Toán 7 HH7 cđ12 QUANHEGIUABACANHCUAMOTTAMGIACBATDANGTHUCTAMGIAC

CHUYÊN ĐỀ 33: QUAN HỆ GIỮA BA CẠNH CỦA MỘT TAM GIÁC PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT *) Định lí: Trong tam giác, độ dài cạnh ln nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại A C B Ba hệ thức: AB < BC + AC, AC < AB + BC, BC < AC + AB gọi bất đẳng thức tam giác - Tính chất: Trong tam giác, độ dài cạnh ln lớn hiệu độ dài hai cạnh cịn lại - Nhận xét: Nếu kí hiệu a, b, c độ dài ba cạnh tùy ý tam giác b−c 8, + 5,3 d) Có 12 < + Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau tạo thành tam giác hay không? a) 3cm, 4cm, 6cm b) 2m, 4m, m c) 1cm, 3cm, 4cm Lời giải: a) Ta có < + nên ba đoạn thẳng ba cạnh tam giác b) Khơng > + c) Khơng = 1+ Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác a) 3cm, 3cm, cm b) m, 10 m, m c) m, m, m Lời giải: a) Khơng > + b) Ta có 10 < + nên ba đoạn thẳng ba canh tam giác c) Khơng = + Bài Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh cịn lại, biết chu vi tam giác 20 cm (cm) , thỏa mãn bất Lời giải: Nếu cạnh cho (6 cm) cạnh đáy hai cạnh lại (20 − 6) : = đẳng thức tam giác Nếu cạnh cho (6 cm) cạnh bên hai cạnh cịn lại 6cm 20 − 2.6 = bất đẳng thức tam giác Bài Cho tam giác ABC có số nguyên (cm) (cm) , thỏa mãn BC = 1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài Lời giải: Theo bất đẳng thức tam giác, ABC có: AC − BC < AB < AC + BC ⇔ < AB < Do AB số nguyên nên AB = 7cm Bài Độ dài hai cạnh tam giác cm 2cm Tính độ dài cạnh cịn lại biết số đo cạnh theo cm số tự nhiên chẵn Lời giải: Giả sử ∆ABC có AB = cm, AC = cm Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC < BC < AB + AC Suy < BC < Mà BC có độ dài theo cm số tự nhiên chẵn Do đó, BC = 6cm Bài Cho tam giác ABC có số nguyên (cm) AB = cm, AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài Lời giải: Ta có AB = cm, AC = 1cm Theo bất đẳng thức tam giác, ta có AB − AC < BC < AB + AC Suy < BC < Mà BC có độ dài theo cm số nguyên Do đó, BC = 4cm Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh m m Lời giải: Cách 1: Vì tam giác tam giác cân nên có độ dại ba cạnh Th1 m; 4m; 8m trường hợp khơng xảy m + m = m Th2 m; 8m; 8m trường hợp xảy m + m > m Vậy chu vi tam giác 20 m Cách 2: Giả sử ∆ABC có AB = m, AC = m Theo bất thức tam giác, ta có | AB − AC |< BC < AB + AC Do đó, < BC < 12 Mà ∆AB C cân nên suy BC = m Vậy chu vi tam ∆ABC 20 m giác Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 3cm 7cm Lời giải: Giả sử ∆ABC có AB = 3cm, AC = cm Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | AB − AC |< BC < AB + AC Do đó, < BC < 10 Mà ∆ABC cân nên suy BC = cm Vậy chu vi tam giác ABC 17 cm Bài 10 Ba cạnh tam giác có độ dài số tự nhiên có giá trị nhỏ 2 , 16, x (đơn vị cm ) Tìm x , biết x Lời giải: 1 Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | −16 |< x < +16 ⇒13,5 < x < 18,5 2 Mà x số tự