một số khác Câu 31 Với đa giác lồi 10 cạnh số đường chéo A 90 B 45 Câu 32 Cho đa giác n đỉnh, n  N n  Tìm n biết đa giác cho 135 đường chéo A n  15 B n  27 C n  D n  18 Câu 33 Cho 10 điểm đường trịn Có véc tơ khác véc tơ không tạo nên từ 10 điểm trên? A 20 B 45 C 90 D 30 Trang 30 Câu 34 Cho đa giác 2n đỉnh  n  2, n  N  Tìm n biết số hình chữ nhật tạo từ bốn đỉnh số 2n đỉnh đa giác 45 A n  12 B n  45 C n  D n  10 Câu 35 Cho 15 điểm phân biệt nằm đường trịn Số tam giác có đỉnh ba số 15 điểm cho A 15! B 153 C C153 D A153 Câu 36 Cho hai đường thẳng song song d1 d Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, d lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác mà có đỉnh chọn từ 37 điểm A 5690 B 5960 C 5950 D 5590 Câu 37 Cho hai đường thẳng song song d1 , d song song với Trên d1 có 10 điểm phân biệt, d có điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho? A 360 B 280 C 153 D 640 Câu 38 Trong mặt phẳng có hình chữ nhật tạo thành từ đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song đó? A 60 B 48 C 20 D 36 Câu 39 Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt Hỏi có đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P? A 2018! 2016! B 2016! 2! C 2018! 2! D 2018! 2016!.2! Câu 40 Cho 10 điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có đường thẳng khác tạo 10 điểm nói trên? A 90 B 20 C 45 D Một số khác Câu 41 Trong mặt phẳng, cho điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho? A 15 B 20 C 60 D Một số khác Câu 42 Cho 10 điểm phân biệt A1 A2 A3 , , A10 có điểm A1 , A2 , A3 , A4 thẳng hàng, ngồi khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh lấy 10 điểm trên? A 96 tam giác B 60 tam giác C 116 tam giác D 80 tam giác Câu 43 Cho mặt phẳng chứa đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H Hỏi có tam giác có cạnh H ? A 1440 B 320 C 1120 D 816 Câu 44 Cho đa giác A1 A2 A3 , A10 nối tiếp đường trịn (O) Tính số hình chữ nhật có đỉnh 30 đỉnh đa giác A 106 B 105 C 246 D 3360 Trang 31 Câu 45 Cho đường trịn tâm O có 12 điểm phân biệt Từ điểm cho tạo tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O ? A B C124 C 4! D A124 Câu 46 Cho đa giác lồi  H  có 10 cạnh Hỏi có tam giác mà ba đỉnh ba đỉnh  H  ba cạnh ba cạnh  H  ? A 40 B 100 C 60 D 50 Câu 47 Một châu chấu nhảy từ gốc tọa độ A  9;0  dọc theo trục Ox hệ trục tọa độ Oxy Hỏi châu chấu có cách nhảy để đến điểm A, biết lần nhảy bước bước (1 bước có độ dài đơn vị)? A 47 B 51 C 55 D 54 Câu 48 Cho tứ giác ABCD Trên cạnh AB, BC, CA, AD lấy 3; 4; 5; điểm phân biệt khác điểm A, B, C, D cho ba điểm ba cạnh khơng thẳng hàng Số tam giác phân biệt có đỉnh điểm vừa lấy A 781 B 624 C 816 D 342 Câu 49 Cho đa giác 10 cạnh nội tiếp đường trịn (O) Hỏi có hình thang cân có bốn đỉnh đỉnh đa giác đó? A 80 B 70 C 105 D 210 Trang 32 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1-B 