Xác định m để hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.. Gọi M là trung điểm của cạnh CC1.. Chứ
Trang 1ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 1 NĂM HỌC 20112012
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút.
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 4 2
y=x - mx +m - (1),với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1 .
2. Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình sin2x tan x + cos2 x = cos 2 (2 tan ) x - x .
2. Giải bất phương trình x 2 - 3 x + 2 - 2 x 2 - 3 x + 1 ³ x - 1 .
Câu III (1,0 điểm) Tính tÝch ph©n sau I =
2
0
sin 2 cos
1 cos
x x
dx x
p
+
Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và o
120 BAC = Ù Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB ^ MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Câu V (1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c 2 = 9 .
Chứng minh 2( a + + b c ) - abc £ 10 .
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2).
1. Theo chương trình Chuẩn.
Câu VI.a (1,0 điểm).
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12, tâm I là
giao điểm của đường thẳng d x: - - = và ' :y 3 0 d x+y - = Trung điểm một cạnh là giao điểm của 6 0 đường thẳng d với trục Ox. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: 2 2 2
x +y +z - x- y+ z - = , mặt phẳng (Q) có phương trình: 2x+2y+ - = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song mp(Q) z 3 0
sao cho mp(P) giao với mặt cầu (S) tạo thành đường tròn có diện tích 16p (đvdt).
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: z = 2 và ( z + 1 )( 2 - i 3 ) + ( z + 1 )( 2 + i 3 ) = 14 .
2. Theo chương trình Nâng cao.
Câu VI.b(2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD. Điểm M (0; ) 1
3 thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD. Tìm tọa độ đỉnh B biết điểm B có hoành độ dương.
2. Trong không gian tọa độ Oxyz, A (0; 2; 0) B (0; 0; 1)- và Cthuộc Ox. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết khoảng cách từ C tới mặt phẳng (P): 2x+2y- = z 0 bằng khoảng cách từ C tới đường
x- y z +
Câu VII.b(1 điểm) Giải hệ phương trình
ï
ï
í
ì
-
= +
= + -
y
x
y
x
y
x y x
) ( log
3
27
5
3 ).
(
5
.
GV Luong Viet Hai - THPT Tuy Phong (suu tam)
Trang 2(Đáp án Thang điểm gồm 04 trang)
I.1 1.(1 điểm). Khi m = 1 hàm số trở thành: 4 2
2
y=x - x
· TXĐ: D = R
1
x
x
=
é
· Bảng biến thiên
0.25
· Đồ thị
0.25 I.2
2. (1 điểm) ' 3 ( 2 )
2
0
x m
=
é
=
ë Hàm số đã cho có ba điểm cực trị Û pt y = có ba nghiệm phân biệt và ' 0 y đổi dấu khi '
· Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:
.
2
SV = y -y x -x = m m ; 4
AB= AC= m +m BC= m
0.25
3
2
1
2
2
ABC
m
AB AC BC
=
é
ê =
ê
V
0.25 II.1 * ĐK:cosx ¹ 0 . PT 3 3
sin x cos x cos 2 (2 cos x x sin ) x
0.25 (sin x cos ).cos (2sin x x x cos ) x 0
sin x cos x 0; 2 sin x cos x 0
1
0.25
8
6
4
2
2
4
6
8
Trang 3* với x³2 Bpt đã cho tương đương: x - 2 ³ x - 1 + 2 x - 1 vô nghiệm 0.25
*x
2
1
£ : Bpt đã cho tương đương: 2 - x + 1 - x ³ 1 - 2 x c ó nghiệm x
2
1
£
2
s in 2 c o s s in x o s
2
0.25
Đặt t =1+ cos x Þ dt = - sin x dx , cos x = t - 1
2
0.25
III
I =
-
=
1
2
t
0.25 Theo đlý cosin ta có: BC = a 7
Theo Pitago ta được: MB = 2 3a ; MA1=3a
Vậy MB2+MA12 =BA1 2 = 21 a 2 ÞMA 1 ^ MB
0.50
Ta lại có:
V = d M ABA S = d S
d M ABA =d C ABA = a
1
2
1
1
2
ABA
S = AB AA = a
0.25
IV
1
2
1
1
2
MBA
3
a
d
Þ =
0.25
V Do a2 + b2 + c 2 = 9 nên ít nhất một bình phương lớn hơn hoạc bằng 3.
