HÌNH THOI

HÌNH THOI A Tóm tắt lý thuyết Định nghĩa: Hình thoi tứ giác có bốn cạnh ABCD hình thoi ◊ABCD ⇔  AB = BC = CD = DA Tính chất: Hình thoi có tất tính chất hình bình hành - Tính chất cạnh: +) Có bốn cạnh +) Các cạnh đối song song - Tính chất góc: Các góc đối - Tính chất đường chéo: +) Hai đường chéo cắt trung điểm đường +) Hai đường chéo vng góc với +) Hai đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Dấu hiệu nhận biết - Tứ giác có bốn cạnh hình thoi - Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi - Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi - Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc đỉnh hình thoi Chú ý: - Hình thoi có tâm đối xứng giao điểm hai đường chéo - Hình thoi có hai trục đối xứng đường chéo hình thoi Cách vẽ hình thoi Có bốn cách vẽ hình thoi hay dùng hai cách sau Cách 1: Vẽ đường chéo, dựng đường trung trực đường chéo đó, nối hai đầu đường chéo với hai giao điểm hai cung trịn vừa vẽ thu bốn đỉnh hình thoi Cách 2: Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hai đường chéo vng góc với cắt trung điểm đường B Bài tập dạng toán Dạng 1: Chứng minh tứ giác hình thoi Cách giải: Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác hình thoi Bài 1: ABC Cho tam giác BE cao AH N cắt CF EF H cắt tại D A cân , cắt BC Đường thẳng hình chiếu Chứng minh tứ giác thoi Hai đường G G Gọi M AB, AC DNGM hình Lời giải Ta có Vì H ∆ABE = ∆ACF trực tâm GB = GC Xét (cạnh huyền – góc nhọn) ∆EBC ∆ABC ⇒ AH DE = DF có GN / / BE ( ⊥ AC ) Chứng minh tương tự ta ⇒ AE = AF , BE = BF đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ ta có GB = GC ⇒ NE = NC MF = MB Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh ⇒ ◊DNGM Mặt khác, Cho tam giác E DM = GN hình bình hành DM = DN (cùng nửa hai cạnh nhau) nên Bài 2: điểm DM / /GN ABC , điểm thuộc cạnh AC D thuộc cạnh cho AB BD = CE , I, K, M , N Gọi theo thứ tự trung điểm BE , CD, BC , DE Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi MNIK hình thoi Lời giải KN = NI = IM = MK = 1 BD = CE ⇒ ◊MNIK 2 Ta có: hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 3: Cho hình bình hành góc với AD ABCD có AC vng E, F Gọi theo thứ tự trung AB, CD điểm cạnh giác AECF Chứng minh tứ hình thoi Lời giải Cách 1: Ta có tứ giác thoi (dấu hiệu) Cách 2: AECF hình hành có hai đường chéo vng góc AE = EC = CF = FA ⇒ ◊AECF hình thoi (dấu hiệu) Bài 4: ABCD Cho hình thoi góc tù đến N a AD B Từ đỉnh BE , BF kẻ đường vng góc DC , cắt AC theo thứ tự M Chứng minh AE = CF b Tam giác c Tứ giác d Cho b có µA = 600 BEF BMND AC = 16cm hình thoi , tính chu vi tam giác µA = 600 ⇒ ∆BCD, ∆ABD BEF Lời giải tam giác · · ⇒ EBD = FBD = 300 ⇒ ∆BEF (tam giác cân có góc 600) ⇒ ◊AECF hình c Ta chứng minh +) +) +) AC AC MB = BN = ND = DM đường trung trực đường trung