SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CÀ MAU ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN Năm học 2022-2023 Môn thi: Toán (Chuyên) Ngày thi: 22/6/2022 Thời gian: 150 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài 1.(1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau A = 17 − + + ( −3 ) B = 4+ − 4− Bài (1,0 điểm) Giải phương trình : a ) x x − 12 = x − x + 12 b) x−4 = + 2 x + 2x − x x − 2x ( P) : y = Bài (1,5 điểm) Cho Parabol a) b) Chứng tỏ đường thẳng Khi độ m= , Oxy vẽ Parabol ( d) ( P) x đường thẳng ( d ) : y = 2mx + cắt (P) hai điểm phân biệt đường thẳng ( d) mặt phẳng tọa tìm tọa độ giao điểm chúng 3000 Bài (1,5 điểm) Một xí nghiệp chế biến thủy sản dự kiến đóng hộp tơm xuất thời gian định Trong ngày đầu họ thực tiến độ, ngày sau ngày đóng vượt 10 hộp tơm xuất nên hồn thành sớm ngày mà cịn vượt mức 60 hộp tôm xuất Hỏi theo dự kiến, ngày xí nghiệp đóng hộp tôm xuất ? Bài (1,0 điểm) Cho số " " viết lặp lại M = 2018 + 120 + 120 + + 120 2022 lần) Chứng minh Bài (1,0 điểm) Tìm cặp số nguyên a + b = a + b + ab 2 ( a; b ) (trong dấu bậc ba 2022 < M < 2023 thỏa mãn đẳng thức : Bài (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính điểm C cố định (khác A B) Kẻ BC lấy điểm : a) E Tứ giác CD vng góc với (khác C B), đường thẳng KDBE AB, AE nửa đường tròn lấy AB (D thuộc AB) Trên cung cắt CD K Chứng minh nội tiếp đường tròn AC = AK AE b) Chứng minh c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng cố định E thay đổi cung CEK BC nằm đường ĐÁP ÁN Bài 1.(1,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau A = 17 − + + ( − 5) = ( −3 ) ( ) = 17 − + + − + 3− = − + 3− =1 2B = + − − = + − − = + − ( ) −1 = ⇒ B = Bài (1,0 điểm) Giải phương trình : a ) x x − 12 = x − x + 12 x≥ Điều kiện : 12 Đặt a = x − 12 ( a ≥ ) , ta có phương trình : xa = x − a ⇔ ( x − a ) ( x + a ) = ⇔ x = a (do x + a > 0) 2 x ≥ x = ⇒ x − 12 = x ⇔ ⇔ x = (tm) 7 x − 12 = x Vậy b) S = { 3; 4} x−4 = + 2 x + 2x − x x − 2x Điều kiện : x ≠ 0; x ≠ ±2 Phương trình cho tương đương với : x = 2(ktm) x − 5x + =0⇔ x ( x − 2) ( x + 2) x = 3(tm) Vậy x=3 ( P) : y = Bài (1,5 điểm) Cho Parabol c) ( d) x đường thẳng ( d ) : y = 2mx + Chứng tỏ đường thẳng ln cắt (P) hai điểm phân biệt Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : x = 2mx + ⇔ x − 4mx − = ∆ ' = 4m + > 0, ∀m Suy phương trình ln có hai nghiệm phân biệt, tức đường thẳng Parabol d) ( P) Khi ( d) cắt hai điểm phân biệt m= , vẽ Parabol ( P) đường thẳng ( d) mặt phẳng Oxy tọa độ tìm tọa độ giao điểm chúng Học sinh tự vẽ (P) Phương trình hồnh độ giao điểm (P) đường thẳng (d) : x =1⇒ y = 2 x = x + ⇔ 3x − x − = ⇔ 2 x = − ⇒ y = 3 Vậy tọa độ giao điểm 3 2 A 1; ÷, B − ; ÷ 2 3 3000 Bài (1,5 điểm) Một xí nghiệp chế biến thủy sản dự kiến đóng