cac chuyen de hoc tap mon toan 8 phan hinh hoc

TỨ GIÁC A Tóm tắt lý thuyết Tứ giác D B B A A C A C A B D a D b c B C C d D a) Định nghĩa: Tứ giác ABCD hình gồm đoạn thẳng AB, BC , CD, DA đoạn thẳng không nằm đường thẳng Ta có hình a), b), c) tứ giác Hình d) khơng tứ giác b) Tứ giác lồi: Là tứ giác nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng chứa cạnh tứ giác Ta có: Hình a) tứ giác lồi Hình b), c) khơng tứ giác lồi c) Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng thích thêm, ta hiểu tứ giác lồi Tổng góc tứ giác D a) Định lý: Tổng góc tứ giác 3600 GT Tứ giác ABCD KL   +C +D = A+ B 3600 C A B *) Chú ý: Để bốn góc cho trước thỏa mãn bốn góc tứ giác bốn góc có tổng 3600 - Bất đẳng thức đường gấp khúc: AB + BC + CD > AD - Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi bốn đỉnh tứ giác 3600 Góc ngồi tứ giác: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác B Bài tập dạng tốn Dạng 1: Tính số đo góc hình vẽ tứ giác Cách giải - Sử dụng định lý tổng bốn góc tứ giác - Tổng hai góc kề bù 1800 - Tổng ba góc tam giác 1800 - Trong tam giác vng hai góc nhọn phụ - Kết hợp kến thức tỷ lệ thức, tính chất dãy tỉ số nhau, toán tổng hiệu,… để tính số đo góc Bài 1: Tính x hình vẽ sau B 120° C 800° P x A 110° 65° S Q x x 95° D R Lời giải  a) Xét tứ giác ABCD , có: A + B + C + D = 3600 ⇒ 1100 + 1200 + 800 + = x 3600 ⇒ 3100 + = x 3600 ⇒ = x 500 Vậy x = 500 +N +P  +Q  3600 ⇒ x + x + 950 + 550 ⇒ 2= = x 2100 ⇒ = x 1050 b) Xét tứ giác MNPQ , có: M Vậy x = 1050 Bài 2: Tính x hình vẽ sau N M Q x P C  F x G E 65o H F Lời giải x 60o D 105o  E  +N +P  +Q = 3600 ⇒ 2700 + = x 3600 ⇒ = x 900 Hình a) Ta có: M +F  +G +H  Hình b) Ta có: E = 3600 ⇒ 650 + 1800 + = x 3600 ⇒ = x 1150  kề bù với 600 nên CDE  = 1200 DEF  = 750  kề bù với góc 1050 nên DEF Hình c) Ta có: CDE  = 900 FCD  + CDE  + DEF  += Mà FCD x 3600 ⇒ 900 + 1200 + 750 + = x 3600 ⇒ = x 750 Bài 3: Tính x hình vẽ sau C M 114° x 71° F D 90° 76° Hình a Q E E 96° 71° N 61° Hình b P x H x F 120° Hình c 120° G Lời giải  +E +F Hình a) Ta có: C + D = 3600 ⇒ 1140 + x + 760 + 71= 3600 ⇒ = x 990 = 3600 ⇒ 900 + 710 + P  + 61= = 1380 +N +P  +Q 3600 ⇒ P Hình b) Ta có: M  kề bù với góc x ⇒ x = Mà P 420  kề bù với 1200 nên G  = 600 Hình c) Ta có: G +F  +G  += Mà E x 3600 ⇒ 960 + 1200 + 600 + = x 3600 ⇒ = x 840 Bài 4: Góc kề bù với góc tứ giác gọi góc ngồi tứ giác a) Hãy tính góc ngồi tứ giác hình a) b) Tính tổng góc ngồi tứ giác Hình b) (tại đỉnh tứ giác chọn góc  +C +D = ngồi):  A1 + B ? 