trực BD ⇒ MB = MD(1) BD ⇒ NB = ND (2) · · ∆ABE = ∆CBF (ch − gn) ⇒ ABE = CBF ⇒ ∆ABM = ∆CBN ⇒ MB = NB (3) ⇒ MB = BN = ND = DM ⇒ ◊BMDN d Ta có EF đường trung bình tam giác ACD ⇒ EF = AC = 8cm ⇒ PBEF = 24(cm) Bài 5: Cho tam giác cạnh BE ABE AB Tia phân giác góc BO, DA N a b P EM ⊥ FN ◊MNPQ Từ điểm kẻ đường vng góc với cắt tia đối tia M A vuông F E , cắt AE O BE D AB, OD cắt , tia phân giác góc F cắt Q Chứng minh hình thoi Lời giải a Gọi +) +) I µ =F µ E giao điểm (cùng phụ với µ B MP NQ ) µ =P µ ,E µ =F µ )⇒O µ = I$= 900 ⇒ EM ⊥ FN ∆FIP,∆OEP ( P 1 b Ta có ∆PFM cân F ⇒ PI = IM , ∆ENQ cân E ⇒ NI = IQ MNPQ Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với nên hình thoi Bài 6: ABC Cho tam giác BC , E thuộc cạnh F Gọi điểm chân M đường vng góc kẻ từ M Gọi AB đến AC AM , D I trung điểm trung BC điểm a Tính số đo góc · , DIF · DIE b Chứng minh tứ giác thoi DEIF ( hình Lời giải ) · · · µ − DAI · · DIE = MIE − MID =µ A1 + E + ·ADI = µ A1 − DAI · · = 2( EAI − DAI ) = 2.300 = 600 a Tương tự ta có: ( ) · · · · · · DIF = FAI + DAI = BAC = 600 = DIM + MIF ∆DEI , ∆DFI b Ta có nhận biết) tam giác ⇒ EI = IF = FD = DE ⇒ ◊DEIF hình thoi (dấu hiệu Bài 7: Cho tam giác hình chữ nhật thẳng BG a) I DE J J Tia ABC ABDE AG trọng tâm cho cắt BD C G Vẽ thuộc đoạn I , tia AE cắt Chứng minh đối xứng qua CG CGBI , GICJ , CJAG b) Các tứ giác Ta có hình thoi Lời giải ∆ABJ = ∆BAI ( gcg ) ⇒ AI = BJ ⇒ ◊ABIJ Vì hình thang cân Mặt khác ABIJ hình thang cân có hai đáy có góc vng nên suy CG ⊥ AB ⇒ CG ABIJ đường trung trực cạnh IJ AI BJ hình chữ nhật, tâm G Vậy I b) Ta có Gọi nên M J đối xứng qua đường thẳng ·ABI = 900 ⇒ GBC · · = IBC = 300 trung điểm M trung điểm Tứ giác CBDI BC , tam giác có hai đường chéo CBGI đường cao, đường phân giác hình thoi CGAI hình thoi đối xứng qua đường thẳng Từu (1)(2) BM vuông góc với cắt trung điểm I, J ∆BGI có GI Chứng minh tương tự ta có Dễ thấy BGI BC , GI đường, Vì CG tam giác ⇒ GICJ CG nên CI = CJ , GI = GJ (1) ⇒ CI = BG = GI (2) có bốn cạnh nhau, GICJ hình thoi Dạng 2: Vận dụng tính chất hình thoi để chứng minh quan hệ nhau, song song, vng góc, tính độ dài đoạn thẳng Cách giải: Vận dụng định nghĩa tính chất cạnh, góc, đường chéo hình thoi Bài 1: ABCD Cho hình thoi 13cm Gọi chéo Vẽ O giao điểm hai đường OH ⊥ AD Vậy Xét BD , tính tỉ số AC Lời giải BK ⊥ AD Xét Xét OH = 6cm Biết hai đường chéo Vẽ , độ dài cạnh ∆BKD OH có OH / / BK ( ⊥ AD ) , OB = OD ⇒ KH = HD ∆BKD ⇒ OH = BK ⇒ BK = 12cm đường trung bình ∆ABK vng ∆BKD vng K K , ta có: , ta có: AK = AB − BK = 132 − 122 = 25 ⇒ AK = 5cm ⇒ KD = 8cm BD = BK + DK = 122 + 82 = 208  AC  OA = OH + AH = + = 117 ⇒  ÷ = 117 ⇒ AC = 468   Xét ∆AOH vng H , ta có: OA 2 2 Do BD 208 BD = = ⇒ = AC 468 AC Bài 2: Cho hình thoi ABCD có góc A tù Biết CD A đường cao kẻ từ đỉnh đến cạnh chia đơi