(SKKN HAY NHẤT) định hướng giải phương trình vô tỉ bằng máy tính bỏ túi

Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh ĐỊNH HƢỚNG GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG MÁY TÍNH BỎ TÚI I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Mơn Tốn trường phổ thơng giữ vị trí, vai trị quan trọng Là mơn học bản, môn học công cụ Nếu học tốt mơn tốn tri thức với phương pháp làm việc tốn trở thành cơng cụ để học tốt mơn học khác Mơn Tốn góp phần phát triển nhân cách, việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ toán học cần thiết; mơn tốn cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo bồi dưỡng óc thẩm mĩ Trong chương trình tốn học bậc trung học phổ thơng, phương trình vơ tỉ tốn mà học sinh thường gặp nhiều khó khăn làm, nhiều em mặc định bỏ qua thi kì thi Quốc Gia LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác chức máy tính bỏ túi (Trong phần trình bày sang kiến kinh nghiệm tơi sử dụng máy tính Casio fx570vn, máy tinh tương đương làm tương tự) Với hướng sử dụng cơng cụ máy tính bỏ túi quen thuộc với học sinh, em thấy điểm xuất phát tốn từ định hướng giải phương trình vơ tỉ Đó lí để chọn đề tài: “ Định hƣớng giải phƣơng trình vơ tỉ máy tính bỏ túi” II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận vấn đề: Như ta biết phương trình f ( x)  có nghiệm x1 , x2 , x3 , f ( x) phân tích theo nhân tử: ( x  x1 )( x  x2 )( x  x3 ) Do dựa vào chức qr(Shift solve) ta tìm vài nghiệm phương trình từ ta dự đốn nhân tử phương trình Cơ sở thực tiễn vấn đề: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Xuất phát từ thực tế giảng dạy học sinh thường khó hình dung phải làm tốn phương trình vơ tỉ đề thi Quốc Gia đại đa số em bị động trước dạng tốn phương trình vơ tỉ Vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh có cách nhìn hướng phương trình vơ tỉ đề thi Quốc Gia Từ giúp em chủ động lĩnh hội đơn vị kiến thức III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Các kĩ thuật sử dụng máy tính có liên quan 1.1 Nhớ giá trị vào biền nhớ Ví dụ: Ta cần nhớ số vào biến A Ta thực sau:s2qJz Màn hình xuất  A 1.2 Tìm nghiệm phƣơng trình Ví dụ: Tìm nghiệm phương trình x5  3x2  x  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Để thuận tiện cho việc tính tốn ta nên đưa hết vế Khi phương trình tương đương với x5  3x2  2x   Ta thực sau: B1 Nhập nhớ biểu thức: Q)^5$+3Q)dp2Q)p3= B2 Tìm nghiệm nhớ nghiệm: qr10=qJz (Với điểm xuất phát x  10 ta nghiệm 1,0965… nhớ vào A) Eqrp10=qJx (Gọi lại biểu thức giải với x  10 ta nghiệm -1,4314…được nhớ vào B) 1.3 Kỹ thuật quét nghiệm phƣơng trình Thông thường ta gán giá trị x khác ta vài nghiệm Vấn đề đặt phương trình hết nghiệm chưa? Ta giải vấn đề sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1=== (Chèn nhớ biểu thức Trần Văn Minh x5  3x  x  ) ( x  A)( x  B) qr===qJc (Ta nghiệm -0,7601… nhớ vào biến C E!!(J)pJc)r1==== (Gọi lại biểu thức, chèn nhớ biểu thức x5  3x  x  ) ( x  A)( x  B)( x  C ) qr==== (Tiếp tục giải máy báo Can’t Solve) Vậy phương trình cho có nghiệm Kiểm tra lại phần mềm vẽ đồ thị thấy phương trình có nghiệm 1.4 Chú ý - Khi sử dụng máy tính lạ ta nên đư máy trạng thái mặc định ( q93==) để tránh lỗi - Máy báo chưa tìm nghiệm Ví dụ:Khi giải phương trình x5  3x  x   với x  máy báo LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Điều có nghĩa máy chưa tìm nghiệm phương trình với giá trị ban đầu x  máy hỏi có tiếp tục để máy tính tiếp khơng Kinh nghiệm nên thay giá trị ban đầu khác (Khi máy tính đến thời gian mà khơng nghiệm máy báo “Continue” – có tiếp tục tính ấn dấu = Ở L – R có nghĩa vế trái trừ vế phải giá trị x hiển thị) Các tốn minh họa 2.1 Phƣơng trình vơ tỉ có nghiệm hữu tỉ Phƣơng pháp chung: Tìm nhân tử tách theo nhân tử để nhân liên hợp Ví dụ 1: Giải phương trình 3x    x  3x2 14 x   (trích đề khối B2010) a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện   x  s3Q)+1$ps6pQ)$+3Q)dp14Q)p8= (Nhập nhớ biểu thức) qr0= (Giải phương trình với x  máy báo khơng có nghiệm) $qr6= (Giải phương trình với x  máy báo khơng có nghiệm) $qr3= (Giải phương trình với x  phương trình có nghiệm x  (Lưu ý: Khi phương trình có điều kiện nằm khoảng (đoạn) khơng nên cho điểm xuất phát gần hai đầu mút ) !)aQ)p5Eoqr3= (quét nghiệm phương trình ta phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử Phương trình có nghiệm x  nên ta có nhân tử x  3( x  5)  3x   16  ( 3x  1)  42 Do ta có  2  ( x  5)   x   (  x )  Như phương trình viết lại LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi  Trần Văn Minh 3x       x  1  3x  14 x   (Ở việc nhóm số hạng với hai biểu thức dễ) Nhân lượng lên hợp ta 1 x 5 5 x     (3x  1)     ( x  5)(3x  1)   ( x  5)   x 1 3x    x 1  3x    c Lời giải chi tiết ĐK:   x  pt   3x       x  1  3x  14 x    x 5 5 x   ( x  5)(3x  1)  3x    x 1 1    ( x  5)    (3x  1)    x 1  3x    x    1    (3x  1)   x 1  3x   * * x    x  ( n) 1   (3x  1)  (VN ) 3x    x 1 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Vì với   x  ta có Trần Văn Minh 1   (3x  1)  3x    x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x  Ví dụ2: Giải phương trình x2  x   21x  17  x2  x  a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x  17 21 s2Q)dpJ)+3$ps21J)p17$+J)dpJ) (Nhập biểu thức) qr2= (Giải phương trình với x  ta nghiệm x  ) qr10= ( Giải phương trình với x  10 ta nghiệm x  ) !)aQ)p2Eoqr10= (quét nghiệm phương trình ta nghiệm x  ) !Rr3=!!!!!($$$)(Q)p1)qr10= (tiếp tục quét nghiệm phương trình ta phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử Phương trình có nghiệm x  1, x  nên ta có nhân tử ( x 1)( x  2)  x2  3x  11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh  2 2  x  3x   x  x   ( x  x  1)   x  x    ( x  1) Do ta có  2    x  x   x  x  2x   Như phương trình viết lại  x2  x   ( x  1)   (3x  1)  21x  17   ( x  3x  2)  (Ở việc nhóm số hạng với 21x  17 tương đối phức tạp nên ta dùng phần bù ) Nhân lượng lên hợp ta x  3x  2 x  x   ( x  1)  x  27 x  18  ( x  3x  2)  (3x  1)  21x  17    ( x  3x  2)    1   x  x   ( x  1) (3x  1)  21x  17  c Lời giải chi tiết ĐK: x  17 21 pt   x  x   ( x  1)   (3x  1)  21x  17   ( x  3x  2)  x  3x  x  27 x  18    ( x  3x  2)  x  x   ( x  1) (3x  1)  21x  17    ( x  3x  2)    1   x  x   ( x  1) (3x  1)  21x  17  12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Vậy phương trình cho có nghiệm x  Trần Văn Minh  17 Ví dụ 2: Giải phương trình x2   15  x2  x   15  15x  x3  x (Trích đề thi thử năm 2015 trường THPT Cao Bá Qt - QN) a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện  x  15 Q)dp2(s15pJ)d$+J))p15+3s15J)pJ)qd$+4sQ)r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz (Giải phương trình với x  nghiệm x  2,35 nhớ vào A) E!)aJ)pJzEor1==qr== (quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Trong trường hợp máy cho ta nghiệm vơ tỉ cịn nghiêm liên hợp bị loại vi phạm điều kiện Mặt khác phương trình có nhiều nên việc mở rộng diều kiện phương trình tương đối khó 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Ở ta khác phục chức Table (w7) sau w7Jzd+JzJ)=p14=14== (Nhập biểu thức f ( x)  A2  AX với A nghiệm vừa tìm tính với x   14;14 ) $RRRRRRRRRRRRRRRRRR (Dò giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (4)  15 hay ta có A2  A  15  A2  A 15  Suy ta có nhân tử x2  x  15 2 2  ( x  x  15)  15  x  x  ( 15  x )  (2 x ) Do ta có  3 2   x( x  x  15)  15 x  x  x  ( 15 x  x )  (2 x) Như phương trình viết lại 2  15  x2  x    15 x  x3  x   x  x  15  Nhân lượng lên hợp ta 2 15  x  x 15  x  x 3 15 x  x3  x 15 x  x  x  x  x  15  20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh 3x    ( x  x  15)    1  15 x  x  x   15  