CHỦ ĐỀ HÌNH THOI VÀ HÌNH VNG A LÝ THUYẾT Định nghĩa • Hình thoi tứ giác có bốn cạnh (h.6.1) • Hình vng tứ giác có bốn góc vng có bốn cạnh (h.6.2) Hình 6.1 Hình 6.2 Tính chất * Trong hình thoi: • Hai đường chéo hình thoi vng góc với nhau; • Hai đường chéo đường phân giác góc hình thoi; * Hình vng có đủ tính chất hình chữ nhật hình thoi Dấu hiệu nhận biết * Nhận biết hình thoi: • Tứ giác có bốn cạnh hình thoi; • Hình bình hành có hai cạnh kề hình thoi; • Hình bình hành có hai đường chéo vng góc với hình thoi; • Hình bình hành có đường chéo đường phân giác góc hình thoi * Nhận biết hình vng: • Hình chữ nhật có hai cạnh kề hình vng; • Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc hình vng; • Hình chữ nhật có đường chéo đường phân giác góc hình vng; • Hình thoi có góc vng hình vng; • Hình thoi có hai đường chéo hình vng B BÀI TẬP VẬN DỤNG I MỘT SỐ VÍ DỤ Ví dụ Cho hình thoi ABCD, độ dài cạnh 13cm Gọi O giao điểm hai đường chéo Vẽ OH ⊥ AD Biết OH = 6cm, tính tỉ số hai đường chéo BD AC Giải * Tìm cách giải Vẽ thêm BK ⊥ AD để dùng định lí đường trung bình tam giác, định lí Py-ta-go tính bình phương độ dài đường chéo * Trình bày lời giải Vẽ BK ⊥ AD Xét ∆BKD có OH // BK (vì vng góc với AD) OB = OD nên KH = HD Vậy OH đường trung bình ∆BKD OH = BK, Suy BK = 12cm Xét ∆ABK vng K có AK2 = AB2 – BK2 = 132 – 122 = 25 ⇒ AK = 5cm KD = 8cm Xét ∆BKD vng K có BD2 = BK2 + KD2 = 122 + 82 = 208 Xét ∆AOH vuông H có OA2 = OH2 + AH2 = 62 + 92 = 117 AC ⇒ ÷ = 117 ⇒ AC = 468 BD 208 BD = = ⇒ = 468 AC Do AC Ví dụ Cho tam giác ABC cân A, hai đường cao BE CF cắt H Đường thẳng AH cắt EF D, cắt BC G Gọi M N hình chiếu G AB AC Chứng minh tứ giác DNGM hình thoi Giải * Tìm cách giải Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh tứ giác DNGM hình bình hành Sau chứng minh hai cạnh kề * Trình bày lời giải ∆ABE = ∆ACF (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AE = AF BE = CF Vì H trực tâm ∆ABC nên AH đường cao, đồng thời đường trung tuyến, từ GB = GC DE = DF Xét ∆EBC có GN // BE (cùng vng góc với AC) GB = GC nên NE = NC Chứng minh tương tự ta MF = MB Dùng định lí đường trung bình tam giác ta chứng minh DM // GN DM = GN nên tứ giác DNGM hình bình hành Mặt khác, DM = DN (cùng hai cạnh nhau) nên DNGM hình thoi Ví dụ Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo AC Vẽ ME ⊥ AD, MF ⊥ CD MH ⊥ EF Chứng minh điểm M di động AC đường thẳng MH ln qua điểm cố định Giải * Tìm cách giải Vẽ hình xác ta thấy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B Vì ta ¶ ¶ chứng minh ba điểm H, M, B thẳng hàng cách chứng minh M1 = M * Trình bày lời giải Gọi N giao điểm đường thẳng EM với BC Khi BN = AE; AE = ME (vì ∆AEM vng cân) suy BN = ME Chứng minh tương tự ta MN = MF Nối MB ta ∆BMN = EFM (c.g.c) à ả ả Suy B1 = E1 M1 = M Từ ba điểm H, M, B thẳng hàng Vậy đường thẳng MH qua điểm cố định điểm B Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh BC lấy điểm M, cạnh CD lấy điểm N cho chu vi tam giác CMN 2a Chứng minh góc MAN có số đo khơng đổi Giải * Tìm cách giải o · Vẽ hình xác ta ln thấy MAN = 45 Vì ta vẽ hình phụ tạo góc 90o chứng minh · MAN nửa góc vng * Trình bày lời giải Trên tia đối tia DC lấy điểm E cho DE = BM · · ∆BAM = ∆DAE (c.g.c) suy AM = AE BAM = DAE o · · Ta có BAM + DAM = 90 · · · ⇒ DAE + DAM = 90o hay EAM = 90o Theo đề bài, CM + CN + MN = 2a mà CM + CN + MB + ND = 2a nên MN = MB + ND hay MN = DE + ND = EN · EAM · · ⇒ MAN = EAN = = 45o ∆MAN = ∆EAN (c.c.c) Vậy góc MAN có số đo khơng đổi Ví dụ Cho