2-C 3-D 4-B 5-A 6-B 7-A 8-D 9-D 10-B 11-B 12-B 13-D 14-C 15-A 16-C 17-A 18-B 19-D 20-D 21-C 22-B 23-B 24-B 25-A 26-B 27-A 28-C 29-B 30-D 31-C 32-D 33-C 34-D 35-C 36C- 37-D 38-A 39-D 40-C 41-B 42-C 43-B 44-B 45-B 46-D 47-C 48-A 49-B Câu 1: Mỗi kết ứng với chỉnh hợp chập 100 phần tử, ta có: A100  94109400 kết Chọn B Câu 2: Vì người giữ vé số 47 trúng giải nên kết ứng với chỉnh hợp chập 99 phần tử, ta có: A993  941094 Chọn C Câu 3: Nếu người giữ vé số 47 trúng bốn giải thì:  Người giữ vé số 47 có cách chọn giải  Ba giải lại ứng với chỉnh hợp chập 99 phần tử, ta có A993  941094 cách Vậy số kết  A993   941094  3764376 Chọn D Câu 4: Để lấy viên bi có đủ màu ta xét trường hợp sau TH1: viên bi trắng viên bi xanh có: C61 C53 TH2: viên bi trắng viên bi xanh có: C62 C52 TH3: viên bi trắng viên bi xanh có: C63 C51 Vậy theo quy tắc cộng có C61 C53  C62 C52  C63 C51  310 cách Chọn B Câu 5: Chọn học sinh 11 học sinh có C115 cách Chọn học sinh tất học sinh nam có C65 Chọn học sinh tất học sinh nữ có C55 Do có C115  C65  C55  455 cách chọn học sinh có nam nữ Chọn A Câu 6: Chọn học sinh 35 học sinh có C355 cách Chọn học sinh cho khơng có học sinh nữ (tức tất học sinh nam) có C195 cách Vậy có C355  C195 cách học sinh cho có học sinh nữ Chọn B Câu 7: Gọi x số trận thắng; y số trận hòa (x, y số nguyên dương)  10 đội đá vòng tròn có C102  45 trận đấu  x  y  45 (1)  Với trận thắng có điểm; trận hịa có điểm  x  y  130 (2)   x  40 Từ (1), (2) suy  3xxy2y 45  130  y  Vậy có tất trận hòa Chọn A Trang 33 Câu 8: Ta xét trường hợp sau: TH1: học sinh chọn có học sinh nam học sinh nữ có: C25 C152 cách chọn TH2: học sinh chọn khơng có học sinh nam có học sinh nữ có: C25 C153 cách chọn Vậy theo quy tắc cộng có C25 C152  C25 C153  3080 cách chọn Chọn D Câu 9: Chọn học sinh có C126 cách chọn Số cách chọn học sinh giỏi từ lớp 12 11 có C76 Số cách chọn học sinh giỏi từ lớp 11 10 có C96 Số cách chọn học sinh giỏi từ lớp 12 10 có C86 Suy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu C126  C76  C96  C86  805 Chọn D Câu 10: TH1: Có học sinh khối 10 có: 5.1.C54  5.C54  50 cách TH2: Có học sinh khối 10 có: C52 C53 C55  C52 C54 C54  C52 C55 C53  450 Vậy theo quy tắc cộng có 50  450  500 cách Chọn B Câu 11: TH1: Có học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C có C42 C32 C21 cách TH2: Có học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C có C42 C31.C22 cách TH3: Có học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C có C43 C31.C21 cách Theo quy tắc cộng có: C42 C32 C21  C42 C31.C22  C43 C31.C21  78 cách Chọn B Câu 12: Các trường hợp để chọn viên bi số bi đỏ lớn số bi vàng TH1: Cả viên bi màu đỏ có C54 cách TH2: Trong viên bi chọn có bi đỏ bi xanh số cách là: C51.C43 cách chọn TH3: Trong viên bi chọn có bi đỏ bi xanh số cách là: C53 C41 