x  x c Lời giải chi tiết ĐK:  x  15 pt  2  15  x  x    15 x  x3  x   x  x  15  15  x  x  2 15  x  x 3 15 x  x3  x 15 x  x  x  x  x  15  3x    ( x  x  15)    1  15 x  x  x   15  x  x  x  x  15    23 x  15  x  x    *  x  2  19 ( n) x  x  15     x  2  19 ( l) 23 x * 15  x  x    15  x  (2  x )  (VN ) Vì với  x  15 ta có  x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  2  19 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Nhận xét: Như phương trình bất phương trình cho ta đủ hai nghiệm lên hợp việc tìm nhân tử theo định lí Vi – ét dễ dàng Tuy nhiên phương trình cho ta nghiệm vơ tỉ ta tìm nhân tử nhờ chức Table Mở rộng cho bất phương trình vơ tỉ Ví dụ 3: Giải phương trình x2  19 x x 1   6x 1  (Trích đề thi thử năm 2015 trường THPT Hồng Quang - HD) a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x  Ta biến đổi bất phương trình thành x2  38x 1  x 1  x   s4Q)d+38Q)p1$p2s6Q)p1$pQ)p1r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x  nghiệm x  0,58 nhớ vào A) qr=qJzEqr10=qJx (Giải phương trình với x  10 nghiệm x  3, 41 nhớ vào B) 22 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh E!)a(J)pJz)(J)pJx)Eor1===qr=== (quét nghiệm máy khơng tìm nghiệm giá trị x   phương trình hết nghiệm) b Tìm nhân tử A  B   AB  Phương trình có nghiệm A, B dễ thấy  nên ta có nhân tử x2  x  Do ta có 4( x2  x  2)  x2  38x   (54 x  9)  ( x2  38x  1)2  (3 x 1)2 Như phương trình viết lại  x2  38x 1  x 1   x 1  ( x  1)  Nhân lượng lên hợp ta 4( x  x  2) x  38 x   x   x   ( x  x  1) 0 x   ( x  1)    ( x  x  2)   0 x   ( x  1)   x  38 x   x  c Lời giải chi tiết 23 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi ĐK: x  Trần Văn Minh bpt  x  38 x   x   x     x  38 x   x    x   ( x  1)  4( x  x  2)  x  38 x   x   x   ( x  x  1) 0 x   ( x  1)    ( x  x  2)   0 x   ( x  1)   x  38 x   x  Do x  nên ta có  4( x  1)  (4 x2  38x 1)  12 x2  x  17   4( x  1)  x2  38 x 1 Ta có  (*) x  38 x   x     x   ( x  1) x   4( x  1)  x  38 x  x   ( x  1)   x  38 x   x    x  x   bpt (*)  x  x      x   Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình  x   2; x   2.3 Chú ý 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Ngồi cách tìm nhân tử tách theo nhân tử để nhân liên hợp dạng phương trình, vơ tỉ cịn làm theo cách tách thành phương trình tích (Phương pháp ép tích) Ví dụ 1: Giải phương trình ( x 1) 3x 1  x2  x  (Trích đề số – hướng dẫn ơn tập kì thi THPTQG năm 2014 – 2015) a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x  (J)p1)s3J)p1$p2Q)d+4Q)p1 r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x  nghiệm x  0.38 nhớ vào A) Eqr10=qJx (Giải phương trình với x  10 nghiệm x  2,61 nhớ vào B) EE!)a!R(J)pJz)J(J)pJx)$or10===qr===qJc (quét nghiệm phương trình ta nghiệm x  0.35 nhớ vào C ) 25 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh E!!(J)pJc)r10====qr==== (Tiếp tục quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy A  B  3, AB  A B hai nghiệm liên hợp cho ta nhân tử Ở ta dung chức Table (w7) để tìm nhân tử sau w7s3Jzp1$+JzJ)=p5=== (Nhập biểu thức A   AX với A nghiệm vừa tìm tính với x   5;5 ) $RRRR (Dị giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (1)  hay ta có 3x   x nhân tử Tương tự với nghiệm C C$$$oJc$$$$$oJc==== $RRRRRRR 26 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Ta thấy với f (2)  1hay ta có 3x   x 1 nhân tử Do phương trình có tích  3x   x  3x 1  x 1 c Lời giải chi tiết ĐK: x  pt  (2 x   x) 3x   x(2 x  1)  (3x  1)  (2 x  1)  x   x   3x   x  3x      3x   x  3x   x  1   3x   x   3x    x * * 3x   x  3x   x  x  3x    x  3 (do x  )  x 1     17 x  x   3x    x     x 2 3x   x  x  4 x  x    x   17    Vậy phương trình cho có nghiệm x  3  17 ,x  Ví dụ 2: Giải phương trình (5x  7) x2   x2  5x  a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm 27 