hình vng ABCD Trên cạnh AB, BC, CD lấy điểm M, N, P cho AM = BN = CP Qua N vẽ đường thẳng vng góc với MP cắt AD Q Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng Giải * Tìm cách giải Từ giả thiết ta nghĩ đến việc chứng minh tam giác để suy bốn cạnh tứ giác MNPQ nhau, ta tứ giác hình thoi Sau chứng minh hai đường chéo để hình vng * Trình bày lời giải Vẽ ME ⊥ CD, NF ⊥ AD Gọi O giao điểm ME NF Ta có AB = BC = CD = DA mà AM = BN = CP nên BM = CN = DP Dễ thấy tứ giác AMOF hình vng ∆EMP ∆FNQ có: µ =F $ = 90o ; E ME = NF (bằng cạnh hình vng); · · EMP = FNQ (hai góc có cạnh tương ứng vng góc) ⇒ ∆EMP = ∆FNQ (g.c.g) ⇒ MP = NQ EP = FQ Ta có DE = AM = AF ⇒ DP = AQ DQ = CP Các tam giác BNM, CPN, DQP AMQ suy MN = NP = PQ = QM Do tứ giác MNPQ hình thoi Hình thoi có hai đường chéo nên hình vng II LUYỆN TẬP • Hình thoi 6.1 Một hình thoi có góc nhọn 30o Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến cạnh h Tính độ dài cạnh hình thoi 6.2 Cho hình thoi ABCD, chu vi 8cm Tìm giá trị lớn tích hai đường chéo o µ 6.3 Cho hình thoi ABCD, A = 40 Gọi M trung điểm AB Vẽ DH ⊥ CM Tính số đo góc MHB 6.4 Cho hình thoi ABCD Trên nửa mặt phẳng bờ BD có chứa điểm C, vẽ hình bình hành BDEF có DE = DC Chứng minh C trực tâm tam giác AEF 6.5 Cho hình bình hành ABCD, hai đường chéo cắt O Gọi E, F, G, H giao điểm đường phân giác tam giác AOB, BOC, COD DOA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi o · 6.6 Dựng hình thoi ABCD biết AC + BD = 8cm ABD = 25 • Hình vng 6.7 Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E F cho BE = EF = FC Trên cạnh AD lấy AG = AD · · · điểm G cho Tính tổng AEG + AFG + ACG 6.8 Cho hình vng ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm M Vẽ ME ⊥ AD, MF ⊥ CD Chứng minh ba đường thẳng AF, CE BM đồng quy 6.9 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Vẽ phía ngồi tam giác hình vng ABDE ACFG Chứng minh rằng: a) Ba đường thẳng AH, DE FG đồng quy; b) Ba đường thẳng AH, BF CD đồng quy 6.10 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia BA lấy điểm E Trên tia đối tia CB lấy điểm F cho AE = CF Gọi O trung điểm EF Vẽ điểm M cho O trung điểm DM Chứng minh tứ giác DEMF hình vng 6.11 o µ Cho tam giác ABC, A = 45 Vẽ ba đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, AC, HB HC Chứng minh tứ giác MNPQ hình vng 6.12 Cho hình bình hành ABCD Vẽ phía ngồi hình bình hành hình vng có cạnh cạnh hình bình hành Gọi E, F, G, H tâm (tức giao điểm hai đường chéo) hình vng vẽ cạnh AB, BC, CD DA Chứng minh EG = HF EG ⊥ HF 6.13 Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A trung điểm M CD 6.14 Một bàn cờ hình vng có kích thước 6×6 Có thể dùng mảnh gỗ hình chữ nhật có kích thước 1×4 để ghép kín bàn cờ khơng? 6.15 Một hình chữ nhật có kích thước 3×6 Hãy chia hình chữ nhật thành nhiều phần (hình tam giác, tứ giác) để ghép lại thành hình vng (số phần chia tốt) ... MNPQ hình thoi Hình thoi có hai đường chéo nên hình vng II LUYỆN TẬP • Hình thoi 6. 1 Một hình thoi có góc nhọn 30o Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến cạnh h Tính độ dài cạnh hình thoi 6. 2... giác tam giác AOB, BOC, COD DOA Chứng minh tứ giác EFGH hình thoi o · 6. 6 Dựng hình thoi ABCD biết AC + BD = 8cm ABD = 25 • Hình vng 6. 7 Cho hình vng ABCD Trên cạnh BC lấy điểm E F cho BE = EF =... ⊥ HF 6. 13 Dựng hình vng ABCD biết đỉnh A trung điểm M CD 6. 14 Một bàn cờ hình vng có kích thước 6? ?6 Có thể dùng mảnh gỗ hình chữ nhật có kích thước 1×4 để ghép kín bàn cờ khơng? 6. 15 Một hình