Đề vào 10 hệ chuyên môn toán 2022 2023 tỉnh quảng nam

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NAM KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2022-2023 Mơn thi : TỐN (Chun) Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Khóa thi ngày : 14-16/2/2022 ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có 01 trang) Câu (2,0 điểm) a) Khơng dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : A= 507 + 13 − 48 − 25 x, y b) Tìm tất cặp số nguyên thỏa mãn x3 + x = y + y Câu (1,0 điểm) Cho parabol (d) qua điểm ( P ) : y = x2  3 A 1; ÷  2 đường thẳng ( d ) : y = ax + b có điểm chung với Tìm hệ số a; b biết ( P) Câu (2,0 điểm) a) b) Giải phương trình 3 − x − x + x − − x2 + x = Giải hệ phương trình 2   x + y + x + y − xy =  2  4 x + y + x − y + xy = Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn NP ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn đường trịn (O) vng góc với phân giác ∠ABC a) Chứng minh b) Chứng minh Câu (2,0 điểm) cắt AP I PI = PB ∠IMB = ∠INA BC ( O) Dựng đường kính M (P nằm cung nhỏ BC ) Tia Cho tam giác nhọn ABC điểm D bên tam giác cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy ABC cho ∠BDC = 2∠BAC (AD khơng vng góc với BC ) a) b) Chứng minh bốn điểm Chứng minh OD B , C , D, O nằm đường tròn đường phân giác Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương biểu thức tổng BD + CD OD hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng x, y , z ∠BDC thỏa mãn xyz = Tìm giá trị lớn 1 P= + + 2 2 4+ x + y 4+ y + z + z + x2 ĐÁP ÁN Câu (2,0 điểm) c) Không dùng máy tính bỏ túi, rút gọn biểu thức : ( ) 13 − 48 = 13 − = − Ta có 507 = 13 ⇒ A = 13 + − − 25 = 15 − 26 = ( 3−2 x, y d) Tìm tất cặp số nguyên Ta có : A= thỏa mãn x3 + x = y + y ⇔ ( x3 − y ) + ( x − y ) = ) = 3−2 x3 + x2 = y3 + y 507 + 13 − 48 − 25 x = y = a ∈ ¡ ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y + x + y ) = ⇔  2  x + xy + y + x + y = ( *) ( *) ⇔ x + ( y + 1) x + y + y = ∆ x = ( y + 1) − ( y + y ) = −3 y − y + ≥ ⇔ −1 ≤ y ≤ ⇔ y ∈ { −1;0}  y = −1 ⇒ x =   y = ⇒ x =  x = −1   Vậy nghiệm nguyên phương trình ( x; y ) = { ( a; a ) ; ( −1;0 ) ; ( 0; −1) } Câu (1,0 điểm) Cho parabol biết Vì ( d) ( P ) : y = x2 qua điểm ( d ) : y = ax + b  3 A 1; ÷  2 qua đường thẳng ( d ) : y = ax + b có điểm chung với Tìm hệ số ( P) 3  3 A 1; ÷⇒ = a + b ⇒ b = − a ⇒ ( d ) : y = ax + − a 2  2 Ta có phương trình hoành độ giao điểm (P) (d): x = ax + 3 − a ⇔ x − ax + a − = ( *) 2 Để (P) (d) có điểm chung phương trình (*) có nghiệm kép  a=6⇒b=−  3  ⇔ ∆ = ⇔ ( − a ) − 4.2  a − ÷ = ⇔ a − 8a + 12 = ⇔  2  a = ⇒ b = −   ( a; b ) ∈  2; − Vậy  1   ÷;  6; − ÷ 2   Câu (2,0 điểm) a; b c) Giải phương trình 3 − x − x + x − − x2 + 6x = 3 − x − 2x + x − − x2 + 6x = ⇔ 3 − x − 2x + x − − x + x + 6x = ( ) ⇔ − x − + x − 2x ⇔ ( Vậy d) ( ) 3+ x −3 =   −2 x ≥ ⇔ x = −1  − x = −2 x ⇔  − x + 2x − + x = ⇔  3 − x = x   3+ x = 3⇒ 3+ x = ⇔ x = )( x = −1; x = ) nghiệm phương trình Giải hệ phương trình 2   x + y + x + y − xy =  2  4 x + y + x − y + xy = ( x − y ) + ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) + ( x − y ) = Đặt x − y = a, x + y = b , ta có hệ  a + 2b =  a − b − ( a − b ) = (a − b) ( a + b − ) = ⇔ ⇔  b + 2a = b + 2a = b + 2a = 2       x =  a = b = ⇒    y = −  a = b   ⇔   a = b   ( b − 1) ( b + 3) =   x=−   b + a =    ⇔ ⇔  a = 3; b = −3 ⇔  a = 