1 c) Có nhận xét tổng góc ngồi tứ giác? B C 120 A  B o o 75  A D D Hình a  C Hình b Lời giải  = 60o ,  = 90o , C  +C = 180o (hai góc kề bù) nên B 180o (hai góc kề bù) nên C a) B + B1 = 1 A +  A1 = 180o (hai góc kề bù) nên  A1 = 105o = = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) ⇒ D 75o +D =  = 105o 180o (hai góc kề bù) nên D Ta có: D 1  +C = +D = 180o (hai góc kề bù), D 180o (hai góc kề bù), C 180o (hai góc kề b) Ta có B + B1 = 1 180o (hai góc kề bù) A1 = bù), A +  o +B  +C  +C +D  +=  4.180 ⇒ A +  A1 + B D = 720o 1  +C +D = = A1 + B 360o Mà A + B + C + D 360o (định lý) ⇒  1 c) Nhận xét: Tổng góc ngồi tứ giác tổng góc tứ giác 360o Bài 5: Tính x, y hình vẽ sau G x K  74 o H y GH/ / IK 59o AD / /BC I Hình a) Hình b)  x D A 111o y B  C 50o Lời giải Hình a) Ta có: GH / / IK , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: x + 74o = 180o (hai góc phía) o ⇒= x 180o − 74= 106o y + 59o = 180o (hai góc phía) ⇒ y= 180o − 59o= 121o Hình b) Ta có: AD/ / BC , theo tính chất đường thẳng cắt hai đường thẳng song song ta có: y + 111o = 180o (hai góc phía) ⇒ y= 180o − 111o= 69o x = 50o (hai góc đồng vị) Bài 6:   80 = B = , D 1200 Góc ngồi Cho ◊ABCD có đỉnh C 1300 Tính góc A Lời giải  ⇒C = Ta có góc ngồi đỉnh C có số đo 130o kề bù với C 50o o = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý) ⇒  A + 800 + 50o + 120= 360o ⇒  A = 110o Dạng 2: Tính góc tứ giác biết mối quan hệ góc Cách giải - Thay liên hệ góc vào hệ thức “Tổng góc tứ giác 3600 ”  = m : n : p : q ( m, n, p, q số nguyên dương) - Nếu tứ giác ABCD biết A : B : C : D ⇒   C  D    +C +D  A B A+ B 3600 (tính chât dãy tỷ số nhau) = = = = = m n p q m+n+ p+q m+n+ p+q  Từ tính số đo góc A, B , C , D Bài 1:  = , B 900 Góc ngồi Cho ◊ABCD= có A 130 D  đỉnh C 1200 Tính góc D A 130° 120° B C Lời giải Ta có C2 = 1200 ⇒ C1= 600 = 3600 ⇔ 1300 + 900 + 600 + D = 3600 Xét ◊ABCD , có A + B + C1 + D = ⇒D 800 Bài 2:   70 , H , = E = , F 800 Tính G Cho ◊EFGH có G H −H = biết G 200 F E Lời giải  = 700 ; F  = 800 ⇒ G +H  = 3600 − 1500 = 2100 (1) Theo đầu ta có: E −H = Mà G 200 ( )  1150=  950 Từ (1)( ) ⇒= G ;H   115 = G = ; H 950 Vậy Bài 3:  Cho hình vẽ, tính P ; Q M 70° 2x Q x 80° N P Lời giải Áp dụng định lý tổng bốn góc tứ giác, ta có : +N +P  +Q = 3600 ⇔ 1500 + x= 3600 ⇔ x= 2100 ⇔ x= 700 ⇒ P = 700 ; Q = 1400 M   70 = P = ; Q 1400 Vậy Bài 4:  = 1: : : Cho ◊ABCD , biết A : B : C : D E a) Tính góc ◊ABCD 