hộp tơm xuất thời gian định Trong ngày đầu họ thực tiến độ, ngày sau ngày đóng vượt 10 hộp tơm xuất nên hồn thành sớm ngày mà vượt mức 60 hộp tôm xuất Hỏi theo dự kiến, ngày xí nghiệp đóng hộp tơm xuất ? x Gọi (hộp/ngày) suất dự kiến xí nghiệp ( x ∈ ¥ *) 3000 x Suy thời gian dự kiến: (ngày) Theo ta có phương trình : x = 120(tm) 3000 6x + − − ÷ ( x + 10 ) = 3000 + 60 ⇔ x + 130 x + 30 000 = ⇔ x x = −250 ( ktm ) Vậy dự kiến, ngày xí nghiệp đóng 120 hộp tơm xuất Bài (1,0 điểm) Cho số ba " Đặt " viết lặp lại M = 2018 + 120 + 120 + + 120 2022 lần) Chứng minh (trong dấu bậc 2022 < M < 2023 A = 120 + 120 + + 120 Dễ thấy điều phải chứng minh tương đương với 4< A 120 > 64 = 43 ⇒ A > ( 1) Ta thấy Ta có nhận xét : A3 − 120 < A ⇒ ( A − ) ( A2 + A + 24 ) < ⇔ A < (do A2 + A + 24 > ∀A > 0) ( ) Từ (1) (2) ⇒ < A < ( dfcm ) Bài (1,0 điểm) Tìm cặp số nguyên ( a; b ) thỏa mãn đẳng thức : a + b = a + b + ab 2 a + b = a + b + ab ⇔ ( a − 1) + ( b − 1) + ( a − b ) = 2 ⇒ ( a − 1) , ( b − 1) , ( a − b ) 2 2 số phải có hai số số Giải trường hợp, ta thu nghiệm nguyên : ( a; b ) ∈ { ( 1; ) ; ( 2;1) ; ( 1; ) ; ( 0;1) ; ( 0;0 ) ; ( 2; ) } Bài (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính điểm C cố định (khác A B) Kẻ cung BC lấy điểm E CD AB, vng góc với nửa đường tròn lấy AB (khác C B), đường thẳng (D thuộc AB) Trên AE cắt CD K Chứng minh : d) Tứ giác Ta có : KDBE nội tiếp đường trịn ∠KEB = 90° ∠KDB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) (vì CD vng góc với AB D) ⇒ ∠KEB + ∠KDB = 90° + 90° = 180° ⇒ KDBE e) tứ giác nội tiếp Chứng minh Tứ giác Suy Ta có , mà D E hai đỉnh đối KDBE AC = AK AE nội tiếp ⇒ ∠AKD = ∠ABC ⇒ ∆ADK ∽ ∆AEB( g g ) AD AE = ⇒ AD AB = AK AE ( 1) AK AB ∠ACB = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tam giác AC = AD AB ( ) C có CD đường cao, theo hệ thức lượng: ACB vuông Từ (1) (2) f) ⇒ AC = AK AE ( dfcm ) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng cố định E thay đổi cung Gọi I tâm đường trịn Từ CEK ln nằm đường BC ( CEK ) AC = AK KE ⇒ ∆AKC ∽ ∆ACE (c.g.c) ⇒ ∠ACK = ∠CEK Suy AC tiếp tuyến đường tròn Suy điểm B, I , C ( CEK ) ⇒ IC ⊥ AC , mà BC ⊥ AC thẳng hàng hay I thuộc đường thẳng BC − cố định ... Bài (1,0 điểm) Cho số ba " Đặt " viết lặp lại M = 2018 + 120 + 120 + + 120 2022 lần) Chứng minh (trong dấu bậc 2022 < M < 2023 A = 120 + 120 + + 120 Dễ thấy điều phải chứng minh tương đương với... Suy thời gian dự kiến: (ngày) Theo ta có phương trình : x = 120(tm) 3000 6x + − − ÷ ( x + 10 ) = 3000 + 60 ⇔ x + 130 x + 30 000 = ⇔ x x = −250 ( ktm ) Vậy dự kiến, ngày xí nghiệp... dự kiến đóng hộp tơm xuất thời gian định Trong ngày đầu họ thực tiến độ, ngày sau ngày đóng vượt 10 hộp tơm xuất nên hoàn thành sớm ngày mà cịn vượt mức 60 hộp tơm xuất Hỏi theo dự kiến, ngày xí