Giả sử c2 ³ Þ 3 a2 + b 2 £ 6
2( a + b ) + (2 - ab c ) £ (4 + (2 - ab ) )(( a + b ) + c )
VT 2 £ (8 - 4 ab + a b2 2 )(9 + 2 ab )
Ta sẽ CM (8 - 4 ab + a b2 2 )(9 + 2 ab ) 100 £
2( ab ) ( ab ) 20 ab 28 0
2( ab ) ( ab ) 20 ab 28 0 (2 ab 7)( ab 2) 0
A
M
C 1
B 1
B
A
C
Trang 4D
I
B N'
M
6
a b
ab £ + £ = Þ ab - < . Vậy BDT Đúng
VI.a1 Tọa dộ giao điểm I của d và d’ là nghiệm của hệ phương trình
9
;
2
x
x y
I
x y
y
ì
=
ï
- - =
ï
î
Do vai trò của A, B, C, D là như nhau nên giả sử M là trung điểm của AD
( )
0.25
Ta có: AB=2IM = 3 2
Theo giả thiết S ABCD = AB AD =12Þ AD = 2 2
Lại có MA=MD = 2 Þ tọa độ điểm A, D là nghiệm cuẩ hệ phương trình
2;1 ; 4; 1
+ - =
ï
ï
î
0.25
Do I là trung điểm của AC nên C(7; 2) TT: I là trung điểm của BD nên B(5;
. Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;2) R= 12+22+ -( 2)2 + 16 =5. 0.25 mp(P) có dạng: 2x+2y + + = ( z c 0 c ¹ - 3 )
. Do chu vi đường tròn bằng 8p nên bán kính r = 4
0.25
d I P = R -r = Û 4+c = 9
13
c
c
=
= -
0.25
VI.a2
KL: ( P ) 2 1 x+2y+ + = z 5 0 ( P ) 2 2 x+2y+ -z 13= 0 0.25
Đặt
0.5
Dẫn đến:
Nên kế hợp lại ta được số phức :
'
'
ì
í
î
0.25
Trang 5Phương trình đường thẳng AB:4x + 3y – 1 = 0
Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB:
4.2 3.1 1
2
4 3
d = + - =
+
0.25
AC = 2. BD nên AI = 2 BI, đặt BI = x, AI = 2x trong tam giác vuông ABI có:
4
Điểm B là giao điểm của đường thẳng 4x + 3y – 1 = 0 với đường tròn tâm I bán kính 5
Tọa độ B là nghiệm của hệ: 4x 3y – 1 2 2 0
(x 2) (y 1) 5
ì
í
î
B có hoành độ dương nên B( 1; 1)
0.25
VIb2.
.Gọi ( ;0; 0)C a Î Ox . ( ;( )) 2
3
a
d C P =
0.25
;
( ;( ))
MC u
d C
u
D
D =
uuuur uur
(1; 0; 2) ( 1; 0; 2)
(1; 2; 2)
M
u D
-
= -
=
uuuur
uur
. éëMC uuuuur uur ; D ù = -û ( 4; 4 2 ; 2(- a a - 1))
0.25
2
( ;( ))
3
d C D = - + = ( ;( )) 2
3
a
d C P = Û a = 3 Vậy (3; 0; 0) C
0.25
x y z
x y z
VIIb ĐK: x+y > 0
Hệ đã cho Û
3
5
27
x y
x y
x y
x y
-
-
ì + =
ï
í
ï + =
î
Û
3
3
5
27
x y
x y
x y
x y
-
-
-
ì
=
ï
í
ï + =
Û
3
3
3
3
x y
x y
x y
x y
- -
- -
-
ì
í
ï + =
î
( ) 5 x y
x y
x y -
- - =
ì
í
î
(2 3) 125
y x
x
= -
ì
í
- =
3
2 3 5
y x
x
= -
ì
Û í
- =
î
1
x
y
=
ì
í
=
î
thỏa mãn điều kiện.
0.25
Hết