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x  1; x  1 (5J)+7)sJ)dp1$p4J)dp5J)p1r1= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x  nghiệm x  nhớ vào A) Eqr10=(Giải phương trình với x  10 nghiệm A) qrp10=qJx (Giải phương trình với x  10 nghiệm x  1,18 nhớ vào B) qrp1=(Giải phương trình với x  nghiệm x  1 ) EE!)a(J)pJz)(J)pJx)9(J)p1)Eoqr==p10= (Quét nghiệm phương trình máy báo hết nghiệm) b Tìm nhân tử Ta thấy phương trình có nghiêm hữu tỉ vơ tỉ theo kinh nghiệm ta nên phân tích theo nghiệm vơ tỉ w7sJxdp1$+JxJ)=p5=== 28 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi (Nhập biểu thức Trần Văn Minh B2   BX với B nghiệm vừa tìm tính với x   5;5 ) $RRR (Dị giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy với f (2)  hay ta có x2   x  nhân tử Theo ví dụ ta tách 5x  theo x  c Lời giải chi tiết ĐK: x  1; x  1 pt  (4 x   x  1) x   ( x  1)(2 x  3)  x   ( x  1)  x   x  3  x   x   x      x   x  3 x   x     x2 1  2x    x   x  * *  x 3    6  x   x    x2   x      x 2  x   x2  12 x  3x2  x  10   x  6      x  1  x  1   x  1  x  1   x  1  2 x 1  x        x  5 4 x   x  x  3x  x    x     29 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Vậy phương trình cho có nghiệm x  Trần Văn Minh 6  ; x  1; x  3 Mở rộng cho bất phương trình vơ tỉ Ví dụ 3: Giải bất phương trình x2  3( x  1) x   a Tính tốn máy tính để tìm nghiệm Tìm nghiệm phương trình ý điều kiện x   2Q)dp3(J)+1)s2J)+1r0= (Nhập nhớ biểu thức) qr=qJz(Giải phương trình với x  nghiệm x  6.46 nhớ vào A) Eqr10=(Giải phương trình với x  10 nghiệm A) !)a(J)pJz)Eor1==qr==qJx (Quét nghiệm phương trình nghiệm x  0.46 nhớ vào B) E!!(J)pJx)r1===qr=== (tiếp tục quét nghiệm may báo hét nghiệm) 30 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh b Tìm nhân tử Ta thấy AB  A  B  nên A, B cho ta nhân tử Với nghiệm A ta có w7s2Jzp1$po+JzJ)=0=== (Nhập biểu thức A   AX với A nghiệm vừa tìm tính với x  0;5 ) $RRRRR (Dị giá trị f ( x) tìm giá trị hữu tỉ) Ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Cp====$RRRRR (Sửa biểu thức thành  A   AX tính với x  0;5 ) không thỏa mãn C$2====$RRRRR (Sửa biểu thức thành 2 A   AX tính với x  0;5 ) lần ta f (1)  1 Vậy nhân tử là: x   x  c Lời giải chi tiết 31 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi ĐK: x   Trần Văn Minh bpt   x  1)  4( x  1)  x   2( x  1)  (4 x  2)   2( x  1)  x   x    x   x   x      x   x   x   x     2x 1  x 1  8x   x2  x  1   Do x   x 1  x 1  x 1 1  x     2 1   Do x     2  x2  x      x   ( n) Vậy nghiệm bất phương trình   x   IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI - Với việc áp dụng phương pháp vào giảng dạy thấy hứng thú học học sinh làm tạp dạng nâng cao nhiều Các em học sinh đa biết đường hướng dể làm khơng cịn bị động gặp dạng toán Một số em cịn chủ động tìm kiếm thêm tập để làm 32 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh - Trong q trình ơn thi học sinh giỏi 12 năm câu phương trình, bất phương trình vơ tỉ em chủ động làm khác với năm trước em vất vả làm câu phương trình bất phương trình vơ tỉ V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Đề tài có phạm vi áp dụng thực tế đạt hiệu nhóm ơn thi học sinh giỏi lớp 12 Trên sở đó, đề xuất đưa dụng thực tiễn cho toàn học sinh khối12 trường 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Vậy phương trình cho có nghiệm x  Trần Văn Minh 6  ; x  1; x  3 Mở rộng cho bất phương trình vơ tỉ Ví dụ 3: Giải bất phương trình x2... add luanvanchat@agmail.com Định hướng giải phương trình vô tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh - Trong q trình ơn thi học sinh giỏi 12 năm câu phương trình, bất phương trình vơ tỉ em chủ động làm khác với.. .Định hướng giải phương trình vơ tỉ máy bỏ túi Trần Văn Minh Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác chức máy tính bỏ túi (Trong phần trình bày sang