cạnh Tính góc hình thoi Lời giải Gọi H chân đường cao kẻ từ  AH ⊥ CD ⇒ AH  CH = HD A đến cạnh CD đường trung trực đoạn Áp dụng định nghĩa vào hình thoi ABCD nên từ giả thiết ta có: CD nên ∆ACD AC = AD ( 1) tam giác đều, µ = 600 D Vì góc D µA góc hai góc phía µ + µA = 180 ⇒ µA = 180 − 60 = 120 D 0 AB / /CD nên chúng bù hay Áp dụng tính chất góc vào hình thoi ta µ =D µ = 600 , µA = C µ = 1200 B Bài 3: AB Trên cạnh lấy CD 1 AP = AB, CQ = CD 3 BI a) b) AD , Q P điểm PQ hình thoi K ABCD Gọi I cho giao điểm giao điểm DP Chứng minh rằng: ∆BID vuông BK = IK Lời giải a) Gọi M trung điểm BP ⇒ BM = CQ ⇒ BMCQ ⇒ QM = BC , QM / / BC hình bình hành ∆AIP = ∆MQP ( gcg ) ⇒ AI = MQ ⇒ AI = AD ( = MQ ) ⇒ ∆BID AI = AD = AB ⇒ ∆BID b) ∆IBD Cho có ∆ABC BA vng đường trung tuyến, AB < AC tam giác lấy điểm D Trên cạnh cho BA đường trung tuyến, B AP = AB ⇒ P Bài 4: có có AC CD = AB Gọi trọng tâm ⇒ BK = IK Q AC trung điểm BD BAC , N trung điểm Vẽ đường phân giác góc AK ⊥ NQ Chứng minh Lời giải µA = 60 ⇒ ∆ABD ⇒ AH = HD a Ta có AK ABDE Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với nên hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b Có Có ABCD ABDE c Xét Lại có hình thoi hình thoi ◊ABCE có ⇒ CD / / AB ⇒ DE / / AB ⇒ E , D, C AB / / CE ⇒ ◊ABEC AE = AB = BC ⇒ µ =E µ = 60 ⇒ ABCE C thẳng hàng hình thang hình thang có hai cạnh kề hình thang cân ⇒ AC = BE Bài 5: Cho hình thoi vng góc với HE = HB Nối E ABCD AD với µA = 600 có , vẽ BH kéo dài đoạn A E , với a Chứng minh tứ giác thoi D ABDE hình E , D, C b c thẳng hàng EB = AC a Ta có µA = 600 ⇒ ∆ABD Lời giải ⇒ AH = HD ABDE Tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường vng góc với nên hình thoi (dấu hiệu nhận biết) b Có Có ABCD ABDE hình thoi hình thoi ⇒ CD / / AB ⇒ DE / / AB ⇒ E , D, C thẳng hàng ◊ABCE c Xét AB / / CE ⇒ ◊ABEC có AE = AB = BC ⇒ Lại có µ =E µ = 60 ⇒ ABCE C hình thang hình thang có hai cạnh kề ⇒ AC = BE hình thang cân Bài 6: Cho hình bình µA = 60 , AD = AB ABCD hành Gọi M trung điểm AD, N trung điểm BC đường thẳng vng góc với AB F b C Từ MN kẻ E cắt Chứng minh a Tứ giác E có MNCD hình thoi trung điểm c Tam giác MCF CF F, N, D d e thẳng hàng · BAD = ·AFM Lời giải a ◊MNCD có:   NC = MD = BC ⇒ ◊MNCD   NC / / MD MD = DC = Ta lại có b Xét ∆BCF NE / / BF ⇒ E c Xét ∆MCF có N 1 AD = BC ⇒ ◊MNCD 2 trung điểm trung điểm có ME Mặt khác ta lại có BC hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) hình thoi (dấu hiệu nhận biết) , FC đường cao, đường trung tuyến MNCD hình thoi ⇒ ∆MCF ¶ = 2M ¶ ⇒M ¶ +M ¶ =M ¶ +M ¶ = 600 ⇒ FMC · ⇒M = 600 ⇒ ∆MFC 2 10 tam giác cân ¶ =M ¶ M ⇒M ∆MFC d Xét mặt khác Vậy FD ◊MNCD FM = FC ⇒ F DM = DC ⇒ D hình thoi thuộc đường trung trực ⇒ ND MC thuộc đường trung trực đường trung trực Từ (1)(2) e có MC (1) đường trung trực ⇒ FD ≡ ND ⇒ F , N , D