ĐỀ 14
Câu 1 (2 điểm): Với giá trị nào của a và b thì đa thức
f(x) =x
4
-3x
3
+3x
2
+ ax+b chia hết cho đa thức g(x) =a
2
+4-3x.
Câu 2 (2 điểm) Phân tích thành nhân tử.
(x+y+z)
3
–x
3
-y
3
-z
3
.
Câu 3 (2 điểm ) :
a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x
2
+x+1
b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
Câu 4(2 điểm ) : Chứng minh rằng nếu .a
2
+b
2
+c
2
=ab+bc+ac thì a=b=c
Câu 5 (2 điểm ) : Trong tam giác ABC lấy điểm P sao cho
PAC = PBC. Từ P dựng PM vuông góc với BC. PK vuông góc với CA. Gọi D
là trung điểm của AB. Chứng minh : DK=DM.
ĐÁP ÁN
Bài 1 (2 điểm) Chia f(x) cho g(x)
Ta có : x
4
-3x
2
+3x
2
+ax+b: a
2
-3x+4.
= x
2
+1 dư (a-3)x + b+4 (1 điểm)
f(x): g(x) khi và chỉ khi số dư bằng không.
Từ đây suy ra (1 điểm ).
a-3=0 => a=3
b+4=0 => b=-4
Bài 2 (2 điểm ) Phân tích thành nhân tử.
(x+y+2)
3
–x
3
-y
3
-z
3
=A
Ta có : (x+y+z)
3
–x
3
-y
3
-z
3
= [(x+y+z)
3
-x
3
]-(y
3
+2
3
).
áp dụng hằng đẳng thức 6 và 7.
A= ( x+y+z-x) [(x+x+z)
2
+ (x+y+z)x + x
2
) – (x+z)(y
2
-y
2
+z
2
) (1 điểm)
= (y+z)[x
2
+y
2
+z
2
+2xy+2xz+2yz+xy+xz+x
2
+x
2
-y
2
+yz-z
2
].
= (y+z) (3x
2
+3xy+3xz+3yz).
= 3(y+z) [x(x+y)+z((x+y)]
= 3(x+y) (y+z) ) (x+z) (1 điểm).
Bài 3 : (2 điểm ).
a-Tìm x để biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất : x
2
+x+1
Ta có : x
2
+x+1 = (x+
2
1
)
2
+
4
3
4
3
Giá trị nhỏ nhất là
4
3
khi (x+
2
1
)
2
=0 Tức x = -
2
1
(1 điểm).
b-Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A= h(h+1) (h+2) (h+3) (1 điểm).
Ta có : A= h(h+1) (h+2) (h+3)
= h(h+3) (h+2) (h+1)
= (h
2
+3h) (h
2
+3h+2)
Đặt : 3h+h
2
=x
A= x(x+2) = x
2
+2x = x
2
+2x+1-1
= (x+1)
2
-1
-1 Giá trị nhỏ nhất của A là -1.
Bài 4 (2 điểm ) Chứng minh.
Theo giả thiết : a
2
+b
2
+c
2
= ab+ac+bc.
Ta có : a
2
+b
2
+c
2
– ab-ac-bc = 0
Suy ra : (a
2
-2ab+b
2
) + (b
2
-2ab+c
2
) + (a
2
-2ac+c
2
)=0 (1 điểm).
(a-b)
2
+ (b-c)
2
+ (a-c)
2
= 0
Điều này xảy ra khi và chỉ khi.
a-b = b-c = a-c = 0 Tức là : a=b=c (1 điểm).
Bài 5 (2 điểm) C
Gọi E là trung điểm của AP
F là trung điểm của BP K M
Ta có : KE=
2
1
AP = EP P
FM =
2
1
BP =FP E F
A D B
Tứ giác DEPF là hình bình hành vì DE//BP, DF//AP
Do đó : ED=FM ; EK =EP=DF
Từ các tam giác vuông APK; BPM ta suy ra.
KEP =2KAP ; MEP = 2MBP
DEPF là hình bình hành nên DEP= DFP
Theo giả thiết KAD = MBP nên KEP = MFP
Vậy DEK = DPM suy ra
DEK=
MFO (c.g.c)
Do đó : DK=OM
==========================
.
Theo giả thi t : a
2
+b
2
+c
2
= ab+ac+bc.
Ta có : a
2
+b
2
+c
2
– ab-ac-bc = 0
Suy ra : (a
2
-2 ab+b
2
) + (b
2
-2 ab+c
2
) + (a
2
-2 ac+c
2
)=0 (1 điểm) = (h
2
+3h) (h
2
+3h +2)
Đặt : 3h+h
2
=x
A= x(x +2) = x
2
+2x = x
2
+2x+ 1-1
= (x+1)
2
-1
-1 Giá trị nhỏ nhất của A là -1 .
Bài 4 (2 điểm ) Chứng