cách chọn TH4: Trong viên bi chọn có bi đỏ bi vàng số cách là: C53 C31 cách chọn TH5: Trong viên bi chọn có bi đỏ bi xanh số cách là: C52 C42 cách chọn TH6: Trong viên bi chọn có bi đỏ bi vàng bi xanh số cách là: C52 C31.C41 cách chọn Vậy có C54  C51.C43  C53 C41  C53 C31  C52 C42  C52 C31.C41  275 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 13: TH1: bóng đèn loại I bóng đèn loại II  có C53 C72  210 cách TH2: bóng đèn loại I bóng đèn loại II  có C54 C71  35 cách Trang 34 TH3: bóng đèn loại I  có C55  cách Vậy có tất 210  35   246 cách Chọn D Câu 14: TH1: cầu đỏ cầu xanh  có C53 C72  210 cách TH2: cầu đỏ cầu xanh  có C54 C71  35 cách TH3: cầu đỏ  có C55  cách Vậy có tất 210  35   246 cách Chọn C Câu 15: Chọn vị trí vị trí đối xứng có cách chọn, có 24 cách chọn ghế cho bạn nam bạn nam đổi chỗ cho nên có 4! cách xếp Vậy có 4!.4!.24 cách xếp để bạn nam ngồi đối diện với bạn nữ Chọn A Câu 16: Số cách chọn viên bi hộp C155 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu vàng C115 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu đỏ C105 cách Số cách chọn viên bi mà khơng có viên bi màu xanh C95 cách Vậy có C155   C115  C105  C95   2163 cách chọn thỏa mãn yêu cầu toán Chọn C Câu 17: TH1: Xếp học sinh lớp A vào vị trí 1; 3; sau: Sau học sinh hai lớp B lớp C xếp vào vị trí cịn lại   có tất 3!.3!  36 cách xếp thỏa mãn toán TH2: Xếp học sinh lớp A vào vị trí 2; 4; sau: Sau học sinh hai lớp B lớp C xếp vào vị trí cịn lại   có tất 3!.3!  36 cách xếp thỏa mãn tốn Vậy có tất 36  36  72 cách xếp Chọn A Câu 18: Số thỏa mãn điều kiện đề abcd Vì số không chia hết d  1; 2;3 có cách chọn Do a  nên a có cách chọn, b, c có cách chọn cách chọn Vậy có 3.3.3.2  54 số Chọn B Câu 19: Gọi số cần tìm có dạng: abcd mà abcd  4012  a  TH1: Nếu a  1, số số chẵn lập 1.4 A52  80 TH2: Nếu a  2, số số chẵn lập 1.3 A52  60 Trang 35 TH3: Nếu a  3, số số chẵn lập 1.4 A52  80 Vậy có tất 80  60  80  220 số cần tìm Chọn D Câu 20: Số cách lập số tự nhiên có chữ số đơi khác A55 cách Xét trường hợp chữ số đứng cạnh nhau, xếp số có cách Xếp số số cịn lại thành dãy có 4! cách Vậy có 2.4! cách lập số có chữ số đôi khác mà đứng cạnh Do có A55  2.4!  72 số thỏa mãn Chọn D Câu 21: Chọn số lẻ số lẻ   có C52 cách Chọn số chẵn số chẵn   có C42 cách Và số chọn hoán vị cho  có tất 4!C42C52 số cần tìm Chọn C Câu 22: TH1: Số có dạng ab32 có 2.2.1  số TH2: Số có dạng a320 a 230 có 2.2  số TH3: Số có dạng a324 a 234 có số TH4: Số có dạng 32ab 23ab có 2.2.2  số Vậy có     16 số Chọn B Câu 23: Vì khơng có chữ số đứng cạnh nên có chữ số TH1: Có chữ số chữ số có số 1010101010 TH2: Có chữ số chữ số 1: Xét chữ chữ đầu có cách, xếp chữ số lại vào vị trí xen kẽ chữ số cịn lại có C63 cách Vậy trường hợp có C63 số TH3: Có chữ số chữ số có: C72 cách TH4: Có chữ số chữ số có: C81 cách TH5: Có chữ số