72° b) Chứng minh AB / /CD D c) Gọi giao điểm AD BC E Tính 144° 108° C góc ∆CDE 36° A Lời giải  A  B  C a) Theo đầu ta có: = = =    +C +D  3600 D A+ B = = = 360 1+ + + 10 A 360 ;=  720 ;=  1080 ;=  1440 ⇒= B C D = 1800 ⇒ AB / / CD b) ⇒ A + D   36 = = ; ECD 720 c) EDC 72° B Bài 5:  = : : :1 Cho ◊ABCD , biết A : B : C : D D a) Tính góc ◊ABCD A b) Các tia phân giác góc C D cắt F E E Các đường phân giác góc ngồi  ; CFD  đỉnh C D cắt F Tính CED B C Lời giải    A 144 = = ; B 108 = ; C 72 = ; D 360 a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta được:  =1800 −  D + 1C   =1260 b) Ta có: CED   2  Ta có: DE DF hai tia phân giác hai góc kề bù nên vng góc với  =ECF = = ⇒ EDF 900 ⇒ DFC 540 Bài 6:  =+ =  + 300 ; D A + 150 ; C B A 100 Tính góc ◊ABCD , biết B = Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý)  + 45o , =  2 Mà B= A + 15o , C =B + 30o =A D A + 10o ⇒  A+  A + 15o +  A + 45o +  A + 10o = 360o  = 103o , D =  = 126o 73o , C ⇒ 5 A= 290o ⇒  A= 58o ⇒ B Bài 7:  −C  = 250 Tính góc ◊ABCD Cho ◊ABCD , biết B = A + 150 ; C = A; D Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý)  −C  = 25o ⇒ D  =C  + 25o =  Mà B= A + 15o , C = A ; D A + 25o o =  = 120o , D  = 145o 55o , C ⇒ A +  A + 15o + A +  A + 25o = 360o ⇒  A + 40= 360o ⇒  A= 40o ⇒ B Bài 8: =  + 100 ; F =  + 300 ; H =  Tính góc ◊EFGH E E 2G Cho ◊EFGH , biết G Lời giải +F  +G +H = Ta có: E 360o (định lý) =  + 10o , F =  + 30o , H  + 20o =  + 10o + E  + 30o + E  2=  2E  + 20o ⇒ E +E E E Mà G 360o = G  + 60o= 360o ⇒ E = 60o ⇒ G =  = 90o , H  = 140o ⇒ 5E 70o , F Bài 9:  + 50 ; M =  + 450 ; N  =−  400 Tính góc ◊MNPQ Q Q 2Q Cho ◊MNPQ , biết P = Lời giải +N +P  +Q = 360o (định lý) Ta có: M  − 40o ⇒ Q  + 5o , M =  + 45o , =  2Q  + 45o + 2Q  − 40o + Q  + 5o + Q = N 360o Q Q Mà P =  + 10o = = =  = 115o , N  = 100o ⇒ 5Q 360o ⇒ Q 70o ⇒ P 75o , M Bài 10: ; D  A 700 ;=  800 ; C  −=  200 Tính góc C B D Cho ◊ABCD , có = Lời giải = Ta có: A + B + C + D 360o (định lý)  = 20o ⇒ C =D  + 20o ⇒ 70o + 80o + D  + 20o + D = Mà A = 70o , B = 80o , C − D 360o  + 170o = = = ⇒ 2D 360o ⇒ D 95o ⇒ C 115o Bài 11:  2000 ; B  +=  1800 ; C  +=  1200 Tính số đo góc tứ giác ◊ABCD C D D Cho ◊ABCD , biết B += Lời giải = 2000 + 1800 + 1200 ⇒ B  +C +D = 2500 Từ giả thiết ta có: B + 2C + D = 3600 ⇒  Vì: A + B + C + D A = 1100 ( ) = 2500 − C +D  = 2500 − 1200= 1300 B = 2000 − B = 2000 − 130= C 700 = 1200 − C = 1200 − 700= 500 D Dạng 3: Tính độ dài cạnh tứ giác Cách giải: Ta