MC MC (2) thẳng hàng · ·  BAD = NMD  · ¶ ¶ ¶ · ·  NMD = M + M = 2M ⇒ BAD = AFM ¶ ·  M = AFM Bài 7: ABCD Cho hình thoi có AE ⊥ DC , AF ⊥ BC a) Chứng minh a) Do b) Có có c) BD = 16cm AC · FAE = 60 EF Vậy AEF , tính chu vi tam giác phân giác góc µ = 600 B Kẻ AE = AF b) Chứng minh tam giác c) Biết µ = 600 B nên nên ∆ABC µ = 60 B · DBC ∆ADC AEF Lời giải nên AE = FA tam giác ⇒ đường trung bình tam giác BCD FE = DB = 8cm; Chu vi ∆AEF 24cm Bài 8: 11 · · EAC = FAC = 300 Vậy ∆AEF cân ∆ABC ( AB < AC ) Cho BA M lấy điểm N điểm cho Trên tia đối tia , tia đối tia BM = CN lượt trung điểm a) DE AM cắt · · PEQ = MJQ b) DE AN cắt Gọi CA D , E , P, Q lấy lần BC , MN , MC , NB J Chứng minh I Chứng minh song song với đường phân giác DE · BAC Lời giải a) ∆BMN QE có QE / / BM đường trung bình nên ta có Tương tự ta có DP / / BM , QD / / CN , PE / / CN ⇒ QE / / DP, PE / / DQ ⇒ DPEQ · · ⇒ PEQ = PDQ Mặt khác Vậy · · PDQ = MJQ · · PEQ = MJQ b) Gọi Ax Ta có (so le trong) đường phân giác DP = · BAC 1 BM , PE = CN ⇒ DP = PE ( BM = CN ) 2 DPEQ Do hình bình hành hình thoi ¶ = DIC · ⇒ ¶A2 = D (đồng vị) ⇒ DE phân giác ⇒ DE / / Ax · DPQ đồng thời · · · · PDQ = PEQ = MJQ = BAC (hai góc đồng vị nhau) 12 Dạng 3: Tìm điều kiện để tứ giác hình thoi Cách giải: Vận dụng định nghĩa, tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi Bài 1: M , N , P, Q ABCD Cho hình thang gọi trung điểm hai đáy hai đường chéo hình thang a Chứng minh tứ giác hành ABCD b Hình thang để tứ giác MNPQ MNPQ hình bình phải có thêm điều kiện hình thoi Lời giải a Áp dụng tính chất đường trung bình tam giác cho tam giác MQ / / PN / / BC; MQ = PN = ABC BCD , ta có: BC ⇒ ◊MNPQ Là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) QN / / MP / / AD; QN = MP = b Tương tự câu a ta có: Để MNPQ hình thoi hay hình thang ABCD AD MN ⊥ PQ ⇒ MN ⊥ CD ⇒ MN phải hình thang cân Bài 2: Cho tam giác BC ABC , qua điểm D thuộc cạnh , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB AC theo thứ tự AB E F a Tứ giác b Điểm hình thoi D AEDF hình gì? vị trí BC AEDF Lời giải 13 trục đối xứng hình thang ABCD AEDF a Ta có tứ giác b AEDF Để ⇒ AD hình bình hành (các cạnh đối song song) trở phân giác · BAC thành Vậy hình D thoi AD phân giác giao điểm đường phân giác góc A · FAE cạnh BC Bài 3: Cho hình bình hành AB CD BM BC E F N Đường trung trực MN E F đối xứng với AB b Chứng minh tứ giác c Hình bình hành để tứ giác a Ta có BCNE MEBF ABCD hình thoi có thêm điều kiện hình thang cân AM = DN ⇒ ◊MADN µ = ·AMN = EMB · · D = MBC Lời giải hình bình hành ∆MPE = ∆BPE ⇒ EP = FP ⇒ ◊MEBF MEBF b Tứ giác hình thoi c Để mà M cắt đường thẳng a Chứng minh qua Trên cạnh lấy điểm AM = DN cho ABCD BNCE có MB giao EF hình thang cân · µ = MBC · · · CNE =D = EMB = EBM ·ABC = 600 E, F hình bình hành điểm P Lại có P đối xứng qua