chữ số có số 1000000000 Vậy có tổng cộng  C63  C72  C81   51 số Chọn B Câu 24: Số chẵn có chữ số có dạng abcde TH1: Với e  có A54 cách lập TH2: Với e  2; 4  4.4.3.2   192 cách lập Số chẵn có chữ số có dạng abcdef TH1: Với e  có A55 cách lập TH2: Với e  2; 4 có  4.4.3.2.1  192 cách lập Vậy có tổng cộng A54  192  A55  192  624 số Chọn B Trang 36 Câu 25: TH1: Nếu chữ số lặp 0, có C32 cách chọn vị trí chữ số lặp A92 cách chọn chữ số lại suy 216 số TH2: Nếu chữ số lặp không C91 cách chọn chữ số lặp C42 cách chọn vị trí cho chữ số lặp A92 cách chọn cho chữ số lại Suy có C91.C92 A92  C91.C32 C81  3672 số (trừ số có chữ số đứng đầu) Vậy có 3672  216  3888 số Chọn A Câu 26: Gọi số tự nhiên thỏa mãn điều kiện abcdef với a, b, c, d , e, f  S Do u cầu tốn nên ta có a  b  c  9, d  e  f  12  a; b; c  1; 2;6  ; 1;3;5 ;  2;3;   d ; e; f    3; 4;5 ;  2; 4;6  ; 1;5;  tương ứng Xét hai 1; 2;6   3; 4;5  ta lập 3!.3!  36 số, chữ số 1,2,6 có mặt hàng trăm nghìn 36 :  12 lần, hàng chục nghìn 12 lần, hàng nghìn 12 lần chữ số 3,4,5 có mặt hàng trăm, chục, đơn vị 12 lần Tổng số trường hợp 12 1   105  12 1   10  12 1    103  12 1    102  12 1    10  12 1     12003984 Tương tự hai cặp lại ta có tổng số 12003984 Vậy tổng phần tử M 3.12003984  36011952 Chọn B Câu 27: Chọn X từ 24 chữ chọn Y từ 10 chữ số, ta có 24.10  240 (cách chọn) Chọn chữ số giống từ chữ số ta có 10 cách chọn Mỗi gồm chữ số giống nhau, ta có cách chọn chữ số lại để tổng số số có chữ số tận 8, chẳng hạn: chữ số 0, chữ số lại 8; chữ số 1, chữ số lại 4;…; chữ số 9, chữ số lại 2) Sắp xếp chữ số vừa chọn có cách xếp Do có tất 10.5=50 (cách chọn số dịng thứ hai) Suy có tất 240.50  12000 (biển số đẹp) Chọn biển số biển số “đẹp” ta có C12000  71994000 (cách) Chọn A Câu 28*: Điều kiện 1: a  b  c  d  e a  nên a, b, c, d , e  1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8, 9 TH1: Nếu a  b  c  d  e có C95 số TH2: Có dấu có C41 cách chọn dấu có C94 cách chọn số TH3: Có dấu có C42 cách chọn dấu có C93 cách chọn số TH4: Có dấu có C43 cách chọn dấu có C92 cách chọn số TH5: Có dấu có C44 cách chọn dấu có C91 cách chọn số Trang 37 Vậy điều kiện có C95  C41 C94  C42 C93  C43 C92  C44 C91  1287 số Tương tự điều kiện có: C105  C41 C104  C42 C103  C43 C102  1992 số (loại trường hợp số trùng điều kiện 1) Vậy có 1992  1287  3279 số Chọn C Câu 29: Chọn đường có C52 cách chọn Mỗi đường trịn có tối đa giao điểm nên số giao điểm tối đa 2C52  20 Chọn B Câu 30: Chọn đường thẳng có C102 cách chọn Hai đường thẳng có tối đa giao điểm số giao điểm tối đa C102  45 Chọn D Câu 31: Chọn cạnh có C102  45 Trừ số cạnh đa giác ta C102  10  35 đường chéo Chọn C Câu 32: Số đường chéo đa giác n đỉnh Cn2  n Theo giả thiết tốn ta có: Cn2  n  135   n!  n  135 2!.