SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi : TỐN (Chun) Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày : 14-16/2/2022 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : A= 507 + 13 − 48 − 25 x, y b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn x3 + x = y + y Câu (1,0 điểm) Cho parabol (d) qua điểm ( P ) : y = x2 3 A 1; ÷ 2 đường thẳng ( d ) : y = ax + b có điểm chung với Tìm hệ số a; b biết ( P) Câu (2,0 điểm) a) b) Giải phương trình 3 − x − x + x − − x2 + x = Giải hệ phương trình 2 x + y + x + y − xy = 2 4 x + y + x − y + xy = Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn NP ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn đường trịn (O) vng góc với phân giác ∠ABC a) Chứng minh b) Chứng minh Câu (2,0 điểm) cắt AP I PI = PB ∠IMB = ∠INA BC ( O) Dựng đường kính M (P nằm cung nhỏ BC ) Tia Cho tam giác nhọn ABC điểm D bên tam giác cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy ABC cho ∠BDC = 2∠BAC (AD khơng vng góc với BC ) a) b) Chứng minh bốn điểm Chứng minh OD B , C , D, O nằm đường tròn đường phân giác Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương biểu thức tổng BD + CD OD hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng x, y , z ∠BDC thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn 1 P= + + 2 2 4+ x + y 4+ y + z + z + x2 ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Không dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : ( ) 13 − 48 = 13 − = − Ta có 507 = 13 ⇒ A = 13 + − − 25 = 15 − 26 = ( 3−2 x, y d) Tìm tất cặp số nguyên Ta có : A= thỏa mãn x3 + x = y + y ⇔ ( x3 − y ) + ( x − y ) = ) = 3−2 x3 + x2 = y3 + y 507 + 13 − 48 − 25 x = y = a ∈ ¡ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y + x + y ) = ⇔ 2 x + xy + y + x + y = ( *) ( *) ⇔ x + ( y + 1) x + y + y = ∆ x = ( y + 1) − ( y + y ) = −3 y − y + ≥ ⇔ −1 ≤ y ≤ ⇔ y ∈ { −1;0} y = −1 ⇒ x = y = ⇒ x = x = −1 Vậy nghiệm nguyên phương trình ( x; y ) = { ( a; a ) ; ( −1;0 ) ; ( 0; −1) } Câu (1,0 điểm) Cho parabol biết Vì ( d) ( P ) : y = x2 qua điểm ( d ) : y = ax + b 3 A 1; ÷ 2 qua đường thẳng ( d ) : y = ax + b có điểm chung với Tìm hệ số ( P) 3 3 A 1; ÷⇒ = a + b ⇒ b = − a ⇒ ( d ) : y = ax + − a 2 2 Ta có phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x = ax + 3 − a ⇔ x − ax + a − = ( *) 2 Để (P) (d) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm kép a=6⇒b=− 3 ⇔ ∆ = ⇔ ( − a ) − 4.2 a − ÷ = ⇔ a − 8a + 12 = ⇔ 2 a = ⇒ b = − ( a; b ) ∈ 2; − Vậy 1 ÷; 6; − ÷ 2 Câu (2,0 điểm) a; b c) Giải phương trình 3 − x − x + x − − x2 + 6x = 3 − x − 2x + x − − x2 + 6x = ⇔ 3 − x − 2x + x − − x + x + 6x = ( ) ⇔ − x − + x − 2x ⇔ ( Vậy d) ( ) 3+ x −3 = −2 x ≥ ⇔ x = −1 − x = −2 x ⇔ − x + 2x − + x = ⇔ 3 − x = x 3+ x = 3⇒ 3+ x = ⇔ x = )( x = −1; x = ) nghiệm phương trình Giải hệ phương trình 2 x + y + x + y − xy = 2 4 x + y + x − y + xy = ( x − y ) + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) + ( x − y ) = Đặt x − y = a, x + y = b , ta có hệ a + 2b = a − b − ( a − b ) = (a − b) ( a + b − ) = ⇔ ⇔ b + 2a = b + 2a = b + 2a = 2 x = a = b = ⇒ y = − a = b ⇔ a = b ( b − 1) ( b + 3) = x=− b + a = ⇔ ⇔ a = 3; b = −3 ⇔ a = 2−b y = b + 2a = x= a = − b ⇔ a = b =1⇒ y = − b + ( − b ) = −1 −9 ; ÷, ; ÷ 5 5 ( x; y ) = Vậy Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn kính BC ) c) NP ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn đường trịn (O) vng góc với Tia phân giác Chứng minh Ta có : ∠PBC = » sd PC ∠ABC BC ( O) Dựng đường M (P nằm cung nhỏ cắt AP I PI = PB ∠CBI = (chắn cung PC), ∠ABC (BI phân giác ∠ABC ) » ⇒ ∠PBI = ∠PBC + ∠CBI = sd PC + ∠ABC ( 1) 2 ∠BAI = » sd PB (góc nội tiếp chắn » ), ∠ABI = ∠ABC PB (BI phân giác ∠ABC ) ⇒ ∠BIP = ∠BAI + ∠ABI = Mà NP ⊥ BC nên P điểm Từ (1), (2),(3) d) NP Vì ⇒ ∠PBI = ∠BIP ⇒ ∆BPI Chứng minh ∠IMB = ∠INA đường kính (O) nên Xét tam giác NBP vng B có ⇒ PM PN = PI ⇒ ∠IPM chung ; Mà » sd PB + ∠ABC ( ) 2 PM PI = PI PN Xét » ⇒ PB » = PC » ( 3) BC cân P ∠NBP = 90° BM ⊥ NP ∆PMI ⇒ PB = PI (dfcm) (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ta có : ∆PIN PM PN = PB (hệ thức lượng) có : PM PI = ⇒ ∆PMI ∽ ∆PIN ⇒ ∠PMI = ∠PIN ⇒ ∠IMN = ∠NIA PI PN ∠IMN + ∠IMB = 90° ( BC ⊥ NP ) , ∠NIA + ∠INA = 90° chắn nửa đường tròn) ⇒ ∠IMB = ∠INA(dfcm) (Do ∠ANP = 90° : góc nội tiếp Câu (2,0 điểm) ABC Cho tam giác nhọn cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy điểm D bên tam giác góc với BC ) ABC cho ∠BDC = 2∠BAC (AD không vuông Chứng minh bốn điểm c) Ta có ∠BOC = 2∠BAC B, C , D, O nằm đường trịn (góc tâm góc nội tiếp chắn » ) BC ⇒ ∠BDC = 2∠BAC ( gt ) ⇒ ∠BOC = ∠BDC Xét tứ giác ⇒4 điểm d) BODC có B, O, D, C ∠BOC = ∠BDC , mà góc liền kề thuộc đường tròn Chứng minh OD đường phân giác Gọi phân giác tam giác AO kéo dài cắt BC H ⇒ AH ⊥ BC tứ giác ∠BDC hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng DM ⇒ BODC tổng OD BDC ( M ∈ BC ) (do tam giác ABC cân A) nội tiếp BD + CD Tứ giác DM nội tiếp nên phân giác giác Mà BODC OBC ∠BDC ∠ODB = ∠OCB ∠BDM = nên cân O, OH 1 ∠BDC = ∠BOC = ∠HOC 2 (OB=OC nên tam vừa đường cao vừa đường phân giác) ∠OCB + ∠HOC = 90° ( AH ⊥ BC ) ⇒ ∠ODM = ∠ODB + ∠BDM = 90° ⇒ OD ⊥ DM ⇔ OD +) Kéo dài Ta có BD đường phân giác ngồi cắt đường trịn (O) N Dựng ∆BDC AI vng góc với OD » ∠BDC = ∠BOC = sd BC ∠BDC = ∠DNC + ∠DCN ∠DNC = » sd BC (góc ngồi ∆DNC ) (góc nội tiếp chắn cung BC) ⇒ ∠DNC = ∠DCN = » sd BC ⇒ ∆DNC cân D nên DN = DC ⇒ DB + DC = DB + DN = BN Dựng đường kính ∠BKN = Có BK đường trịn (O) » » » sd BN = sd BC + sdCN 2 1 » » ∠AOI = ∠HOD = ∠HOC + ∠COD = ∠BOC + ∠CBD = sd BC + sdCN 2 ⇒ ∠BKN = ∠AOI ∠AIO = 90° ( AI ⊥ OD ) , ∠BNK = 90° ⇒ ∠AIO = ∠BNK Xét ∆AOI ∆BKN có : (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ∠BKN = ∠AOI ; ∠AIO = ∠BNK I ⇒ ∆AOI ∽ ∆BKN ⇒ BN BK R = = = ⇒ BN = AI ⇒ BD + CD = AI (dfcm) AI AO R Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương biểu thức x, y , z thỏa mãn xyz = 1 1 P= + + 2 2 4+ x + y 4+ y + z + z + x2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có : + x2 + y = + x2 + + y2 + ≥ x + y + ⇒ Tương tự 1 ≤ 2 4+ x + y ( x + y + 1) 1 1 ≤ ; ≤ 2 2 4+ y + z ( y + z + 1) + z + x ( z + x + 1) 1 1 ⇒P≤ + + ÷ x + y +1 y + z +1 z + x +1 Đổi biến ( x; y; z ) ⇒ ( a3 ; b3 ; c3 ) ⇒ abc = 1 1 1 + + = 3 + 3 + x + y + y + z + z + x + a + b + b + c + c + a3 + Ta có ⇒ a + b ≥ ab ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ( a + b) ≥ (luôn đúng) 1 abc c ≤ = = = a + b + ab ( a + b ) + ab ( a + b ) + abc ab(a + b + c) a + b + c a b ≤ ; ≤ 3 b + c +1 a + b + c c + a +1 a + b + c Tương tự : 1 c a b ⇒P≤ + + ÷= 2 a+b+c a+b+c a +b+c ⇒ Max P = ⇔ x = y = z = Tìm giá trị lớn