nhiên có giá trị nhỏ nên x = 14cm Bài 11 Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC > AC > AB Tính độ dài BC biết độ dài số chẵn (đơn vị: cm ) Lời giải: Ta có: BC > AB, BC > AC nên BC + BC + BC > AC + AB + BC , tức 3.BC > 18 Vậy BC > 6cm ( 1) Ta có: BC < AC + AB nên BC + BC < AB + AC + BC , tức 2.BC < 18 Vậy BC < 9cm (2) Do BC số chẵn nên từ (1), ( ) suy BC = 8cm Bài 12 Có tam giác có độ dài hai cạnh 7cm 2cm độ dài cạnh thứ ba số nguyên (đơn vị cm )? Lời giải: Gọi độ dài cạnh lại tam giác là: x ( cm ) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: | − |< x < + ⇒ < x < Mà x số nguyên nên x ∈{6; 7;8} Do có tam giác thỏa mãn yêu cầu toán Dạng Chứng minh bất đẳng thức độ dài I Phương pháp giải: Sử dụng bất đẳng thức tam giác biến đổi bất đẳng thức tam giác + Cộng số vào hai vế bất đẳng thức: a < b ⇒ a + c < b + c + Cộng vế hai bất đẳng thức chiều: a < b ⇒ a + c < b + d  c < II Bài toán Bài Cho tam giác OBC cân O Trên tia đối tia CO lấy điểm A Chứng minh AB > AC Lời giải: O B C A Vì A thuộc tia đối CO nên C nằm O; A OA > OC mà OB = OC ⇒ OA > OB Xét tam giác OBA có AO − OB < AB (bất đẳng thức tam giác) ⇒ AC + OC − OB < AB Lại có OB = OC ( ∆OB cân O ) ⇒ AC < AB (điều phải chứng minh) C Bài Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB a) So sánh MC với AM + AC b) Chứng minh MB + MC < AB + AC Lời giải: A M C B a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AMC ta có: MC < AM + AC b) Ta có: MC < AM + AC ⇒ MB + MC < MB + MA + AC = AB + AC Bài Cho tam giác ABC , tia đối tia AC lấy điểm K a) So sánh AB với KA + KB b) Chứng minh AB + AC < KB + KC Lời giải: C A B K a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác AKB ta có: AB < KA + KB b) Ta có: AB < KB + KA ⇒ AB + AC < KB + KA + AC = KB + KC Bài Cho tam giác ABC , M trung điểm BC Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM Lời giải: A B M D C Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA Xé ∆MA t B ∆MDC có MA = MD AMB = DMC (đối đỉnh) MB = MC ( giả thiết ) ⇒ ∆MAB = ∆MDC (c.g.c) ⇒ AB = DC (Hai cạnh tương ứng) Xét ∆ADC có : CD + AC > AD (bất đẳng thức tam giác) Do : AB + AC > AD mà AD = 2.AM ⇒ AB + AC > 2AM (đpcm) Bài Cho điểm M nằm ∆ABC Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC Từ suy ra: MA + MB + MC < AB + AC + BC Lời giải: A D M C B Kẻ BM cắt cạnh AC D Xé ∆ABD có : BD < AB + AD ⇒ MB + MD < AB + t AD Xé ∆MDC có : MC < MD + t DC ( 1) (2) Từ (1) ( ) suy : MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD ⇒ MB + MC < AB + AC CMTT ta có : MA + MC < AB + BC MA + MB < AC + BC Phần III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Bài Bộ ba độ dài tạo thành độ dài ba cạnh tam giác? a) b) c) d) 6cm; 7cm; 15cm 4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm 3cm; 7, 2cm; 5cm 3m; 10m; 7m Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = dài cạnh AC số nguyên tố 2cm