( n  2)! n  n  1 n 3n  n  135    135   n  18 Chọn D 2 Câu 33: Vecto phân biệt điểm đầu điểm cuối Số vecto tạo thành từ 10 điểm A102  90 Chọn C Câu 34: Đa giác có 2n đỉnh có n đường chéo qua tâm, chọn đường chéo ta hình chữ nhật Số hình chữ nhật Cn2  45  n  n  1 n!  45   45  n  n  90  (n  2)!.2!  n  10 Chọn D Câu 35: Số tam giác có đỉnh ba đỉnh số 15 điểm cho C153 Chọn C Câu 36: Chọn điểm từ 37 điểm có C373 cách chọn Số điểm thẳng hàng đường thẳng d1 C173 Số điểm thẳng hàng đường thằng d C20 Do số tam giác tạo thành C373  C173  C20  5950 Chọn C Câu 37: Chọn điểm từ 18 điểm có C183 cách chọn Số điểm thẳng hàng đường thẳng d1 C103 Số điểm thẳng hàng đường thằng d C83 Trang 38 Do số tam giác tạo thành C183  C103  C83  640 Chọn D Câu 38: Với cạnh chọn đường thẳng đường thẳng song song đường thẳng đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng ta hình chữ nhật Do số hình chữ nhật tạo thành C42 C52  60 Chọn A Câu 39: Chọn điểm từ 2018 điểm phân biệt ta đoạn thẳng Số đoạn thẳng tạo thành C2018  2018! Chọn D 2!.2016! Câu 40: Chọn điểm từ 10 điểm ta đường thẳng Số đường thẳng tạo thành C102  45 Chọn C Câu 41: Chọn điểm điểm ta tam giác Số tam giác tạo thành C63  20 tam giác Chọn B Câu 42: Chọn điểm từ 10 điểm có C103 cách chọn Chọn điểm thẳng hàng từ diểm A1 , A2 , A3 , A4 có C43 cách chọn Số tam giác tạo thành C103  C43  116 tam giác Chọn C Câu 43: Chọn cạnh hình H có 20 cách Chọn đỉnh khơng kề đỉnh có 16 cách chọn Do số tam giác tạo thành có cạnh H 20.16  320 tam giác Chọn B Câu 44: Đa giác 30 cạnh có 15 đường chéo qua tâm Chọn đường chéo qua tâm ta hình chữ nhật Số hình chữ nhật tạo thành C152  105 Chọn B Câu 45: Chọn điểm từ 12 điểm nói ta tứ giác nối tiếp đường trịn tâm (O) Do số tứ giác nội tiếp đường tròn C124 Chọn B Câu 46: Chọn cạnh hình H có 10 cách Chọn đỉnh không kề đỉnh có cách chọn Do số tam giác tạo thành có cạnh H 10.6  60 tam giác Số tam giác có cạnh cạnh H 10 tam giác Chọn điểm có C103 cách suy số tam giác thỏa mãn yêu cầu toán C103  60  10  50 Chọn D Câu 47: Xét phương trình x  y  với x số lần nhảy bước, y số lần nhảy bước Phương trình có nghiệm  x; y   0;9  , 1;  ,  2;5  ,  3;3 ,  4;1 Với nghiệm  x; y  trên, ta xem cách nhảy châu chấu hoán vị x số y số Vì x số giống y số giống nên số cách nhảy tương ứng  x  y ! x ! y !  Cxx y Trang 39 Số cách để châu chấu nhảy từ O đến A là: C90  C81  C72  C63  C54  55 Chọn C Câu 48: Chọn điểm từ 18 điểm có C183 cách chọn Chọn điểm thẳng hàng cạnh AB, BC, CA, AD có C33  C43  C53  C63 cách chọn Do có C183   C33  C43  C53  C63   781 tam giác Chọn A Câu 49: Gọi d trục đối xứng hình thang cân Xét trường hợp  TH1: d qua đỉnh đa giác: Có cách chọn d số hình thang cân tương ứng với trục đối xứng C42  TH2: d vng góc với cạnh đối: có cách Số hình thang cân tương ứng trục đối xứng C52 Lưu ý hình chữ nhật đếm lần (có C52 hình chữ nhật) Do số hình thang cân  C42  C52   C52  70 hình Chọn B Trang 40