sử dụng kiến thức sau - Sử dụng định lý pytago - Sử dụng cơng thức tính chu vi tam giác, tứ giác Bài 1: Tính độ dài cạnh a, b, c, d tứ giác có chu vi 76cm a : b : c : d = : : : Lời giải a b c Theo đầu ta có: a : b : c : d = : : : ⇒ = = = d a + b + c + d 76 = = =4 + + + 19 ⇒ a = 8; b = 20; c = 16; d = 32 Bài 2: Cho hình vẽ, biết ∆ABC có chu vi 25cm A Tam giác ADC có chu vi 27cm Tứ D giác ABCD có chu vi 32cm Tính AC B C Lời giải Chu vi ∆ABC =25 ⇒ AB + BC + CA =25(1) Chu vi ∆ADC =27 ⇒ AD + DC + CA =27(2) Từ (1)( ) ⇒ AB + BC + CA + AD + DC + CA = 52 ⇔ 32 + AC = 52 ⇒ AC = 10(cm) 10 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho ∆ABC ( A = 900 , AB < AC ) Vẽ đường cao F AH ( H ∈ BC ) Lấy điểm D đối xứng với B qua H a Chứng minh ∆ABC# ∆HBA B H b Qua C dựng đường thẳng vng góc với tia AD E cắt AD E Chứng minh AH CD = CE AD c Chứng minh ∆HDE# ∆ADC D = AB 6= cm, AC 8cm Tính diện tích ∆DEC d Cho e AH cắt CE F Chứng minh tứ giác ABFD A hình thoi Lời giải a) Ta có: ∆ABC# ∆HBA( gg ) CE AD b) Từ ∆AHD# ∆CDE ( gg ) ⇒ AH CD = c) ∆HDE# ∆ADC (c − g − c) = d) S ABC AB AC 24(cm ) = BC= 10cm; BH= 3,6cm ⇒ BD= 7, 2cm; DC= 2,8cm Ta có: ∆DEC# ∆BAC ( g.g ) ⇒ S DEC DC 1176 = ( ) ⇒ S DEC = S BAC BC 625  BCA  ; CH ⊥ FA ⇒ ∆ACF= = DEC ⇒ HA HF e) Theo ý d có: ∆DEC# ∆BAC ⇒ mà BD ⊥ FA =H ⇒ tứ giác hình thoi 17 C Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ đường cao A BE CF cắt H E a Chứng minh: AE AC = AB.FA; ∆AEF # ∆ABC b Qua B kẻ đường thẳng vng góc với CF cắt tia K F AH M , AH cắt BC D Chứng minh H BD = AD.DM ˆ = 450 kẻ AK vng góc với EF K c Cho ACB Tính tỉ số B D M 45° C S AFH S AKE d Chứng minh ∆AEB# ∆HEC ; ∆AFC# ∆HEC AC BE.CF + AE AF = e Chứng minh AB Lời giải = AC AF AB ⇒ ∆AEF # ∆ABC (cgc) a ∆AEB# ∆AFC ( g.g ) ⇒ AE AD.DM b ∆ADB# ∆BDM ( gg ) ⇒ BD = S  AH  c ∆AFH # ∆AKE ( gg ) ⇒ AFH =   S AKE  AE   Bài cho  ACB = 450 ⇒ EAH = 450 ⇒ ∆AEH vuông cân E ⇒ AE = HE ⇒ AH = AE + HE = AE ⇒ S AFH =2 S AKE HE HC ⇒ AE AB = ; BE AB d Ta có: ∆AEB# ∆HEC ( gg )= HE HC ⇒ AF AC = ; CF AC Ta có: ∆AFC# ∆HEC ( gg )= CE HC CE HC e Từ ta có: AE AF  HE + CE  HE CE ⇒ AE = AF + BE CF AB AC AB = AC ; BE CF AB AC =  AB AC (dpcm) HC HC  HC  18 Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ) Kẻ A AH ⊥ BC = H Gọi E F hình chiếu H AB AC E a Chứng minh: AH = AE AB B b Chứng minh: ∆AFE# ∆ABC c Lấy M đối xứng với A qua E , tia MH cắt cạnh AC F I N K H O M N Chứng minh  ABH =  ANH FE / / HN d Gọi O trung điểm BC ; AO giao với HN