Bài Cho a) Tính ∆AB C cạnh BC = cm Tính độ dài cạnh AC biết độ cân AC, BC biết chu vi ∆AB C 23 cm AB = cm b) Tính chu vi ∆AB biết AB = 5cm, = 12cm AC C Bài Có tam giác có độ dài hai cạnh 1cm 3cm cịn độ dài cạnh thứ ba số nguyên (đơn vị cm )? Dạng Bài Cho góc xOy, Oz tia phân giác góc xOy Từ điểm M góc xOz vẽ MH vng góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vng góc với Oy ( K thuộc Oy ) Chứng minh rằng: MH < MK Bài Cho ) Gọi E điểm bất ∆AB có ( < AC ) AD phân giác góc A ( D ∈ AB C BC kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ) Chứng minh – A  E – EB AC C B Bài Cho ∆AB C cân A , góc A tù, cạnh BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE , tia đối tia CA lấy điểm I cho CI = CA a, Chứng minh rằng: ∆ABD = ∆ICE AB + AC < AD + AE b, Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt Chứng minh rằng: BM = CN c, Chứng minh rằng: Chu vi Bài Cho ∆AB C nhỏ chu vi AB, AI M N , ∆AMN ∆AB vuông A , tia phân giác góc B cắt AC C BC − BA > DC − DA D Chứng minh ĐÁP SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Bài a) Khơng 15 > + b) Có 4, < 3,5 + 2,5 c) Có 7, < + d) Khơng 10 = + Bài Áp dụng tính chất quan hệ ba cạnh tam giác vào tam giác ABC ta có: BC − AB < AC < BC + AB ⇒ < AC < Mà độ dài cạnh AC số nguyên tố nên AC = 7cm Bài a) Tính AC, BC biết chu vi ∆AB C 23 cm AB = cm Cách 1: Vì tam giác cân TH1 : ta có ba cạnh 5cm , 5cm 13 cm khơng có tam giác có ban cạnh Th2 : ta có ba cạnh 5cm,x cm, x cm chu vi 23cm Lúc 5 + x + x = 23 ⇒ x = thỏa mãn tam giác có ba cạnh Vì AB = cm.nên AC = BC Cách = cm ∆AB * Nếu AB cạnh bên C ⇒ AB ⇒ BC = AC = 13 cm = cm (không thỏa mãn BĐT tam giác) * Nếu AB cạnh bên ⇒ AB = CB cân A ∆AB C cân B = cm ⇒ AC = 13 cm (không thỏa mãn BĐT tam giác) *Nếu AB cạnh đáy ∆AB C cân C ⇒ AC = BC = (23 − 5) : =9cm (Thỏa mãn BĐT tam giác) Vậy: AC = BC = 9cm b) Tính chu vi ∆AB biết AB = 5cm, C * Nếu ⇒ AC = 12cm AC AB = BC = 5cm cạnh bên = 12cm cạnh đáy Khi 12 > + ( không thỏa mãn BĐT tam giác) Vậy = BC AC = 12cm cạnh bên AB = 5cm cạnh đáy Chu vi ∆AB Bài C : 12 +12 + = 29 (cm) Gọi độ dài cạnh lại tam giác là: x ( cm ) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có: |1− |< x < 1+ ⇒ < x < Mà x số nguyên nên x = Do có tam giác thỏa mãn yêu cầu toán Dạng Bài Gọi A giao điểm MK với Oz Vẽ AB vng góc với Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M x H M B z A O Xé ∆KO (K = 900 A ) t ∆BOA y K (B = 900 ) có: OA chung KOA = BOA ( Oz tia phân giác xOy ) ⇒ ∆KOA = ∆BOA (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ AK = AB (Hai cạnh tương ứng) Xé ∆AB t M có BM < AB + (Bất đẳng thức tam giác) AM Do : BM < AK + AM hay BM < MK Mà MH < BM (quan hệ đường xiên đường vng góc ) ⇒ MH < MK Bài ( đpcm ) A E B F C D Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AB Xé ∆AB t E Do ∆AFE có AB = BAE = FAE; AE chung AF; ∆ABE = ∆AFE (c.g.c) ⇒ BE = EF Trong