2−b  y =        b + 2a =    x=   a = − b  ⇔ a = b =1⇒   y = −  b + ( − b ) =   −1   −9  ; ÷,  ; ÷ 5   5 ( x; y ) =  Vậy Câu (2,0 điểm) Cho tam giác nhọn kính BC ) c) NP ABC ( AB < AC ) nội tiếp đường trịn đường trịn (O) vng góc với Tia phân giác Chứng minh Ta có : ∠PBC = » sd PC ∠ABC BC ( O) Dựng đường M (P nằm cung nhỏ cắt AP I PI = PB ∠CBI = (chắn cung PC), ∠ABC (BI phân giác ∠ABC ) » ⇒ ∠PBI = ∠PBC + ∠CBI = sd PC + ∠ABC ( 1) 2 ∠BAI = » sd PB (góc nội tiếp chắn » ), ∠ABI = ∠ABC PB (BI phân giác ∠ABC ) ⇒ ∠BIP = ∠BAI + ∠ABI = Mà NP ⊥ BC nên P điểm Từ (1), (2),(3) d) NP Vì ⇒ ∠PBI = ∠BIP ⇒ ∆BPI Chứng minh ∠IMB = ∠INA đường kính (O) nên Xét tam giác NBP vng B có ⇒ PM PN = PI ⇒ ∠IPM chung ; Mà » sd PB + ∠ABC ( ) 2 PM PI = PI PN Xét » ⇒ PB » = PC » ( 3) BC cân P ∠NBP = 90° BM ⊥ NP ∆PMI ⇒ PB = PI (dfcm) (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ta có : ∆PIN PM PN = PB (hệ thức lượng) có : PM PI = ⇒ ∆PMI ∽ ∆PIN ⇒ ∠PMI = ∠PIN ⇒ ∠IMN = ∠NIA PI PN ∠IMN + ∠IMB = 90° ( BC ⊥ NP ) , ∠NIA + ∠INA = 90° chắn nửa đường tròn) ⇒ ∠IMB = ∠INA(dfcm) (Do ∠ANP = 90° : góc nội tiếp Câu (2,0 điểm) ABC Cho tam giác nhọn cân A có tâm đường trịn ngoại tiếp O Lấy điểm D bên tam giác góc với BC ) ABC cho ∠BDC = 2∠BAC (AD không vuông Chứng minh bốn điểm c) Ta có ∠BOC = 2∠BAC B, C , D, O nằm đường trịn (góc tâm góc nội tiếp chắn » ) BC ⇒ ∠BDC = 2∠BAC ( gt ) ⇒ ∠BOC = ∠BDC Xét tứ giác ⇒4 điểm d) BODC có B, O, D, C ∠BOC = ∠BDC , mà góc liền kề thuộc đường tròn Chứng minh OD đường phân giác Gọi phân giác tam giác AO kéo dài cắt BC H ⇒ AH ⊥ BC tứ giác ∠BDC hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng DM ⇒ BODC tổng OD BDC ( M ∈ BC ) (do tam giác ABC cân A) nội tiếp BD + CD Tứ giác DM nội tiếp nên phân giác giác Mà BODC OBC ∠BDC ∠ODB = ∠OCB ∠BDM = nên cân O, OH 1 ∠BDC = ∠BOC = ∠HOC 2 (OB=OC nên tam vừa đường cao vừa đường phân giác) ∠OCB + ∠HOC = 90° ( AH ⊥ BC ) ⇒ ∠ODM = ∠ODB + ∠BDM = 90° ⇒ OD ⊥ DM ⇔ OD +) Kéo dài Ta có BD đường phân giác ngồi cắt đường trịn (O) N Dựng ∆BDC AI vng góc với OD » ∠BDC = ∠BOC = sd BC ∠BDC = ∠DNC + ∠DCN ∠DNC = » sd BC (góc ngồi ∆DNC ) (góc nội tiếp chắn cung BC) ⇒ ∠DNC = ∠DCN = » sd BC ⇒ ∆DNC cân D nên DN = DC ⇒ DB + DC = DB + DN = BN Dựng đường kính ∠BKN = Có BK đường trịn (O) » » » sd BN = sd BC + sdCN 2 1 » » ∠AOI = ∠HOD = ∠HOC + ∠COD = ∠BOC + ∠CBD = sd BC + sdCN 2 ⇒ ∠BKN = ∠AOI ∠AIO = 90° ( AI ⊥ OD ) , ∠BNK = 90° ⇒ ∠AIO = ∠BNK Xét ∆AOI ∆BKN có : (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) ∠BKN = ∠AOI ; ∠AIO = ∠BNK I ⇒ ∆AOI ∽ ∆BKN ⇒ BN BK R = = = ⇒ BN = AI ⇒ BD + CD = AI (dfcm) AI AO R Câu (1,0 điểm) Cho ba số thực dương biểu thức x, y , z thỏa mãn xyz = 1 1 P= + + 2 2 4+ x + y 4+ y + z + z + x2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có : + x2 + y = + x2 + + y2 + ≥ x + y + ⇒ Tương tự 1 ≤ 2 4+ x + y ( x + y + 1) 1 1 ≤ ; ≤ 2 2 4+ y + z ( y + z + 1) + z + x ( z + x + 1) 1 1  ⇒P≤  + + ÷  x + y +1 y + z +1 z + x +1 Đổi biến ( x; y; z ) ⇒ ( a3 ; b3 ; c3 ) ⇒ abc = 1 1 1 + + = 3 + 3 + x + y + y + z + z + x + a + b + b + c + c + a3 + Ta có ⇒ a + b ≥ ab ( a + b ) ⇔ ( a − b ) ( a + b) ≥ (luôn đúng) 1 abc c ≤ = = = a + b + ab ( a + b ) + ab ( a + b ) + abc ab(a + b + c) a + b + c a b ≤ ; ≤ 3 b + c +1 a + b + c c + a +1 a + b + c Tương tự : 1 c a b  ⇒P≤  + + ÷= 2 a+b+c a+b+c a +b+c  ⇒ Max P = ⇔ x = y = z = Tìm giá trị lớn