S K Cho biết  ACB = 300 Hãy tính tỉ số KAN S HCA Lời giải AE AB a Ta có: ∆AEH # ∆AHB ⇒ AH =  b Gọi I giao điểm AH EF ∆AEI cân ⇒  AEF = EAH = Mà EAH ACB ⇒  AEF =  ACB c Ta có EI đường trung bình ∆AMH  ⇒ FE / / HN ⇒  ANH = AFE ( slt ) mặt khác  ABC =  AFE (vi : ∆AFE  ∆ABC ) ⇒  ABH=  ANH = ACO = 300 (1) d Ta có ∆AOC cân ⇒ OAC  = 600 Lại có HAN   (=  + KNA  ) = 900 ⇒ AK ⊥ HN ANH =HAN AFI ) ⇒  AKN =1800 − ( KAN ∆AHN N trung điểm AC ⇒ S AHC = S AHN = AK HN ⇒ 19 S KAN KN = = S HCA HN C Bài 4: Cho hình vng ABCD , lấy điểm E trung điểm AB Qua D kẻ đường thẳng vng góc với E A B CE I cắt BC F a Chứng minh ∆CIF # ∆CBE F I b Chứng minh IC = IF ID H c Chứng minh ∆ADI cân d Gọi K trung điểm DC , AK cắt DF H D K C Tính diện tích tứ giác KHCI biết AB = 6cm Lời giải   ( phu.ICF  ); CIF   = ICD = CID = 900 b Từ IFC IC IF IF ID ⇒ ∆IFC# ∆ICD( gg ) ⇒ = ⇒ IC= ID IC = HI , AK ⊥ DI c Gọi AD trung điểm CD ⇒ ◊AECK hình bình hành ⇒ AK / /CE ⇒ HD Ta có ∆AHD = ∆AHI (cgc) ⇒ AD = AI ⇔ ∆ADI cân d Tứ giác KHCI hình thang vng có diện tích S KHIC = - Ta có KD = KC = 3cm ⇒ AK = DA2 + DK = 5(cm) = - Xét ∆DAK # ∆HDK ( gg ) ⇒ DK=2 AK HK ⇒ HK (cm) CI 2= HK Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác, ta có:= HI= HD= DK − HK ⇒ HI= 27 (cm) ⇒ S= (cm ) 5 20 5 ( HK + IC ).IH ÔN TẬP CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG A Lý thuyết Áp dụng trường hợp đồng dạng tam giác vào tam giác vuông Hai tam giác vuông đồng dạng với nếu: a) Tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vng b) Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với hai cạnh góc vng tam giác vng Dấu hiệu đặc biệt nhận biết hai tam giác vng đồng dạng Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Tỉ số đường cao, trung tuyến, phân giác hai tam giác đồng dạng a) Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng b) Tỉ số hai đường trung tuyến hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng c) Tỉ số hai đường phân giác hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng B Bài tập Dạng 1: Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc Cách giải: Hai tam giác vuông đồng dạng với tam giác vng có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông Bài 1: Cho tam giác ABC vuông A , A đường cao AH a Cho = HB 9= cm, HC 16cm Tính AH , AB, AC 20 15 12 b Chứng minh rằng: AH = HB.HC AB = BC.BH B Lời giải a) Xét ∆AHB ∆CHA , có: H 16 C   900  H H = = 2 = 12(cm)  ⇒ ∆AHB” ∆CHA ⇒ AH= CH BH ⇒ AH    ABH = CAH  b) Ta