tam giác EFC có FC E – EF C Mà BE Lại có = EF nên FC FC = AC Từ (1) ( ) E C – A F – EB (1) = AB mà AF AB – suy AC E nên FC = AC – AB ( ) – EB C Bài A M B C D E O N a, CM: ∆ABD = ∆ICE (c.g.c) , Ta có : Vì ∆ABD = ∆ICE ⇒ AD = EI AB + AC = AI I Áp dụng BĐT b, CM: ∆BDM = ∆CEN c, Vì BM = CN ⇒ ∆AEI : AE + EI > AI (g.c.g) ⇒ BM hay AE + AD > AB + AC = CN AB + AC = AM + AN (1) Có BD = CE (gt), ⇒ BC = DE Gọi O giao MN BC ⇒ OM > OD ⇒ MO + ON > OD + OE ⇒ MN > DE ⇒ MN >  BC ON > OE (2) Từ (1 ) ( ) ta có : chu vi ∆AB C nhỏ chu vi ∆AMN B Bài H A C D X∆ ∆ c BD : é A H ó cạnh t D D : huyền B B chung; B ( BD tia phân giác = B) B ⇒ ∆ADB = ∆HDB (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒ BA = BH; DA = DH (hai cạnh tương ứng) X∆ vuông HC > DC − DH é H H có (bất đẳng thức tam t D DC > DH giác) C S u y r a B C − B H = H − Bà thể i tạo C thàn B > A D > h độ dài B C ộ D − C b D − a D đ A ộ A ( D ( d v ì i H B = D n H D = g tam giác 6cm; 8cm; 16c m b) 5,5c o 3,1c m; B d 2, A 4cm d) 13, 7cm; 8, ) i đ đ â ó y , C tron m; o B h A ) cạn ? a) v ì ba PHIẾU BÀI TẬP Dạng 1: c ó 2cm; 5,3cm c) 8m; 12m; 7m Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau tạo thành tam giác hay khơng? a) 3cm, 4cm, 6cm b) 2m, 4m, m c) 1cm, 3cm, 4cm Bài Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem ba đoạn thẳng có độ dài cho sau ba cạnh tam giác a) 3cm, 3cm, cm m, 10 m, m m, m, m b) c) Bài Một tam giác cân có cạnh cm Tính hai cạnh cịn lại, biết chu vi tam giác 20 cm Bài Cho tam giác ABC có số nguyên (cm) BC = 1cm, AC=7cm.Tìm độ dài cạnh AB biết độ dài Bài Độ dài hai cạnh tam giác cm 2cm Tính độ dài cạnh cịn lại biết số đo cạnh theo cm số tự nhiên chẵn Bài Cho tam giác ABC có số nguyên (cm) AB = cm, AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh m m Bài Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 3cm 7cm Bài 10 Ba cạnh tam giác có độ dài số tự nhiên có giá trị nhỏ 2 , 16, x (đơn vị cm ) Tìm x , biết x Bài 11 Tam giác ABC có chu vi 18cm, BC > AC > AB Tính độ dài BC biết độ dài số chẵn (đơn vị: cm ) Bài 12 Có tam giác có độ dài hai cạnh 7cm 2cm độ dài cạnh thứ ba số nguyên (đơn vị cm )? Dạng 2: Bài Cho tam giác OBC cân O Trên tia đối tia CO lấy điểm A Chứng minh AB > AC Lại có OB = OC ( ∆OB cân O ) ⇒ AC < AB (điều phải chứng minh) C Bài Cho tam giác ABC , điểm M thuộc cạnh AB c) So sánh MC với AM + AC d) Chứng minh MB + MC < AB + AC Bài Cho tam giác ABC , tia đối tia AC lấy điểm K c) So sánh AB với KA + KB d) Chứng minh AB + AC < KB + KC Bài Cho tam giác ABC , M trung điểm Bài Cho điểm M nằm MA + MB + MC < AB + AC + BC BC Chứng minh rằng: AB + AC > 2AM ∆ABC Chứng minh rằng: MB + MC < AB + AC Từ suy ra: Bài Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Gọi I giao điểm đường thẳng BM cạnh AC So sánh MA với MI + IA a) So sánh MA với MI + IA b) Chứng minh MA + MB < IB + IA c) Chứng minh IB + IA < CA + CB d) Chứng minh MA + MB < CA + CB Bài Cho điểm K nằm tam giác ABC Gọi M giao điểm tia AK với cạnh BC a Chứng minh KA + KB < MA + MB < CA + CB b So sánh KB + KC với AB + AC c Chứng minh KA + KB + KC nhỏ chu vi tam giác ABC Bài Cho tam giác ABC Trên đường phân giác góc ngồi đỉnh A , lấy điểm M không trùng với A Chứng minh rằng: MB + MC > AB + AC Bài Cho hai điểm A B nằm hai phía đường thẳng d Tìm điểm C thuộc đường thẳng d cho tổng AC + CB nhỏ Bài 10 Cho đường thẳng d hai điểm A, B nằm phía d AB không song song với d Một điểm H di động d Tìm vị trí H cho HA − HB lớn Bài 11 Cho góc xOy nhọn, Ox lấy hai điểm A B (điểm A nằm hai điểm O B ) Trên Oy lấy hai điểm C D (điểm C nằm O D ) Chứng AB + CD AD + BC minh < Bài 12 Một trạm biến áp khu dân cư xây dựng cách xa hai bờ sông hai địa điểm A B Hãy tìm bờ sơng gần khu dân cư địa điểm C để dụng cột mắc dây đưa điện từ trạm biến áp cho khu dân cư cho độ dài đường dây dẫn ngắn BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Bài Bộ ba độ dài tạo thành độ dài ba cạnh tam giác? e) 6cm; 7cm; 15cm f) 4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm g) 3cm; 7, 2cm; 5cm h) 3m; 10m; 7m Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = dài cạnh AC số nguyên tố 2cm Bài Cho ∆ABC cạnh BC = cm Tính độ dài cạnh AC biết độ cân a) Tính AC, BC biết chu vi ∆AB C 23 cm AB = cm b) Tính chu vi ∆AB biết AB = 5cm, C AC = 12cm Bài Có tam giác có độ dài hai cạnh 1cm 3cm độ dài cạnh thứ ba số nguyên (đơn vị cm )? Dạng Bài Cho góc xOy, Oz tia phân giác góc xOy Từ điểm M góc xOz vẽ MH vng góc với Ox ( H thuộc Ox ), MK vng góc với Oy ( K thuộc Oy ) Chứng minh rằng: MH < MK Bài Cho ) Gọi E điểm bất ∆AB có ( < AC ) AD phân giác góc A ( D ∈ AB C BC kỳ thuộc cạnh AD ( E khác A ) Chứng minh – A  E – EB AC C B Bài Cho ∆AB C cân A , góc A tù, cạnh BC lấy điểm D , tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE , tia đối tia CA lấy điểm I cho CI = CA a, Chứng minh rằng: ∆ABD = ∆ICE AB + AC < AD + AE b, Từ D E kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB, AI M N , Chứng minh rằng: BM = CN c, Chứng minh rằng: Chu vi Bài Cho ∆AB C ∆AB C nhỏ chu vi ∆AMN vuông A , tia phân giác góc B cắt AC D Chứng minh BC − BA > DC − DA ... Bài Bộ ba độ dài tạo thành độ dài ba cạnh tam giác? a) b) c) d) 6cm; 7cm; 15cm 4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm 3cm; 7, 2cm; 5cm 3m; 10m; 7m Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = dài cạnh AC số nguyên tố 2cm Bài... Dạng Bài Bộ ba độ dài tạo thành độ dài ba cạnh tam giác? e) 6cm; 7cm; 15cm f) 4, 2cm; 3,5cm; 2,5cm g) 3cm; 7, 2cm; 5cm h) 3m; 10m; 7m Bài Cho tam giác ABC có cạnh AB = dài cạnh AC số nguyên tố 2cm... 3cm 7cm Lời giải: Giả sử ∆ABC có AB = 3cm, AC = cm Theo bất đẩng thức tam giác, ta có | AB − AC |< BC < AB + AC Do đó, < BC < 10 Mà ∆ABC cân nên suy BC = cm Vậy chu vi tam giác ABC 17 cm