Đề Thi Thử Học Sinh Giỏi Lớp 8 Toán 2013 - Phần 2 - Đề 18 doc

ĐỀ 13 Câu 1: ( 2,5 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a/. x 2 – x – 6 (1 điểm) b/. x 3 – x 2 – 14x + 24 (1,5 điểm) Câu 2: ( 1 điểm) Tìm GTNN của : x 2 + x + 1 Câu 3: ( 1 điểm) Chứng minh rằng: (n 5 – 5n 3 + 4n) M 120 với m, n  Z. Câu 4: ( 1,5 điểm) Cho a > b > 0 so sánh 2 số x , y với : x = 2 1 1 a a a    ; y = 2 1 1 b b b    Câu 5: ( 1,5 điểm) Giải phương trình: 1 x  + 2 x  + 3 x  = 14 Câu 6: ( 2,5 điểm) Trên cạnh AB ở phía trong hình vuông ABCD dựng tam giác AFB cân , đỉnh F có góc đáy là 15 0 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều. ĐÁP ÁN Câu 1: a/. Ta có: x 2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2)(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) ( Nếu giải bằng cách khác cho điểm tương đương ) b/. Ta có: x = 2 là nghiệm của f(x) = x 3 – x 2 – 14x + 24 Do đó f(x) M x – 2, ta có: f(x) : (x – 2) = x 2 + x – 12 Vậy x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)( x 2 + x – 12) Ta lại có: x = 3 là nghiệm của x 2 + x – 12 Nên x 2 + x – 12 = (x - 3)(x + 4) Như vậy: x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2)(x - 3)(x + 4) . Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của x 2 + x + 1 (1 đ’) Ta có : x 2 + x + 1 = 2 1 3 3 ( ) 2 4 4 x    Vậy f(x) đạt GTNN khi 2 1 ( ) 2 x  = 0 Tức x = - 1 2 Câu 3: Ta có : n 5 – 5n 3 + 4n = n 5 – n 3 – 4n 3 + 4n = n 3 (n 2 - 1) – 4n( n 2 - 1) = n(n - 1)( n + 1)(n - 2)(n + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất hai số là bội của 2 ( trong đó một số là bội của 4, một số là bội của 3, một số là bội của 5). Vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 8,3,5 = 120. Câu 4: (1,5 đ’). Ta có x,y > 0 và 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a x a a y a a a b b                  Vì a> b > 0 nên 2 2 1 1 a b  và 1 1 a b  . Vậy x < y. Câu 5: 1/. Xét khoảng x < -2 ,ta có: -3x + 2 = 14  x = - 4. 2/. -2  x < 1, ta có : -x + 16 = 14  x = 2. (loại) 3/. 1  x < 3, ta có : x + 4 = 14  x = 10 (loại). 4/. x  3 , ta có: 3x – 2 = 14  x = 16 3 Vậy phương trình trên có nghiệm là x = - 4 và x = 16 3 . Câu 6: ( 2,5 đ’) D C F F A B 2 I 2 F 2 H 15 0 1 5 0 2 Dựng tam giác cân BIC như tam giác AFB có góc đáy 15 0 . Suy ra : ¶ 0 2 60 B  (1) . Ta có AFB BIC  V V (theo cách vẽ) nên: FB = IB (2). Từ (1) và (2) suy ra : FIB V đều . Đường thẳng CI cắt FB tại H . Ta có: µ 2 I = 30 0 ( góc ngoài của CIB V ). Suy ra: ¶ 2 H = 90 0 ( vì µ B = 60 0 ) Tam giác đều FIB nên IH là trung trực của FB hay CH là đường trung trực của CFB V . Vậy CFB V cân tại C . Suy ra : CF = CB (3) Mặt khác : DFC V cân tại F . Do đó: FD = FC (4). Từ (3) và (4), suy ra: FD = FC = DC ( = BC). Vậy DFC V đều. GiảI bằng phương pháp khác đúng cho điểm tương đương. ============================== . tam giác đều. ĐÁP ÁN Câu 1: a/. Ta có: x 2 – x – 6 = x 2 – 4 – x – 2 = (x - 2) (x + 2) – (x + 2) = (x + 2) (x – 2 - 1) = (x + 2 )(x - 3) (. 2 là nghiệm của f(x) = x 3 – x 2 – 14x + 24 Do đó f(x) M x – 2, ta có: f(x) : (x – 2) = x 2 + x – 12 Vậy x 3 – x 2 – 14x + 24 = (x - 2) ( x 2