có: ∆ABH # ∆CBA( gg ) ⇒ AB = CB.CH Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A ( A AB < AC ) Kẻ AH ⊥ BC = H Gọi E , F F hình chiếu H AB, AC E a) Chứng minh: AH = AE AB B b) Chứng minh: ∆AEF ” ∆ACB c) Lấy M đối xứng với A qua E , tia MH cắt N C H M cạnh AC N Chứng minh  ABH =  ANH EF / / HN Lời giải   c) Ta có HMA = BAH =  ACB ⇒ ∆ABC ” ∆ANB ( gg ) ABH =  ANH ⇒ Do  AFE =  ANH =  ABH ⇒ EF / / MN Bài 3: Cho tam giác ABC vuông A , B đường cao AH Gọi M , N trung N H điểm AH , BH Gọi O giao điểm AN với CM Chứng minh rằng: O a) ∆ABH ” ∆CAH M b) ∆ABN ” ∆CAM A c) AN ⊥ CM d) AH = 4CM MO Lời giải    ); H a) Ta có: B =  A1 (phụ BAH = H = 900 AH AC AM ⇒ ∆ABH # ∆CAH ( gg ) ⇒ = = BH AB BN C b) Ta có: AC AM   = ; B = A1 ⇒ ∆ABN # ∆CAM ( cgc ) AB BN c) ∆ABN ” ∆CAM ⇒ Aˆ2 = Cˆ1 + +  = 900 Gọi O giao điểm CM AN Xét ∆AOC , có: OAC ACO = OAC A2 = 900 ⇒ O d) ∆AMO# ∆CMH ( gg ) ⇒ AM MO = CM MH  AH ⇒ AM MH= MC.MO ⇒ AM = MC.MO ⇒   2  MC.MO (đpcm) = MC.MO ⇒ AH =  Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Kẻ CE ⊥ AB= E; CF ⊥ AD= F E BH ⊥ AC = H , DK ⊥ AC = K Chứng minh: B AB AH = a AC AE C K b AD AF = AK AC H AC c AD AF + AB AE = A Lời giải a) Ta có: ∆AHB# ∆AEC ( gg ) ⇒ AB AH =(1) AC AE b) Tương tự ta có: ∆AKD” ∆AFC ( gg ) ⇒ AD AF = AK AC ( ) AC AH ( 3) c) Từ (1)(2) ⇒ AB AE = Lấy ( ) + ( 3) ta được: AD AF + AB AE = AC (đpcm) D F Dạng 2: Sử dụng trường hợp đồng dạng cạnh góc cạnh cạnh huyền cạnh góc vng Cách giải: - Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng - Tam giác vng có hai cạnh góc vng tỉ lệ với cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng đồng dạng Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ DE D vng góc với AC E Gọi M , N , P lần C P lượt trung điểm BC , AE DE Chứng minh: a E AD AE = DC DE N b ∆AND” ∆DPC A c ND ⊥ NM Lời giải a) Xét ∆ADE ∆ACD , có: b) Ta có: ∆ADE# ∆ACD ⇒ M   A : chung  ⇒ ∆ADE# ∆ACD ( gg )  AED ADC =  = 900  AE DE AE AD AN = ⇒ = = AD CD DE DC DP Chứng minh được: ⇒ ∆AND” ∆DNC (cgc) c) P trực tâm tam giác CDN ⇒ CP ⊥ DN (1) Tứ giác MNPC hình bình hành ⇒ MN / / PC (2) ⇒ MN ⊥ DN B Bài 2: Cho tam giác ABC cân A , gọi H A trung điểm BC Vẽ HE vng góc với AC , gọi O trung điểm HE Vẽ BK vuông góc với AC , BE cắt AO I K a Chứng minh: ∆AHE# ∆BCK E I b Chứng minh: AE.EK = BK OE O c Chứng minh: OA ⊥ BE H B C Lời giải a) Xét ∆AHE ∆BCK , có:     ⇒ ∆AHE# ∆BCK ( gg ) AEH = BKC = 900 ; HAE = CBK b) Ta có: ∆AHE ” ∆BCK ( gg ) ⇒ AE HE OE = = BK CK EK AE BK ⇒ = ⇒ ∆AEO” ∆BKE ( cgc ) EO KE c) Theo câu b, có:  + EAI =  EAI  ; KBE  +=  900 ⇒ KEB 900 ∆AEO# ∆BKE (c − g − c) ⇒= EBK EBK Bài 3: Cho tam giác ABC , trực tâm H Gọi A M , N trung điểm BC AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác, G trọng tâm tam giác ABC N Chứng minh O H G a) ∆OMN ” ∆HAB ⇒ AH = 2OM b Chứng minh ∆HAG” ∆OMG B c Ba điểm H , G, O thẳng hàng GH = 2GO Lời giải a Ta có MN đường trung bình ∆ABC ⇒ MN / / AB, MN = AB Chứng minh được: M C ∆AHB” ∆MON ( g − g ) ⇒ AH AB = = OM MN  1 = OMG  ; OM= GM = b HAG   ⇒ ∆HAG# ∆OMG (cgc) AH c ∆HAG” ∆OMG ⇒ GA  2 GH  = 1800 ⇒ H , G, O thẳng hàng  ⇒ OGM  + HGM = 2;  AGH = OGM GO Dạng 3: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Cách giải: Ta có: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Bài 1: Cho tam giác ABC vng A có N = AB 6= cm, AC 8cm Lấy điểm M cạnh AC cho AM = AB Kẻ ME ⊥ BC = E a) Chứng minh CM CA = CE.CB b) Tia BA tia EM cắt N , đường A thẳng BM cắt CN F Chứng minh ∆AMB# FMC tam giác ACN vuông cân F M c) Tính tỉ số diện tích hai tam giác BFN E B tam giác MFC C Lời giải = b) Ta có ∆AMB# ∆FMC ( gg ) , mà ∆AMB vuông cân ⇒ ∆FMC vuông cân ⇒ FCM 450 ANC = 450 ⇒ ∆ANC vuông cân ∆ANC vng A có  c) ∆BNF # ∆FMC ( gg ) ⇒ S BFN  BN =  S MFC  CM   = 49  Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A , B ˆ cắt H đường cao AH Tia phân giác ABC H M D cắt AC E a Chứng minh rằng: ∆ABE ” ∆HBD; ∆AHB” ∆CHA; ∆ABC ” ∆HBA  ( M ∈ BC ), cho b Kẻ phân giác AM BAC A AB 6= cm, AC 8cm Tính = +) BM , CM +) S ABE S AHB ; S BHD SCHA c Kẻ phân giác HO  AHC ( O ∈ AC ) E O C Chứng minh OA AB = OC AC d Biết = PABC 24 = cm, PAHC 12 = cm, PAHB 9cm Tính cạnh ∆ABC Lời giải S  AB  b ABE =  = 3, 6cm  ; ∆ABC ” ∆HBA ⇒ HB S BHD  BH  ⇒ S ABE 25 = S BHD S AHB  AB  16 = =  SCHA  AC  c ∆ABH # ∆CAH ⇒ d AH AB AO = = CH AC OC PAHB AB = = = k (k ∈ N * ) ⇒ AB = 3k ; AC = 4k ⇒ BC = 5k ⇒ 12k = 24 ⇔ k = ⇒ AB, BC , AC PCHA BC Bài 3: [Ba Đình, 2016 - 2017] A B Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm , O AD = 6cm , hai đường chéo AC BD cắt D C K O Qua D kẻ đường thẳng d vuông H góc với BD, d cắt BC E a Chứng minh: ∆BDE ” ∆DCE b Kẻ CH vng góc với DE H Chứng minh DC = CH DB c Gọi K giao điểm OE CH CMR K trung điểm CH tính S EHC S EDB E d Chứng minh OE , CD, BH đồng quy Lời giải c Do BD / /CH (cùng vng góc với DE ) mà O ∈ BD, K ∈ CH ⇒ HK CK EK = (= ) ⇒ KH = CK OD OB EO S 256  CH  ∆CHE# ∆BDE (CH / / BD) ⇒ EHC=  = S EDB  BD  625 =  d Giả sử CD giao với BH I , chứng minh ∆DOI ” ∆CIK (c − g − c) ⇒ DIO CIK  + OCI   + CIk  Mà: DOI = 1800 ⇒ OCI = 1800 ⇒ O, I , K ⇔ I ∈ OE Bài 4: [Cuối năm 2017 – 2018] B Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 6cm , C E AB = 8cm Hai đường chéo AC BD cắt K O Qua D kẻ đường thẳng d O I vng góc với BD, d cắt BC E H a Chứng minh rằng: ∆BDE ” ∆DCE b Kẻ CH vng góc với DE H A Chứng minh rằng: DC = CH DB c Gọi K giao điểm OE HC Chứng minh K trung điểm HC Tính tỉ số diện tích tam giác ECH diện tích tam giác EBD d Chứng minh ba đường thẳng OE , CD, BH đồng quy Lời giải a ∆BDE  ∆DCE ( gg ) b ∆DCB” ∆CHD ⇒ CD DB = ⇒ CD = CH DB CH DC c CH / / BD(⊥ BD) ⇒ HK KE KC = = (định lý TaLet) OD OE OB mà OB = OD (do ABCD hình chữ nhật ) ⇒ HK = CK ⇒ dpcm - Tính = BD 10 = cm, CD 8cm Từ câu b, ta có= CH CD 2= : BD 64 = :10 6, 4(cm) D 2 S CH   6,  256 Lại có: ∆ECH ” ∆EBD( gg ) ⇒ ECH =  =  = S EBD  BD   10  625 d Gọi I giao điểm BH CD O ' giao điểm EI BD , K ' giao điểm EI CH Ta chứng minh O ' trung điểm BD Vì CH / / BD ⇒ O ' B BI BD DE O ' D = = = = ⇒ O ' B =O ' D hay O ' trung điểm BD HK ' HI HC HE HK ' ⇒ EI qua O Do OE , CD, BH đồng quy Bài 5: [Cuối năm 2015 – 2016] A Cho tam giác ABC vuông A ( AB < AC ), đường trung tuyến AM Qua M kẻ đường thẳng vng góc với AM F cắt AB E cắt AC F Kẻ B M AH ⊥ BC ( H ∈ BC ), AH cắt EF I I Chứng minh rằng: E = a BAM ABM b  ACB =  AEF từ suy ∆MBE# ∆MFC c AB AE = AC AF S AM  d ABC =   S AFE  AI  Lời giải =  a ∆ABM cân M ⇒ BAM ABM  =900 =  b  ACB + BAC AEF + BAM = BAM ABC ⇒  ACB =  AEF ⇒ ∆MBE  ∆MFC ( g − g ) c ∆ABC ” ∆AFE ( gg ) ⇒ H AB AC = AF AE ⇒ AB AE = AC AF 10 C  EF ⇔ EF= AI d ∆AEI cân I (  AEI = EAI =  ACB ) ⇒ EI= IA ⇒ ∆AIF cân I ⇒ AI= Ta lại có: BC = AM S BC   AM  Do ∆AFE  ∆ABC ⇒ ABC=  =   S AFE  EF   AI  Bài 6: [Cuối năm 2016 – 2017] Cho tam giác ABC vng A , có A = BC 5= cm, AC 3cm Trên tia đối tia M D CB lấy điểm D cho CD = 6cm Qua B H C D kẻ đường vng góc với BD cắt AC K E a Chứng minh rằng: ∆ABC# ∆DEC b Kẻ E AH ⊥ BC ( H ∈ BC ); DK ⊥ CE ( K ∈ CE ) Chứng minh rằng: CH CD = CK CA c Tính độ dài CE KD d Vẽ đường phân giác BM MA EK  ABC ( M ∈ BC ).CMR : = MC ED Lời giải a ∆ABC ” ∆DEC ( gg ) b ∆AHC ” ∆DKC ( gg ) ⇒ c ∆ABC ” ∆DEC ⇒ HC AC = ⇒ CH CD = CK CA CK DC CE CD = =⇒ CE = 10(cm) BC AC 8(cm) Vì tam giác DCE vng D , áp dụng pitago ⇒ DE = ∆DKE ” ∆CDE ⇒ KD DE 4,8(cm) = = = ⇒ KD = CD CE 10 d Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: MA EK AB MA = (1) ; ∆ABC ” ∆KED(2) ⇒ = BC MC MC ED 11