trung điểm EF , AB MB ⊥ EF ⇒ ◊MEBF · · CNE = BNE nên tam giác 14 MEB có góc nhau, điều kiện là: BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE Tia phân giác góc ACE N, M Tia BD a O cắt tại H BN ABD AC , AB , cắt CE cắt K , tia CM cắt Chứng minh BN ⊥ CM b Tứ giác a Ta có Xét Gọi b Xét hình thoi Lời giải ·ABD = ·ACE ⇒ NBD · · = MCA ∆BDN O MNHK , có: · · · NBD + BND = 900 ( BD ⊥ AC ) ⇒ BND + ·ACM = 900 giao điểm ∆CNK , có CM BN ⇒ CM ⊥ BN ≡ O (1) CO ⊥ KN ⇒ CO ⊥ BN CO KN Là trung điểm , ( 2) Tương tự chứng minh Từ (1)(2)(3) suy MNHK O phân giác trung điểm MH ( 3) hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi EFGH lần AB, BC , CD, DA lượt trung điểm a) EFGH hình gì, AC , BD, EG, FH b) Chứng minh đồng qui Lời giải 15 ·ACE ⇒ ∆CNK cân C ⇒O ∆BAC a) Áp dụng tính chất đường trung bình cho và ∆ADC EF / / GH , EF = GH = ta có: AC HE / / HG, HE = FG = BD Mà ABCD b) Gọi hình chữ nhật nên O = AC ∩ BD ⇒ O AB = BD ⇒ EFGH trung điểm AC hình thoi BD Chứng minh EBGD BFDH hình AC , BD , EG , FH bình hành suy đồng quy trung điểm đường (điểm O) Bài 3: ABC Cho tam giác AM AC với Qua cắt AB M AB cắt cân A , trung tuyến kẻ đường thẳng song song với P AC đường thẳng song song Q APMQ a) Tứ giác hình ? Vì sao? PQ / / BC b) Chứng minh Lời giải APMQ a) Vận dụng đinh lý đường trung bình tam giác suy cạnh b) Vì PQ ⊥ AM mà AM ⊥ BC (tính chất tam giác cân) PQ / / BC nên Bài 4: Cho tam giác cao, H AM có AD trực tâm Từ điểm cạnh góc với ABC BC kẻ AB, AC ME , MP Gọi I đường M theo thứ tự vuông trung điểm Chứng minh: 16 hình thoi có a) DEIP hình thoi b) Ba đường thẳng MH , ID, EP đồng quy Lời giải a) Áp dụng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vng, ta có: EI = DI = PI = MI = AI = AM ( 1) Mặt khác, áp dụng tính chất góc ngồi tam giác, ta có: · · · · · · EID = EIM + MID = EAI + IAD = 2.BAD = 600 ⇒ ∆EID Tương tự ta có: Từ · · · · · · DIP = MIP − MID = MAC − MAD = DAC = 600 ⇒ ∆DIP ( 1) ( ) ( 3) ⇒ EI = IP = DP = ED ⇒ ◊DEIP b) Gọi O giao điểm EP ID K , hình thoi trung điểm Theo tính chất đường trung bình ta có: MH , ID, EP ⇒ EI = ED ( ) ⇒ DP = IP ( 3) AH ⇒ AK = KH = HD OH / / IK , MK / / IK ⇒ M , O, H đồng quy 17 thẳng hàng hay ... minh tứ hình thoi Lời giải Cách 1: Ta có tứ giác thoi (dấu hiệu) Cách 2: AECF hình hành có hai đường chéo vng góc AE = EC = CF = FA ⇒ ◊AECF hình thoi (dấu hiệu) Bài 4: ABCD Cho hình thoi góc... BC , DE Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi MNIK hình thoi Lời giải KN = NI = IM = MK = 1 BD = CE ⇒ ◊MNIK 2 Ta có: hình thoi (dấu hiệu nhận biết) Bài 3: Cho hình bình hành góc với AD ABCD có... ABDE hình thoi hình thoi ⇒ CD / / AB ⇒ DE / / AB ⇒ E , D, C thẳng hàng ◊ABCE c Xét AB / / CE ⇒ ◊ABEC có AE = AB = BC ⇒ Lại có µ =E µ = 60 ⇒ ABCE C hình thang hình thang có hai cạnh kề ⇒ AC = BE hình